APROXIMACIÓN A LA MATEMÁTICA INGRESO Aproximación a la Matemática. FACULTAD de CIENCIAS. ECONÓMICAS y SOCIALES

Transcripción

1 INGRESO 09 Aproimació a la Matemática FACULTAD de CIENCIAS ECONÓMICAS y SOCIALES

2 INDICE Programa Eje : El cojuto de los úmeros reales Revisió teórica Ejercitació Respuestas Eje : Fucioes algebraicas. Fucioes reales de ua variable. Fució lieal..sistemas de ecuacioes lieales. Revisió teórica Ejercitació Respuestas. Fució poliómica. Revisió teórica Ejercitació Respuestas. Fució racioal e irracioal Revisió teórica Ejercitació Respuestas Eje : Fucioes trascedetes. Fució epoecial y logarítmica. Revisió teórica Ejercitació Respuestas. Fucioes trigoométricas. Revisió teórica Ejercitació Respuestas

3 PROGRAMA de APROXIMACIÓN A LA MATEMÁTICA Eje : El cojuto de los úmeros reales Números reales. Operacioes. Propiedades de las operacioes. Porcetaje. Valor absoluto. Ecuacioes co valor absoluto. Desigualdades e IR. Iecuacioes. Itervalos. Iecuacioes co valor absoluto. Eje : Fucioes algebraicas.. Fucioes reales de ua variable. Fució lieal.sistemas de ecuacioes lieales. Resolució aalítica y gráica.. Fució poliómica. Fucioes poliómicas y poliomios. Operacioes co poliomios. Factorizació de poliomios. Raíces de u poliomio. Raíces racioales de u poliomio co coeicietes eteros. Teorema de Gauss. Grado y raíces de u poliomio. Gráico de ucioes poliómicas. Domiio e image. Cojuto de ceros. Cojutos de positividad y de egatividad. Crecimieto y decrecimieto. Máimos y míimos. Fució por tramos.. Fució racioal e irracioal Fució racioal. Operacioes co epresioes algebraicas racioales. Fució irracioal.gráica de las ucioes irracioales. Fucioes racioales e irracioales. Domiio e image. Cojuto de ceros. Cojutos de positividad y de egatividad. Crecimieto y decrecimieto. Máimos y míimos. Fució por tramos. Eje : Fucioes trascedetes.. Fució epoecial y logarítmica Fució epoecial. Gráica y aálisis de distitos casos. Logaritmo: deiició. Propiedades. Fució logarítmica. Gráica y aálisis de distitos casos. Fució epoecial y logarítmica: Domiio e image. Cojuto de ceros. Cojutos de positividad y de egatividad. Crecimieto y decrecimieto. Ecuacioes epoeciales y logarítmicas secillas.. Fucioes trigoométricas. Águlos orietados e u sistema de coordeadas cartesiaas. Sistemas de medició agular: seagesimal y circular. Coversió de u sistema a otro. Deiició de ucioes trigoométricas e u sistema de coordeadas cartesiaas Sigo de las ucioes e los cuatro cuadrates. Relació etre las ucioes trigoométricas de u mismo águlo. Circuerecia trigoométrica. Fucioes trigoométricas de u úmero real. Aálisis de los gráicos de las ucioes: seo, coseo, tagete. Domiio e image. Cojuto de ceros. Cojutos de positividad y de egatividad. Crecimieto y decrecimieto. Periodicidad. Idetidades trigoométricas. Deiició de iversas de ucioes trigoométricas. Ecuacioes trigoométricas secillas.

4 El cojuto de los úmeros Reales Revisió teórica IR Q II Naturales (IN ) o ( Z ) Racioales (Q) 0 (cero) Eteros (Z) Re ales Eteros Negativos ( Z ) Fraccioarios Irracioales (II ) Poteciació: deiició y propiedades Potecia de epoete atural: Si a IR y IN, siedo >, se deie a a.a.a... a ( actores) Por coveció, se establece que: a 0 = ( a 0 ) ; a = a Propiedades: Si a IR ; b IR ; m IN y IN : (IR ) Los úmeros irracioales so aquellos que o puede ser epresados como cociete o razó de dos úmeros eteros. Posee iiitas ciras decimales o periódicas. a es la base y es el epoete. a. a m m a a. a. b a b m a a b m b 0 a : a m a a m. b, a 0 Potecia de epoete etero: Si a IR - 0 y Z, se deie: Radicació: deiició y propiedades a a Se veriica todas las propiedades mecioadas e potecia de epoete atural. Raíz eésima: Si a IR y IN, se deie: Para par y a 0: Para impar: a b b a b b = a y b 0 a b b = a a El úmero a es el radicado y es el ídice. Propiedades: Si a IR + ; Si b IR + ; m IN ; IN y p IN :

5 m a.b a a a a. m. a b par a b a a ; b b 0 a impar Propiedad udametal : m. p m. p a a ó m a : p a m : p Si p divide a y a m Potecia de base real y epoete racioal: Si m Z y Z, se deie: m a a m Ecuacioes lieales : a. = b, siedo a, b IR si a 0 etoces la ecuació es compatible determiada (úica solució) si a = 0 y b = 0, ecuació compatible idetermiada (iiitas solucioes) si a = 0 y b 0, ecuació icompatible (o eiste solució) Valor absoluto y distacia Si IR, su valor absoluto es: si 0 si 0 Propiedades, Si IR ; y IR y Z, se veriica: d.y. y y y, y 0 o 0 y - y Itervalos e la recta real Desigualdades Itervalo Tipo de itervalo a b a; b Abierto a b a; b Cerrado a b a;b Semiabierto o a semicerrado a ; Iiito o o acot. a a; Iiito a ;a Iiito a ; a Iiito so subcojutos de IR.

6 Desigualdades y módulo Propiedades de las desigualdades a, b, c,a,b,c IR ; a b a, b, c,a,b,c IR ; a b a, b, a,b, IR ; c IR 0 a b c 0 a. c b. c a, b, a,b, IR ; c IR 0 a b c 0 a. c b. c b c a c a c b c Para resolver las iecuacioes co valor absoluto se utiliza las siguietes propiedades: Si, y IR y k IR +, se cumple: k k k k k o k y y " desigualda d triagular 6

7 El Cojuto de los Números Reales Ejercitació. Idica si las siguietes airmacioes so Verdaderas ( V ) o Falsas( F ) : 8 - Q II 0 Q d) 8 Q e) 7 II ) 6 Z 9. Idica si las siguietes airmacioes so Verdaderas ( V ) o Falsas( F ) : La suma de dos úmeros racioales es siempre otro úmero racioal. El producto de dos úmeros irracioales es siempre otro úmero irracioal. La suma de u úmero racioal co u irracioal es siempre u úmero racioal d) La raíz cuadrada de u úmero racioal es siempre u úmero irracioal. e) El producto de dos úmeros reales es siempre otro úmero real.. Resuelve aplicado las propiedades de la poteciació: :. : : ( 0 : 00 ). Resuelve las siguietes operacioes y simpliica cuado sea posible: d) ; 0 e) 8. ) b. 0 b g) b : b ; b 0. Escribe e el V o F segú correspoda. E el caso de cotestar Falso escribe sobre la líea puteada la respuesta correcta. El úmero 0 es racioal. El úico úmero etero mayor que y meor que es.. El úico úmero mayor que,6 y meor que,8 es,7 7

8 7. Z... Q y. 6 y y Resuelve :. a b a b. a b a b a, b IR y a b 7. Resuelve y epresa la respuesta si radicales e el deomiador: a ) c ) 7 6 d) 8. Idica co ua cruz la respuesta correcta: El valor de la epresió.. es igual a : - - El producto p q p q. p q p q, p, q IR y p q es : p q p + q p - q q 0 9. Epresa las siguietes potecias como radicales y, cuado sea posible, resuélvelas: 9 d) 8

