QUÉ SON LOS POLÍGONOS? ELEMENTOS DE UN POLÍGONO

Transcripción

1 Las matemáticas so u juego: Figuras plaas: S. CEIP Mauel Siurot (La Palma del Cdo.) QUÉ SON LOS S? So figuras plaas formadas por ua líea poligoal cerrada y su iterior. Cualquier figura plaa que esté formada por lados rectos es u polígoo. ELEMENTOS DE UN Los elemetos de u polígoo se establece a tres iveles: 1. EN SU LÍNEA POLIGONAL: lados, vértices y águlos (iteriores y exteriores).. EN SU INTERIOR: el elemeto más importate so las diagoales, auque podríamos establecer otros elemetos como mediatrices de sus lados y bisectrices de sus águlos. E los polígoos regulares tambié se establece las apotemas, los radios, el cetro y los águlos iteriores. 3. CÁLCULOS ESPACIALES. Los pricipales so el perímetro (la suma de todos sus lados) y la superficie o área (lo que mide su espacio iterior). ELEMENTOS EN SU LÍNEA POLIGONAL LADOS. So cada uo de los segmetos que forma su cotoro. VÉRTICES. So los putos dode se ue dos lados. ÁNGULOS. So las aberturas etre dos lados cosecutivos. Hay tipos: Águlos iteriores: está detro del polígoo. Águlos exteriores: está fuera del polígoo. So suplemetarios a los iteros. La suma de los águlos exteros de u polígoo es 360 o. LADOS ÁNGULO INTERIOR VÉRTICES ÁNGULO EXTERIOR ELEMENTOS EN SU INTERIOR DIAGONALES. So segmetos que va desde u vértice a otro o cosecutivo. Cada polígoo tiee «( 3) /» diagoales, siedo el úmero de lados del polígoo. Por ejemplo, u petágoo tiee 5 diagoales. SOLO EN S REGULARES: CENTRO. Es u puto iterior equidistate de todos sus vértices. (E alguos polígoos irregulares, tambié se puede establecer u cetro). APOTEMAS. Segmetos que va desde el cetro de cada lado al cetro del polígoo. RADIOS. Segmetos que va desde cada vértice al cetro del polígoo. ÁNGULOS CENTRALES. Hay varios tipos, los formados por sus apotemas, los formados por sus radios y los formados etre ambos. DIAGONALES / APOTEMAS / RADIOS El cetro, e amarillo. * E realidad, se puede establecer más elemetos.

2 Las matemáticas so u juego: Figuras plaas: S. CEIP Mauel Siurot (La Palma del Cdo.) Nº de DIAGONALES de CUALQUIER Para calcular las diagoales de cualquier polígoo basta co aplicar la fórmula: Nº de diagoales = ( 3), siedo el úmero de lados del polígoo. (segú su º de lados) º total de DIAGONALES FÓRMULA (aplicada) TRIÁNGULO x (3 3) / = 3 x 0 : = 0 CUADRILÁTERO 4 4 x (4 3) / = 4 x 1 : = 4 PENTÁGONO x (5 3) / = 5 x : = 5 SABÍAS QUE LOS S CÓNCAVOS TIENEN DIAGONALES EXTERIORES? Debido a su forma, alguas diagoales sale fuera del polígoo. HEXÁGONO x (6 3) / = 6 x 3 : = 9 HEPTÁGONO x (7 3) / = 7 x 4 : = 14 OCTÓGONO x (8 3) / = 8 x 5 : = 0 ENEÁGONO x (9 3) / = 9 x 6 : = 7 DECÁGONO x (10 3) / = 10 x 7 : = 35 ENDECÁGONO x (11 3) / = 11 x 8 : = 44 DODECÁGONO x (1 3) / = 1 x 9 : = 54 Si te fijas bie, el úmero de diagoales sigue siempre ua progresió aritmética. Fíjate: = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 = 10 = 11 = 1 = 13 = 14 = 15 = 16 = Esta progresió es casi idética a la de los úmeros triagulares. LISTA DE NÚMEROS TRIANGULARES. Los primeros úmeros triagulares so: Para = = 1 = = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 = 10 = 11 = 1 = 13 = 14 = 15 Nº triagular

