Facultad de Ingeniería y Ciencias Agropecuarias FICA CURSO DE INGRESO

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1 Facultad de Igeiería y Ciecias Agropecuarias FICA CURSO DE INGRESO MATEMÁTICA 015

2 CONTENIDOS CONCEPTUALES: UNIDAD I. NÚMEROS. Clasificació. Operacioes co úmeros racioales. Notació cietífica. Operacioes co úmeros reales: suma, diferecia, producto, cociete, poteciació, radicació. Ejercicios combiados. Logaritmos, cambio de base, propiedades y ecuacioes logarítmicas. Uso de la calculadora. UNIDAD II. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Moomios. Poliomios. Operacioes co epresioes algebraicas eteras. Operacioes co Poliomios. Epresioes algebraicas. Divisió. Regla de Ruffii. Teorema del Resto. Operacioes algebraicas. Factoreo, distitos casos. Operacioes co epresioes algebraicas fraccioarias. Simplificació de epresioes algebraicas. UNIDAD III. ECUACIONES. Ecuació lieal. Iecuacioes. Fució lieal. Pediete, ordeada, itersecció co ejes. Rectas paralelas y perpediculares. Sistemas de ecuacioes lieales, distitos métodos de resolució, uso de la calculadora. Plateo de situacioes problemáticas. Fució cuadrática. Formula resolvete de la ecuació de segudo grado. Eje de simetría. Vértice. Discrimiate. Gráficos. Situacioes problemáticas. Ecuació de segudo grado. UNIDAD IV. TRIGONOMETRÍA. Sistemas de medició de águlos. Líeas trigoométricas. Relacioes fudametales. Idetidades trigoométricas. Semejaza de triágulos. Resolució de triágulos rectágulos. Uso de la calculadora. Triágulos oblicuágulos. Teorema del seo y coseo. Problemas de aplicació. BIBLIOGRAFÍA: Matemática l, ll, y lll. Polimodal. Editorial Satillaa. Matemáticas Bachillerato l, ll y lll. Miguel de Guzmá. Editorial Aaya. Matemática 1,, 3, 4 y 5 Editorial AZ. Álgebra y Trigoometría. Staley A. Smith-Radall l. Charles-Joh A. Dossey- Mervi L. Keedy- Marvi L. Bittiger. Ed. Addiso Wesley Logma. Matemática l, ll, lll y IV Tapia. Editorial Estrada. Aritmética y Algebra 3. Repetto-Liskes. Fesquet. Editorial Kapeluz Matemática para igresate. Seguda edició 005. Editorial UNSL

3 UNIDAD I NÚMEROS REALES 3

4 Al fializar esta uidad, el alumo deberá ser hábil e: Idetificar los distitos tipos de úmeros. Represetar los úmeros e la recta real. Distiguir relacioes de orde etre los úmeros reales. Operar co úmeros reales aplicado correctamete las propiedades de cada operació. Operar co úmeros reales e la forma de otació cietífica. Compreder la importacia de las fucioes epoeciales y logarítmicas. Aplicar las propiedades de cada ua de ellas e la resolució de ecuacioes epoeciales y logarítmicas. Emplear los coocimietos aprehedidos e esta uidad e la resolució de situacioes problemáticas de la vida cotidiaa. CONJUNTOS NUMÉRICOS Cuado el hombre tuvo la ecesidad de cotar y ordear, utilizó los úmeros 1,,3,4,5,6,.., que deomiamos Números Naturales que lo represetamos co la letra. Co este cojuto de úmeros podemos realizar las operacioes de suma, resta, multiplicació, divisió, poteciació co epoete atural, radicació, siempre y cuado al ejecutar ua de esas operacioes obtegamos como resultado otro úmero atural. Pero eiste ciertas restas como 9 1 que o da u úmero atural, aparece aquí los Números Eteros que se deota co la letra. Este cojuto está formado por los aturales, los úmeros egativos y el cero. Si realizamos la siguiete operació etre dos úmeros eteros: 8/4, da otro etero ; pero 8/3 o da u úmero etero. Etra e juego aquí los Números Racioales o Fraccioarios que se simboliza co la letra. Los úmeros fraccioarios, que tambié puede epresarse como úmeros decimales, los podemos clasificar e decimales eactos y decimales periódicos; por ejemplo, 1/ y 5/3, 4

