Tema 10: Cuerpos geométricos y transformaciones geométricas

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1 Tema 10: Cuerpos geométricos y transformaciones geométricas Regla. Escuadra. Cartabón. Compás. Transportador de ángulos. Calculadora Portaminas. Goma 10.1 Polígonos MATERIAL DE CLASE OBLIGATORIO PROBLEMAS DE LAS FOTOCOPIAS 1. Calcula el área y el perímetro de la siguiente figura. El perímetro es P cm No se puede calcular el área dado que no conocemos la altura: habría que aplicar el Teorema de Pitágoras.. Encuentra el área de los siguientes polígonos: a) un trapecio de bases 1 cm y 8 cm y de altura 5 cm. No podemos calcular el perímetro pues no conocemos las medidas de los lados oblicuos: habría que aplicar el Teorema de Pitágoras para calcularlos. Àrea cm 1

2 b) Un rombo de diagonales 1 y 9 cm. Su área es cm c) Un rombo de diagonal mayor 8 cm y de lado 5 cm. No se puede calcular dado que no conocemos la diagonal menor: tendríamos que aplicar el Teorema de Pitágoras. Si podemos calcular su perímetro: P cm. Halla el perímetro y el área de un triángulo equilátero de 0 cm de lado. Su perímetro es 0 60 cm. Su área no se puede calcular dado que no conocemos la altura: habría que aplicar el Teorema de Pitágoras.

3 Tareas : todos los ejercicios de la página 95 del libro 10. Teorema de Pitágoras PROBLEMAS DE LAS FOTOCOPIAS: página 74 5 Los lados de un triángulo miden 6,8,10. Es un triángulo rectángulo? Consideramos que la hipotenusa es 10 mientras que los catetos son 6 y 8. Tenemos que: Se cumple que , es decir, se cumple el Teorema de Pitágoras. Por lo tanto, el triángulo es rectángulo. Lo construimos gráficamente 6 Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 9 y cm. Dibújalo. Será que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: b a c b b cm 7 Calcula el cateto desconocido en un triángulo rectángulo si la hipotenusa mide 1 cm y el otro cateto mide 5 cm.

4 Aplicamos el Teorema de Pitágoras. Será que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: b a c 1 5 c c c c cm 8 Cuál es la altura de una tienda de campaña si cada una de las cuerdas que tensan el mástil mide 1 m, si estas están a 1 m de distancia del mismo? Gráficamente la situación se representa así: Tomamos el triángulo rectángulo ABD : para aplicar el Teorema de Pitágoras. AB AD BD 1 AD 1 1 AD 1 AD AD 0 0 m Por lo tanto, la altura de la tienda es cero, y no tenemos una tienda montada!!!!!!!!!! Vamos a pensar que lo que mide 1 m es la distancia entre los anclajes de las cuerdas que sujetan el mástil central de la tienda. 4

5 Tomamos el triángulo rectángulo ABD : para aplicar el Teorema de Pitágoras. AB AD BD 1 AD AD 0. 5 AD AD m 1 Calcula el área y el perímetro de la siguiente figura. Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ABD para calcular un cateto: AB AD BD 5 4 BD 5 16 DB DB DB 9 cm Finalmente el área es basexaltura cm Encuentra el área de los siguientes polígonos: c) un rombo de diagonal mayor 8 cm y de lado 5 cm. 5

6 Trabajamos en el triángulo rectángulo ADE donde podemos aplicar el Teorema de Pitágoras: AD AE DE 5 4 DE DE DE 9 cm Por lo tanto, la diagonal menor es 6 cm Finalmente el área vale cm Halla el perímetro y el área de un triángulo equilátero de lado 0 cm. Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo CDB : CB CD DB 0 CD 10 CD CD cm Por lo tanto el área es basexaltura cm 4 Calcula el áreas de las siguientes figuras: a) Trabajamos en el triángulo rectángulo FGC donde aplicamos el Teorema de Pitágoras: FC GC FG 6 FG FG 6 4 FG cm 6

7 Tenemos que área del pentágono es 5 veces el área del triángulo FCB: ÀREA PENTÁGONO 5 ÁREA TRIÁNGULO FCB basexaltura cm b) base menor base mayor 5 8 El área sera altura 6 9 cm Vamos a calcular también el perímetro, es decir, la suma de todos los lados. En el triángulo rectángulo DEC aplicamos el Teorema de Pitágoras: DC ED EC DC cm Perímetro cm 9. Dadas las medidas de la figura del cuadro, calcula los valores desconocidos. AF 1. 5cm CH 1. 8cm FG 1. 4cm GB. 5cm a) HI? Por el Teorema de Tales es AF CH FG HI HI 4 HI cm. 7

