POLIEDROS. ÁREAS Y VOLÚMENES.

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1 7. POLIEDROS. ÁREAS Y VOLÚMENES. EN ESTA UNIDAD VAS A APRENDER CUERPOS GEOMÉTRICOS POLIEDROS POLIEDROS REGULARES PRISMAS PIRÁMIDES CARACTERÍSTICAS DEFINICIÓN ELEMENTOS DEFINICIÓN ELEMENTOS - Tetaedro. - Hexaedro. - Octaedro. - Dodecaedro. - Icosaedro. CLASES PARALELOGRAMOS ORTOEDRO CUBO ÁREAS Y VOLÚMENES RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS PARA EMPEZAR 1. Escribe y dibuja todos los cuerpos geométricos que conozcas. Colegio Vizcaya Poliedros. Áreas y volúmenes - 137

2 PARA APRENDER Cuerpo geométrico: Es aquel que ocupa un espacio y, por tanto, tiene tres dimensiones: largo, ancho y alto. Solemos llamar cuerpo geométrico al que está limitado por caras planas o curvas. Poliedro: Es un cuerpo geométrico limitado por caras planas, formadas por polígonos. * Indica cuáles de los siguientes cuerpos geométricos son poliedros: Los principales poliedros son: 1) Los Poliedros Regulares. 2) Los Prismas. 3) Las Pirámides. 1) LOS POLIEDROS REGULARES Poliedro Regular: Es un poliedro que tiene todas sus caras formadas por polígonos regulares iguales y tiene todos sus ángulos iguales. Sólo existen 5 poliedros regulares, que son los siguientes: * Completa la siguiente tabla ayudándote de los dibujos anteriores: Poliedro Regular Número de caras Polígono de las caras Tetraedro 4 Triángulo equilátero Hexaedro o Cubo 8 Pentágonos 20 Poliedros. Áreas y volúmenes Colegio Vizcaya

3 2) LOS PRISMAS Prisma: es un poliedro que tiene dos caras paralelas llamadas bases y varias caras laterales formadas por paralelogramos. A continuación tienes la definición de todos los elementos de un prisma: Elementos de un prisma: Vértices: Son los puntos donde concurren tres aristas. Bases: Son las dos caras iguales y paralelas. Caras: Son los paralelogramos que lo limitan lateralmente. Aristas laterales: Formadas por la intersección de las caras laterales entre sí. Aristas básicas: Son las que se originan por la intersección de las bases con las caras laterales. Altura: La altura de un prisma es la distancia entre sus bases. Fíjate en el dibujo y señala en el sus elementos. Clases de prismas: Rectos: Si las aristas laterales son perpendiculares a las bases. En este caso las caras laterales son rectángulos o cuadrados. Oblicuos: Si las caras laterales no son perpendiculares a las bases. En este caso las caras laterales son rombos o romboides. Regulares: Son los prismas rectos cuyas bases son polígonos regulares. Irregulares: Si es un prisma no recto o sus bases no son polígonos regulares. * Según sus lados: - Triangulares: Las bases están formadas por triángulos. - Cuadrangulares: Las bases están formadas por cuadrados. - Pentagonales: Las bases están formadas por pentágonos. - Hexagonales: Las bases están formadas por hexágonos. - Colegio Vizcaya Poliedros. Áreas y volúmenes - 139

