Límites y continuidad

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1 I.E.S. Ramó Giraldo CONTENIDOS.- MAPA CONCEPTUAL DE LA UNIDAD....- CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO....- LÍMITES LATERALES: CARACTERIZACIÓN....- LÍMITES Y OPERACIONES CON FUNCIONES: ÁLGEBRA DE LÍMITES LÍMITES INFINITOS: ASÍNTOTAS VERTICALES LÍMITES EN EL INFINITO: ASÍNTOTAS HORIZONTALES LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO: ASÍNTOTAS OBLICUAS ALGUNOS LÍMITES A TENER EN CUENTA RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES MÁS SOBRE ASÍNTOTAS ASÍNTOTAS VERTICALES ASÍNTOTAS HORIZONTALES ASÍNTOTAS OBLICUAS....- CONTINUIDAD..... CONCEPTO DE FUNCIÓN CONTINUA..... CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES..... CLASIFICACIÓN DE LAS DISCONTINUIDADES TEOREMAS IMPORTANTES... 7 Objetivos udametales. Coocer el cocepto de límite de ua ució e u puto y saber calcular límites secillos mediate ua tabla de valores.. Saber calcular límites de ua ució, resolviedo las correspodietes idetermiacioes cuado éstas se presete.. Determiar las asítotas de ua ució.. Saber estudiar la cotiuidad de ua ució, tato e u puto como e u itervalo: a partir de su gráica y aalíticamete. 5. Clasiicar las discotiuidades de ua ució. 6. Relacioar la cotiuidad, e u itervalo cerrado, co sus etremos absolutos. ipri Límites y cotiuidad

2 Bloque III: Aálisis Matemático.- MAPA CONCEPTUAL DE LA UNIDAD a a Límites b Resolució de idetermiacioes Uidad Cotiuidad Clasiicació de las discotiuidades a a.- CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO EJERCICIO:. Observado la gráica de la ució y a) c) 0 b) d) 0, calcula el valor de los siguietes límites: e) ) g) h) ipri Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II

3 Deiició ituitiva: Sea : D cuado a Departameto de Matemáticas ua ució, a D' y L. Diremos que el límite de es L, y escribiremos a próimos a a (distitos de a), los valores de las imágees y L L L L, sii para valores de cada vez más está cada vez más próimas a L. y a a a EJERCICIO:. Dádole a valores próimos a, tato mayores como meores que él, calcula hacia que valor tiede las siguietes ucioes: a) d) b) e) c) ).- LÍMITES LATERALES: CARACTERIZACIÓN El límite por la izquierda es el valor al que tiede la ució a a siedo meor que a. Se deota por: ó a a a El límite por la derecha es el valor al que tiede la ució a siedo mayor que a. Se deota por: ó a a a Esto da lugar a la siguiete caracterizació:, a a a a a E cuyo caso a a a cuado la variable se aproima cuado la variable se aproima a EJERCICIO:. Calcula los límites laterales y el límite, cuado eista, de las siguietes ucioes e los putos que se idica: si si a) e b) e si si ipri Límites y cotiuidad

4 Bloque III: Aálisis Matemático.- LÍMITES Y OPERACIONES CON FUNCIONES: ÁLGEBRA DE LÍMITES Se tiee las siguietes propiedades de los límites: ) k k a ) g g a a a ) g g a a a a ) siempre que 0 a g g g a a g ) a siempre que a a g 0 EJERCICIO:. Sabiedo que las ucioes y g tiee por límite y 5, respectivamete, cuado tiede a, calcula el valor de los siguietes límites: a) 5 g b) g c) 7 g a 5.- LÍMITES INFINITOS: ASÍNTOTAS VERTICALES Decir que a sigiica que cuado tiede a a, co a toma valores mayores que cualquier úmero real k: Aálogamete, decir que sigiica que cuado tiede a a, co a toma a valores cada vez más pequeños:, Llamamos asítotas de ua ució a las rectas que se aproima la ució e el iiito. La recta = a es ua asítota vertical de a a, sii eiste alguo de los siguietes límites a y y y y y y y y a a a a ipri Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II