8 b) BI? Por el Teorema de Tales es AF CH GB BI BI 5 BI c) BC? BC CHHI IB cm 10. Calcula las medidas de los lados desconocidos:. 0 cm a) EC? Aplicando el Teorema de Tales resulta que AE cm b) DC? Aplicando el Teorema de Tales resulta que AE AF EC BF EC AF DC BG DC 1. cm 11. Calcula las longitudes desconocidas de la siguiente figura: EC EC a) FE? Aplicamos el Teorema de Tales AF AG GH FE FE FE b) HI? Aplicamos el Teorema de Tales AF AG ED HI HI HI c) IC? cm 0. 5 cm 8

9 Aplicamos el Teorema de Tales AF AG DB IC IC 7 IC Poliedros 1. 8 cm EJERCICIOS DE LAS FOTOCOPIAS PÁGINA 76 1 De los siguientes cuerpos indica los que son poliedros: a) Es un poliedro pues es un cuerpo geométrico limitado por caras que son polígonos. Es más es un poliedro regular pues tiene seis caras que son cuadrados iguales. b) Es un poliedro pues es un cuerpo geométrico limitado por caras que son polígonos (rectángulos y hexágonos). c) 9

10 No es un poliedro pues no todas sus caras son polígonos. 1 Comprueba el Teorema de Euler en el siguiente poliedro. El Teorema de Euler dice que C V A. Consideramos la siguiente tabla: Nº de caras C Nº de vértices V Nº de aristas A C V A Vemos que si se verifica el Teorema de Euler. 14 Los siguientes datos pertenecen a un poliedro: Nº de caras C Nº de vértices V Nº de aristas A C V A 5 6 X X Como se ha de cumplir el Teorema de Euler, ha de ser 11 X X 9 10

11 15 Calcula el área lateral de un prisma de base hexagonal de 5 cm de arista básica y 10 cm de altura. El área lateral será seis veces el área de un rectángulo de lados 5 y cm 16 Dado el siguiente prisma recto de base rectangular, calcula: a) El área de la base cm b) El área de las caras laterales cm c) El área de todo el prisma cm 11

12 d) El volumen del prisma. Área de la base x altura cm 17 Halla el volumen de este prisma recto de base hexagonal. Volumen Área de la base x altura Área de la base 6 área del triángulo MIJ base x altura área del triángulo MIJ MN IJ Como se trata de un hexágono regular, el radio de la circunferencia circunscrita coincide con el lado del hexágono. Tenemos un triángulo rectángulo MNJ donde podemos, aplicando el Teorema de Pitágoras, calcular la altura MN. MJ MN NJ 6 MN MN MN cm Finalmente es Volumen cm 18 Calcula el área lateral de una pirámide de base hexagonal de 7 cm de apotema y 4 cm de arista básica. Tenemos que Área lateral 6 x área del triángulo cm 19 Averigua el área total de una pirámide de altura 10 cm cuya base es un cuadrado de 6 cm de lado. 1

13 Trabajamos en el triángulo rectángulo EFG donde aplicamos el Teorema de Pitágoras: EG EF FG EG Área total área de la base 4 x área del triángulo lateral cm 0 Calcula el volumen de una pirámide de base cuadrada de lado 8 cm y de apotema 10 cm. Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo EFG : EG EF FG 10 4 FG FG FG cm área de la base x altura Volumen V cm 1 Halla la altura de una pirámide hexagonal regular de lado de la base 10 cm y arista 6 cm. 1

14 Como la base es un hexágono regular, el radio de la circunferencia circunscrita al hexágono tiene de radio la medida del lado del hexágono. Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo AGH : AG AH GH 6 10 GH GH GH cm Dada la siguiente pirámide de base un cuadrado de lado 8 cm y altura 10 cm, calcula: a) El área de la base. Área 8 64 cm b) El área de las caras laterales. Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo EFG : EG EF FG EG cm base x altura Area de una cara lateral cm Finalmente, el área de todas las caras laterales será cm c) El área de toda la pirámide cm d) El volumen de la pirámide. área de la base x altura V cm Calcula el volumen de una pirámide de base hexagonal de 4 cm de arista básica y 8 cm de altura. 14

15 Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo AHI para calcular la apotema del hexágono: AH IH AI 4 IH IH IH cm Entonces el volumen será V cm 4 Dibuja una cuerda de cm en una circunferencia de 4 cm de diámetro. Qué longitud tiene la cuerda más larga en esta circunferencia? En cualquier circunferencia la cuerda de mayor longitud coincide con un radio, es decir, en nuestro caso será 4 cm. 5 Halla el perímetro y el área de un círculo de 6 cm de diámetro. Como el diámetro es 6 cm será el radio r cm Así, el perímetro serà L cm Mientras que el área es A cm 6 Determina el área de un sector circular de 45 de una circunferencia de radio cm. Será el área A cm 8 7 Una porción de pizza de 5 de amplitud tiene una superficie de 0 cm, calcula el radio de la pizza. Será 0 r 5 r r cm 8 Calcula el área de las siguientes figuras a) 15

