Polígonos Regulares: Definición de polígono:

Transcripción

1 1

2 Polígonos Regulares: Definición de polígono: Un polígono es una figura plana cerrada, limitada por segmentos de recta llamados lados del polígono. Los puntos donde se unen dos lados consecutivos se llaman vértices del polígono. B A E D Lados: AB BC CD DE EA Vértices: A B C D E C Los polígonos se clasifican en: 1) Regulares: Son los polígonos que tienen todos sus lados iguales y sus ángulos congruentes. ) Irregulares: Son los polígonos cuyos lados y ángulos no son todos iguales. Dependiendo de la cantidad de lados, los polígonos se clasifican en: a) Triángulo: 3 lados b) Cuadrilátero: 4 lados c) Pentágono: 5 lados d) Hexágono: 6 lados e) Heptágono: 7 lados f) Octágono: 8 lados g) Nonágono: 9 lados h) Decágono: 10 lados i) Endecágono: 11 lados j) Dodecágono: 1 lados k) Pentadecágono: 15 lados l) Hexadecágono: 16 lados m) Heptadecágono: 17 lados n) Octadecágono: 18 lados o) Nonadecágono: 19 lados p) Icoságono: 0 lados

3 DIAGONAL DE UN POLÍGONO: Es el segmento de recta que une dos vértices no consecutivos de un polígono. 1) Diagonales desde un vértice: 3 Dv n 3 ) Total de diagonales: n es el número delados T D n n 3 Ejemplos y ejercicios: 1) Cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice en un pentadecágono? ) Cuántas diagonales se pueden trazar en total en un nonágono regular? 3) Cómo se llama el polígono en el que se pueden trazar 90 diagonales? 4) Cómo se llama el polígono en el que se pueden trazar desde un vértice 17 diagonales?

4 4 ÁNGULOS INTERNOS DE UN POLÍGONO: Son los ángulos formados por dos lados consecutivos y pertenecen al interior del polígono: 1) Suma de los ángulos internos: i180º n ) Si el polígono es regular, medida un ángulo interno: Ejemplos y ejercicios: 180º n m i n 1) Calcular la suma de los ángulos internos de un pentágono. ) Calcule cuánto mide un ángulo interno de un octágono regular. 3) Hallar el número de lados de un polígono regular, sabiendo que la suma de sus ángulos internos es ) Cómo se llama el polígono regular, en el que cada ángulo interno mide 10?

5 ÁNGULOS EXTERNOS DE UN POLÍGONO: Son los ángulos adyacentes a los ángulos internos obtenidos al prolongar los lados en un mismo sentido. 1) Suma de los ángulos externos: D 5 E C e 306º A B ) Si el polígono es regular, medida de un ángulo externo: m e 360º n Ejemplos y práctica: 1) Sabiendo que un ángulo externo de un polígono regular mide 60, indique el número de lados del polígono. ) Calcule la medida de un ángulo externo de un icoságono regular. ÁNGULO CENTRAL DE UN POLÍGONO: Es el ángulo formado por los radios que pasan por dos vértices consecutivos. El ángulo central de un polígono regular es igual al ángulo externo. Se calcula entonces con la fórmula: m c 360º n

6 6 Ejemplos: 1) Cuál es la medida de un ángulo central de un Octadecágono regular? ) Determine cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo central mide 7. PERÍMETRO DE UN POLÍGONO REGULAR: El perímetro de un polígono regular es igual al producto del número de lados del polígono por la medida de cada lado. P n donde es la longitud de cada lado. Ejemplos: 1) Hallar el perímetro de un polígono regular de 5 lados, si cada lado mide 8 cm. ) En un polígono regular la medida de cada ángulo interno es 140º, si el perímetro es 45, entonces cuál es la medida de cada lado del polígono?

7 ELEMENTOS DE UN POLÍGONO REGULAR: Para un polígono regular se definen los siguientes elementos: 1) Centro del polígono: Es el punto equidistante de los vértices del polígono. ) Radio de un polígono: Es el segmento de recta que une el centro del polígono con uno de sus vértices. 3) Apotema del polígono: Es el segmento de recta trazado desde el centro del polígono hasta el punto medio de unos de sus lados, en forma perpendicular. ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR: Se calcula con la siguiente fórmula: 7 A P a P : Perímetro a : Apotema Ejemplos: 1) Si el lado de un pentágono regular mide 4 cm y la apotema es de,7 cm; calcule su perímetro y su área. ) Calcule el área aproximada de un decágono regular, donde uno de sus lados mide 7cm.

8 3) De acuerdo con los datos de la siguiente figura, calcule en forma aproximada el perímetro de la misma. 8

9 9 RELACIONES ENTRE LOS ELEMENTOS DE ALGUNOS POLÍGONOS REGULARES (1) Triángulo Equilátero Altura: h 3 Radio: r a Apotema: h a 3 Área: A 4 3 () Cuadrado Diagonal: d Radio: r Apotema: a Área: A ó A d (3) Hexágono Regular Radio: r r Apotema: a 3 Área: 3 3 A

10 10 Ejemplos y ejercicios: 1) Hallar el radio, la apotema y el lado de un triángulo equilátero si se sabe que la altura mide 9 cm. ) Determinar el lado, la apotema, la altura y el área de un triángulo equiángulo si se sabe que el radio es igual a 1 cm. 3) Hallar el radio y la apotema de un cuadrado cuyo lado mide 18 cm. 4) Hallar la apotema y el lado de un hexágono regular cuyo radio mide 18 cm. 5) Calcular el área de un hexágono regular cuyo lado mide 10 cm. 6) Calcular el área de un cuadrado cuya apotema mide cm. 7) Determine la medida del radio de un triángulo equilátero cuya área es de cm.

11 11 Relaciones entre Polígonos y la Circunferencia Polígono Inscrito: Un polígono está inscrito en una circunferencia si sus vértices están en la circunferencia y sus lados son cuerdas de la misma. En este caso se dice que la circunferencia está circunscrita al polígono. Polígono Circunscrito: Es aquel polígono en el cual todos los lados son tangentes a al circunferecnia. En este caso, se dice que la circunferencia está inscrita en el polígono. Notas: El radio de la circunferencia circunscrita es el mismo que el radio del polígono. El radio de la circunferencia inscrita es igual a la apotema del polígono.

12 1 Ejemplos y prácticas: 1) Cuánto mide la apotema de un hexágono regular circunscrito a una circunferencia de 5 cm de radio. ) Cuánto mide la apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 8 cm de radio. 3) Calcule la longitud de la circunferencia inscrita a un triángulo equilátero de área ) Hallar el área de la circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero cuya altura mide 9 3 cm.