TEMA 28: Estudio global de funciones. Aplicaciones a la representación gráfica de funciones.

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1 MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 1 TEMA 28: Estudio global de ucioes Aplicacioes a la represetació gráica de ucioes Esquema: Autor: Atoio Pizarro Sácez 1 Itroducció 2 Domiio de deiició y recorrido 3 Cortes co los ejes REV: 03/09 Preparadores@arrakises Web: ttp://wwwpreparadoresdeoposicioescom 4 Periodicidad 5 Simetrías 6 Asítotas 7 Crecimieto y decrecimieto 8 Extremos relativos y absolutos 9 Covexidad y cocavidad 10 Putos de ilexió 11 Reerecias bibliográicas y documetales 1 INTRODUCCIÓN E todo lo que sigue de tema, estudiaremos globalmete las ucioes reales de variable real expresadas e orma explícita, por ser esta la orma más usual de expresar ua ució y la usada e la ESO y Bacillerato Dada la ució : Dom ( ) IR, su represetació gráica es el compedio del estudio de los siguietes epígraes que pasamos a aalizar 2 DOMINIO DE DEFINICIÓN Y RECORRIDO El domiio de deiició o campo de existecia de ua ució, y se suele represetar por Dom () o por D, es el cojuto de los úmeros

2 MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 2 reales x para los existe (x) Formalmete: Dom( ) { x IR ( x) } = Ejemplos: 2 1 La ució y 9 x 3,3, es decir, está deiida e ese itervalo 2 Las ucioes expoeciales, circulares, y x ( impar) está deiidas e todo IR 3 x ( par) está deiidas e [ 0,+ ] 4 La ució y = log( x 4) está deiida si y sólo si x 4 > 0, es decir, su domiio es D = ( 4,+ ) = tiee domiio de deiició el itervalo [ ] Se llama recorrido de o image de, y se deota por Im(), al cojuto de los úmeros reales y para los que existe x IR co y=(x) Im( ) = ( x) : x Dom( ) { } 3 CORTES CON LOS EJES Co el eje OX: Los putos de corte de la ució y=(x) co el eje OX, so los putos ( x,0 0 ) dode los x 0 Dom( ) y se obtiee resolviedo la ecuació ( x) = 0 Co el eje OY: Es el puto (0,(0)), si 0 Dom( ) 4 PERIODICIDAD Se dice que ua ució : Dom() IR es periódica si IR, > 0, tal que: ( x + ) = (x) x Dom, es decir, cuado su gráica se repite cada tramo de logitud Se deie el período T de ua ució como el míimo valor co la propiedad aterior Observació: Es claro que si veriica ( x ) = (x) ( x + k) = ( x) k Z + x Dom, etoces Ejemplo: 1) Se x, cos x tiee período 2 π 2) Tg x tiee período π Nota: Si ua ució es periódica basta estudiar u tramo (u período)

3 MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 3 de su gráica, para después repetirla 5 SIMETRÍAS Si ua ució veriica ( x) ( x) x Dom =, etoces la gráica de es simétrica respecto al eje vertical OY, pues toma los mismos valores a ambos lados del eje OY Ejemplo: y = cos x es ua ució par Si ua ució veriica ( x) = ( x) x Dom,etoces la gráica de es simétrica respecto al orige de coordeadas Ejemplo: y = se x es ua ució impar x IR Nota: La simetría, al igual que la periodicidad, permite obteer la gráica de la ució si más que aalizarla e u subcojuto de Dom() 6 ASÍNTOTAS Se llama asítotas a las rectas cuya distacia a la curva tiede a cero cuado ua de las coordeadas del puto de la gráica P=(x,(x)) tiede a iiito Su iterpretació geométrica es que so rectas que se pega a la curva e el iiito TIPOS DE ASÍNTOTAS: 1º) Asítota vertical: La recta x=a es ua asítota vertical de la ució (x) si al meos alguo de los límites laterales de e a lim ( x) o lim ( x ) es + ó x a La posició de la gráica respecto a la asítota vertical x=a queda determiada calculado los límites: lim ( x) y lim ( x ) Si se obtiee +, + x a x a la rama de la gráica va acia arriba, y cuado obtegamos, la rama de la gráica va acia abajo 2º) Horizotal: + x a La recta y= b es ua asítota orizotal de la ució (x) si lim ( x) = b ó x +