9 e) 6 ) 8 g) 0. Trasorma los radicales e potecias, resuelve y luego epresa el resultado co radicales:. 0 0 : 0 :. Idica Verdadero ( V ) o Falso ( F ) y justiica la respuesta. Si a, b IR, etoces a. b a b Si a 0, etoces a a a 6 a d).. = e) = 0 ) g). Despeja la variable idicada e cada caso : b, e A b h, e A b h a, e c = a + b d) P, e I = P r t e) C, e M = C + C r t ) z, e y z g) a, e c = b + b a 9

10 . Cuáles de las siguietes epresioes u operacioes co úmeros racioales represeta : el 0% de 6? : ,. 6,8 el % de?. 00 : 0, Platea utilizado ecuacioes y resuelve: El precio de veta al público de u artículo se marca aumetado e u 0% el precio de costo. E ua liquidació se rebaja los precios u 0 %. cuál es el porcetaje de beeicio ó pérdida del comerciate sobre el precio de costo?. Lee atetamete el siguiete artículo: Provicia detectó u % de iraccioes e operativos El Miisterio de Trabajo de la provicia de Bueos Aires detectó u por cieto de iraccioes durate los operativos de cotrol desarrollados e el trasporte de pasajeros durate el i de semaa del 9 al de agosto. E Mar del Plata uero 60 las ispeccioes co iraccioes detectadas.. La Capital, de Agosto de 0 De acuerdo a los datos aportados por el periódico, Cuál es el porcetaje de iraccioes sobre el total de ispeccioes realizadas e Mar del Plata? Lee atetamete el siguiete artículo: Crece el cosumo co tarjetas del Baco Provicia LA PLATA.- Segú datos del área de Política Comercial del Baco Provicia, de octubre a diciembre de 00 creciero % las compras co tarjetas de débito emitidas por la etidad co relació al mismo lapso del año aterior. E el último trimestre del año los clietes de la etidad cosumiero por 77 milloes de pesos, rete a los 978 milloes registrados el año aterior. E el caso de las tarjetas de crédito el alza ue de %, al pasar de ( ) a 0 milloes de pesos. ( ). Fuete : Télam 09/0/ De acuerdo a los datos aportados, cuátos milloes de pesos se registraro e vetas co tarjetas de crédito e el último trimestre del año 009? 0

11 d) El precio de ua computadora ue rebajado e u 0%. Luego se realizó ua rebaja adicioal de u$s. El uevo precio es u$s cuál era el precio origial?. e) El úmero de ejemplares de u libro vedidos durate el mes de Julio, se icremetó u % respecto del mes de Juio, y e el mes de Agosto, surió u desceso del % respecto del mes aterior. Si el úmero de ejemplares vedidos e el mes de Juio superó e 8 al del mes de Agosto, cuátos ejemplares se vediero e el mes de Juio?. ) E la primera prueba de admisió para igresar a la acultad, quedó elimiado el 8% del alumado. E la seguda prueba, el 0% de los restates. Si uero elimiados e total 9 aspirates, cuátas persoas se había iscripto?.. Calcula cada ua de las siguietes epresioes: d) e) 6 ) 6 g) h) 6 6. Resuelve las siguietes ecuacioes : 9 0 d) 6 9 e) 6 ) 0 g) 6 6 h) 9 i) j) ( + ). ( ) = 0 k) ( + ) = 0 7. Resuelve cada ua de las siguietes iecuacioes e IR. Epresa el cojuto solució como itervalo o como uió etre itervalos y represétalos e la recta umérica ( ) ( + ) d) - + < e) 6 ) g). 0 h). i) 0 0 j) k) ( ) ( + ) ( ) l) ( ) ( + )

12 8. Resuelve cada ua de las siguietes iecuacioes e IR. Epresa el cojuto solució como itervalo o como uió etre itervalos y represétalos e la recta umérica. 7 8 d) e) 6 ) g) 9 0 h) 6 i) 9 9. Escribe V o F. E caso de respoder Falso, escribe sobre la líea puteada la epresió que sustituya la recuadrada, para que la proposició resulte verdadera a a... d). a e) Si, etoces < < ) El cojuto solució de es,... g) E el mes de Julio 0 se registraro operacioes de compra-veta de autos usados, cotra 8.9 vehículos de julio de 00. Etoces segú los datos, el porcetaje de icremeto e compra-veta durate ese año ue del, %.. h) Jua cargó ata el jueves e la Estació de Servicio AKA y le hiciero u descueto del % por ser socio. Aboó co la tarjeta de crédito del Baco SUR que justo ese día de la semaa orecía u 0 % de descueto e combustibles. Al ializar la carga, e el visor del surtidor el moto era de $ 0 ( si iguo de los descuetos), por lo tato aboó eectivamete por esa compra luego del descueto del Baco $ 90.

13 RESPUESTAS El Cojuto de los Números Reales. So V: d) So F: e) ). So V: e) So F: d) d) 0 e) ) b b g) 9 b. V V F d) V e) F ) V g) V u ejemplo es,6 - II a b 7. 7 ( ) d) ( ) 8. q

14 9. e) ) g) d) d).. 6. V V V d) F e) F 7 ) F g) F 0.. d) b A I P r t e) A h b M C r t ) a z y c b g) a c b b ,., ,. 6. Pierde u % 8, % 97, milloes d) u$s, e) 800 ejemplares ) 00 iscriptos. 6 9 d) 7 e) ) g) 0 h) 8 6. e) d) 6 6 ) 0 0

15 g) h) 0 6 i) j) k) 7. e) g) i) S S S S S ( [, ) (, ] ( 8, ], ) (, ) [, ) S [, ) h) S [, ] j) S (, ) ( 8 k) S (, ] l) S (, d) ) S S (, 6 ] [,), ) 8. e) g) i) S [,] 7 S (, ) (, ) S (, ] [, ) S (, ] [, ) S (, ) d) ) S S ( 0,) S ( (, ) (, ), ] [, ) h) S (, ] [, ) 9. F F V d) V e) V ) F S (,] g) F, % h) F $ 9,0

16 Fucioes reales de ua variable lieales Fució lieal Sistemas de ecuacioes Revisió teórica Fucioes reales de ua variable Ua ució : A B es ua correspodecia que a cada que perteece a A le asiga u úico y que perteece a B. Im y B / A co ( ) y Cojuto de ceros o raíces C 0 = { Dom / () = 0 } Cojuto de positividad C + = { Dom / () > 0 } A : Domiio B : Codomiio : variable idepediete y : variable depediete Im ( ) B Image de se deota Im ( ) Cojuto de egatividad C - = { Dom / () < 0 } es creciete e u itervalo del domiio de, si para todo par de úmeros a y b de dicho itervalo, si a b a b. es decreciete e u itervalo del domiio de, si para todo par a b a b. de úmeros a y b de dicho itervalo, si Composició de ucioes Dadas las ucioes : A B y compuesta co g y se la deota D, se deomia g: C g, a la ució: g : A D / g g Esto se lee: g de de, es decir que se aplica g al resultado de () : IR IR / () = m + b o y = m + b es ua ució lieal m: pediete o coeiciete agular b: ordeada al orige y = m + b es la ecuació eplícita de la recta. Ecuació del haz de rectas que pasa por el puto p = ( 0, y 0 ) : y y 0 = m.( 0 ) (Ecepto la recta vertical = 0 ) La represetació gráica de ua ució lieal es ua recta. m, b IR m = tg es el águlo que orma la recta co el semieje positivo de las. b = ( 0 ) Pediete de ua recta que pasa por dos putos Si la recta pasa por p = ( 0, y 0 ) y q = (, y ), etoces su pediete es : y y y 0 m = ; 0 0 y = Variació de y Variació de 6