5 Departameto de Matemáticas 6.- LÍMITES EN EL INFINITO: ASÍNTOTAS HORIZONTALES Decir que b sigiica que cuado se hace ta grade como queramos, la ució toma valores muy próimos u úmero ijo b: La recta y = k es ua asítota horizotal de o k k sii eiste alguo de los siguietes límites: y b y b b 7.- LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO: ASÍNTOTAS OBLICUAS Tambié puede suceder que, lo que sigiica que y grades a la vez. Por tato: k para todo p, siedo k y p úmeros arbitrariamete grades. La recta y = m +, m 0, es ua asítota oblicua de m y. límites: m 0 e cuyo caso m m 0 se hace iiitamete sii eiste alguo de los siguietes ipri Límites y cotiuidad 5

6 Bloque III: Aálisis Matemático y y m 8.- ALGUNOS LÍMITES A TENER EN CUENTA Ates de meteros de lleo e la resolució de idetermiacioes, vamos a estudiar alguos límites muy secillos, pero que aparece mucho y que por tato es ecesario teerlos siempre presetes: () () g () h ipri Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II 6

7 No se pude mostr viculada. Puede mo v ido, cambi ad eiado el archi Compruebe que señ ala al arch ivo correctos.. Departameto de Matemáticas () i (5) E geeral: Para impar: Para par: U par de cosideracioes a teer e cueta al calcular límites: a) Si P a... a a 0 es u poliomio, etoces P y el resultado sólo depede del moomio b) Para límites e el iiito de ucioes racioales se tiee la siguiete regla práctica, m dode P P b... b b.: a... a a 0 y 0 m ipri Límites y cotiuidad 7

8 Bloque III: Aálisis Matemático si grado( P) grado Q P a si grado( P) gradoq Q bm 0 si grado( P) grado Q 9.- RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES Cuado al calcular el límite de ua suma, u producto, u cociete o ua potecia de ucioes o se puede aplicar las propiedades de los límites, es decir, hay que hacer u estudio particular de cada caso, suele decirse que estos límites so ua idetermiació. k INDETERMINACIÓN DEL TIPO CON k 0 0 Se calcula los límites laterales:, a a- Si eiste ambos límites y coicide su valor, etoces: a a a Si o eiste alguo de los límites laterales o o coicide su valor, etoces, o eiste a. INDETERMINACIÓN DEL TIPO 0 0 a) Para ucioes racioales Se descompoe umerador y deomiador e actores y se simpliica. b) Para ucioes irracioales Si se trata de ua ució co raíces cuadradas e el umerador (o e el deomiador), multiplicamos umerador y deomiador por la epresió cojugada del umerador (o del deomiador). INDETERMINACIÓN DEL TIPO Se divide umerador y deomiador por la mayor potecia de que aparezca e la ució (basta co dividir por la mayor potecia de del deomiador). INDETERMINACIÓN DEL TIPO a) La ució es dierecia de dos ucioes racioales Se eectúa dicha operació. b) La ució es dierecia de ucioes irracioales Multiplicamos y dividimos por la epresió cojugada de la ució. INDETERMINACIÓN DEL TIPO 0 Trasormar esta idetermiació e ua de las ateriores, geeralmete eectuado las operacioes. INDETERMINACIÓN DEL TIPO Se resuelve empleado la siguiete igualdad: g g a e a ipri Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II 8

9 Departameto de Matemáticas dode a y sabemos que e EJERCICIOS: 5. Calcula los siguietes límites, resolviedo las idetermiacioes que aparezca: k a) Idetermiació del tipo co k b) Idetermiació del tipo 0 0 c) Idetermiació del tipo d) Idetermiació del tipo e) Idetermiació del tipo 0 6 ) Idetermiació del tipo Calcula el valor de los siguietes límites: ) ) ) 5) 7) 8) 5 0 0) ) ) ) 6) 7) ) 6) ipri Límites y cotiuidad 9) e e ) 5)

