GEOMETRÍA DEL ESPACIO

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1 CAPÍTULO VII GEOMETRÍA DEL ESPACIO

2 105 GEOMETRÍA DEL ESPACIO Definición: Es la parte de la geometría que estudia las propiedades de las figuras y sólidos geométricos cuyos elementos no están en un mismo plano. Espacio. Es el lugar donde están contenidos todos los sólidos geométricos. Plano. Término no definido. Intuitivamente se considera formado por infinitos puntos. Para representarlo utilizamos un paralelogramo. C D A B M Determinación de un plano 1. Un plano está determinado por una recta y un punto exterior a ella. M 2. Por tres puntos no situados en una misma recta. 3. Por dos rectas que se cortan. 4. Por dos rectas paralelas Posiciones relativas de dos planos Dos planos en el espacio pueden ser: a.- Secantes. Su intersección es una recta.

3 106 b.- Paralelos Posiciones de una recta y un plano a.- La recta está contenida en el plano. b.- La recta atraviesa el plano. Postulado: Si dos planos diferentes se cortan, su intersección es un lía recta. Teorema uno Si un plano interseca a dos planos paralelos, entonces su intersección son dos rectas paralelas. L 1 P 1 P 3 L 2 P 2

4 107 Hipótesis P 1 P 2 P 3 Plano secante. Tesis L 2 L 1 Demostración 1.- P 3 corta a P 1 en L P 3 corta a P 2 en L L 2 y L 1 están en un mismo plano y no tienen puntos comunes, porque P 1 y P 2 son paralelos por hipótesis. 4.- Por lo tanto L 2 paralela a L 1 POLIEDROS Definiciones - Se llama poliedro un cuerpo o sólido geométrico, limitado por superficies planas. - Las superficies que limitan el sólido se llaman caras del poliedro. - Los lados de las caras se llaman aristas y las intersecciones de las aristas se llaman vértices. - Angulo diedro de un sólido es el ángulo formado por dos caras concurrentes en una arista. Ángulo Poliedro Se llama ángulo poliedro a la figura formada por varios ángulos planos que concurren a un mismo punto. Diagonal de un poliedro es un segmento de recta que une dos vértices situados en distinta cara. Poliedros regulares Un poliedro es regular si sus caras son polígonos regulares y sus ángulos poliedros son iguales. Existen únicamente cinco poliedros regulares que están limitados por triángulos equiláteros; cuadrados, o pentágonos regulares.

5 108 El Tetraedro regular A Procedimiento para construirlo - Dibuje un triángulo equilátero, A, de cualquier longitud por lado y sobre cada lado de este triángulo construya otro triángulo equilátero congruente con el primero. Trace las pestañas como se indica en la figura; recorte y pegue para obtener el tetraedro. - Cuente el número de: vértices, caras, aristas. Qué aplicaciones prácticas podemos indicar? El tetraedro está limitado por cuatro triángulos equiláteros, unidos de tres en tres. En este sólido cada uno de los ángulos poliedros mide Tiene: 4 caras, 6 aristas y 4 vértices. El Octaedro regular: Que está limitado por ocho triángulos equiláteros, unidos de cuatro en cuatro. En este sólido cada uno de los ángulos poliedros mide Tiene: 8 caras, 12 aristas y 6 vértices. El Icosaedro regular: Que está limitado por veinte triángulos equiláteros, unidos de cinco en cinco. Cada ángulo poliedro mide Tiene: 20 caras, 30 aristas y 12 vértices. El Hexaedro o cubo 1 2 3