17 Si m 0, la image de la ució lieal es IR. Si m = 0, etoces () = b es la ució costate. Si m = 0 y b 0, la ució o preseta ceros, y la Im = { b } Si m = 0 y b = 0 y = 0, la recta coicide co el eje de abscisas (es la ecuació del eje ). Si m = y b = 0 () = es la ució idetidad. Recta vertical Si = o, es ua recta vertical de la orma = a, a IR. No es ua ució lieal. A + B y + C = 0 es la ecuació geeral de la recta o ecuació implícita de la recta. Rectas paralelas y perpediculares A : y = m + b ; B : y = m + b so paralelas m = m A : y = m + b ; B : y = m + b so perpediculares m co m 0 m A // B m = m m = m m = m y b b so paralelas o coicidetes y b = b so paralelas coicidetes A B m. m = - Esta deiició o es válida para rectas verticales i horizotales. Si y = b ( b IR) etoces es recta perpedicular a ella cualquier recta vertical. U sistema de dos ecuacioes lieales co dos icógitas se epresa de la orma: a a b b y c y c dode cada ecuació represeta ua recta e el plao. Resolver el sistema sigiica ecotrar todos los putos ( ; y ) que tiee e comú ambas rectas e el plao, es decir su cojuto solució. a + by = c es ua ecuació lieal co dos icógitas siempre que a y b o sea simultáeamete cero. La solució del sistema es todo par de úmeros reales que sea solució de ambas. El cojuto solució es el cojuto de todas sus solucioes. Dos sistemas so equivaletes si tiee el mismo cojuto solució 7

18 Se debe represetar ambas rectas e u mismo sistema de coordeadas cartesiaas y hallar la itersecció de ambas. Iterpretació gráica de la solució Dos rectas e el plao puede teer u úico puto e comú o ser paralelas (o tiee igú puto e comú o so coicidetes) Clasiicació (;y) r s = ( ; y ) las rectas se corta e u puto. La solució es úica. El sistema es compatible determiado. r s = r = s Las dos ecuacioes está asociadas a la misma recta. Tiee iiitos putos e comú. Posee iiitas solucioes. El sistema es compatible idetermiado. r s = Las rectas so paralelas. No tiee igú puto e comú. El sistema o tiee solució. El sistema es icompatible. Métodos aalíticos para la resolució de sistemas Los métodos empleados más recuetemete para la resolució de sistemas de dos ecuacioes lieales co dos icógitas so los siguietes: 8

19 Método de sustitució Los pasos a seguir so: Despejar ua de las icógitas e ua de las ecuacioes. Sustituir la epresió obteida e la otra ecuació. Resolver la ecuació de primer grado que resulta. Sustituir la solució obteida e la epresió de la otra icógita. Método de igualació Los pasos a seguir so: Despejar la misma icógita e ambas ecuacioes. Igualar las epresioes obteidas. Resolver la ecuació lieal que resulta. Sustituir la solució obteida e cualquiera de las epresioes de la otra icógita. Método de reducció Los pasos a seguir so: Ecotrar ecuacioes equivaletes a las dadas, tales que los coeicietes de ua de las icógitas sea los mismos. Restar las ecuacioes obteidas. Resolver la ecuació co la icógita que resulta. Sustituir la solució hallada e cualquiera de las dos ecuacioes iiciales para hallar el valor de la otra icógita. 9

20 Fució lieal Sistemas de ecuacioes lieales EJERCITACION. Idica si los siguietes gráicos correspode a ucioes de IR e IR. Justiica la respuesta: d) e). Ecuetra o g ( ) h o g ( ) o ( ) siedo: ( ) g ( ) h ( ). Graica e u mismo sistema de coordeadas: ( ) = ( ) ( ) d) ( ) = ( ) = - ( ) ( ) =.) Idica e cada uo de los icisos cómo so las rectas..) E cada ua de las rectas de y d) ecuetra las raíces, los cojutos de positividad y de egatividad y los itervalos de crecimieto y / o de decrecimieto..se predice la eistecia de ua relació lieal etre el precio de mercado de u producto y el úmero de uidades que los proveedores está dispuestos a itroducir e el mercado. Dos observacioes muestra que si el precio es $, la oerta mesual es 0000 uidades, y si el precio dismiuye e $, la oerta dismiuye e u %. 0

21 Determia la ució q = ( p ) que represete la oerta mesual. Se trata de ua ució creciete o decreciete? Por qué? Cuál es el meor precio que el mercado acepta? Por qué?. Dadas las siguietes ucioes de IR e IR : ( ) si si g ( ) 7 si si si Determia : ( ) ; ( - ) ; ( 6 ) ; g ( - ) ; g ( - ) ; g ( ) ; g ( ) ; g ( ). La gráica de cada ua de las ucioes. Idica si so cotiuas. d) C 0 ; C + ; C - e) Itervalos de crecimieto y de decrecimieto. ) Domiio e image de las ucioes y g. 6. Cuado ua empresa de colocació y moitoreo de alarmas cobra $ 70 mesuales, tiee.000 aboados. Si aumeta la cuota e $ mesuales, el úmero de aboados dismiuye a.700. Supoiedo que la epresió que idica la catidad C de aboados e ució del precio p es lieal, determia la ució C (p) que se ajusta a esos datos. 7. La demada de u artículo es p 0 ( p: precio ; : catidad demadad Calcula el precio para ua catidad demadada de : 9, 7 y artículos. Cuál es el mayor precio que se pagaría por dicho artículo?. Qué catidad se demadaría si el artículo uera gratis?. d) Graica. 8. Roaa busca trabajo, cosigue la propuesta de dos casas de veta de ropa de damas. E el egocio A, le orece $ 00 de sueldo mesual y ua comisió del % sobre el total de vetas mesuales (e pesos). E el local B le orece $ 000 mesuales y ua comisió del % sobre el total de vetas mesuales (e pesos). Escribe las ecuacioes de las ucioes lieales que represeta el sueldo mesual e cada caso Determia, si es posible, el total de vetas mesuales que debería producirse para que e ambos locales cobrara lo mismo. Si los ecargados de ambos locales asegura que mesualmete las vetas asciede a $ 0000, le coviee aceptar la propuesta del local A o B?.

22 9. Resuelve los siguietes sistemas de ecuacioes lieales co dos icógitas y represétalos gráicamete : y y y ) y 0 y e) 0 y y d) ) y ( y 6 y 9 y y y

23 RESPUESTAS Fució lieal Sistemas de ecuacioes lieales. Si. No, o cumple eistecia i uicidad. No, o cumple eistecia. d) No, o cumple eistecia i uicidad. e) No, o cumple eistecia g ( ) h 0 g ( ) 0 ( ) 9..) perpediculares paralelas perpediculares d) perpediculares.) C 0 C + C - Itervalo de crecimieto IR ; ; ; ; ; d) { - 6 } ; ; ( - ; - 6 ) ; ( - 6 ; + ) IR Itervalo de decrecimieto IR ; ; IR. q = (p) = 000 p 0000 es ua ució creciete, pues la pediete es positiva p =, ya que para valores de p meores que la oerta sería egativa y esto carece de setido ecoómico. () g() () = 8, (-) = -, (6) = - g(-) = -, g(-) =, g() = -, g() = -, g() = Discotiua e = Discotiua e = -

24 d) 7 7 C 0 C,, C 0, C, 7 C [, ) C,, e) I Crecimiet o, I Crecimiet o, I Decrecimie to, I Decrecimie to, ) Dom IR Im (,8] Dom g IR Im g [, ) 6. C(p) = - 0.p p, p 9 p 0 0 y p 8. Negocio A y = Negocio B y = $0.000 Coviee la propuesta del local A 9. S={(0 ; -)} S={( ; -)} S={(, )} d) S={(- ; - )} e) S={ } ) Iiitas solucioes