16 Será A cm b) Teniendo en cuenta el apartado anterior será cm 9 9 Calcula el área de un cilindro de 6 cm de altura y 1 cm de diámetro. Área cilindro x área de la base área lateral 6 base x altura cm Volumen área de la base x altura cm 0 Qué cantidas de papel de celofán se necesita para envolver un paquete de galletas que tiene una altura de 10 cm y cada galleta mide 4 cm de diámetro? 16

17 Se trata de calcular el área exterior del cilindro que es: Área cilindro x área de la base área lateral base x altura cm 1 Calcula el área de un cilindro inscrito en un cubo de 8 cm de lado. Área cilindro x área de la base área lateral 4 base x altura cm Calcula y dibuja sobre el plano el área total de un cono de 6 cm de diámetro básico y 4 cm de generatriz. 17

18 Área cono área base área lateral cm En un cono el radio de la base mide cm y la altura 6 cm. Calcula el área lateral del cono. Tenemos que calcular la generatriz. Para ello, aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ABC : CB AB CA 6 40 CB cm Área lateral cm 4 Calcula el volumen de un cilindro de 10 cm de diámetro cuya altura es el doble del radio. Diámetro 10 r r 10 5 cm Altura x radio 5 10 cm V cm 5 Obtén el volumne de un cilindro inscrito en un cubo de arista m. 18

19 V área de la base x altura m 6 Queremos construir un depósito de forma cilíndrica con chapa de alumnio, de forma que su capacidad sea de 0 m y su radio igual que su altura. Cuánta chapa necesitaremos? Será V x x x. Pero V 0. Entonces 0 x x 0 x m Ahora hemos de calcular el área total del cilindro x área del círculo de la base área lateral cm es la cantida de chapa metálica necesaria. 7 Calcula el volumen de un cono de radio 5 cm y altura 8 cm. V cm 8 Calcula el volumen de una esfera de radio cm. Si se duplica el radio de una esfera en cuanto varía el volumen? Tenemos la tabla siguiente. radio volumnen aumento r 1 V r V 4 8 r 4 V r 8 V El aumento es de 8, y esto se debe a que en la fórmula del volumen aparece el radio al 19

20 cubo. 9 Pepe se ha comprado una bola de cristal. La bola mide 1 cm de diámetro. Pepe quiere averiguar cuanto pesa la bola. Podrías averiguar su peso si 1 cm pesa 0 g? Hemos primero de calcular el volumen de la esfera: V cm Su peso será g kg 40 Calcula el lado de un cubo que tiene la misma capacidad que una esfera de m de radio. Hallamos el volumen de la esfera V 4 6 m El volumen de un cubo de lado x m es V x Entonces será x 6 x m 41 El área de una esfera es de cm. Calcula su volumen. El área de un esfera de radio x cm es 4x. Por lo tanto 4x x x cm. V cm 4 Tenemos que pintar la cúpula de una iglesia de 6 m de diámetro, si la empresa nos cobra a 400 euros el metro cuadrado. Cuánto costará pintarla? Será necesario calcular el área exterior de la esfera de radio r m. 4 6 m La cúpula es la mitad de esta superficie 6 18 m Por último, el coste de pintarla será euros. 4 Tenemos una esfera de radio m dentro de otra de radio 5 m. Calcula el volumen que hay entre las dos esferas. V V r5 V r m 44 Calcula el volumen que queda libre entre un cubo y una esfera inscrita en él, si el lado del cubo es de 8 cm. 0

21 Será V V cubo V esfera m 45 Un vaso está lleno de agua. Si se introduce en él una canica se derraman 6 cm de agua. Cuál es el radio de la canica? Desconocemos el radio de la canica, que será r. Por otro lado, el volumen de una esfera en función del radio viene dado por: V 4 r 6 4 r r 6 4 r 7 r 7 cm es el radio de la canica. 46 El radio de una esfera mide. 1 m. Calcula: a) El área de la superficie esférica cm b) El volumen de la esfera. V cm 47 Un cubo y una esfera tienen el mismo volumen de 15 cm. Cuál tiene menor área exterior? Para el cubo hemos de calcular la arista, y para la esfera, hemos de encontrar su radio. V cubo l l 15 l 15 5 cm V esfera 4 r 15 4 r r 15 4 r 75 4 r cm 4 Ahora estamos en condiciones de calcular las superficies exteriores de ambas piezas. cubo cm, recordemos que un cubo tiene seis caras cuadradas. esfera cm El cubo tiene mayor área exterior. 1