10 Bloque III: Aálisis Matemático 8) 7 9 9) 7 0) ) 5 ) ) 5 ) 6) 5 5 5) 7) MÁS SOBRE ASÍNTOTAS 0.. Asítotas verticales La recta = a es ua asítota vertical de a a sii eiste alguo de los siguietes límites Observacioes: () Ua ució puede teer iiitas asítotas verticales. a () E las ucioes racioales las asítotas verticales se halla e los valores que aula al deomiador. () La gráica ele la ució o puede cortar a las asítotas verticales. 0.. Asítotas horizotales La recta y = k es ua asítota horizotal de k sii eiste alguo de los siguietes límites: Observacioes: () Ua ució tiee como máimo dos asítotas horizotales. k () La gráica de la ució puede cortar a las asítotas horizotales. () Si e ua ució racioal el grado del umerador es meor que el grado del deomiador la recta y = 0 (el eje OX) es ua asítota horizotal. () Si e ua ució racioal el grado del umerador y el del deomiador so iguales la recta y = ) será ua asítota horizotal (b idica el cociete etre los coeicietes líderes del umerador y del deomiador). (5) Si e ua ruició racioal el grado del umerador es ua uidad mayor que el del deomiador la ució preseta ua asítota oblicua y o hay asítotas horizotales. (6) Si e ua ució racioal el grado del umerador es dos o más uidades mayor que el del deomiador hay asítota horizotal. ipri Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II 0

11 0.. Asítotas oblicuas, es ua asítota oblicua de La recta y = m +, m 0 límites: m 0 e cuyo caso Departameto de Matemáticas y m m Observacioes: () Ua ució puede teer como máimo dos asítotas oblicuas. sii eiste alguo de los siguietes m 0 () Si ua ució tiee asítota oblicua o tiee asítota horizotal y recíprocamete. () Si e ua ució racioal el grado del umerador es dos o más uidades mayor que el del deomiador, o hay asítota oblicua. () La gráica de la ució puede cortar a las asítotas oblicuas e uo o varios putos. EJERCICIOS: 7. Averigua las asítotas horizotales y verticales de las siguietes ucioes, cuado eista: a) 6 d) b) 7 e) 6 c) ) 8. Estudia las asítotas de las siguietes ucioes. ) ) 9 ) 0) ) ) ) ) 5) 6) 7) ) 5) 5 9 6) 8) 7) ipri Límites y cotiuidad

12 a, a a a a Bloque III: Aálisis Matemático 9) 8) 5 9. Dadas las siguietes ucioes calcula sus asítotas horizotales, verticales y oblicuas, si eiste: a) ( ) b) j ( ) c) g ( ) d) k ( ) e) h ( ).- CONTINUIDAD.. Cocepto de ució cotiua Ua ució : D es cotiua e el puto a Dom cuado a () a Aclaracioes: Para que ua ució sea cotiua e u puto, dicho puto ha de perteecer a su domiio de deiició. E otro caso, o tiee setido hablar de cotiuidad. No tiee setido decir que la ució y o es cotiua e 0, por que dicho puto o perteece a su domiio. La codició () de cotiuidad implica: o a o o Dichos valores coicida: a a Ua ució es cotiua cuado lo es e todos los putos de su domiio de deiició. Si ua ució o es cotiua e u puto se dice que es discotiua e dicho puto. Ua ució es cotiua por la derecha e u puto si eiste límite por la derecha e él y coicide co el valor que toma la ució e ese puto: cotiua e a por la derecha a Ua ució es cotiua por la izquierda e u puto si eiste límite por la izquierda e él y coicide co el valor que toma la ució e ese puto: cotiua e a por la izquierda a Caracterizació: Ua ució es cotiua e u puto cuado es cotiua por la izquierda y por la derecha e ese puto: a a ipri Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II

13 Departameto de Matemáticas cotiua e a cotiua por la derecha y por la izquierda e a Ua ució es cotiua e ab, cuado: () Sea cotiua e el itervalo abierto ab, () Sea cotiua por la derecha e a () Sea cotiua por la izquierda e b.. Cotiuidad de las ucioes elemetales Las ucioes poliómicas, a a... a a0, so cotiuas e todos los putos. P Las ucioes racioales,, so cotiuas e su domiio. Q La ució epoecial, y e, es cotiua siempre que lo sea. La ució logarítmica, y log, es cotiua e todo puto, tal que 0 sea cotiua. y Las ucioes trigoométricas, y se e y cos, so siempre cotiuas. La ució y tg es cotiua e su domiio: k co k. Las ucioes deiidas a trozos será cotiuas si lo so e sus itervalos respectivos y e los putos de uió. E estos putos habrá que ver que la ució esté deiida y que los límites laterales eista y sea iguales. EJERCICIOS: 0. Estudia la cotiuidad de la siguiete ució deiida a trozos: si 9 si 6 0 si. Dada la ució t si t si 8 si determia el valor de t para que la ució sea cotiua e todo su domiio.. Dada la ució. Determiar a y 5 si 5 5, estudiar su cotiuidad. 0 si 5 b para que la siguiete ució sea cotiua: ipri Límites y cotiuidad