25 Fució poliómica Revisió teórica Toda ució : IR IR de la orma : () = a. a.... a. a. a0 a i IR Z + 0 se deomia ució poliómica de variable real. La epresió : P () = a. a.... a. a. a0 se deomia poliomio e ua idetermiada de Si a 0 etoces el grado del poliomio está dado por el epoete. Si P() = , es decir P() = 0 el poliomio se llama ulo y o tiee grado. Se llama ució poliómica de segudo grado a la ució : IR IR de la orma : ( ) = a + b + c La represetació gráica de la ució cuadrática es ua curva que se deomia parábola. Las coordeadas del vértice de la parábola V = ( v, y v ), b puede calcularse : v = - y v = ( v ) a El eje de simetría es la recta vertical cuya ecuació es : = v Si a > 0 las ramas de la parábola va hacia arriba, etoces el vértice es el puto míimo. Si a < 0 las ramas de la parábola va hacia abajo, etoces el vértice es el puto máimo. Ua ució cuadrática puede teer igua, ua o dos raíces reales distitas. Estas puede obteerse aalíticamete mediate la órmula resolvete de la ecuació de segudo grado a + b + c = 0, cuya epresió es: a es el coeiciete pricipal. a 0 es el témio idepediete de P ( ) Si el coeiciete pricipal es, el poliomio se dice móico o ormalizado. a, b, c IR y a 0 a, b y c se deomia coeicietes. c= ( 0 ) a : térmio cuadrático b : térmio lieal c : térmio idepediete = v es ua recta // al eje de las ordeadas, = b b.a.a.c = b. a.c se deomia discrimiate. Fórmula resolvete o de BHASKARA > 0 = 0 < 0 Raíces reales y Raíces reales Raíces o reales distitas iguales (raíz doble) La gráica corta al eje e dos putos. La gráica corta al eje e u puto. La gráica o corta al eje.

26 Teorema del resto El resto de la divisió de u poliomio P( ) por otro de la orma (, siedo a u úmero real es igual a P( (es decir, la especializació del poliomio P() e =. Raíces de u poliomio Si P( = 0 etoces a IR, es raíz o cero del poliomio P() =a es raíz de P() P( = 0 = a es raíz de P() P() es divisible por ( a ) U poliomio de grado tiee a lo sumo raíces reales La multiplicidad de ua raíz es la catidad de veces que esa raíz se repite como tal. Teorema de Gauss Si ua racció irreducible q p es raíz de u poliomio P ( ) co coeicietes eteros y térmio idepediete o ulo, etoces p divide al coeiciete idepediete y q divide al coeiciete pricipal de P ( ). Todo poliomio P() de grado, co raíces reales se puede actorizar a partir de sus raíces como : P() = a ( ).( )... ( ) pricipal y,,..., las raíces reales Gráico aproimado de ua ució poliómica dode a es el coeiciete El Teorema de Gauss permite determiar cuáles so las posibles raíces racioales de u poliomio de coeicietes eteros, la actorizació del poliomio y el aálisis de la ució poliómica asociada a él. Si el poliomio o tuviese todas sus raíces reales, aparecerá etre sus actores poliomios de grado par si raíces reales Para realizar el gráico aproimado de ua ució poliómica, es coveiete cosiderar : El domiio de la ució. Su epresió actorizada. La ordeada al orige a 0, que idica que la itersecció co el eje y es el puto ( 0, a 0 ). Las raíces, éstas permite idetiicar la o las iterseccioes co el eje. El orde de multiplicidad de las raíces, que idica si la gráica rebota o atraviesa el eje. orde de multiplicidad Gráica de la ució par Toca al eje pero o lo atraviesa impar Atraviesa al eje 6

27 Fució poliómica Ejercitació. Idica cuáles de las siguietes epresioes correspode a ucioes poliómicas. Justiica. ( ) ( ) ( ) : ( ) 6 6 ( ) 0, ( ) E las ucioes poliómicas señaladas e, idetiica el grado y el coeiciete pricipal.. Graica las siguietes ucioes determiado previamete : vértice, eje de simetría y raíces..) y = ; y = + ; y = + ; y = + ; y = +.) y = + ; y = ; y = 8 + Luego, para cada ua de ellas, ecuetra: domiio e image. Cojutos de positividad y de egatividad. Itervalos de crecimieto y de decrecimieto. d) Máimos ó míimos.. Si ( ) y g ( ), ecuetra, si es posible 0 g ( ) y g 0 ( ).. Completa el siguiete cuadro, luego de haber graicado cada ua de las ucioes idicadas. Fució Dom Im C 0 C + C Itervalos de crecimieto decrecimieto ( ) = ( ) =. Graica cada ua de las ucioes idicadas y completa el siguiete cuadro : Fució Dom Im Itersecció co el eje y C 0 C + C ( ) = - ( ) = 8 6. Dado el siguiete poliomio : P ( ) = , completa : El grado del poliomio es... 7

28 El térmio idepediete es... El coeiciete del térmio lieal es... El térmio de seto grado es... El coeiciete del térmio de quito grado es... El coeiciete pricipal es Dados los siguietes poliomios: A ( ) = ; B ( ) = - C ( ) = ; P ( ) = Q ( ) = + ; R ( ) = Calcula : A ( ) + C ( ) = B ( ) - P ( ) P ( ) = d) P ( ). Q ( ) = e) R ( ) - P ( ). Q ( ) = ) [ B ( ) ] = g) [ Q ( ) ] = h) [ B ( ) +. Q ( ) ] = i) P ( ) : Q ( ) = j) A ( ) : B ( ) = 8. Completa el cuadro : P ( ) = + Q ( ) = Dados los poliomios : P ( ) = , Q ( ) = +, R ( ) = y S ( ) =. Calcula aplicado Regla de Ruii : P ( ) : Q ( ) R ( ) : S ( ) R ( ) : Q ( ) Luego, veriica el resto mediate el Teorema del Resto. 0. Resuelve las siguietes divisioes: : ( - ) : ( 7 ) 8

29 . Cosidera los siguietes poliomios : P ( ) = Q ( ) = Idica si cada ua de las siguietes airmacioes so verdaderas o alsas. P ( 0 ) = Q ( 0 ) = - Q ( - ) = - d) Q ( - ) = - Q ( ) e) Q ( ) es divisible por ( ) ) P ( - ) = 0 g) P ( ) es divisible por ( ) h) El resto de dividir P ( ) por ( + ) es. Ecuetra las raíces racioales de los siguietes poliomios : P ( ) = Q ( ) = R ( ) = + - d) S ( ) = + 6. Factoriza los poliomios del ejercicio aterior.. Factoriza los siguietes poliomios: = - 6 = = d) = e) = ) = g) = h) + 0 = i) 6 6 =. Escribe la orma actorizada de los siguietes poliomios : + = 6. Factoriza el poliomio P ( ) = sabiedo que es raíz de multiplicidad y es raíz simple. Cuál o cuáles so las otras raíces?. Factoriza el poliomio P ( ) = sabiedo que es raíz de multiplicidad y - es raíz simple. Cuál ó cuáles so las otras raíces?. 7. Qué grado de multiplicidad tiee cada ua de las raíces de : P( ) = ( - ). ( - ). ( + )?. cuáles so dichas raíces?. Realiza el gráico aproimado. Determia C + y C 9

30 Qué grado de multiplicidad tiee cada ua de las raíces de : P( ) = ( + ). ( + ). ( + ). cuáles so dichas raíces?. Realiza el gráico aproimado. Determia C + y C 8. Resuelve la siguietes ecuacioes e IR : ( ) = 6 ( ) = ( ) + 0 ( + 0 ) 6 ( ) ( ) ( + ) = - ( + ) Idica si cada ua de las siguietes airmacioes so verdaderas o alsas. Justiica e caso de ser Falsa. La úica raíz de h ( ) = ( ) es y su multiplicidad es. Para g ( ) = ( + ), C + es el cojuto vacío. E ( ) = ( )., C + = ( -, ) (, + ). 0. Completa sobre la líea puteada para que las proposicioes resulte verdaderas: El grado de ( ) = ( + ) , es... Si ( ) =, etoces C + =... Dado el poliomio P ( ) = +, etoces P ( 0 ) =..., P ( ) =..., P ( ) =..., P ( - ) =.... Graica aproimadamete las siguietes ucioes poliómicas determiado previamete: raíces, multiplicidad, C + y C e iterseccioes co los ejes coordeados. ( ) = + g ( ) = ( ) ( ) w ( ) = ( ) ( ) d) r ( ) = +. Completa segú se idica : Poliomio P ( ) Factorizació de P ( ) Raíces reales de P( ) Multiplicidad de cada raíz Grado de P ( ) P ( ) = ( 9 ) P ( ) = ( + ) ( + ) 0

31 P ( ) = P ( ) = 6 9 P ( ) = ( ). Graica cada ució deiida e IR, idica Domiio e Image. ( ) si si si 0 0 ( ) ( ) 9 ( 6 ) si si si. Observa los gráicos de las ucioes ( ) y g ( ) de grados y tres respectivamete : () g() Completa sobre la líea puteada cada ua de las siguietes proposicioes: La itersecció de ( ) co el eje y es el puto (...,... ). E ( ), la raíz =..., es ua raíz... ; =..., es ua raíz.. E ( ), C + =... y C =... d) Im =... e) La itersecció de g ( ) co el eje y es el puto (...,... ). ) E g ( ), la raíz =..., es ua raíz... ; =..., es ua raíz....y =..., es ua raíz....