3 Las matemáticas so u juego: Figuras plaas: S. CEIP Mauel Siurot (La Palma del Cdo.) MEDIDA TOTAL de TODOS los ÁNGULOS INTERIORES de CUALQUIER Tiees que saber que los tres águlos iteriores de cualquier triágulo siempre mide 180 o, sea el triágulo que sea; los del cuadrilátero, siempre 360 o ; y así, sucesivamete. Pero hay ua maera de calcularlo para cualquier polígoo, y es co la fórmula: Suma de los águlos iteriores de u polígoo = ( ) 180 o, siedo el úmero de lados del polígoo. Además, si quieres saber cuáto mide cada águlo de u polígoo regular solo tiees que dividir la suma total de sus águlos etre el úmero de lados que tiee, o aplicar la fórmula: Medida de cada águlo de u polígoo regular = ( ) 180, siedo el úmero de lados del polígoo. Otra forma de calcular la medida de los águlos iteriores de cualquier polígoo regular es co la siguiete fórmula: Medida de cada águlo de u polígoo regular = , siedo el úmero de lados del polígoo. (segú su º de lados) SUMA TOTAL de sus ÁNGULOS FÓRMULA (aplicada) Medida de cada águlo de u polígoo regular FÓRMULA (aplicada) TRIÁNGULO o (3 ) 180 = = o (3 ) 180 / 3 = / 3 = 60 CUADRILÁTERO o (4 ) 180 = 180 = o (4 ) 180 / 4 = 180 / 4 = 90 PENTÁGONO o (5 ) 180 = = o (5 ) 180 / 5 = / 5 = 108 HEXÁGONO 6 70 o (6 ) 180 = = o (6 ) 180 / 6 = / 6 = 10 HEPTÁGONO o (7 ) 180 = = ,57 o (7 ) 180 / 7 = / 7 = 18,57 OCTÓGONO o (8 ) 180 = = o (8 ) 180 / 8 = / 8 = 135 ENEÁGONO o (9 ) 180 = = o (9 ) 180 / 9 = / 9 = 140 DECÁGONO o (10 ) 180 = = o (10 ) 180 / 10 = / 10 = 144 ENDECÁGONO o (11 ) 180 = = ,7 o (11 ) 180 / 11 = / 11 = 147,7 DODECÁGONO o (1 ) 180 = = o (1 ) 180 / 1 = / 1 = 150 Coclusioes Si te fijas, solo hay que ir añadiedo 180. Cuatos más lados tiee el polígoo, meos grados va aumetado lo que mediría cada uo de sus lados. SABÍAS QUE? La suma de todos los águlos exteriores de cualquier polígoo siempre es 360 o. Los águlos exteriores de u polígoo regular mide exactamete lo mismo que sus águlos cetrales, y se calcula de la misma forma: dividiedo 360 etre su úmero de lados.