6 109 Procedimiento para construirlo. - Construya seis cuadrados, elabore pestañas en los cuadrados, 1; 2; 3, como se indica en la figura. - Recorte y tome cualquier cuadrado como base, para formar el cuerpo o sólido geométrico denominado hexaedro o cubo. - Cuente los vértices, sus aristas, calque una cara, Qué figura obtiene? - Indique al menos dos aplicaciones prácticas. El cubo está limitado por seis cuadrados unidos de tres en tres. Cada ángulo poliedro mide Tiene: 6 caras, 12 aristas y 8 vértices. El Dodecaedro regular: Que está constituido por doce pentágonos unidos de tres en tres. Cada ángulo poliedro mide Tiene: 12 caras, 30 aristas y 20 vértices. PRISMA A C C D F H Definiciones - Se llama prisma el poliedro que tiene dos caras iguales y paralelas y las otras caras son paralelogramos. - Las caras iguales y paralelas son las bases del prisma y las otras son las caras laterales. - El prisma se denomina según el polígono que tenga por base. Así diremos prisma triangular, cuadrangular, pentagonal, etc. Si las bases son triángulos, cuadrados, pentágonos etc. Prisma recto Es aquel cuyas aristas laterales son perpendiculares a sus bases. Prisma regular Es el prisma recto cuyas bases son polígonos regulares. V E

7 110 SECCIÓN TRANSVERSAL DE UN PRISMA. Definición: es la intersección del prisma con un plano paralelo al plano de la base. Teorema Todas las secciones transversales de un prisma triangular son congruentes con la base. L G F H J I K G F H

8 111 Hipótesis FF 1 GG 1 HH 1 prisma triangular FGH, IJK, secciones transversales Tesis? FGH =? IJK Demostración 1.- En esencia la demostración consiste en probar que el triángulo FGH, es congruente con el triángulo IJK. Para ello utilizamos el criterio de congruencia LLL. Sea el? FGH. IJK, los puntos en que la sección transversal interseca a los segmentos FF 1, GG 1, HH FI es paralelo FH por teorema uno 3.- FIKH es un paralelogramo y en consecuencia el segmento IK es igual al segmento FH. 4.- Aplicando el mismo procedimiento se demuestra que el segmento FG es igual al segmento IJ, y el segmento JK = GH. 5.-? FGH =? IJK Teorema Todas las áreas de las secciones transversales de un prisma triangular son congruentes. Demostración. Como las caras laterales están formadas por tres rectángulos, al cortar el prisma por cualquier plano origina una sección transversal que es simplemente un triángulo congruente con el triángulo de la base y en consecuencia son equivalentes. Corolario: Todas las secciones transversales de un prisma tienen la misma área.

9 112 Teorema Todas las secciones transversales de un prisma tienen la misma área N S G Demostración Sea G, el conjunto de puntos que forman la base del prisma, y N el conjunto de puntos que constituyen la sección transversal. El área de la región G, está representada por la suma de las áreas de todos los triángulos que la forman. Lo mismo sucede con la región N. Ahora bien como los triángulos son congruentes, las áreas de las regiones son equivalentes.

10 113 Área del prisma El área de un prisma puede ser lateral o total. El área lateral comprende el área de todas las caras laterales, y el área total comprende el área lateral más el área de las bases. Área lateral de un prisma Teorema El área lateral de un prisma recto es igual al perímetro de la base por la arista o altura. Hipótesis Sea el prisma recto ACHEVCA A C Tesis C D Al = p.a a b 2 Demostración El área lateral del prisma es: V b 3 E Al = b 2.a + b 3.a +b 4. a + b 1.a Al = a (b 2 +b 3 +b 4 + b 1 ) Al = a.p p = perímetro de la base b 4 F b 1 H Definición El área total de un prisma recto es igual al área lateral más el área de las dos bases. EQUIVALENCIA ENTRE PESO, VOLUMEN Y CAPACIDAD PESO VOLUMEN CAPACIDA Tm m 3 Kl Kg dm 3 l Gr cm 3 ml PRINCIPIO DE CAVALIERI (Descubierto por el Sacerdote Jesuita italiano Buenaventura Cavalieri, a principios del siglo XVII y de grandes aplicaciones para el cálculo de volúmenes) Si dos cuerpos o sólidos geométricos cumplen las siguientes condiciones: 1. Tienen sus bases apoyadas en un mismo plano, son equivalentes y además tienen la misma altura. 2. Las secciones producidas por cualquier plano paralelo al de las bases son equivalentes (tienen la misma área). Entonces estos dos cuerpos tienen el mismo volumen.