32 g) E g ( ), C + =... y C =... h) Im g =.... Observa el gráico de la ució ( ) y completa sobre la líea puteada cada ua de las proposicioes: La itersecció de ( ) co el eje y es el puto (...,... ). C 0 =... E ( ), la multiplicidad de cada ua de las raíces es impar para. y par para E ( ), C + =... y C =... Im =...

33 RESPUESTAS Fució poliómica. So ucioes Grado Coeiciete pricipal poliómicas - 6 0,..) y = y = + y = + y = + y = + Vértice (0 ; 0) (0 ; ) (0 ; ) (- ; -) ( ; ) Eje de Simetría Raíces = 0 = 0 = 0 = - = = 0 = - = = - = 0 = 0 = y = y = + y = + y = + y = + Dom e Dom = IR Im Im = [0 ; + ) C + C + = C - (- ; )U(0 ; + ) C - = Dom = IR Im = [ ; + ) C + = IR C - = Dom = IR Im = (- ; ] C + =(- ; ) C - = (- ; -) U ( ; + ) Dom = IR Im = [- ; + ) C + =(- ; ) U (0 ; + ) C - = (- ; 0) Dom = IR Im = (- ; ] C + =(0 ; ) C - = (- ; 0) U ( ; + ) Crec. Decrec. Má Rel Mí rel Crece e (0 ; ) Decrece e (- ; 0) No tiee (0 ; 0) Crece e (0 ; ) Decrece e (- ; 0) No tiee (0 ; ) Crece e (- ; 0) Decrece e (0 ; ) (0 ; ) No tiee Crece e (- ; ) Decrece e (- ; -) No tiee (- ; -) Crece e (- ; ) Decrece e ( ; ) ( ; ) No tiee.) y = + y = Vértice ( ;) ( ;-,) (- ; 9) Eje de Simetría = = - = Raíces = - = = -, = 0, y = 8 + Dom e Im y = + Dom = IR Im = [ ; + ) y = Dom = IR Im = [-, ; ) y = 8 + Dom = IR Im = (- ; 9]

34 C + C - C + = IR C - = C + = (- ; -) U ( ; + ) C - = (- ; ) C + = (-, ; 0,) C - = (- ; -,) U (0, ; + ) Crec. Decrec. Má Rel Mí rel Crece e ( ; ) Decrece e (- ; ) No tiee ( ; ) Crece e ( ; ) Decrece e (- ; ) No tiee ( ;-,) Crece e (- ; -) Decrece e (- ; ) (- ; 9) No tiee. ( g ( ) )= g ( ( ) )=. Fució Dom Im C 0 C + C Itervalos de crec Decrec ( ) = IR [0, +) {0} IR-{0} (0, +) (-, 0) ( ) = IR [-,+) ; (-,- ) (, +) (- ; ) (0, +) (-, 0). Fució Dom Im Itersecció C 0 C + C co el eje y ( ) = - IR IR (0,0) {0} (-, 0) (0, +) ( ) = 8 IR IR (0,-8) {} (, +) (-, ) 6. El grado del poliomio es 7 El térmio idepediete es - El coeiciete del térmio lieal es 7 El térmio de seto grado es -, El coeiciete del térmio de quito grado es El coeiciete pricipal es A() + C() = B() P() = P ( ) = + d) P(). Q() =

35 e) R() P(). Q() = ) [ B() ] = 6 + g) [ Q ( ) ] = h) [ B ( ) +. Q ( ) ] = i ) Cociete: Resto: j) Cociete: + Resto: P ( ) = + Q ( ) = Cociete: Resto: -86 Cociete: Resto: Cociete: Resto: Cociete: - + Resto: - Cociete: + Resto: 0. F, P ( 0 ) = F, Q ( 0 ) = - V d) F, - Q ( ) = 0 e) V ) V g) F, pues P() 0 h) V. = ; = - y = - = (de multiplicidad ) = 0; = ; = - y = - d) = -

36 . P() =. ( )( + )( +) Q() = ( ) ( + ) R() = ( )( + )( +) d) S() = ( + )( - )( + ). 7 ( + 0,) 9 ( + ) ( - ) ( 6 + ) 9 ( ) ( +) d) ( + ) ( 9 ) e) ) ( - ) ( ) 8 6 g) - 8 ( - ) h) ( + )( - )( + ) i) ( ) ( + ) ( ). ( + )( )( + ) ( + ) ( ) 6. P() = ( ) ( - )( + ) La otra raíz es / y es raíz simple P() = ( ) ( + )( - ) La otra raíz es / y es raíz simple 7. = de multiplicidad = de multiplicidad = - simple C + = (-, -) (,) (, + ) C - =(-,) = - de multiplicidad 6

37 = - simple = - de multiplicidad C + = (-, -) (-,-) (, + ) C - =(-,-) 8. S = {} S = {,, } S = {,, } 9. F, = 0 tambié es raíz de h() F, C + = ( -, + ) F, C + = (0, ) (, + ) 0. (-, ) P ( 0 ) =, P ( ) = -, P ( ) = -6, P ( - ) = 9. ució raíces multiplicidad C + C -itersecc. y-itersecc. ( ) = = - simple (, + ) ( -,- ) (-,) (,0) y (-,0) (0,-) g ( ) = = simple (,) (, + ) ( -, ) (,0) y (,0) (0,-9) w ( ) = = = - simple simple simple (-,) (, + ) ( -,- ) (,) (-,0), (,0) y (0,) (,0) r ( ) = 0 = = -. Poliomio P ( ) simple simple ( -,- ) (-,0) (, + ) Factorizació De P ( ) (0,) (0,0), (, 0) y (-,0) Raíces reales de P( ) P ( ) = ( 9 ) ( + )( - ) = 0 = - = Multiplicidad de cada raíz simples P ( ) = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) = - doble (0,0) Grado de P ( ) P ( ) = ( + )( - ) = 0 = - Doble simple 7

38 = P ( ) = 6 9 = 0 6 ( + )( - ) = -/ = / P ( ) = ( ) ( + ) ( - ) = - = simple simples Dobles. Dom = R Dom = R Im = ( -, ] Im = R. ( 0 ; 00 ) =, es ua raíz doble ; = 7, es ua raíz doble C + = ( - ; ) (, 7 ) ( 7, + ) C = d) Im = [ 0 ; + ) e) (0, 0) ) = -, es ua raíz simple ; = 0, es ua raíz simple y =, es ua raíz simple g) C + = ( -, 0 ) (, + ) y C = ( -, - ) ( 0, ) h) Im g = IR. La itersecció de ( ) co el eje y es el puto ( 0, ). C 0 = { - ; ; } E ( ), la multiplicidad de cada ua de las raíces es impar para - y y par para E ( ), C + = (-, ) (, ) y C = (-, -) (, ) Im = (-, ] 8