14 Bloque III: Aálisis Matemático si 0 ab si 0 5 si. Halla los valores de los parámetros que aparece para que la siguiete ució sea cotiua: k 5 si h si 5. Hallar el valor de k para que cada ua de las siguietes ucioes sea cotiua: k si k si a) b) kk si k si 6. Estudia la cotiuidad de las siguietes ucioes: si a) a si si b) h h si si 0 c) k si 0 d) e) ) k si k si 6 si k si k5 si k si 7. Po u ejemplo de ua ució dode alle sólo ua de las tres codicioes ecesarias para que sea cotiua e u puto. 8. Dada la ució: calcula el valor de b para que b 8 sea cotiua e. Es cotiua e? 9. Calcula a y b para que sea cotiua la siguiete ució: a b 0. Estudia la cotiuidad de la ució.. Se ha ivestigado el tiempo (T, e miutos) que se tarda e realizar cierta prueba de atletismo e ució del tiempo de etreamieto de los deportistas (, e días), obteiédose que ipri Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II

15 Departameto de Matemáticas T 00,5 si 0 0 si 0 55 a) Justiicar que la ució T es cotiua. b) Se puede airmar que cuato más se etree u deportista, meor será el tiempo empleado e realizar la prueba?. La caliicació obteida por u estudiate e u eame depede de las horas de preparació a través de la ució si si 5 0, a) Tiee setido airmar que a mayor tiempo de preparació correspode mayor caliicació? b) Es dicha ució cotiua?. Dada la ució a si si l si a) Calcular a para que la ució sea cotiua e. b) Represeta la ució para a... Clasiicació de las discotiuidades ) Si L y L a etoces se dice que tiee ua discotiuidad evitable a e el puto a. El valor que deberíamos darle a la ució e dicho puto para que uera cotiua e él se llama valor verdadero de la ució e a, y es: a : EJERCICIO:. Estudia la cotiuidad de la siguiete ució, clasiicado su discotiuidad: a ipri Límites y cotiuidad 5

16 Bloque III: Aálisis Matemático si si ) Si L, L' y L L' se dice que preseta ua a a discotiuidad de salto o de primera especie e a. E este caso, el valor a a se llama salto de la ució e a, y puede ser iito o iiito. a, a a a EJERCICIO: 5. Estudia la cotiuidad de la siguiete ució, clasiicado su discotiuidad: si si a ) Las discotiuidades que o sea i evitables i de primera especie se deomia discotiuidades de seguda especie, es decir, cuado al meos uo de los límites laterales o eista. a a L a, a EJERCICIOS: 6. Estudia la cotiuidad de la siguiete ució, clasiicado su discotiuidad: si 0 si 0 ipri Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II 6

17 Departameto de Matemáticas 7. Estudia la cotiuidad de las siguietes ucioes, clasiicado sus discotiuidades: si 9 si a) c) si si si si b) d) si si.. Teoremas importates U par de resultados que es importate coocer y memorizar: Teorema de Weierstrass: Toda ució cotiua e u itervalo de la orma ab, tiee máimo y míimo absolutos. Este teorema es de eistecia, es decir, os dice que hay máimo y míimo absolutos, pero o cuáles so. Para determiarlos, osotros represetaremos la ució. Bajo la hipótesis adicioal de que la ució sea iyectiva, el máimo y el míimo (absolutos) se alcaza e los etremos del itervalo. Lo úico que ecesitamos coocer sobre las ucioes iyectivas es la siguiete iterpretació geométrica: Ua ució es iyectiva, e u itervalo, si cualquier recta paralela al eje OX sólo corta a la gráica de la ució e u úico puto (e dicho puto). y ució iyectiva e ab, y y ució o iyectiva e ab, y g a b a b ipri Límites y cotiuidad 7