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Mario Franco García
hace 6 años
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1 PRISMAS Y CILINDROS OBJETIVO DE LA CLASE: ANALIZAR PRISMAS Y CILINDROS EN CUANTO A SU ÁREA Y VOLUMEN Menú: - Poliedros - Teorema de Euler - Principio de Cavalieri - Prismas: área y volumen - Cilindros: área y volumen

2 POLIEDROS Un POLIEDRO es un cuerpo geométrico limitado por cuatro o más polígonos. Los polígonos que limitan el poliedro se llaman caras, los lados de las caras se llaman aristas y los vértices de las caras son los vértices del poliedro.

prolongar sus caras, NO cortan al poliedro: POLIEDROS

3 POLIEDROS CONCAVOS Y CONVEXOS Los poliedros pueden ser de DOS tipos: POLIEDROS CONVEXOS son aquellos en los que al prolongar sus caras, NO cortan al poliedro: POLIEDROS CONCAVOS son aquellos en los que al prolongar sus caras, SI cortan al poliedro:

4 FÓRMULA DE EULER En un poliedro CONVEXO cualquiera siempre se cumple la siguiente relación: C + V = A + 2 caras + vértices = aristas + 2 (1707, 1783)

cualquier plano paralelo a las bases, el área de las

5 PRINCIPIO DE CAVALIERI Si dos cuerpos tienen la misma altura y bases de igual área, y al cortarlos por cualquier plano paralelo a las bases, el área de las secciones es la misma, ambos tienen igual volumen. (1598, 1647)

6 PRISMAS Un PRISMA es un poliedros con dos caras iguales y paralelas entre sí, y cuyas caras restantes son paralelogramos.

7 PRISMAS Un PRISMA es un poliedros con dos caras iguales y paralelas entre sí, y cuyas caras restantes son paralelogramos.

8 ÁREA DE PRISMAS El área de un prisma será el área de las caras más el área del rectángulo que se forma al expandir el prisma. El área del rectángulo tiene como alto la altura del prisma y como largo el perímetro de la base. Por lo tanto:

9 VOLUMEN DE PRISMAS El volumen de un prisma de base cualquiera será igual al área de su base por su altura. Es decir:

10 CILINDROS Es el cuerpo que se genera al trasladar un círculo. Llamamos generatriz al segmento que une ambas caras circulares de los extremos.

El rectángulo tiene como alto la altura del cilindro y

11 ÁREA DE UN CILINDRO El área de un cilindro corresponde a las áreas de las bases más el área del rectángulo. El rectángulo tiene como alto la altura del cilindro y como largo el perímetro de la circunferencia. Por lo tanto:

12 VOLUMEN DE UN CILINDRO Como cada área transversal es de igual área que las bases, el volumen será el área de la base por las alturas. Es decir:

EJERCICIOS 1. Comprobar el teorema de Euler en un prisma de base pentagonal y en un prisma de base triangular. 2. Los objetos de la siguiente imagen tendrán el mismo volumen? por qué? 3.

13 EJERCICIOS 1. Comprobar el teorema de Euler en un prisma de base pentagonal y en un prisma de base triangular. 2. Los objetos de la siguiente imagen tendrán el mismo volumen? por qué? 3. Calcular el área y volumen en m de un prisma de base un triángulo equilátero de 400 cm de lado y altura 5000 dm. 4. Cálcular el área y volumen de un cilindro de altura 15 m y radio 7 m.

14 PIRÁMIDES, CONOS Y ESFERAS OBJETIVO DE LA CLASE: ANALIZAR PIRÁMIDES, CONOS Y ESFERAS EN CUANTO A SU ÁREA Y VOLUMEN Menú: - Pirámides - Conos - Esferas

Su nombre va a depender del polígono que haya en la

15 PIRÁMIDES Las PIRÁMIDES son un tipo de poliedros, ya que todas sus caras son polígonos (no hay ninguna curva). Su nombre va a depender del polígono que haya en la base: triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etcétera.

16 PARTES DE LA PIRÁMIDE

17 ÁREA DE LA PIRÁMIDE El área de la pirámide corresponde a la suma del área del polígono de la base más el área de cada triángulo lateral.

18 EJERCICIO Calcular el área total de una pirámide de base pentagonal regular, si la apotema de la base mide 5 cm, el lado de la base 6 cm y la altura de cada uno de los triángulos de las caras 9 cm.

h, el contenido (volumen) de la pirámide llena

19 VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE Si llenamos una pirámide de arena y la vaciamos en un prisma de la misma altura h, el contenido (volumen) de la pirámide llena exactamente un tercio del volumen del prisma. Por lo tanto:

20 CONO Un cono es un cuerpo de revolución que se genera al girar un triángulo rectángulo alrededor de un cateto. Cono recto Cono oblicuo

21 ÁREA DEL CONO El área lateral (del sector circular que tiene como radio la generatriz g) se puede calcular por regla de tres: El área de la base de radio r es: Por lo tanto, el área total del cono es:

principio de Cavalieri, tendrán el mismo volumen.

22 VOLUMEN DEL CONO Una pirámide y un cono, ambos de altura h, con bases de igual área y secciones de la misma área, según el principio de Cavalieri, tendrán el mismo volumen. Por lo tanto, el volumen del cono será un tercio del área de la base por la altura:

23 ESFERA La esfera es un cuerpo de revolución caracterizado por su radio. Se diferencia del cilindro y el cono en que no tiene desarrollo plano.

24 INTENTOS DE PROYECCIÓN DE UNA ESFERA EN EL PLANO: MAPAMUNDIS El mapa tradicional de Mercator fue presentado por Gerardus Mercator en Este mapa respeta las formas de los continentes pero no los tamaños.

25 INTENTOS DE PROYECCIÓN DE UNA ESFERA EN EL PLANO: MAPAMUNDIS Un artista y arquitecto japonés, Hajime Narukawa, logro una aproximación bastante acertada del desarrollo plano de una esfera por medio del origami:

26 INTENTOS DE PROYECCIÓN DE UNA ESFERA EN EL PLANO: MAPAMUNDIS Pese a que este mapa no es un desarrollo plano de la esfera, si es una aproximación bastante cercana. No obstante, no es posible obtener el desarrollo de una esfera en el plano.

27 ÁREA DE LA ESFERA El área de una esfera se puede determinar bajo la siguiente fórmula:

28 VOLUMEN DE LA ESFERA El matemático Zu Geng, nacido cerca del 450 uso el principio de Liu Hui y Zu Geng (equivalente al principio de Cavalieri) para determinar el volumen de una esfera. Zu Geng descubrió que el volumen de la semiesfera será el volumen de un cilindro menos el de un cono, las tres figuras de radio r. Por lo tanto el volumen de la esfera será dos veces el de la semiesfera.

29 VOLUMEN DE LA ESFERA Por lo tanto:

30 EJERCICIOS 1. La pirámide de Keops es una pirámide recta de base cuadrada. Originalmente tenía 146 m de altura y 230 m de lado en la base. Calcule su área y volumen en metros. 2. Calcular el área y volumen en mm de un cono recto si el radio de la base mide 5 cm y su generatriz mide 20 cm. 3. Calcular la superficie y el volumen en metros de una pelota esférica de 10 dm de radio.

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