4 MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 4 lim ( x) = b La posició de la gráica respecto a la asítota oblicua y=b, x queda determiada calculado los límites: lim [ ( x) b] y [ ( x) b] x + lim x + Si se obtiee 0 +, la gráica está por ecima de la asítota, y cuado obtegamos 0, la gráica está por debajo de la asítota 3º) Oblicuas: La recta y= mx+ ( 0) lim [ ( x) ( mx + ) ] = 0 ó lim [ ( x) ( mx + ) ] = 0 x + m es asítota oblicua de la ució (x) si x La determiació práctica de m y, se calcula del siguiete modo: ( x) = lim y = lim ( x) mx, o bie co límites e el, pero e m x + x x + [ ] cualquier caso debe obteerse m, IR, m 0 La posició de la gráica respecto a la asítota oblicua y=mx+, m 0, queda determiada calculado los límites: lim ( x) ( mx + ) y lim ( x) ( mx + ) x + [ ] x + [ ] Si se obtiee 0 +, la gráica está por ecima de la asítota, y cuado obtegamos 0, la gráica está por debajo de la asítota Observacioes: La asítota orizotal es ua asítota oblicua cuado m=0 Es evidete, por deiició de ució, que si ay asítota orizotal a u lado (cuado x ó x ) o puede teer asítota oblicua a ese mismo lado, pero si al otro E los siguietes casos se suele decir que tiee ua rama parabólica : x o Si m =, como por ejemplo co la ució ( x) = e, la ució crece más deprisa que cualquier recta o Si m = 0 y =, como por ejemplo co la ució ( x) = log x, la ució crece más despacio que cualquier recta co pediete positiva 7 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Deiicioes: Crecimieto e u itervalo:

5 MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 5 Se dice que ua ució es creciete e u itervalo I Dom( ) para todo par de putos x, y I co x < y, se tiee que ( x) ( y) cuado La ució es estrictamete creciete e I si para todo par de putos x, y I co x < y, se tiee que ( x) < ( y) Decrecimieto e u itervalo: Se dice que ua ució es decreciete e u itervalo I Dom( ) cuado para todo par de putos x, y I co x < y, se tiee que ( x) ( y) La ució es estrictamete creciete e I si para todo par de putos x, y I co x < y, se tiee que ( x) > ( y) Creciete Estrictamete creciete Estrict decreciete Fucioes moótoas: Ua ució se deomia moótoa e I si es creciete e I o decreciete e I, y se dice estrictamete moótoa si es estrictamete creciete e I o estrictamete decreciete e I Ua ució se dice que es moótoa a trozos e u itervalo I si su gráica está ormada por u úmero iito de trozos moótoos Es decir, es moótoa a trozos e [ a, b] si existe ua partició P de [ a, b] tal que es moótoa e cada uo de los subitervalos abiertos de P X 2 X 6 X 0 X 1 X 3 X 4 X 5 X 7 Fució moótoa a trozos Observació: Los coceptos de crecimieto y decrecimieto se deie si ecesidad de ateder a la derivabilidad de la ució; pero si la ució es derivable, las derivadas os sumiistra muca iormació sobre los coceptos ateriores, como poe de maiiesto el siguiete resultado