5 respectivamete. Cada grupo de estos decimales les correspode ua fracció determiada que usted ya ha estudiado e la escuela secudaria. Los decimales eactos so aquellos que posee u úmero fiito de cifras decimales (19/5 = 3,8) y los periódicos tiee ifiitas cifras decimales que se repite (7/9 = 0,7777.).Éstos últimos se puede subdividir e puros y mitos. Los puros tiee solamete cifras decimales que se repite ( 4/3 = 1,3333..), e cambio los mitos, cifras que se o se repite y que se repite ( 53/90 = 0,58888.) Si se realiza la operació 5 o 3 5, se observa que o se obtiee u úmero eacto, u úmero atural o u úmero etero, sio u úmero decimal co ifiitas cifras si repetir, lo mismo ocurre si se trabaja co el úmero = 3,1416. o el úmero eperiao e =,718.. Este tipo de úmeros cuya parte decimal o es eacta i periódica recibe el ombre de Irracioales y se simboliza co la letra I. Estos úmeros o puede epresarse como ua fracció. El cojuto de los úmeros racioales y los irracioales costituye el cojuto de los Números Reales que se deota co la letra. Eiste otro cojuto de úmeros del cual o os ocuparemos e este curso, que está costituido por las raíces de ídice par co radicado egativo, por ejemplo: 16, La utilidad de los úmeros es sorpredete, sea aturales, eteros, racioales, irracioales, complejos. La aplicació de los úmeros es imesa, cualquiera sea la profesió que se desempeñe, los úmeros siempre estará ivolucrados e la vida diaria hasta para comprar u caramelo. Es u regalo muy valioso que os dejaro las civilizacioes ateriores. NÚMEROS REALES NÚMEROS RACIONALES NÚMEROS IRRACIONALES ENTEROS FRACCIONARIOS NATURALES NEGATIVOS Y EL 0 DECIMALES EXACTOS DECIMALES PERIÓDICOS 3, 10, 53-5, 3,-4, 0.5, 6.5, 18.4 PUROS /3, 11/9, 45/99 MIXTOS 55/90, 5/6, 5 9/30

6 REPRESENTACIÓN EN LA RECTA REAL El cojuto de los úmeros reales se represeta gráficamete sobre ua recta deomiada recta real o recta umérica. Para costruir ua recta umérica, se traza ua recta horizotal y se elige u puto arbitrario que se lo llama cero (0) y se escoge u segmeto uidad para tabular la recta. Dicho cero, divide a la recta e dos partes, a la derecha se ubica los úmeros reales positivos y a la izquierda los úmeros reales egativos. A cada úmero real le correspode u úico puto de la recta real y a cada puto de la recta umérica represeta u úico úmero real, es decir, eiste ua relació biuívoca etre los putos de la recta real y los úmeros reales VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL La otació se emplea para epresar el valor absoluto de u úmero real. def si 0 si 0 Geométricamete, el valor absoluto de es la distacia etre el puto de la recta represetativo del úmero y el orige (cero). Ejemplo: ( 3)