4 Las matemáticas so u juego: Figuras plaas: S. CEIP Mauel Siurot (La Palma del Cdo.) MEDIDA de los ÁNGULOS EXTERIORES de u Los águlos exteriores de u polígoo so los suplemetarios a los iteriores. Se puede calcular de muchas maeras. Nosotros te ofrecemos dos ideas distitas. MEDIDA co u TRANSPORTADOR de ÁNGULOS Simplemete tiees que alargar el lado del águlo que quieres calcular y medir la abertura del águlo formado co tu trasportador. CÁLCULO del ÁNGULO SUPLEMENTARIO Simplemete tiees que restar a 180 lo que mide el águlo iterior que está juto al águlo exterior que quieres calcular. Ĥ Ś Ŝ Recuerda que Ĥ es suplemetario co Ŝ y co Ś. Es decir, la suma de ambos, siempre da 180 o. Ua propiedad importate de los águlos exteriores es que tato Ś, como Ŝ, so águlos iguales. O sea, podemos alargar los lados e cualquier direcció. Solo tiees que medir uo de los dos águlos formados y ya sabes lo que mide el águlo exterior. E el hexágoo de la image, el águlo Ĥ mide 10 o. Para calcular la medida del águlo exterior e ese vértice, solo teemos que restar , ya que los águlos suplemetarios suma etre ambos 180 grados. Obteemos que el águlo Ś o Ŝ, ya que ambos so iguales, mide 60 o. SABÍAS QUE EL ÁNGULO CENTRAL DE UN REGULAR MIDE EXACTAMENTE LO MISMO QUE SUS ÁNGULOS EXTERIORES? MEDIDA de los ÁNGULOS EXTERIORES de u REGULAR E los polígoos regulares, es muy fácil calcular los águlos exteriores, ya que, LA SUMA DE LOS ÁNGULOS EXTERIORES DE CUALQUIER SIEMPRE DA 360 o, sea regular o o. Por tato, para coocer para calcular la medida de cada águlo exterior de u polígoo regular, solo teemos que dividir 360 etre el úmero de lados del polígoo, ya que todos medirá lo mismo. Medida de los águlos exteriores de u polígoo = 360 o /, siedo el úmero de lados del polígoo. De esta forma, los águlos exteriores de cada REGULAR será: (segú su º de lados) MEDIDA de sus ÁNGULOS EXTERIORES (segú su º de lados) MEDIDA de sus ÁNGULOS EXTERIORES TRIÁNGULO 3 10 o OCTÓGONO 8 45 o CUADRILÁTERO 4 90 o ENEÁGONO 9 40 o PENTÁGONO 5 7 o DECÁGONO o HEXÁGONO 6 60 o ENDECÁGONO 11 3,7 o HEPTÁGONO 7 51,43 o DODECÁGONO 1 30 o

5 Las matemáticas so u juego: Figuras plaas: S. CEIP Mauel Siurot (La Palma del Cdo.) MEDIDA del ÁNGULO CENTRAL de u REGULAR Matemáticamete, solo los polígoos regulares tiee u cetro geométrico, auque se podría establecer tambié u cetro e otros polígoos irregulares. El águlo cetral de u polígoo regular es el formado por dos radios cosecutivos. Ambos, so segmetos que parte de vértices cosecutivos y se ue e el cetro del polígoo, que se covierte e el vértice de este águlo cetral. Puede resultar curioso, pero el águlo cetral de u polígoo regular, mide lo mismo que su águlo exterior. Se puede calcular de la misma forma, dividiedo 360 etre el úmero de águlos que tiee, que el mismo que el úmero de lados. Medida de los águlos exteriores de u polígoo = 360 /, el úmero de lados del polígoo. siedo Tambié se puede saber cuáto mide el águlo cetral de u polígoo regular, calculado el águlo suplemetario de cualquier águlo iterior. Los 6 águlos cetrales de este hexágoo, mide lo mismo, porque es regular. Todos los águlos cetrales forma ua circuferecia completa, que mide, como todas, 360 o. Como hay 6 águlos cetrales, solo teemos que dividir 360 : 6, y obteemos que cada águlo cetral del hexágoo regular mide 60 o. MEDIDA de los ÁNGULOS de u CRUZADO o COMPLEJO Los polígoos cruzados o complejos so u poco cotrovertidos e matemáticas. La razó es bie secilla. No sigue las mismas reglas que el resto de polígoos. La excepció más evidete se produce e la medida de sus águlos, ya que se le cosidera más águlos iteriores que lados y vértices. Vamos a mostrarlo e u ejemplo para que lo compredas mejor. Este polígoo es u cuadrilátero, cocretamete, u trapecio cruzado. Tiee 4 lados y 4 vértices, más u puto dode se cruza dos lados. Al trazarlo se geera 4 águlos, pero uo de ellos, se quedaría extero al iterior del polígoo, por lo que hay que desecharlo y tomar solo los águlos iteriores, Por eso, e su iterior se puede ecotrar 6 águlos. Al ser u cuadrilátero, esos seis águlos mide 360 o. Este debería ser el 4º águlo de este cuadrilátero. Pero al ser cruzado, es u águlo extero, por lo que o debe teerse e cueta y tomar los águlos iteriores, auque sea seis y sus lados sea cuatro. No importa, este águlo mide lo mismo que los otros dos iteriores que le sustituye. Los polígoos cruzados tiee más águlos iteriores que lados y vértices.