6 MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 6 Teorema: Sea ua ució derivable e u itervalo I, etoces: a) es creciete e I si y sólo si ( x) 0 x I b) es decreciete e I si y sólo si ( x) 0 x I c) Si ( x) > 0 x I etoces es estrictamete creciete e I d) Si ( x) < 0 x I etoces es estrictamete decreciete e I Demostració: a) Supogamos que es creciete e I y sea a y b dos putos arbitrarios de I tales que a<b El itervalo [ a, b] está coteido e I, luego es cotiua e [ a, b] y derivable e ( a, b) y por el teorema del valor medio, existe al meos u puto x ( a, b) tal que ( b) ( a) x = Si a<b y ( a) ( b), etoces ( x) 0 b a Veamos el recíproco: Supogamos que ( x) 0 x I y sea a y b dos putos arbitrarios de I tales que a<b El itervalo [ a, b] está coteido e I, luego es cotiua e [ a, b] y derivable e ( a, b) y por el teorema del valor medio, existe al meos u puto c ( a, b) tal que () ( b) ( a) c = Si a<b, b a como ( c) 0, etoces ( a) ( b) b) Se prueba de orma aáloga al aterior c) Se prueba de igual orma que la codició suiciete de ució creciete e u itervalo, co los lógicos cambios: Supogamos que ( x) > 0 x I y sea a y b dos putos arbitrarios de I tales que a<b El itervalo [ a, b] está coteido e I, luego es cotiua e [ a, b] y derivable e ( a, b) y por el teorema del valor medio, existe al meos u puto c ( a, b) tal que () ( b) ( a) c = Si a<b, como ( c) > 0, b a etoces (a)<(b) d) Se demuestra de orma aáloga al apartado aterior Observació: Los recíprocos de las dos últimas airmacioes o so ciertos E u etoro de u puto cuya derivada sea ula, puede ocurrir cualquier situació Por ejemplo, las siguietes ucioes, que tiee derivada ula e x=0, se tiee que:

7 MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 7 1) (x)=x 3 es estrictamete creciete e u etoro de 0 2) (x)=-x 3 es estrictamete decreciete e u etoro de 0 8 EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS Extremos relativos Ua ució tiee u máximo relativo (o local) e a si existe u δ > 0 tal que ( x) ( a) para todo x ( a δ, a + δ ) Dom( ) El cocepto de míimo relativo (o local) se deie del mismo modo co la desigualdad ivertida: Ua ució tiee u míimo relativo (o local) e a si existe u δ > 0 tal que ( x) ( a) para todo x ( a δ, a + δ ) Dom( ) Extremos absolutos Ua ució tiee u máximo absoluto e a si ( x) ( a) para todo x Dom( ) Ua ució tiee u míimo absoluto e a si ( x) ( a) para todo x Dom( ) Por ejemplo, la ució (x)=se x, 0 x π, tiee u máximo absoluto e

8 MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 8 π x =, y dos míimos absolutos e x = 0 y x = π 2 La ució (x)=x(1-x) 2 1, x 2, tiee u máximo absoluto e x=2, u máximo relativo e x =, u míimo absoluto e x = y u míimo 3 2 relativo e x=1 Observacioes: 1) De las deiicioes de extremos se deduce que todo máximo absoluto es relativo, pero el recíproco o es cierto Lo mismo ocurre co los míimos 2) Ua ució puede teer iguo, uo o varios putos distitos que sea máximos y/o míimos absolutos sobre su domiio Naturalmete, segú vimos e el tema 25, si el Dom() es u itervalo cerrado y es cotiua, el teorema de Weierstrass os garatiza que tiee eectivamete u máximo y u míimo absoluto e el itervalo cerrado Codició ecesaria de extremo: Teorema: Sea : ( a, b) IR ua ució deiida e el itervalo abierto ( a, b) Si tiee u extremo relativo (máximo o u míimo) e u puto c ( a, b) y es derivable e c, etoces ( c) = 0 Demostració: Cosideremos el caso e el que tiee u máximo e c Si tiee u máximo e c se veriica ( x) ( c) 0 x ( a, b) por tato, si

9 MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 9 ( x) ( c) ( x) ( c) x<c 0 y si x>c 0 x c x c luego () ( x) ( c) c = lim 0 y () ( x) ( c) lim 0 + c = + x c x c x c x c Por ipótesis, la ució es derivable e c, luego estos dos límites existe y so iguales a ( c) Luego ( c) = 0 E el caso de que tega u míimo e c, basta cosiderar la ució opuesta Si tiee u míimo e c etoces tiee u máximo e c y como es derivable e c ( pues es derivable e c), por el caso aterior () c = 0 y, por tato, () c = 0 Observacioes: 1) La ució puede teer u máximo o u míimo e putos e dode o es derivable Por ejemplo, la ució ( x) = x tiee u míimo e c = 0, si embargo, o es derivable e 0 2) La codició es ecesaria pero o suiciete, es decir, puede ser que () c = 0 si que tega máximo i míimo e c Por ejemplo, 3 2 la ució ( x) = x se tiee que ( x) = 3x y ( 0) = 0, y si embargo, o tiee máximo i míimo e 0 La codició (x)=0 o implica que x sea u puto máximo o míimo relativo de, auque sea u claro cadidato pues la tagete e esos putos es paralela al eje de abscisas Precisamete por esta razó, se a adoptado ua termiología especial para describir los úmeros x que satisace la codició (x)=0 Deiició: Se llama puto sigular o puto crítico de ua ució a todo úmero real x tal que (x)=0 Al úmero (x) se le llama valor sigular o valor crítico de Cosecuecia: A la vista de las observacioes ecas, para allar el máximo o el