4 CASOS PARTICULARES DE PRISMAS: LOS PARALELEPÍPEDOS. Vamos a ver un tipo especial de prismas cuyo estudio va a resultar de mucho interés porque tienen formas geométricas muy familiares para todos como son un dado, una caja de galletas, una habitación, etc. Todos ellos son paralelepípedos y en concreto cubos (las caras son cuadrados) y ortoedros (las caras son cuadrados y rectángulos). Un paralelepípedo es un prisma cuadrangular cuyas bases y caras laterales están formadas por paralelogramos. * Responde a las siguientes preguntas: a) Cuántas caras tiene un paralelepípedo? b) Cómo son esas caras? Qué tipo de polígono son? c) Cuántos vértices tiene? d) Cuántas aristas tiene? e) Cómo se llama el paralelepípedo cuyas caras son cuadradas? f) Si un prisma es cuadrangular, es un paralelepípedo? Por qué? g) Un paralelepípedo es siempre un prisma cuadrangular? Por qué? EL ORTOEDRO Piensa en una caja de zapatos. Las caras suelen estar formadas por cuadrados y rectángulos. Un ortoedro es un paralelepípedo recto cuyas caras son todas perpendiculares dos a dos. Dimensiones de un ortoedro: se llaman dimensiones de un ortoedro a la medida de las tres aristas que concurren en un vértice y representan el largo, el ancho y el alto. Para poder construir la caja anterior necesitamos diseñarla primero en un trozo de cartón. Para ello es necesario conocer el desarrollo plano de un ortoedro: Poliedros. Áreas y volúmenes Colegio Vizcaya

5 EL CUBO El cubo es tan solo un caso particular de ortoedro en el que todas sus caras son cuadrados. Es muy fácil imaginarse un cubo, ya que basta con pensar en un dado. 3) LAS PIRÁMIDES Una pirámide es un cuerpo geométrico formado por una base poligonal y caras laterales triangulares que coinciden en un punto llamado vértice o cúspide. Elementos de la pirámide: Base: Polígono sobre el que se apoya la pirámide. Vértice o cúspide: Es el punto donde coinciden todas las caras laterales. Caras laterales: Son cada uno de los triángulos que coinciden con los demás en el vértice. Aristas básicas: Son cada uno de los lados que forman el polígono de la base. Aristas laterales: Son las formadas por la intersección de dos caras laterales. Altura de la pirámide: Es la perpendicular trazada desde el vértice de la pirámide hasta la base. Si la pirámide es regular, entonces la altura va desde el vértice de la pirámide hasta el centro de la base. Pirámide regular: si la base está formada por un polígono regular y todos los triángulos de las caras laterales son iguales. Si una pirámide es regular además de todos los elementos anteriores, también tiene estos dos: Apotema de la pirámide: es la altura de los triángulos que forman las caras. Apotema de la base: es el segmento que une el centro del polígono de la base con el punto medio de un lado. * Señala en la siguiente pirámide todos los elementos anteriores: Colegio Vizcaya Poliedros. Áreas y volúmenes - 141

6 PARA PRACTICAR 2. Las dimensiones de un ortoedro son 5, 6 y 7 cm. Calcula la longitud total de todas las aristas. 3. Calcula la longitud total de las aristas de un cubo cuya arista mide 12 cm. 4. Calcula la longitud total de todas las aristas de un tetraedro regular. 5. Si una arista mide 16 cm, cuánto sumarán las longitudes de todas las aristas de? a) Un tetraedro. b) Un cubo. c) Un octaedro. d) Un dodecaedro. e) Un icosadro. Poliedros. Áreas y volúmenes Colegio Vizcaya

7 PARA APRENDER CUBO: Observa el siguiente cubo cuya arista básica mide 5 cm y contesta a las siguientes cuestiones: a) Un cubo está formado por seis caras iguales. Qué polígono forman estas caras? b) Calcula el área de una de las dos bases del cubo. c) Cuántas caras laterales tiene un cubo? Calcula el área de todas ellas juntas. 5cm 5cm 5cm d) Calcula el área de todas las caras del cubo juntas. e) Cuál es el volumen de este cubo? Expresa el resultado en cm 3, en litros y en kilogramos. ORTOEDRO: Observa el siguiente ortoedro de dimensiones 10, 5 y 3 cm y contesta a las siguientes cuestiones: a) Un ortoedro está formado por seis caras. Son todas ellas iguales? 3cm b) Calcula el área de una de las dos bases del ortoedro. 10 cm 5cm c) Cuántas caras laterales tiene un ortoedro? Calcula el área de todas ellas juntas. d) Calcula el área de todas las caras del ortoedro juntas. e) Cuál es el volumen de este ortoedro? Expresa el resultado en cm 3, en litros y en kilogramos. Colegio Vizcaya Poliedros. Áreas y volúmenes - 143