11 114 Ejemplo Si sobre una mesa hay dos paquetes de hojas de papel idénticas, con igual número, se cumple el Principio de Cavalieri : Puesto que las bases están sobre un mismo plano, tienen la misma altura y las secciones producidas por cualquier plano son equivalentes, en consecuencia los volúmenes son iguales. Unidad de volumen: Para medir el volumen de un cuerpo se toma como unidad un cubo de arista igual a la unidad de longitud. La unidad más usada para medir volúmenes es el metro cúbico, que es un cubo de un metro de arista. Volumen de un cuerpo o sólido geométrico Se llama volumen de un cuerpo a la medida del espacio que ocupa dicho cuerpo. VOLUMEN DE UN PARALELEPÍPEDO RECTÁNGULO a 1 4 a Todos los prismas de la figura anterior tienen sus bases apoyadas sobre dos planos paralelos y por tanto tienen la misma altura; si suponemos además que todas sus bases son equivalentes, como al trazar un plano paralelo al de las bases la sección producida en cada prisma es igual a la de su propia bases cumplen las condiciones del Principio de Cavalieri y por tanto todos los prismas de la figura tienen igual volumen. Como este principio puede aplicarse a cualquier otro prisma de bases equivalentes a los de la lámina y de igual altura, concluimos que: Todos los prismas que tienen sus bases equivalentes y la misma altura, tienen el mismo volumen. El más sencillo de estos es el paralelepípedo rectángulo, cuyo volumen se halla aplicando el siguiente postulado, denominado postulado de la unidad: el volumen de un paralelepípedo rectángulo es igual al área de la base por la altura.

12 115 VOLUMEN DE UN PRISMA CUALQUIERA Teorema El volumen de un prisma cualquiera es igual al área de la base por la altura. a 1 4 a Demostración Los prismas ( 1) y( 4) cumplen con los siguientes hechos: a.- Las secciones transversales tienen la misma área (por el teorema de la sección transversal). b.- Cumplen con el principio de Cavalieri. Por tanto tienen el mismo volumen, y por el postulado de la unidad, el volumen del paralelepípedo rectángulo ( 1) es igual al área de la base por la altura, que es válido para el 5 prisma ( ) El Prisma de base triangular A Procedimiento para construir un prisma de base triangular - Dibuje tres rectángulos de dimensiones cualquiera, en los extremos de uno de ellos (en este caso el A) construya un triángulo equilátero de lado igual al ancho del rectángulo. - Cuente el número de caras, vértices y aristas. Señale algunas aplicaciones prácticas.

13 116 Ejemplo Calcular el área lateral, total y el volumen de un prisma triangular regular, si la apotema de la base mide 9 cms y la arista lateral 36cm. Establecer las equivalencias entre peso, volumen y capacidad. Solución. Base: Triángulo equilátero. Propiedad: En todo triángulo equilátero la apotema es la tercera parte de la altura. a p = h 3 h = 3 a p Altura del triángulo equilátero en función del lado. h = l 3 2h = l 3 2 de donde: l = 2 h ap= 9 cms. h = 3 ( 9cms) = 27 cms. l = 2 ( 27 cms) = cms Al = 3(31.17cms)36cms Al = cm 2 Como la base es un triángulo equilátero, su área es : A = l 2 cm 2 3 ( ) 3 2 = = cm 4 4 Área de las dos bases = 2( cm 2 ) = cm 2 At = cm cm 2 = cm 2 Volumen = Área de la base por la arista. V = 420,87 cm 2 x 36 cm V = cm cm 3 equivalen a 15151,32 ml ò 15,15132l ó 15,15132 Kg. Ejemplo 2. El radio de una circunferencia inscrita en la base de un prisma cuadrangular regular mide 9 cms. Calcular; El área lateral, el área total y el volumen si la arista del prisma es de 8 cms. Establezca equivalencias entre peso, volumen y capacidad. Cuál es sus equivalencia en Kl?. Expresar su respuesta en notación científica. Solución. M C

