MATEMATIKA SPANYOL NYELVEN MATEMÁTICAS

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1 Matematika spayol yelve emelt szit 06 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006 május 9 MATEMATIKA SPANYOL NYELVEN MATEMÁTICAS EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA EXAMEN ESCRITO DE BACHILLERATO DE NIVEL SUPERIOR JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ GUÍA DE CORRECCIÓN Y EVALUACIÓN OKTATÁSI MINISZTÉRIUM MINISTERIO DE EDUCACIÓN

2 Iformació importate Cuestioes formales para la correcció del eame: El profesor tiee que corregir el eame co u bolígrafo de diferete color al utilizado por el alumo El profesor idicará los errores, los pasos que falta, etc, tal y como esté acostumbrado E los recuadros grises de putuació, el primero idica la máima putuació que se puede dar y el recuadro de al lado recoge los putos que ha dado el profesor Si o hay errores e la resolució, es suficiete escribir los putos máimos e el recuadro correspodiete Si hay errores o falta pasos, idique, por favor, los putos correspodietes a las partes Cuestioes de coteido: E el alguos problemas, les hemos ofrecido la putuació correspodiete a varias solucioes Si usted ecuetra otra solució, busque, por favor, las partes equivaletes de las solucioes que muestra la guía y reparta los putos segú dichas partes Se puede dividir los putos que la guía recomieda para idicar distitos pasos de ua parte Pero, e cualquier caso, los putos que se de siempre será eteros Si los pasos y la resolució so correctos, se puede dar la máima putuació icluso si las eplicacioes o so ta amplias como las que aparece e la guía Si el estudiate comete u error de cálculo o de precisió, o recibirá los putos correspodietes a esta parte Si al arrastrar este error, el resto de los pasos realizados so correctos y o cambia el setido del problema, etoces se putuará el resto de los pasos E caso de u error de aplicació teórica, detro de u razoamieto e la resolució (los razoamietos distitos aparece separados co ua líea doble e la guía), o se puede dar putos i por los pasos matemáticamete correctos hechos tras cometer el error Pero si e el siguiete razoamieto, se sigue trabajado bie, a pesar del resultado icorrecto causado por dicho error, se dará los putos máimos para las siguietes partes de la resolució del problema si o ha cambiado el setido del problema Si e la guía, ua uidad de medida está etre parétesis, la solució será correcta auque o se escriba dicha uidad Si el alumo escribe varios itetos par resolver u ejercicio, sólo se putuará uo de ellos, el que tega más putuació No se puede dar putos etra que eceda los putos máimos que se puede dar para el problema o ua parte de él No se resta putos si aparece errores e algú paso o e partes de la resolució que el alumo o utiliza después para resolver el ejercicio De los cico problemas propuestos e la IIparte del eame sólo se puede putuar cuatro Probablemete el estudiate habrá idicado el úmero del problema elimiado, el que o putuará, e el cuadrado correspodiete Si el alumo hubiera resuelto este problema o habría que corregirlo Si o queda claro cuál es el ejercicio que el alumo eamiado o desea que se le corrija, etoces automáticamete, segú el orde e que se da los problemas, o se corregirá el último írásbeli vizsga 06 / május 9

3 a) I y A F AB 0 K F BC B C El vértice C del triágulo es el puto de corte de la mediatriz del lado AB y el eje Y Puto medio de AB : F AB ( 5; ) Uo de los vectores ormales de la mediatriz de AB: ( ; ) AB La ecuació de la mediatriz de AB : y = El vértice opuesto a la base AB : ( 0; ) C Si el alumo eamiado deduce las coordeadas del vértice C a partir de la gráfica, si hacer cálculos, etoces se le puede dar como máimo putos de los putos que suma e total esta parte putos írásbeli vizsga 06 / május 9