7 Otra forma de epresar es Ejemplo: Si 49, 7 49, etoces 7 o 7 ORDEN Al represetar los úmeros reales e la recta umérica, se puede observar que este cojuto es ordeado. Es decir, que dados dos úmeros reales a y b, se puede determiar siempre ua relació de igualdad, meor o mayor. Esto sigifica que se comprueba ua de las siguietes desigualdades: a b o a b o a b o a b Orde de los úmeros reales Sea a y b cualesquiera dos úmeros reales. Símbolo Defiició Se lee a b a b es positivo a es mayor que b a b a b es egativo a es meor que b a b a b es positivo o cero a es mayor o igual que b a b a b es egativo o cero a es meor o igual que b So símbolos de desigualdades:,,,. Ua propiedad importate para comparar dos úmeros reales es: Propiedad de tricotomía Sea a y b cualesquiera dos úmeros reales. Sólo ua de las siguietes epresioes es verdadera: a b, a b, o a b. ORDEN DE OPERACIONES Para resolver operacioes aritméticas, se debe cumplir co ciertas reglas: 1.- Primero resolver todo lo que esté detro de símbolos de agrupació..- Evaluar las epresioes epoeciales. 3.- Hacer todas las multiplicacioes y divisioes e orde de izquierda a derecha. 4.- Hacer todas las sumas y restas e orde de izquierda a derecha. Ejemplo: 4(4 6) ( ) E los úmeros reales se defie la relació de igualdad y se comprueba las propiedades: refleiva, simétrica, trasitiva y uiforme para todo úmero real a, b y c. 1) REFLEXIVA: a a a (Todo úmero real a es igual a sí mismo) ) SIMÉTRICA: a, b si a b etoces b a (Para todo par de úmeros reales a y b si a es igual a b, etoces b es igual a a ) 7

8 3) TRANSITIVA: a, b, c si a b y b c etoces a c etoces a = c (Si u úmero real a es igual a u úmero real b y b es igual al úmero real c, etoces a = c). 4) UNIFORME: Para la adició: a, b, c si a b etoces a c b c (Si ambos miembros de ua igualdad se le suma u mismo úmero se obtiee otra igualdad). Para la multiplicació: a, b, c si a b etoces a. c b. c (Si multiplicamos ambos miembros de ua igualdad por u mismo úmero se obtiee otra igualdad). Teiedo e cueta estas propiedades se epresa las leyes cacelativas de la adició y la multiplicació. _ Para la adició a, b, c : a c b c etoces a b. _ Para la multiplicació a, b, c y b 0: a. c b. c etoces a b _ Y tambié la ley de aulació del producto: a.b = 0, si a=0 ó b=0 ó a=b=0 Al cosiderar la diferecia etre úmeros reales: a, b, a b a ( b) ; a es el miuedo y b es el sustraedo Por ejemplo: 4 4 "NO SE PUEDEN CANCELAR LOS FACTORES QUE SON IGUALES A CERO" E el caso de emplear la propiedad cacelativa de la multiplicació co u factor literal, debe especificarse que la simplificació o es válida para todo valor que aule dicho factor. De lo cotrario, se perdería solucioes e el caso de trabajar co ecuacioes. E cuato a la ley de aulació del producto, se utilizará de la siguiete maera: a. b 0 a 0b 0, lo cual sigifica que puede ocurrir ua de éstas tres casos: a 0 b 0 a 0 b 0 a 0 b 0 Esto último, es muy utilizado e la resolució de ecuacioes. OPERACIONES CON NÚMEROS REALES. PROPIEDADES Es muy importate operar correctamete co los úmeros reales, razó por la cual, se debe teer presetes las propiedades que se cumple co cada operació. Reglas de los sigos o E la adició de úmeros co sigos iguales, los úmeros se suma y el resultado tiee el mismo sigo. Si los úmeros tiee sigos diferetes, éstos se resta y el resultado lleva el sigo del mayor. Por ejemplo:

9 o E la multiplicació y e la divisió, si los úmeros tiee el mismo sigo, el resultado es de sigo positivo, si los úmeros tiee sigos opuestos, el resultado es de sigo egativo. Por ejemplo: ( ) 6 ( 4). 8 ( 3).( 7) 1 Propiedades de la adició Ley de cierre: Comutativa: Asociativa: a b, c / a b c a, b, a b b a a, b, c, a ( b c) ( a b) c Eistecia del elemeto eutro: a, 0 / a 0 0 a a Eistecia del iverso aditivo u opuesto: a, a / a ( a) ( a) a 0 Propiedades de la multiplicació Ley de cierre: Comutativa: Asociativa: a b, c / a. b c a, b, a. b b. a a, b, c, a. ( b. c) ( a. b). c Eistecia del elemeto eutro: a, 1 / a. 11. a a Eistecia del recíproco: todo úmero real a 0 tiee su iverso multiplicativo o recíproco tal que 1 1 a.. a = 1 a a Propiedad distributiva que combia suma y multiplicació ( a b). c = a. c b. c c. ( a b) = c. a c. b ( a b) : c a : c b : c. Esta igualdad puede escribirse e fució del recíproco de c como: a b ( a b). a. b. c c c c c 9

10 Poteciació a a. a. a. a... co veces a se deomia base y epoete a co a 0 a co a 0 a a Propiedades de la poteciació a. b a. b a a a : b a : b, b 0 b b m m a. a a, a 0 m. a a m Radicació a b si y solo si b a, a recibe el ombre de radicado, es el ídice, y el sigo se deomia radical. Ejemplos: 16 4 si y solo si si y solo si es posible? 8 si y solo si 8 3 El segudo caso de radicació o es posible, ya que igú úmero real distito de cero elevado al cuadrado, dá como resultado -16, siempre dará u úmero positivo. Por lo tato, o se puede calcular a co par y a 0, o tiee solució e el campo de los úmeros reales. Es decir, la radicació o es siempre posible e. Y dado el caso mecioado, la radicació o es cerrada e. No siempre es posible simplificar u radical co u radicado egativo. Por ejemplo: , los resultados coicide 10

11 4 4 ( 4) ( 4) ( 4) ( 4)= o tiee solució e los reales ( ) ( ) ( ), los resultados coicide 6 6 ( 8) 64, los resultados o coicide ( 8) ( 8) ( 8) Esto se puede sitetizar diciedo es impar a a es par a a Si el ídice es impar, la raíz real es úica y del mismo sigo que el radicado. Si el ídice es par y el radicado positivo, la raíz real es tambié úica y por defiició positiva. Observacioes: Por defiició, la radicació admite u úico resultado. La radicació o es cerrada e. Es importate recordar que: es impar a a es par a a La otació a se lee valor absoluto de a y se defie: Ejemplo: 3 3 a a a si a>0 si a<0 3 3 Propiedades de la radicació a. b a. b 11

12 a a : b a : b b a b m a m. a m m a a co y m Esta propiedad se refiere a la poteciació co epoete racioal. m Si y es ua fracció irreducible m a 0 a a m m a 0 a a si m es impar m a0 a 0 m a a 1 NOTACIÓN CIENTÍFICA Cuado se debe trabajar co úmeros muy grades o muy pequeños, esto ocurre muy frecuetemete e ciecia, tecología, igeiería, se utiliza ua forma de epresar los úmeros que se deomia otació cietífica. Cosiste e epresar las cifras decimales e potecias de diez: N 10 N es u úmero real de ua sola cifra etera distita de cero, tal que 1N 10 y es es u úmero etero. La vetaja de emplear esta otació, es que evita la dificultad de trabajar co varias cifras decimales y permite percibir el orde de magitud de ua catidad por el epoete. Ejemplos: Masa de la tierra: 5, kg Edad de la tierra: años Masa del electró: 9, kg Logitud de ua célula típica: m Los úmeros reales epresados e otació cietífica puede operarse si dificultad, tato la suma, como la resta, la multiplicació, la divisió y la potecia de potecia. Ejemplo: ,5 10 4, 10. 3,4 10 9, , , ,5 10, ,8 10 5, ,