14 117 EC = diámetro = 18 cms = lado del cuadrado ex-inscrito o base del prisma. Al = 4(18 cms)8 cms Al = 576 cm 2 At = 576 cms 2 +(18 cms) 2 At = 900 cms 2 V = (18 cms) 2 8cms V = 2592 cms 3 que equivalen a 2.592x 10-3 Kl PROBLEMAS 1. La altura de la base de un prisma triangular regular mide 10cms y la arista del prisma 30 cms. Hallar: Al, At y volumen. Cuál es la capacidad en KL? 2. El área de la base de un prisma triangular regular es de 240 cm2 Calcular el área lateral si la altura del prisma es de 40 cms. 3. La diagonal de la base de un prisma cuadrangular regular mide 12 cms. Determinar el volumen del prisma si su arista mide 50 cms. 4. Calcular la arista de un prisma triangular regular, si su altura es igual al lado de la base y el área total es de 20 dm2. 5. Calcular el área lateral, total y el volumen de un prisma hexagonal regular si la apotema de la base mide 11 cms y la altura del prisma 50 cms. 6. El lado de la base de un prisma triangular regular mide 18 cm y la altura del prisma mide 60 cms. Calcular el área lateral.

15 118 PARALELEPÍPEDO Definición : es todo prisma cuyas caras laterales son paralelogramos. Observación. Por ser el paralelepípedo un prisma, son válidos los conceptos de éste para calcular el área lateral y el área total de aquel. PARALELEPÍPEDO RECTÁNGULO 9cm 5cm A 6cm C D B 5cm 6cm 6cm Procedimiento para construirlo - Dibuje cinco rectángulos con las medidas que se indican. (No son únicas). - Utilice cualquier rectángulo como base, tomando en consideración las siguientes instrucciones. Si la base es el rectángulo A, entonces para los dos rectángulos laterales C y B, el largo es de 5 cm (altura del paralelepípedo.

16 119 Cuente el número de vértices, caras y aristas. Cuáles son sus aplicaciones prácticas. Si Ud. calca una cara, qué figura obtiene? Definición. Es el paralelepípedo cuyas arista laterales son perpendiculares a las bases y sus seis caras son rectángulos. Área lateral Está constituida por el área de los cuatro rectángulos que forman las caras laterales. Área total Es el área lateral mas el área de las dos bases. Ejemplo. Las dimensiones de un paralelepípedo rectángulo son: 16 cms de largo, 11 cms de ancho y 4 cms de alto. Hallar el área lateral, el área total y el volumen. Al = 2(11cms)4cms +2(16 cms)4cms. Al = 216 cms 2 At = 216 cms 2 +2(11cms)16cms At = 568 cms 2 V= 16 cms.11cms.4cms V= 704 cms 3 Problema. Demuestre que la diagonal de un paralelepípedo rectángulo es igual a la raíz cuadrada de sus tres dimensiones. c d b a x PROBLEMAS 1. La diagonal de un paralelepípedo rectángulo mide 19 cms, la diagonal de la base mide 9 cms. El largo del paralelepípedo mide 7 cms. Hallar el área lateral, el área total y el volumen.