6 Las matemáticas so u juego: Figuras plaas: S. CEIP Mauel Siurot (La Palma del Cdo.) RESUMEN DE LOS PRINCIPALES DATOS DE TODOS LOS S. Te ofrecemos de forma resumida los pricipales datos que te hemos ofrecido sobre los águlos y diagoales de cada tipo polígoo, regular o irregular, segú el caso. (segú su º de lados) º total de DIAGONALES SUMA TOTAL de sus ÁNGULOS Medida de CADA ÁNGULO de u polígoo regular MEDIDA de sus águlos EXTERIORES MEDIDA de sus águlos EXTERIORES TRIÁNGULO o 60 o 10 o 10 o CUADRILÁTERO o 90 o 90 o 90 o PENTÁGONO o 108 o 7 o 7 o HEXÁGONO o 10 o 60 o 60 o HEPTÁGONO o 18,57 o 51,43 o 51,43 o OCTÓGONO o 135 o 45 o 45 o ENEÁGONO o 140 o 40 o 40 o DECÁGONO o 144 o 36 o 36 o ENDECÁGONO o 147,7 o 3,7 o 3,7 o DODECÁGONO o 150 o 30 o 30 o Resume de las fórmulas para calcularlo. Nº de diagoales de cualquier polígoo ( 3) Suma de los águlos iteriores de cualquier polígoo ( ) 180 o Medida de los águlos exteriores de cualquier polígoo o cetrales de u polígoo regular = 360 / Medida de cada águlo de u polígoo regular ( ) 180 Medida de cada águlo de u polígoo regular Siedo el úmero de lados del polígoo. RECUERDA: La suma de todos los águlos exteriores de cualquier polígoo siempre es 360 o. Los águlos exteriores de u polígoo regular mide exactamete lo mismo que sus águlos cetrales, y se calcula de la misma forma: dividiedo 360 etre su úmero de lados.

7 Las matemáticas so u juego: Figuras plaas: S. CEIP Mauel Siurot (La Palma del Cdo.) PERÍMETROS Y ÁREAS de TODOS los S. Te ofrecemos u cuadro resume co la forma de calcular el perímetro y el área (o superficie) de los polígoos más comues. Te ofrecemos las fórmulas de forma extedida y de forma abreviada. Escoge la que más te guste. PERÍMETRO ÁREA TRIÁNGULO La mejor forma es sumar lo que mide sus tres lados. P = a + b + c base altura b a CUADRADO Como los 4 lados mide lo mismo, podemos multiplicar lo que mide u lado por cuatro. P = 4 lado lado lado l RECTÁNGULO Los lados so iguales dos a dos. P = (a + b) lado mayor lado meor b a ROMBO Los 4 lados mide lo mismo. P = 4 lado Diagoal mayor diagoal meor D d ROMBOIDE Los lados so iguales dos a dos. P = (a + b) lado de la base altura b a TRAPECIO La mejor forma es sumar lo que mide sus cuatro lados, ya que, muchas veces, todos mide distito. P = a + b + c + d altura (Base mayor + base meor) a (B + b) TRAPEZOIDE La mejor forma es sumar lo que mide sus cuatro lados, ya que, muchas veces, todos mide distito. P = a + b + c + d Se divide al trapezoide e dos triágulos (co ua diagoal), y se calcula el área de cada triágulo y se suma. A tr. 1 + A tr. REGULAR Se multiplica lo que mide u lado (todos so iguales) por el úmero de lados del polígoo. P = logitud lado perímetro apotema p ap El perímetro es la suma de las logitudes de todos los lados de u polígoo. Para calcularlo, se suma lo que mide cada lado, auque hay formas abreviadas de calcularlo). El área es lo que mide la superficie iterior de u polígoo. Se expresa e uidades cuadradas de logitud. Para calcularlo, se utiliza fórmulas específicas.