10 MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 10 míimo de e u itervalo cerrado [ a, b] (evidetemete, si es cotiua e [ a, b] podemos estar seguros de que existe u máximo y u míimo e [ a, b] ), se debe cosiderar tres clases de putos: 1) Los putos x de [ a, b] dode o es derivable e x a b 2) Los putos sigulares de e ( a, b), es decir, los putos c ( a, b) tales que () c = 0 a b 3) Los extremos del itervalo a y b a b Codicioes suicietes de extremo: Veamos varios criterios para decidir si u puto es máximo o míimo relativo: Criterio 1 Variació de la ució e u etoro del puto: Sea x=a u puto dode puede existir u máximo o u míimo relativo Si sustituimos e la ució x por a ±, para u valor de >0 suicietemete pequeño, y se veriica:

11 MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 11 ( a ± ) ( a), etoces la ució tiee u máximo relativo e x=a ( a ± ) ( a), etoces la ució tiee u míimo relativo e x=a Este criterio es, e realidad, la aplicació directa de la deiició de máximo y míimo relativo Evidetemete, dada su geeralidad, se puede aplicar a putos o derivables de la ució Criterio 2 Variació del sigo de la primera derivada e u etoro del puto: Proposició: Sea ua ució deiida e ua etoro de u puto a IR Si ( a) > 0 e u itervalo a la izquierda de a y ( a) < 0 e u itervalo a la dereca de a, etoces tiee u máximo relativo e a (la ució pasa de creciete a decreciete) Aálogamete, si ( a) < 0 e u itervalo a la izquierda de a y ( a) > 0 e u itervalo a la dereca de a, etoces tiee u míimo relativo e a (la ució pasa de decreciete a creciete) Demostració: E el primer caso, existe u δ > 0 tal que es estrictamete creciete e ( a δ, a] y estrictamete decreciete e [ a, a + δ ) y, por tato, ( x) < ( a) para todo x ( a δ, a + δ ), es decir, tiee u máximo relativo e a E el segudo caso, existe u δ > 0 tal que es estrictamete decreciete e ( a δ, a] y estrictamete creciete e [ a, a + δ ) y, por tato, ( x) > ( a) para todo x ( a δ, a + δ ), es decir, tiee u míimo relativo e a Criterio 3 Valor de la derivada seguda e el puto: Proposició: Supogamos que (a)=0 Si (a)<0, etoces tiee u máximo relativo e a; si (a)>0, etoces tiee u míimo relativo e a Demostració: Si (a)<0, la ució es estrictamete decreciete e u etoro del puto a, y como (a)=0, e u itervalo a la izquierda de a, es positiva ( es decreciete) y e u itervalo a la dereca de a, es egativa ( es creciete) Luego tiee u máximo relativo e a La demostració para (a)>0 es aáloga El siguiete criterio, es ua geeralizació de éste:

12 MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 12 Criterio 4 Valor de la derivada de orde par e el puto: Proposició: Supogamos que es ua ució derivable asta el orde y co derivadas iitas e u puto a, y supogamos que ( 1) ( a) = ( a) = = ( a) = 0 y que ( a) 0 Etoces: a) Si es par y ( a) > 0 etoces tiee u míimo relativo e a b) Si es par y ( a) < 0 etoces tiee u máximo relativo e a c) Si es impar etoces o tiee máximo i míimo relativo e a Demostració: Cosideremos el poliomio de Taylor de grado meor o igual que de ( ) ( e a ( a) ) ( a) P ( x) = a + a x a + + x a = a + x a!! ( E ) ( x) ( x) P ( x) ( x) ( a) a Sabemos que 0 = lim = lim = lim, s x a x a x a x a x a x a! decir, e u etoro reducido E * ( x) ( a) (a) se tiee que tiee el x a ( ) ( a) mismo sigo que! Por tato, si es par, etoces ( x a) > 0 Luego para cada x ( E( a) {} a ) se tedrá que si ( ) ( a) > 0 etoces (x)-(a)>0, es decir, tiee u míimo relativo e a; y si ( ) ( a) < 0 etoces (x)-(a)<0, es decir, tiee u máximo relativo e a Supogamos que es impar, etoces ( x a) es positivo o egativo segú sea x>a o x<a y por tato ( x) ( a) tiee sigos distitos segú sea x>a o x<a, luego la ució o tiee máximo i míimo relativo e a 9 CONVEXIDAD Y CONCAVIDAD Deiició 1: Ua ució es covexa e u itervalo I, si para todo a, b I, el segmeto que ue (a,(a)) co (b,(b)) queda ecima de la gráica de e ( a, b) Ua ució es cócava e u itervalo I, si para todo a, b I, el segmeto que ue (a,(a)) co (b,(b)) queda debajo de la gráica de e

13 MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 13 ( a, b) (b) (a) (b) (a) a b a b covexa cócava Esta codició geométrica se puede expresar de ua orma aalítica, más útil e las demostracioes: La recta que ue los putos (a,(a)) y (b,(b)) de la gráica de es la gráica de la ució g deiida por ( b) ( a) g x = a + ( x a) b a Esta recta queda por ecima de la gráica de, si para todo a, b, x I tal que a < x < b, se tiee que g(x)>(x), es decir, si ( b) ( a) ( x a) ( x) ( b) ( a) a + > o ( x a) > ( x) ( a) o b a b a ( b) ( a) ( x) ( a) > b a x a De orma aáloga, se obtiee que la recta queda por debajo de la gráica de, si para todo a, b, x I tal que a < x < b, se tiee que g(x)<(x), es decir, si ( b ) ( a ) ( x ) ( a < ), co lo que se tiee, por tato, ua b a x a deiició equivalete de covexidad y cocavidad Deiició 2: Ua ució es covexa e u itervalo I, si para todo ( b) ( a) ( x) ( a) a, b, x I tal que a < x < b, se tiee > b a x a Ua ució es cócava e u itervalo I, si para todo ( b) ( a) ( x) ( a) a < x < b, se tiee < b a x a a, b, x I tal que Dado que los putos de ( a, b) so de la orma x = λa + ( 1 λ)b co 0 < λ < 1, sustituyédolo e la deiició aterior, se obtiee otra deiició equivalete a las ateriores Deiició 3: Ua ució es covexa e u itervalo I, si para todo a, b I y para todo λ ( 0,1), se veriica ( λa + ( 1 λ) b) < λ ( a) + ( 1 λ) ( b)

14 MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 14 Ua ució es cócava e u itervalo I, si para todo todo λ ( 0,1), se veriica ( λa + ( 1 λ) b) > λ ( a) + ( 1 λ) ( b) a, b I y para Observacioes: 1) A veces, se utiliza la omeclatura de cócava acia arriba y cócava acia abajo para expresar ucioes covexas y cócavas respectivamete; o obstate, e la literatura, puede aparecer cambiados los coceptos de ució covexa y cócava deiidas aquí 2) Es ácil ver que es covexa si y sólo si es cócava Este eco os permite obteer las propiedades de las ucioes cócavas a partir de las ucioes covexas Proposició: Si es derivable e a I y b I, y es covexa e I etoces para cada a, b I tal que a < b, se veriica ( a) < ( b) Demostració: Supogamos que es covexa, veamos previamete los siguietes casos: 1 si 0 < 1 < 2, etoces ( a + ) 1 a a + 2 a <, es decir, los 1 2 ( a + ) ( a) + valores de decrece cuado 0 Por tato ( a + ) ( a) a < para >0 2 si 2 < 1 < 0, se tiee que a + 2 < a + 1 < a, etoces ( a + 1 ) ( a) ( a + 2 ) ( a) < es decir, los valores de ( a + ) ( a ) 1 2 crece cuado 0 Por tato ( a + ) ( a) a > para <0 Así, ( a + ( b a) ) ( a) ( b) ( a) por ser b-a>0 se tiee que ( a) < =, y por b a b a ( b + ( a b) ) ( b) ( a) ( b) ser a-b<0, ( b) > =, co lo que combiado a b a b estas dos desigualdades obteemos ( a) < ( b) Aálogamete se demuestra la siguiete: Proposició: Si es derivable e a I y b I, y es cócava e I etoces para cada a, b I tal que a < b, se veriica ( a) > ( b) Veamos varios criterios para decidir si ua ució es covexa o cócava:

15 MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 15 Criterio 1 Derivada primera: Proposició: Si es derivable e I Etoces es creciete e I si y sólo si es covexa Demostració: El recíproco es cosecuecia de la propiedad aterior Sea a y b dos putos arbitrarios de I tales que a<b Los putos de ( a, b) so de la orma x = λa + ( 1 λ)b co 0 < λ < 1 y probemos que ( x) = ( λa + ( 1 λ) b) < λ ( a) + ( 1 λ) ( b) Como ( x) = λ ( x) + ( 1 λ) ( x), la desigualdad a demostrar es λ( ( x) ( a) ) < ( 1 λ) ( ( b) ( x) ) Pero, por el teorema del valor medio aplicado a e los itervalos [ a, x] y [ x, b], existe putos c ( a, x) y d ( x, b) tales que ( x) ( a) = ( c)( x a) y ( b) ( x) = ( d )( b x) Como es creciete e I y c, d I siedo tales que c<d, etoces (c)< (d), y como λ( x a) = ( 1 λ)( b x), se tiee que λ( ( x) ( a) ) = λ ( c) ( x a) < λ ( d) ( x a) = ( d )( 1 λ)( b x) = ( 1 λ) ( ( b) ( x) ), como queríamos demostrar Aálogamete: Proposició: Si es derivable e I Etoces es decreciete e I si y sólo si es cócava Como cosecuecia del aterior teorema se tiee otra caracterizació de las ucioes covexas y cócavas siguiete: Corolario: Si es derivable e I, es covexa e I si y sólo si para cada x, a I se veriica ( x) ( a) + ( a)( x a), es decir, la gráica de queda por ecima de la tagete a la curva e el puto a, excepto e el puto de cotacto Demostració: Si es covexa y si 0 < 1 < 2, etoces ( a + 1 ) ( a) ( a + 2 ) ( a) <, es decir, los valores de 1 2 ( a + ) ( a)

16 MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 16 + decrece cuado 0 Por tato ( a + ) ( a) a < para >0, pero esto sigiica que para >0 la secate que pasa por los putos (a,(a)) y (a+,(a+)) tiee pediete mayor que la tagete, y por tato el puto (a+,(a+)) co >0 queda por ecima de la tagete Ua situació parecida se preseta para egativo: si < 0, se tiee que a < a + < a + 1 2, etoces decir, los valores de ( a + ) ( a ) 2 1 < ( a + ) ( a) ( a + ) ( a) 1 crece cuado 1 < 2 2 es 0 Por tato ( a + ) ( a) a > para <0, de modo que el puto (a+,(a+)) queda por ecima de la tagete si <0 Veamos el recíproco: Sea a y b dos putos arbitrarios de I tales que a<b La tagete a la gráica de la ució e (a,(a)) es la ució g( x) = ( a) + ( a)( x a), y como el puto (b,(b)) queda por ecima de la tagete, teemos ( b) > ( a) + ( a)( b a) (1) Aálogamete, la tagete a la gráica de la ució e (b,(b)) es la ució ( x) = ( b) + ( b)( x b), y como el puto (a,(a)) queda por ecima de la tagete, teemos ( a) > ( b) + ( b)( a b) (2) De las desigualdades (1) y (2) se sigue que (a)< (b), co lo que es creciete e I y por tato es covexa Por la observació 2ª, como es covexa si y sólo si es cócava, se tiee el siguiete: Corolario: Si es derivable e I, es cócava e I si y sólo si para cada x, a I se veriica ( x) ( a) + ( a)( x a), es decir, la gráica de queda por debajo de la tagete a la curva e el puto a, excepto e el puto de cotacto Tambié como cosecuecia imediata de la proposició aterior, se tiee el siguiete: Criterio 2 Derivada seguda: Proposició: Si tiee derivada seguda e I y si >0 e I, es covexa