17 Qué cantidad de cartulina se necesita para construir una caja sin tapa, en forma de paralelepípedo rectángulo, cuya dimensiones son: 75 cms de largo, 29 cms de ancho y 47 cms de alto. Cuánto mide la diagonal de la base y cuánto la diagonal de la caja. 3. Un paralelepípedo rectángulo tiene 20 cms de largo,10 cms de alto y la diagonal de la base mide 35 cms. Calcular su volumen. EL CUBO El área lateral y total El área lateral está constituida por el área de cuatro cuadrados y el área total está formada por el área de seis cuadrados de lado a. a a Volumen El volumen de un cubo es igual a la arista al cubo. V = a.a.a V = a 3 a Ejemplo Al = 4(5cms) 2 Al = 100cms 2 At = 6(5cms) 2 At = 150 cms 2 V = (5cms) 3 V = 125 cms 3 Hallar el área lateral, total y el volumen de un cubo de 5 cms de arista o lado. PROBLEMAS 1. Compruebe que la diagonal de un cubo es d = a 3 2. La diagonal de un cubo es 1,23 m. Calcular: Al, At, y V 3. Un tanque en forma de cubo tiene una capacidad de litros. Cuáles son las dimensiones. 4. La diagonal de una de las caras de un cubo mide 324 cms. Hallar el volumen. 5. El volumen de un cubo es de 79507m 3. Hallar: La diagonal de una de sus caras, la diagonal del cubo. El área total.

18 121 PIRÁMIDE S SN y SQ = Apotema a p Definición. Es el poliedro que tiene por base un polígono cualquiera y por caras laterales triángulos que concurren a un mismo punto. Este punto se llama vértice o cúspide de la pirámide. Una pirámide puede ser triangular, cuadrangular, pentagonal, etc., según que su base sea un triángulo, un cuadrado, un pentágono, etc. Altura Es la perpendicular trazada desde el vértice a la base. Aristas laterales: Son los lados que limitan las caras laterales. Pirámide regular: Es aquella que tiene por base un polígono regular y el pie de al altura coincide con el centro de la base. Apotema: Es cada una de las alturas de las caras laterales. A D Observación. En una pirámide regular se pueden formar los siguientes triángulos rectángulos: 1. La altura de la pirámide, las aristas laterales y las rectas que unen los vértices de la base con el pie de la altura. 2. La altura de la pirámide, las apotemas de la base y las apotemas de la pirámide. 3. Las apotemas de la pirámide, las aristas laterales y las mitades de los lados de la base. N E Q C

19 122 Área lateral Teorema uno El área lateral de una pirámide regular es igual al semiproducto del perímetro de la base por la apotema de la pirámide. S SN y SQ = a p A D a p N E Q C Al = 1/2a p xae + 1/2a p xec + 1/2a p xcd +1/2a p xad. Por qué? Al = 1/2a p (AE +EC +CD +AD ) Al = 1/2a p xp. P = Perímetro. Área total Definición El área total de la pirámide está constituida por el área lateral mas el área de la base At = 1/2a p xp + B. B = Área de la base Teorema dos Toda sección transversal de una pirámide triangular, entre la base y el vértice, es una región triangular semejante a la base. Si, h, es la altura de la pirámide y k, la distancia del 2 k vértice a la sección transversal, entonces el área de la sección transversal es igual a 2 h multiplicado por el área de la base. Teorema tres 2 h En toda pirámide el área de la sección transversal es A k = k 2.A. A, es el área de la base.

20 123 Teorema cuatro Si dos pirámides tienen la misma altura y el área de sus bases es la misma, entonces las secciones transversales equidistantes de los vértices tienen la misma área. H h Secciones equivalentes Bases equivalentes Tomado de Juan A. Viedma Demostración Como las secciones transversales son semejantes a las de las bases, sus área quedan 2 h reducidas a : 2.A k

21 124 Teorema cinco Toda sección transversal de una pirámide triangular, entre la base y el vértice, es una región triangular semejante a la base. Si h, es la altura k, la distancia del vértice a la sección transversal, 2 k entonces el área de la sección transversal es igual a multiplicado por el área de la base 2 h C C I K P X I K P h V S h P S Q x V Tomado de Geometría Moderna Moise Downs Sugerencia: demuestre que? CQS ~? CP 1 I 1.? CQV ~ CP 1 V 1.? SVX~? I 1 X 1 V

22 125 Teorema seis En toda pirámide, la razón del área de una sección transversal al a área de la base es h k 2, donde h es la altura de la pirámide y k es la distancia del vértice al plano de la sección transversal. La demostración se deja como ejercicio. Sugerencia: suponga la base formada por n, regiones triangulares y aplique el teorema anterior. d 1 d 2 d 3 d 2 d 1 d 3 Teorema siete Si dos pirámides tienen la misma altura y el área de sus bases es la misma, entonces las secciones transversales equidistante de los vértices tienen la misma área. La demostración se deja como ejercicio.