4 El cetro de la circuferecia circuscrita es el puto de corte de la mediatriz de la base AB y de la mediatriz de cualquiera de los lados oblicuos 7 Puto medio del lado BC: F BC ; Uo de los vectores ormales de la mediatriz de BC: CB ( 7; ) La ecuació de la mediatriz de BC: 7 + y = Las ecuacioes de las mediatrices de los lados AB y BC forma u sistema de ecuacioes que tiee por solució =, 9 ; y = 0, 9 Así el cetro de la putos circuferecia circuscrita: K (,9; 0,9) El cuadrado del radio de la circuferecia circuscrita al triágulo: r = KC =,9 = 6,8 Ecuació de la circuferecia circuscrita al triágulo es (,9) + ( y 0,9) = 6, 8 8 putos Si el alumo o escribe eplícitamete esta eplicació pero se puede observar e los pasos que sigue e el desarrollo de la resolució, etoces tambié recibirá este puto írásbeli vizsga 06 / május 9

5 Llamamos a a la logitud de las aristas del cubo rojo y b a la logitud de las aristas del cubo azul putos El área total del cubo rojo es 6a, y la del cubo azul 6b Por los requisitos del ejercicio: 6a = 6b putos Del resultado aterior y teiedo e cueta que putos a > 0 y b > 0, se deduce que a = b Así el volume del cubo rojo se epresa e fució putos del volume del cubo azul: a = b 8 Como 0, 65, etoces el volume del cubo 8 rojo es 65% del volume del cubo azul Es decir, el volume del cubo rojo es aproimadamete u 5% meor que el volume del cubo azul putos írásbeli vizsga 06 5 / május 9

6 a) Si cosideramos, las solucioes de la ecuació + p = 0, etoces +, + será las solucioes de la ecuació + p = 0 Escribimos la suma de las solucioes e el caso de ambas ecuacioes aplicado las fórmulas de Viéte: + y ( + ) + ( + ) = p = putos putos De éstas se obtiee que p = putos Sustituyedo el valor de p = e ambas ecuacioes se obtiee solucioes reales El discrimiate de la ecuació + 5 = 0 es egativo y por tato o tiee solucioes reales Las solucioes de la ecuació + 5 = 0 so = ( 0,9) ; = ( 5,9) 9 putos putos putos putos Tambié se cosigue estos putos si el alumo escribe las solucioes e fució del parámetro utilizado la fórmula de resolució de las ecuacioes de segudo grado Si las solucioes se epresa mediate la fórmula de resolució y se empareja correctamete, tambié se podrá dar estos putos Mediate el estudio del discrimiate tambié se puede coseguir este puto írásbeli vizsga 06 6 / május 9

7 a) ( método) Deotamos co A, B y C los cojutos formados por los cietíficos que ha publicado estudios sobre el uso de los ordeadores e los campos de ivestigació, educació y comuicació, respectivamete Segú los requisitos del problema y utilizado la otació aterior se verifica : A =, B = 8, C = 7, A B C = 0 A B + B C + C A A B C = 7 putos Aplicado la fórmula correspodiete a la criba de Eratóstees : 0 = A B C = = A + B + C A B B C C A + A B C = = A B C putos De lo que se deduce que A B C = 5 putos Así la probabilidad buscada: 5 P = = putos putos írásbeli vizsga 06 7 / május 9

8 a) ( método) A B a (a + c + ) 8 (a + b + ) c b putos 7 (b + c + ) C Teiedo e cueta los requisitos del problema: () a + b + c = 7 + a + b + c + ( a + c + ) + 8 ( a + b + ) + () putos + 7 ( b + c + ) = 0 Agrupamos e la parte izquierda de () y os queda: 7 ( a + b + c) = 0 Sustituyedo el resultado de () y despejado el valor de se obtiee que = 5 5 Probabilidad buscada: P = = 0 6 putos 0 putos 5 cietíficos ha publicado sobre los tres temas, 7 de los cietíficos sobre cualquiera de los dos temas, así hay putos que ha publicado e por lo meos dos temas Por tato el úmero de los llamados especialistas: 0 = 8 putos putos írásbeli vizsga 06 8 / május 9