39 Fució racioal e irracioal Revisió teórica Ua epresió algebraica racioal es de la orma P() y Q() so poliomios y Q() 0. P(), dode Q() Ua epresió algebraica racioal es irreducible si o eiste e ella actores comues al umerador y deomiador. Se deomia ució racioal a toda ució : A B tal que P() () =, dode P() y Q() so poliomios y Q() 0. Q() El domiio de ua ució racioal es el cojuto de valores de la variable idepediete que o aula el deomiador. Para realizar el gráico aproimado de ua ució racioal, se debe: Determiar el domiio de ( ). Hallar la itersecció co el eje y, la cual eiste si 0 (cero) perteece al domiio de la ució y es el puto (0; (0)). Hallar las raíces o ceros de la ució, que so los valores que perteece al domiio de la misma y que aula la ució, o sea, las raíces del umerador. P() Calcular la asítota vertical de ( ) =. Q() Para ello, se debe trasormar ( ) e epresió racioal irreducible, luego se busca el valor a para el cual se aula el el deomiador pero o el umerador, etoces : = a es asítota vertical (A.V.) Calcular la asítota horizotal, que e ua ució racioal eiste si el grado del poliomio umerador es meor o igual al grado del poliomio deomiador. gr P() < gr Q() y = 0 es asítota horizotal (A.H.) gr P() > gr Q() o tiee AH. gr P() = gr Q() y = coeiciete pricipal de P() coeiciete pricipal de Q() es A.H. Se deomia ecuació racioal a toda epresió del tipo : P() = 0 co Q() 0. Q() Resolverla sigiica hallar los valores de que perteezca al domiio de la ució racioal asociada y que aule el umerador 9

40 Ua ució irracioal y = () es aquella que puede obteerse eectuado sobre la variable de la operació de radicació. y = () Para determiar el domiio de ua ució irracioal, se ha de discrimiar dos casos e relació al ídice. (*) Para graicar es coveiete idicar, e primer térmio el domiio, para luego coeccioar la tabla co valores del domiio que acilite los cálculos. (*) Si es par, la ució está deiida cuado el radicado es positivo o ulo. Si es impar, la ució está deiida para todo valor de. E el caso e que () sea raccioaria, deberá teerse e cueta las restriccioes del domiio para este tipo de epresioes. 0

41 Fució racioal e irracioal Ejercitació. Escribe verdadero ( V ) o also ( F ) segú correspoda : es ua epresió algebraica racioal. ( ) es ua epresió algebraica racioal cuyo domiio es IR { }. ( ) o es ua epresió algebraica racioal. ( ) d) La simpliicació de co, es. ( ). Simpliica, si es posible, cada racció algebraica e idica todos los valores reales de la variable para los cuales la simpliicació es válida : d) Realiza las siguietes operacioes y simpliica el resultado cuado sea posible: d) : g) 8 : 8 7 ) e). Represeta gráicamete las siguietes ucioes, determiado previamete su domiio : ) ( ) ) ( e) ) ( d) ) ( ) ( ) ( Luego, para cada ua de ellas, ecuetra:.) Im ( )..) Cojutos de ceros, de positividad y de egatividad..) Itervalos de crecimieto y de decrecimieto.

42 . Cosidera las ucioes y completa el siguiete cuadro : ( ) Dom C 0 Asítotas verticales Asítotas horizotales Im ) ( ) ( ) ( ) ( 6. Resuelve las ecuacioes teiedo e cueta el domiio de la ució racioal asociada a cada ua : 0, g) ) e) d) 6 m m a a 7. Ecuetra aalíticamete el domiio de cada ua de las siguietes ucioes y graica. ) ( d) ) ( ) ( ) ( Luego, para cada ua de ellas, ecuetra: 7.) Im. 7.) Cojutos de ceros, de positividad y de egatividad. 7.) Itervalos de crecimieto y de decrecimieto. 8. Idica el domiio de las siguietes ucioes : 6 ) ( e) 6 ) ( d) ) ( ) ( ) (

43 9. Ue co ua lecha cada órmula co el gráico de la ució racioal correspodiete : ) ( ) ( ) ( d) ) ( 0. Graica las siguietes ucioes e IR : si si si ) ( si 9 6 si ) ( si 0 si 0 si ) (

44 Luego, para cada ua de ellas, ecuetra: 0.) Domiio e image. 0.) Cojutos de ceros, de positividad y de egatividad. 0.) Itervalos de crecimieto y de decrecimieto.. Marca co ua cruz la respuesta correcta : Si ( ), etoces : Dom = IR { -, } y C 0 = { -, } Dom = IR {, } y C 0 = { } Dom = IR { -, 0, } y C 0 = { - } Nigua de las ateriores Si ( ), etoces : Dom = IR { - ; - } y C 0 = { } Dom = IR { - ; - } y C 0 = { - ; } Dom = IR { - ; } y C 0 = { - } Nigua de las ateriores

45 RESPUESTAS Fució racioal e irracioal. F V V d) F. d) ( ). 8 ( ) ( ) 0 ( )( ) IR ( ) ( ) d) 6 ( ) ( ) e) ( 0,) IR ;0 ) ( ) ( )( 9) IR 9 g) ( 0,) IR ( )( ) ;. () Domiio Image IR - IR - d) e) ) IR - IR - IR - IR-, IR - IR - IR - IR - 0, IR-, (, ) ( 0, )

46 () C 0 C + C - Crecimieto decrecimieto. 0 (,0) (, ) ( 0, ) IR - (, ) (, ), ) ( IR - (, ) (, ) (, ) IR - d) 7 7, (, ) 7, IR - e) (, ) (, ) (,, ) IR-, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (,,0) ( 0, ) (, ). () Dom C 0 A. vert. A. horiz. Im IR-{0} {-} =0 y= IR-{} IR-{.-} {} =- y=- IR-{-} IR-{.-} {} IR-{-} IR-{} = y=0 IR-{0} 6. S={} S={-;-} S={0} d) S={} e) S={} ) S={- 9 7 } g) S={- } 7. () Dom Im C 0 C + C - Crec. Decrec. ( ) IR IR {} (;) ( ; ) IR ( ) ; ) (;0 {-} ( ; ) ( ; ) 6

47 ( ) [ 0; ) (; ( ), [ 0; ) {-;}, 8. Dom: ; d) Dom: ( ; ; ) (; ) (; ) (; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) Dom : IR Dom: (; e) Dom : ; 9. gráico gráico gráico d) gráico 0. Dom Im C 0 C + C - Crec.. Decrec R (;0 {} R (;0 {} R ( ; (0; ; ) ( ;) ( ;) (; ) (;) ( ;) (; ) ( ; ) (; ) ( ;0 (;0 ) (0;) ;. igua de las ateriores C 0 = Dom : IR ;0; Primera opció Dom = IR { - ; - } y C 0 = { } 7

48 Fució epoecial Revisió teórica Es toda ució : IR IR / () = k. a, dode k IR - { 0 }, a IR +, a. Si k =, la ució resulta ( ) = a y su gráica puede distiguirse de acuerdo a los valores que toma a e : a > 0 < a < k y a so úmeros reales co la restricció k 0, a > 0 y a Dom = IR Im = IR + Asítota horizotal : y = 0 ( eje ) La ució epoecial () = a corta al eje y e el puto (0, ), pues para todo a 0, a 0 = La ució epoecial () = a o preseta ceros. C + = IR y C - = { }. Fució logarítmica: Es toda ució : IR + IR / ( ) = log a, dode a IR + - a > 0 < a < Si a >, la ució es estrictamete creciete y si 0 < a <, la ució es estrictamete decreciete. La ució epoecial () = a, o tiee asítota vertical. es ua ució biyectiva, es decir que admite ució iversa. ( :IR + ->IR) Logaritmo de u úmero: deiició Dados dos úmeros reales positivos b y a (tal que a ), se llama logaritmo e base a del úmero b (y se simboliza log a b ) al epoete al que hay que elevar al úmero a para obteer el úmero b. E símbolos: b > 0, a > 0, a log a b = a = b La ució iversa de la ució, la deomiamos ució logarítmica de base a. Dom = IR + Asítota vertical : = 0 ( eje y ) Im = IR a : base del logaritmo b : argumeto Propiedades: log a a = ; pues a = a para todo a IR + - {} log a = 0 ; pues a 0 = para todo a IR + - {} 8