23 126 VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE Experimentalmente se puede determinar el volumen de la pirámide aplicando el principio de Arquímedes : todo cuerpo sumergido en un líquido experimenta una pérdida de peso que es igual al peso del líquido que desaloja. Para ello se utiliza un tetraedro y un prisma triangular cuyas áreas de las bases son equivalentes y ambos sólidos tienen la misma altura; coloca la pirámide de base triangular en una probeta de vidrio graduada que contiene agua y se observa el nuevo nivel, se extrae el agua correspondiente a la diferencia de niveles y se pesa. Luego se realiza el mismo procedimiento con el prisma. Aplicando la equivalencia entre peso y volumen se obtiene como conclusión que el volumen de la pirámide es la tercera parte del volumen del prisma triangular. Por tanto el volumen de la pirámide de base triangular es: B.h V = B = Área de la base 3 5 cm 15 cm Tomado de Geometría Intuitiva. Juan A. Viedma

24 127 Teorema seis Si dos pirámides tienen la misma altura, siendo éstas coplanarias, entonces tienen el mismo volumen. La demostración se deja como ejercicio. Sugerencia: aplique el teorema y el Principio de Cavalieri h h h S L S L L

25 128 Teorema ocho El volumen de una pirámide triangular es un tercio del producto del área de la base por la altura. K P Q R C E C E M A D N F P D K B C C D E O G H C (b) Y (a) (b) X O (c) S T

26 129 Demostración 1.- Construimos una prisma de base triangular con la misma base y altura de la pirámide. 2.-? OMN =? BCP Por construcción. 3.- Las pirámides OMNA y BCPA tienen el mismo volumen por tener la misma área de la base y la misma altura. 4.-? CAP =? ADE. Las pirámides OMAN y CDEA tienen el mismo volumen por tener la misma área de la base y la misma altura. 5.- Las pirámides CDEA Y CDEK tienen el mismo volumen. 6.- Sea A k, el área del? CDE y h, la altura de la pirámide CDEK, entonces el volumen del prisma es A k.h. Si V, es el volumen de cada pirámide tenemos 3V = A k.h.. Por tanto A.h el volumen de la pirámide es V = k 3 Teorema nueve El volumen de una pirámide es igual a la tercera parte del área de la base por la altura. La demostración se deja como ejercicio. Sugerencia: aplique el teorema siete y el Principio de Cavalieri h h R Ejemplo Construir una pirámide triangular regular de 8 cms de lado; calcular: El área lateral. el área total y el volumen. Establecer equivalencias entre peso, volumen y capacidad. Usar notación científica.

27 130 Solución Al = Semiproducto del perímetro de la base por la apotema de la pirámide. Al = p. a p 2 p = perímetro At = Al + A b A b = Área de la base V = A h b 3 h p = altura de la pirámide 1. La base es un triángulo equilátero de 8 cm de lado. Hallamos la altura de este triángulo que es igual a la apotema de la pirámide. h = l 3 2 Comprobarlo h = cm h = 6,92cm Al = 3(8cm)(6,92cm) Al = 166,08 cm 2 2. La base es un triángulo equilátero y su área está definida como A = l 2 3 Comprobarlo 4 A b = ( 8 ) 2 cm 3 A 4 b = Área de la base A b = 27,68 cm 2 At = 166,08 cm 2 +27,68 cm 2 3. Para hallar el volumen necesito la altura de la pirámide, la cual determino mediante el siguiente triángulo rectángulo. Altura de la pirámide b app= Apotema de la pirámide a pp a pb = Apotema de la base = Apotema de la pirámide. h p = Altura de la pirámide