9 5 a) II 8 8 C H m A Para determiar las aristas de la sala que se ecuetra e el iterior del tejado, cortamos la pirámide co u plao perpedicular a su base que cotiee el vértice de la pirámide y los putos medios de dos aristas opuestas de la base de dicha pirámide Se trata de u triágulo isósceles cuya base mide 8 y sus lados oblicuos mide metros La altura correspodiete a la base de este triágulo se calcula aplicado el teorema de Pitágoras y mide m = (m) Utilizado la otació que aparece e la secció plaa del dibujo, se tiee que el triágulo rectágulo CFB es semejate al triágulo rectágulo HGB, ya que u águlo de FBC es u águlo agudo comú F 8 G putos B E caso de que estas relacioes e el espacio (secció plaa co la que cortamos el cuerpo) quede reflejadas de maera clara e el dibujo, tambié se podrá dar estos putos írásbeli vizsga 06 9 / május 9

10 Si llamamos a la logitud de las aristas del cubo (que e la secció plaa correspodería a los lados del cuadrado iscrito e el triágulo), etoces por la semejaza se verifica que = =, 8 de dode =, (m) + 6 Área del suelo de la sala: T = = m + 9 putos Teiedo e cueta u resultado aterior, la altura de la pirámide es m = Así el volume del tejado (pirámide) es 8 56 V t = m = m 0,68 m Volume del cubo: putos 8 0 putos V c = m = m 6,8 m + ( + ) La razó etre los volúmees: Vc = 0,05 ( ) Vt + La sala ocupa aproimadamete el 0% del espacio del tejado 7 putos Tambié se cosigue los putos correspodietes si o se idica las aproimacioes de los resultados írásbeli vizsga 06 0 / május 9

11 6 a) Ecuació a resolver: + 0 = + 6 Tras la ordeació y agrupació de los térmios: + 8 = 0 Solucioes: =, = 7 putos putos Las pedietes de las rectas tagetes trazadas por los putos de corte de ambas: m = f ( ), y m = f ( ), f ( ) = + 0 Así m = f ( ) = y m = f ( 7) = putos Los putos dode se corta las dos gráficas so ; M 7; putos M ( ), y ( ) Ecuacioes de las rectas tagetes: e : y = ( ), o epresada de otra forma y = 6, ( 7) e : y + = y = + 7, o epresada de otra forma 7 putos Si las ecuacioes de las tagetes se escribe correctamete utilizado otra forma cualquiera, se dará los putos correspodietes c) y f g írásbeli vizsga 06 / május 9

12 Represetació gráfica de f y g Área de la regió del plao buscada: ( ) d g( ) d = ( f ( ) g( ) ) T = f d Como f ( ) g( ) = + 8 T = 6, etoces ( + 8) d = + 8 = 6 putos = = + putos 6 putos Si el alumo represeta las fucioes de maera icorrecta pero hace bie los cálculos co datos erróeos (toma mal el itervalo) podrá recibir como máimo putos Si el alumo calcula las itegrales correspodietes por separado y luego las resta o o calcula la itegral de la fució g sio que fijádose e el dibujo resta a la itegral de f el área del triágulo rectágulo isósceles correspodiete, etoces tambié recibirá la putuació adecuada 7 a) Sea s la logitud del trayecto e km de Szeged a Cegléd, s la distacia e km de Cegléd a Budapest, y sea v la velocidad media origial del tre e km/h El tiempo e horas del recorrido del tre el lues: s s + v v La duració del trayecto e horas durate el fi de s + 9 ( s 9) semaa: + v v Si cosideramos la diferecia etre los dos tiempos del recorrido del tre: s s s + 9 ( s 9) + + = v v v v Se resuelve la ecuació y obteemos que la velocidad media origial del tre es v = 76 km/h putos putos putos putos 0 putos Se puede cosiderar como solució completa si usar fórmulas pero co argumetos cocisos y precisos: La diferecia de 0 miutos e los tiempos del recorrido e el tramo de 9 km, se debe a que la velocidad durate el fi de semaa es el doble Por tato, la velocidad del tre es dos veces 9/0,5, por eso: 76 km/h írásbeli vizsga 06 / május 9