8 PRISMA: Observa el siguiente prisma hexagonal regular de 10 cm de altura y cuya base tiene 5 cm de arista y 4 3 cm de apotema, y contesta a las siguientes cuestiones: a) Qué polígono forman sus bases? Calcula el área de una de las dos bases del prisma. c) Cuántas caras laterales tiene este prisma? Qué polígono son? Calcula el área de todas ellas juntas. 4 3 cm 10 cm d) Calcula el área de todas las caras del prisma juntas. 5cm e) Cuál es el volumen de este prisma? (Volumen del prisma = Área de la base altura) PIRÁMIDE: Observa la siguiente pirámide cuadrangular regular de 8 cm de arista básica, 10 cm de altura y 10 7 cm de apotema de la pirámide (altura de la cara)y contesta a las siguientes cuestiones: a) Qué polígono forman sus bases? Calcula su área. c) Cuántas caras laterales tiene esta pirámide? Qué polígono son? Calcula el área de todas ellas juntas. 10 cm 10 7 cm d) Calcula el área de todas las caras de la pirámide juntas. 8cm e) Cuál es el volumen de esta pirámide? (Volumen del prisma = Área de la base altura : 3) Poliedros. Áreas y volúmenes Colegio Vizcaya

9 PARA PRACTICAR 1. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cubo de 13 cm de arista. 2. Calcula el área de todas las caras de un ortoedro cuyas aristas básicas miden 4'5 y 3'5 cm, y su altura es de 10 cm. 3. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un ortoedro de dimensiones 5, 12 y 15 cm. 4. Queremos cubrir el fondo y las paredes de una piscina de forma de ortoedro cuyas dimensiones son 50 m de largo, 15 m de ancho y 200 cm de alto. Cuántos azulejos cuadrados de 20 cm de lado se necesitarán? Cuántos litros de agua caben en la piscina? 5. Calcula el volumen de un cubo cuya área total mide 54 cm 2. Colegio Vizcaya Poliedros. Áreas y volúmenes - 145

10 6. Calcula el área lateral, área total y el volumen de un prisma cuadrangular regular de 12 cm de arista básica y 15 cm de arista lateral. 7. Calcula el área lateral, área total y el volumen de un prisma hexagonal regular de 6 cm de arista básica y 10 cm de arista lateral y 5'2 cm de apotema de la base. 8. Un prisma recto tiene 64 cm 2 de área de la base y un volumen de 960 cm 3. Calcula su altura. 9. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular regular de 3 cm de arista básica y 8 cm de apotema de la pirámide. 10. Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide hexagonal regular de 4 cm de arista básica, 7 cm de apotema de la pirámide y 3'5 de apotema de la base. Poliedros. Áreas y volúmenes Colegio Vizcaya

11 PARA ENTRENAR 11. Halla el área total de un ortoedro cuyas aristas miden 4, 5 y 6 cm. 12. Calcula el área total de un cubo de 5 cm de arista. 13. Averigua el área lateral de una pirámide pentagonal regular de 6 cm de arista básica y cuyos triángulos laterales tienen una altura de 10 cm. 14. El área de la base de un prisma es 12,56 cm 2 y su altura mide 6 cm. Calcula el volumen. 15. La base de una pirámide es un cuadrado de 10 cm de lado y la altura de dicha pirámide es de 12 cm. Cuál será su área total? Y su volumen? 16. Calcula el volumen de un ortoedro de aristas 8, 5 y 3 cm. 17. Serás capaz de averiguar el volumen de una pirámide sabiendo que su área total es de 96 cm 2, y que su base es un cuadrado de 36 cm 2 de área. 18. Calcula el volumen de un cubo sabiendo que su área total es de 150 cm 2. Colegio Vizcaya Poliedros. Áreas y volúmenes - 147