13 FUNCIÓN EXPONENCIAL Ua fució epoecial es cualquier fució de la forma f ( ) b, dode b 0, b 1 y es cualquier úmero real. El úmero b se deomia base. y y Características comues a las fucioes epoeciales 1.- La ordeada al orige es 1..- Si b 1, el eje egativo es ua asítota; si b 1 el eje positivo es ua asítota. 3.- Si b 1, todas las curvas crece a medida que aumeta los valores de ; si b 1, todas las curvas decrece a medida que crece los valores de. U caso particular de la fució epoecial y muy utilizado es cuado la base es el úmero e: y e y y=e FUNCIÓN LOGARÍTMICA Ua fució logarítmica es cualquier fució de la forma f ( ) log a, dode 0, b 0 y b 1. Si y y log b. El úmero represetado por b recibe el ombre de base. b 13

14 y log Observado la gráfica, se puede deducir que: 1.- La fució logaritmo está defiida para valores de mayores a cero..- El logaritmo de cero o eiste, cualquiera sea la base. 3.- Los valores de y o las imágees so todos los úmeros reales. 4.- La gráfica uca corta al eje y, es decir, que este eje es asítota de la curva. Logaritmos de bases diferetes Para calcular los valores de l y log, se puede utilizar ua calculadora o computadora. Para realizarlo se utiliza la siguiete fórmula: l logb l b Dos bases muy utilizadas so: la base 10 y la base e. Cuado la base es 10, el logaritmo de u úmero se epresa como: y log y si la base es el úmero e: y l. PROPIEDADES 1.- Si y y so úmeros reales positivos, b0 y b 1, etoces log y log log y b b b.- Si y y so úmeros reales positivos, b0 y b 1, etoces logb logb logb y y 3.- Si y y so úmeros reales positivos, b0 y b 1, etoces log b log 4.- Si y y so úmeros reales positivos, b0 y b 1, etoces b logb

15 5.- Si y y so úmeros reales positivos, b0 y b 1, etoces log b b Si y y so úmeros reales positivos, b0 y b 1, etoces ECUACIONES EXPONENCIALES log b b Las ecuacioes epoeciales so aquellas e las que la icógita aparece e u epoete o e más de uo. Para resolverlas se tedrá presete que: Siempre que sea posible, es coveiete epresar ambos miembros como potecias de ua misma base. Para despejar icógitas que aparece e el epoete, es posible usar logaritmos. Cualquier logaritmo puede obteerse co ua calculadora cietífica. Ejemplo: ,aplico log a ambos miembros log log 4 log 4 ECUACIONES LOGARÍTMICAS Las ecuacioes logarítmicas so las que tiee la icógita e el argumeto de algú logaritmo. Para resolverlas se tedrá presete que: Para despejar ua icógita coteida e el argumeto, se aplica la defiició de logaritmo. Siempre que sea posible, coviee agrupar los logaritmos e uo solo, para lo cual se aplica las propiedades. Sólo eiste logaritmos de úmeros positivos, por lo cual debe descartarse como solucioes los valores que o verifique la ecuació origial. Ejemplo: log ( 1) 3 Aplicado la defiició obteemos: Aplicacioes de la fució epoecial 15

16 La aparició de las fucioes epoeciales surge aturalmete cuado se estudia diversos feómeos relacioados co el crecimieto y el decrecimieto de poblacioes humaas, co coloias de bacterias, co sustacias radiactivas y co otros muchos procesos viculados a la Ecoomía, la Medicia, la Química y otras disciplias. Aplicacioes de la fució logarítmica E todos los casos e que se aplica fucioes epoeciales, so ecesarios los logaritmos para averiguar los valores de las variables que aparece como icógitas e los epoetes. DIRECCIONES DE PÁGINAS WEB PERTINENTES A LOS TEMAS DE ESTA UNIDAD Aproimacioes/umeros6.htm Base/Web/VerCoteido.asp?GUID=ccae49bd-cf5b-4136-a9fff1acadefdf9&ID=136164&FMT=1379 ANEXO I: FÓRMULAS DE PERÍMETROS, ÁREAS, VOLÚMENES 16