13 Tipo de billete Número de pasajeros Precio del billete (Ft) Precio del billete ormal Descueto del 0% Descueto del % Descueto del 50% Descueto del 67,5% Descueto del 75% Descueto del 90% Descueto del 95% Gratis Completar los datos que falta e la tabla La media de los precios e foritos es putos Si hay errores e el cálculo de los precios de los billetes, como máimo se permite cuatro, etoces se podrá dar Si hay más de cuatro errores o se dará putos = = = 998,775( 999Ft, o tambié 000Ft) putos 00 El resultado es aproimadamete el 50% del precio completo, así la media de los precios se correspode co el descueto de aproimadamete el 50% putos 6 putos Si el alumo ha cometido algú error e el cálculo de los precios de los billetes, pero co estos datos aplica correctamete el cálculo de la media, etoces tambié recibirá los dos putos Tambié se dará los putos, si teiedo e cueta los errores e los datos, el alumo teóricamete realiza bie los cálculos o si epresa el resultado redodeado de otra forma írásbeli vizsga 06 / május 9

14 8 a) Teemos que a, ab, bba so tres térmios cosecutivos de ua progresió aritmética, así bba ab = ab a Escribiedo los úmeros co sus valores correspodietes: ( 0 b + a) ( 0a + = ( 0a + a, y agrupado los térmios semejates obteemos que a = 6b Como a y b so uidades del sistema umérico decimal, etoces a = 6, b = Así los tres úmeros so 6; 6; 6, y la diferecia 55 La suma de los cie primeros térmios: 00 S 00 = ( ) = 7850 Sea a el primer térmio de la progresió geométrica y q su cociete Si q =, etoces se trata de ua progresió geométrica costate, así las sumas correspodietes so iguales Los tres úmeros iguales costituye otros tres térmios cosecutivos de otra progresió geométrica Si q, etoces la suma de los primeros térmios: () q S = a q La suma de los segudos térmios: () q S = aq q putos 7 putos putos () q La suma de los terceros térmios: S = aq putos q Estas sumas, e este orde, sería los tres térmios cosecutivos de ua progresió geométrica si se () () () verificara que ( S ) = S S Lo cual es realmete cierto ya que () () q q S S = a q = aq = () ( S ) q q putos 9 putos Los últimos tres putos tambié puede darse por cualquier otra justificació llevada a cabo correctamete írásbeli vizsga 06 / május 9

15 9 a) Si los primeros úmeros so a y b (a <, etoces el tercer úmero será a + b y el cuarto ( a + Por los requisitos del ejercicio se tiee que verificar que ( a + 0, o lo que es lo mismo: a + b 0 Como a < b, etoces a 9, y así el meor de los úmeros podrá valer, como máimo, 9 putos putos Los dos grupos de cuatro úmeros posibles so: putos 9, 0, 9, 8; 9,, 0, 0 putos c) De acuerdo co las reglas que se ha impuesto Adrás para rellear los boletos de la lotería, estudiamos todas las posibilidades para marcar el primer úmero Primer úmero: Número total de boletos que puede rellear co el correspodiete primer úmero: putos Así el úmero total de boletos distitos que puede completar es: = 90 El úmero de grupos de cuatro úmeros que se puede formar de etre los 0 primeros úmeros eteros 0 putos positivos: = 990 Probabilidad total: P = 90 9, putos 8 putos írásbeli vizsga 06 5 / május 9

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