17 MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 17 (al ser estrictamete creciete) Si <0 e I, es cócava (al ser estrictamete decreciete) 10 PUNTOS DE INFLEXIÓN Deiició: U puto de ilexió de es u puto x0 Dom( ) tal que la ució pasa de covexa a cócava o viceversa, es decir, la curva es covexa e ( x0 δ, x 0 ) y cócava e ( x 0, x 0 + δ ), o viceversa, para algú δ > 0 Nota: Si la ució tiee tagete e x 0 y x 0 es u puto de ilexió, la tagete corta a la gráica Codició ecesaria de puto de ilexió: Proposició: Si tiee u puto de ilexió e a y es derivable dos veces e x=a, etoces (a)=0 Demostració: Supogamos que ( a) 0, etoces e u etoro de a la ució es covexa o cócava, y por tato o es puto de ilexió Codicioes suicietes de puto de ilexió: Veamos varios criterios para decidir si u puto es de ilexió, los cuales so similares a los estudiados para máximos y míimos: Criterio 1 Variació del sigo de la derivada seguda e u etoro del puto: Proposició: Sea ua ució deiida e u etoro de u puto a IR Si ( a) > 0 e u itervalo a la izquierda de a y ( a) < 0 e u itervalo a la dereca de a, etoces tiee u puto de ilexió e a (la ució pasa de creciete a decreciete) Aálogamete, si ( a) < 0 e u itervalo a la izquierda de a y ( a) > 0 e u itervalo a la dereca de a, etoces tiee u puto de ilexió e a (la ució pasa de decreciete a creciete) Criterio 2 Valor de la derivada tercera e el puto: Proposició: Supogamos que (a)=0 Si (a)<0 o (a)>0, etoces tiee u

18 MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 18 puto de ilexió e a El siguiete criterio es la geeralizació del aterior: Criterio 3 Valor de la derivada de orde impar e el puto: Proposició: Supogamos que es ua ució derivable asta el orde y co ( 1) derivadas iitas e u puto a, y supogamos que ( a) = = ( a) = 0 y ( a) 0 a) Si es par y ( a) > 0 etoces es covexa e a b) Si es par y ( a) < 0 etoces es cócava e a c) Si es impar etoces tiee u puto de ilexió e a Demostració: Cosideremos el poliomio de Taylor de grado meor o igual que de e a ( ) ( ( a) ) ( a) P ( x) = a + a x a + + x a = a + a x a + x a, y!! cosideremos tambié la recta tagete a la curva e el puto (a,(a)) y t = ( a) + ( a) ( x a) Sabemos que ( E ( ) ) ( x) ( x) P ( x) ( x) ( a) + a x a a 0 = lim = lim = lim, x a x a x a x a x a x a! es decir, e u etoro reducido E * (a) se tiee que ( ( x) ( ( a) + ( a)( x a) ) tiee el mismo sigo que ) ( a) Por tato, si es ( x a)! par, etoces ( x a) > 0 Luego para cada x ( E( a) { a} ) se tedrá que si ( a) > 0 etoces (x)- y t >0, es decir, la gráica de permaece por ecima de la recta tagete, co lo que la ució es covexa e x=a; y si ( a) < 0 etoces (x)- y t <0, es decir, la gráica de permaece por debajo de la recta tagete, co lo que la ució es cócava e x=a Supogamos que es impar, etoces ( x a) es positivo o egativo segú sea x>a o x<a y por tato (x)-y t tiee sigos distitos segú sea x>a o x<a Así pues la gráica de atraviesa a la recta tagete e x=a y el puto (a,(a)) correspode a u puto de ilexió

19 MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 19 a 11 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y DOCUMENTALES APÓSTOL, TOM M Calculus Volume I Ed Reverté, SA SPIVAK, M Calculus Cálculo iiitesimal Ed Reverté, SA APÓSTOL, TOM M Aálisis Matemático Ed Reverté, SA FERNÁNDEZ NOVOA, J Aálisis Matemático I Ed UNED GARCÍA LÓPEZ, A, DE LA VILLA CUENCA, A Y OTROS Cálculo I, 2ª edició Ed Clagsa VIZMANOS, JR, ANZOLA,M Matemáticas I Ed SM

20 MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 20 REV: 03/09 Web: ttp://wwwpreparadoresdeoposicioescom NOTAS