12 19. Halla el área lateral, el área total el volumen de un dado cuya base mide 16 cm Averigua el área lateral y total de un cubo cuyo volumen es de 216 cm Para llenar un depósito cúbico se han empleado litros de agua. Cuál es el área total del mismo? 22. La caja que contiene las piezas de un rompecabezas mide 4,8 dm de largo, 3,6 de ancho y 5 dm de alto. Cuántos cubitos de 9,6 cm 3 contiene? 23. Qué capacidad en litros tiene un depósito de 8,8 m de altura, siendo su base un hexágono regular de 8 m de lado? Cuánto costará pintar su interior si nos cobran a 12 el m 2? 24. El volumen de un ortoedro es 140 cm 3, y dos de sus aristas miden 4 y 5 cm. Calcula cuanto mide la otra arista. 25. Un prisma hexagonal regular tiene iguales las aristas básicas y las laterales que miden 6 cm y la apotema de la base 5,2 cm. Halla su volumen. Poliedros. Áreas y volúmenes Colegio Vizcaya

13 26. Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular regular de 10 cm de arista básica y 12 de apotema. 27. Calcula el área lateral, total y el volumen en cada uno de los siguientes casos: a) 4m 9m 6m b) 3m 12 m 4m c) 2 4 m 7 3 m 3 8 m Colegio Vizcaya Poliedros. Áreas y volúmenes - 149

14 d) 5 6 m 9 8 m 12 7 m e) 12 m 8m 6m f) 12 m 9m 2m 4m Poliedros. Áreas y volúmenes Colegio Vizcaya

15 28. Calcula el área de la base, área lateral, área total y volumen de un cubo de 4 cm de arista. 29. Calcula el área de la base, área lateral, área total y volumen de un ortoedro de dimensiones 7, 8 y 9 cm. 30. Calcula el área de la base, área lateral, área total y volumen de un prisma hexagonal de 8 cm de arista básica y 10 cm de arista lateral. 31. Calcula el área de la base, área lateral, área total y volumen de una pirámide cuadrangular de 6 cm de arista básica y 4 cm de apotema de la pirámide. 32. Calcula el área total y el volumen de un cubo de 7 cm de arista. 33. Calcula el área total de un depósito con forma de ortoedro de 7 m de largo, 11 m de ancho y 15 m de alto. Cuál es su capacidad en litros? Colegio Vizcaya Poliedros. Áreas y volúmenes - 151

16 34. Calcula el área total y el volumen de un prisma hexagonal de 10 m de arista básica y 15 m de altura. 35. Calcula el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 6 m y 10 m de arista básica y de apotema de la pirámide, respectivamente. 36. Sabiendo que el área de la base de un cubo mide 64 m 2, calcula su área total y su volumen. 37. El largo y el ancho de un ortoedro miden 10 y 12 m. Calcula el área total sabiendo que su volumen es de 1680 m Calcula el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 15 cm de altura y 8 cm de arista básica. Poliedros. Áreas y volúmenes Colegio Vizcaya

17 39. Calcula el área de la base de un ortoedro de litros de capacidad y 5 m de altura. 40. Calcula el volumen de un prisma hexagonal de 12 y 14 cm de arista básica y lateral. 41. Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular de 25 m 2 de área de la base y 8 m de apotema de la pirámide. 42. Calcula el área lateral de una pirámide hexagonal de 16 cm de arista básica y 20 cm de altura. 43. Calcula la cantidad necesaria de cartón para construir 100 cajas cuyas dimensiones son 8, 10 y 20 cm. Qué volumen ocupan? Colegio Vizcaya Poliedros. Áreas y volúmenes - 153

18 44. Averigua el área lateral y total de un cubo cuyo volumen es de 125 cm Se ha construido un prisma recto de base cuadrangular y de 18 cm de altura. Sabiendo que el área de la base es de 36 cm 2, calcula su área lateral y su volumen. 46. Se quiere cubrir con azulejos el fondo y las paredes de un depósito que tiene forma de ortoedro, cuyas dimensiones son: 5 m de largo, 7 m de ancho y 3 m de alto. Cuántos azulejos cuadrados de 20 cm de lado se necesitarán? 47. Calcula el área total y el volumen de un prisma cuadrangular cuyas aristas básicas y laterales miden 10 y 12 m, respectivamente. Poliedros. Áreas y volúmenes Colegio Vizcaya

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