49 log a (. y) = log a + log a y ; IR + ; y IR + log a ( : y) = log a - log a y ; IR + ; y IR + log a y = y. log a ; IR + ; y IR log a y = log a log log a = y y a y. log a ; y IN {} y Los logaritmos de base 0 se deomia logaritmos decimales y, geeralmete, o se idica la base e la otació: log 0 = log Los logaritmos de base e se deomia logaritmos aturales o eperiaos. Notació: log e = l log a a Cambio de base: log c b = log log a a b c log b lb = = log c lc ; ( siedo c > 0 y c ) 9

50 Fució epoecial y logarítmica Ejercitació. Represeta gráicamete las siguietes ucioes, e u mismo sistema de coordeadas cartesiaas : a ) ( ) ( ) ( ) e ; ; g g ( ) ( ) Completa las siguietes airmacioes : Todas las ucioes graicadas pasa por el puto (...,...). Las ucioes... y... ;... y... so simétricas co respecto al eje de ordeadas. Las ucioes... ;... y... so crecietes. Las ucioes... y... so decrecietes. Segú las observacioes aotadas ateriormete, completa las siguietes coclusioes : Si ( ) a, a IR Todas las ucioes de la orma ( ) pasa por el puto (...,...). Si a >, los valores de ( )... al aumetar, etoces ( ) es... Si 0 < a <, los valores de ( )... al aumetar, etoces ( ) es... ( ) a y g ( ) =... so simétricas co respecto al eje y. Dom =... ; Im =... y =... es asítota horizotal de ( ).. Represeta gráicamete las siguietes ucioes, e u mismo sistema de coordeadas cartesiaas: a ) ( ). ; g ( ). ( ). ; g ( ). Segú los gráicos ateriores, completa las siguietes proposicioes : Si ( ) k. a, k 0 ; a 0 y a Las ucioes de la orma ( ) pasa por el puto (...,...). Si k > 0, la gráica de ( ) está icluída e el semiplao...respecto del eje de abscisas. Si k < 0, la gráica de ( ) está icluída e el semiplao...respecto del eje de abscisas. Dom =... ; Im =... Dom =... ; Im =... Dom g =... ; Im g =... 0

51 Dom g =... ; Im g =.... Represeta gráicamete las siguietes ucioes : a ) ( ) ( ) ( ) Segú los gráicos ateriores, completa las siguiete proposició : Si ( ) a c ; a IR { }, etoces : Dom =... ; Im =.... Resuelve las siguietes ecuacioes epoeciales y escribe el cojuto solució: d) e). 9 : ). g) 0.. Calcula los siguietes logaritmos aplicado la deiició : e) log log 8 9 ) log log log g) log 8 0, d) h) log log Halla los siguietes logaritmos co la calculadora ( co redodeo a los cetésimos ) : log, log 0,08 l, d) l 0,67 e) log ) log g) log,6 h) log e 7. Represeta gráicamete las siguietes ucioes, e u mismo sistema de coordeadas cartesiaas: ( ) log ( ) log ( ) l ; ; ( ) ( ) log log Todas las ucioes graicadas pasa por el puto (...,...). Las ucioes... y... ;... y... so simétricas co respecto al eje de abscisas. Las ucioes... ;... y... so crecietes. Las ucioes... y... so decrecietes. Segú las observacioes aotadas ateriormete, completa las siguietes coclusioes :

52 Si : IR APROXIMACIÓN A LA MATEMÁTICA IR / ( ) log a, co a IR Todas las ucioes de la orma ( ) pasa por el puto (...,...). Si a >, los valores de ( )... al aumetar, etoces ( ) es... Si 0 < a <, los valores de ( )... al aumetar, etoces ( ) es... ( ) log y g ( ) =... so simétricas co respecto al eje. a Dom =... ; Im =... =... es asítota vertical de ( ). 8. Graica las siguietes ucioes, hallado previamete su domiio : ( ) ( ) log log ( ) ( ) d) ( ) ( ) Luego, para cada ua de ellas, ecuetra : Im ( ). Cojutos de ceros, de positividad y de egatividad. Itervalos de crecimieto y de decrecimieto. Asítotas. log log 9. Determia el domiio de ( ) : ( ) ( ) e) ( ) log log log ( ) ( ( 6 ) 6 ) ( ) d) ( ) ) ( ) l ( ) log log ( ) ( ) 0. Resuelve las siguietes ecuacioes y escribe el cojuto solució :. + + = = 0 e e + = 0 d) + + = e). 9. = - ) - + = g) 8 h) 9 0 i) log 7 k) log log 0 m) log log 6 log j) l) log log ) log ( 0 )

53 . Si, y, z IR +, epresa como u solo logaritmo: log ( + y ) log y 6 log + log ( + y ) log + z log ( + y ) d) log + ( log y log z) e) log + log y + log z 6. Si log b m 6 y log b p 9 etoces: log b ( m. p) log b ( m : p ) log b ( m. b ) d) log b m. Si a b, c 0, d 0 y ( a b ) m etoces log m = c. d. Si a > 0, b > 0, b, a > c y a c b, etoces es igual a :. Si a + b 0 y a b. a b m etoces log m = a b

54 RESPUESTAS Fució epoecial y logarítmica. Todas las ucioes graicadas pasa por el puto ( 0, ). Las ucioes y g ; y g so simétricas co respecto al eje de ordeadas. Las ucioes ; y so crecietes. Las ucioes g y g so decrecietes. Si ( ) a, a IR Todas las ucioes de la orma ( ) pasa por el puto ( 0, ). Si a >, los valores de ( ) aumeta al aumetar, etoces ( ) es creciete Si 0 < a <, los valores de ( ) dismiuye al aumetar, etoces ( ) es decreciete ( ) a y g ( ) = Dom = IR ; Im = IR + y = 0 es asítota horizotal de ( ). so simétricas co respecto al eje y. a. Si ( ) k. a, k 0 ; a 0 y a Las ucioes de la orma ( ) pasa por el puto ( 0, k ). Si k > 0, la gráica de ( ) está icluída e el semiplao superior respecto del eje de abscisas. Si k < 0, la gráica de ( ) está icluída e el semiplao ierior respecto del eje de abscisas. Dom = IR ; Im = IR + Dom = IR ; Im = IR + Dom g = IR ; Im g = IR - Dom g = IR ; Im g = IR -. Si ( ) a c ; a IR { }, etoces : Dom = IR ; Im = ( c, + ). S S S d) S e) S ) S g) S

55 . 0 d) e) ) g) / h) / 6.,09,7, d) -0, e),8 ),9 g),88 h), 7. Todas las ucioes graicadas pasa por el puto (, 0 ). Las ucioes y ; y so simétricas co respecto al eje de abscisas. Las ucioes ; y so crecietes. Las ucioes y so decrecietes. Si : IR IR / ( ) log a, co a IR Todas las ucioes de la orma ( ) pasa por el puto (, 0 ). Si a >, los valores de ( ) aumeta al aumetar, etoces ( ) es creciete Si 0 < a <, los valores de ( ) dismiuye al aumetar, etoces ( ) es decreciete ( ) log y g ( ) = log /a so simétricas co respecto al eje. Dom = IR + ; Im = IR a = 0 es asítota vertical de ( ). 8. Dom ( ) = ( -, + ) Dom ( ) = ( 0, + ) Im ( ) = IR Im ( ) = IR C 0 = 0 C 0 = C + = 0, C + =, C - =,0 C - = 0, Itervalos de crecimieto :, 0, Itervalos de decrecimieto : Itervalos de decrecimieto : Asítotas verticales : = - Asítotas verticales : = 0 d) Dom ( ) = ( -, 0 ) Dom ( ) = ( 0, + ) Im ( ) = IR Im ( ) = IR Itervalos de crecimieto :

56 C 0 = C 0 = 8 C + =, C + = 0, 8 C - =,0 C - =, 8 Itervalos de crecimieto : Itervalos de crecimieto : Itervalos de decrecimieto :,0 Asítotas verticales : = 0 Asítotas verticales : = 0 9. Dom =, Itervalos de decrecimieto : 0, Dom =,,,, Dom =,, d) Dom =, e) Dom = ) Dom =,0 0, 0. S S 0 S l d) S 6 e) S 0, ) S g) 8 7 S h), S i) 0, 0 S j) S 7 k) S 8 l) S m) S ) S o) S p) 7 S q) S r) S, s) 9, 7 S t) S. y log y log 6 y log y z d) log y z e) log 6 y z. 7 7 d) 8. log m log (a b ) log c log d. log ( a c ) log b 7. log m log ( a 6 6

57 Fucioes trigoométricas Revisió teórica Águlos orietados Si se cosidera e el plao u puto o y dos semirrectas co orige e dicho puto ( or y os ), se llama águlo orietado ros ( ) al águlo geerado por la rotació, e setido cotrario a las agujas del reloj, de la semirrecta or hacia la posició de la semirrecta os. es u águlo positivo es u águlo egativo, está geerado e el setido de las agujas del reloj Sistemas de medició de águlos Para medir águlos se puede utilizar tres sistemas: seagesimal, radial o circular y cetesimal. Los más utilizados, so los dos primeros. Sistema seagesimal E este sistema, la uidad de medida es el grado seagesimal, que se deie como la oveta-ava parte de u águlo recto. Sistema circular E geeral, la medida de u águlo se obtiee : º = R R = 90 º 90 y med med log arco log radio IR s om o s m s = arco m 7

58 E el sistema circular, la uidad de medida es el radiá, que se deie como la medida del águlo cetral α que abarca u arco que es igual al radio de la circuerecia. Si om s med = radiá Los ejes e y divide al plao e cuatro regioes llamadas cuadrates. I cuadrate: >0, y>0 II I II cuadrate: <0, y>0 III cuadrate: <0, y<0 III IV IV cuadrate: >0, y<0 U radiá es el águlo cuyo arco mide lo mismo que el radio de la circuerecia Cada vez que se idique la amplitud de u águlo co u úmero real, sigiicará aquel cuya medida e radiaes sea ese úmero. Equivalecias etre los sistemas de medició de águlos: Razoes trigoométricas Seagesimal Circular giro 60º rad llao 80º rad recto 90º rad Si se cosidera e el plao cartesiao el puto p = (, y) (distito del orige) y el vector op, queda determiado u águlo co el semieje positivo de las abscisas ( o ). : abscisa de p y : ordeada de p : medida del radio vector y y o p : ( rho) letra griega Los sigos de las razoes trigoométricas está asociados a los de las coordeadas de los putos del lado ial Por Teorema de Pitágoras: y > 0 Cosiderado las posibles razoes etre, y, se deie : seo de = ordeada radio vector se = y coseo de = abscisa radio vector cos = 8

59 tagete de = 0 ordeada abscisa tg = y ; abscisa cotagete de = ordeada cotg = y ; y 0 secate de = radio vector abscisa sec = ; 0 cosecate de = radio vector ordeada cosec = ; y 0 y Relacioes udametales etre las razoes trigoométricas de u águlo Relació Pitagórica se + cos = cos = - se se = - cos se tg ; cos 0 cos cos cot g ; se 0 se sec ; cos 0 cos cos ec ; se 0 se cot g ; tg 0 tg + tg = + cotg = cos se Circuerecia trigoométrica Es aquella que tiee cetro e el orige de coordeadas y como radio la uidad. Las razoes trigoométricas depede de la amplitud de cada águlo, 9

60 es decir, se deie e ució de ellos. Gráicas de ucioes trigoométricas Gráico de la ució seo Sea : IR IR / () = se ; su gráica es :, se, cos Dom = IR Im = ; Cotiua e IR Período: Gráico de la ució coseo Sea : IR IR / () = cos ; su gráica es : Dom = IR Im = ; Cotiua e IR Período: Gráico de la ució tagete Sea : IR IR / () = tg ; su gráica es : Dom = IR Im = IR k / Discotiua e = + k k Z ; k Z 60

61 Período: Viculado las relacioes udametales etre las razoes trigoométricas de u águlo y el aálisis de los gráicos : Si Si Si Si se tg Dom tg = / cos 0 cos C 0 = / se = 0 cos cot g Dom cotg = / se 0 se C 0 = / cos = 0 sec Dom sec = / cos 0 cos C 0 = cos ec Dom cosec = / se 0 se C 0 = Recordar que: y ( ) so complemetarios pues : ( ) + =, sec, cosec y ( ) so suplemetarios pues : ( ) + = y ( + ) diiere e pues : ( + ) = y ( - ) so opuestos pues : + ( - ) = 0 Fucioes trigoométricas iversas Si cosideramos que la ució ( ) = se, admite iversa e el itervalo ;, etoces Dom = ; Su ució iversa ( ) = arc se Su Domiio es Dom = - ; y su Image Im = ; e Im = - ; Si cosideramos que la ució ( ) = cos, admite iversa e el itervalo 0 ;, etoces Dom = 0 ; e Im = - ; Su ució iversa ( ) = arc cos Su Domiio es Dom = - ; y su Image Im = 0 ; E cuato a ( ) = tg admite iversa e Dom = ; e Im = IR Su ució iversa ( ) = arc tg ;, etoces 6

62 Su Domiio es Dom = IR y su Image Im = Fucioes trigoométricas ; Ejercitació. Covierte e radiaes las siguietes medidas dadas e el sistema seagesimal : 60 º 0 º º d) º e) 0 º 8 ) 0 º. Covierte al sistema seagesimal las siguietes medidas dadas e el sistema circular : d) 6 e),8 ) 0,7. Aaliza las siguietes epresioes y luego, idica verdadero ( V ) o also ( F ) y justiica la respuesta : 7 perteece al cuarto cuadrate. ˆ 0 º equivale aproimadamete e el sistema circular a 7,. Completa el siguiete cuadro : radiaes. Puto perteeciete al lado ial de (, ) (, - ) ( - 6, - 8 ) ( -, ) Cuadrate se cos tg cotg sec cosec. Observa los gráicos de ( ) = se ; ( ) = cos y ( ) = tg Determia Domiio e Image de las tres ucioes. Completa los siguietes cuadros : E [ 0, ) C 0 C + C - ( ) = se ( ) = cos ( ) = tg E [ 0, ) Itervalos de crecimieto ( ) = se Itervalos de decrecimieto Valor máimo Valor míimo ( ) = cos 6

63 ( ) = tg 6. Veriica las siguietes idetidades, previa determiació de su domiio de validez : cosec cos. cotg = se ( se cos ) ( se + cos ) = se ( se + cos ) ( cosec sec ) = cotg tg d) cos. ( sec tg ) = cos e) tg. ( cos cosec ) = se sec ) se cos = se cos 7. Determia, si eiste, los 0, que veriica : se = 0 tg ( ) = cos + cos = 0 d). ( + se ) = 7 + se e) cotg = 0 ). tg ( + 6 ) = 6

64 RESPUESTAS Fucioes trigoométricas. 7 6 d) 0 e),6 ),. 0º º0' º d) 0º e)60º'" ) 0º6'". V F. Puto Cuadrate se α cos α tg α cotg α sec α cosec α (, ) primero (, -) cuarto (-6, -8) tercero (-, ) segudo. Dom se = IR ; Im se = [ -, ] Dom cos = IR ; Im cos = [ -, ] Dom tg = IR / k, k Z ; Im tg = IR () se () cos () tg C 0 0, 0,,, 0, 0, 0, C,,, C,, 6