28 131 a pb = Apotema de la base. a pb =Como la base es un triángulo equilátero, la apotema es la tercera parte de la altura. a pb = 1/3h a pb = 1/3(6,92 cm) a pb = 2,3 cm h p = ( 6, 92cm) ( 2, 3cm) h p = 6,52 cm 2 2 V = ( 27, 68 2 cm )( 6, 52 cm ) 3 V = 60,21 cm 3 = 6,021x10-2 litros V = 6,021x10-2 Kg PROBLEMAS GENERALES Nota: Para todos los problemas propuestos aquí las caras laterales son triángulos 1. En un paralelepípedo rectángulo se conoce la siguiente información: diagonal del paralelepípedo 16m; diagonal de la base 12cm; largo 7cm. Calcular su volumen. 2. La apotema de la base de un tetraedro mide 13cms. Calcular el área total y el volumen. 34. La apotema de la base de una pirámide cuadrangular regular mide 17 cms. Calcular el área total y el volumen. 5. El volumen de un tetraedro es de 420 m 3 y las altura del mismo es 123 cm. Hallar el lado de la base. 7. La apotema de una pirámide triangular regular mide 23 m. Hallar el volumen? 8. En una pirámide cuadrangular regular el lado de la base mide 9 Dm. Hallar el área total. 9. Construir un cubo de 9cm de lado. 10. Hallar el área total y el volumen de un tetraedro de 18 cms de lado. Expresar su equivalencia en Kl y notación científica.kl

29 132 SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Y ESFERA CILINDRO, CONO Y ESFERA

30 133 CILINDRO Definiciones Se llama superficie cilíndrica la engendrada por una recta que se desplaza en el espacio, permaneciendo siempre paralela a una recta fija, y apoyándose en una curva también fija. La recta fija se llama generatriz y la curva fija se llama directriz. Cilindro circular. Es el sólido geométrico limitado por una superficie cilíndrica y dos planos paralelos que cortan todas las generatrices. Estos dos planos paralelos se llaman bases. Cilindro de revolución. Cilindro de revolución o cilindro circular recto es el que está engendrado por la revolución completa de un rectángulo alrededor de sus lados. Generatriz Altura El lado sobre el cual gira el rectángulo se llama eje o altura, el lado opuesto generatriz y los otros lados que describen los círculos que son las bases del cilindro. Área lateral Teorema: El área lateral de un cilindro es igual a la longitud de la circunferencia de la base por la generatriz Al= 2prg Área total Teorema: El área total de un cilindro es igual al área lateral mas el área de las bases. At= 2prg + 2pr 2 At=2pr( g + r)

31 134 Volumen Teorema : el volumen de un cilindro es igual al área de la base por la altura. V = pr 2 h Problemas. Para los problemas 1,2,3, calcular el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro 1. El diámetro de la base mide 12cms y la generatriz es de 30 cms. 2. La longitud de la circunferencia de la base de un cilindro mide cms y la generatriz mide 29 cms. 3. El área de la base de un cilindro es de 240,58 m 2. La altura es el doble del diámetro de la base. 4. El volumen de un cilindro es equivalente al volumen de una pirámide triangular regular, si la altura de la pirámide es de 45 cms. Cuál es el lado de la base 5. Un recipiente cilíndrico de 13 m de altura tiene una capacidad de 700 litros. Calcular el radio de la base. 6. El área lateral de un cilindro es de 1444 m 2 y la generatriz es tres veces el radio. Calcular el radio. 7. Cuántos m 3 de agua contiene un pozo cilíndrico de 45m de profundidad y 6 m de diámetro, si su contenido sólo llega hasta los 3/ Un rodillo de acero tiene 1,5 m de largo y 75 cm de diámetro. Qué área cubre al rodar dando 250 revoluciones? SUPERFICIE CÓNICA Y CONO Definiciones Se llama superficie cónica, la engendrada por una recta que se desplaza en el espacio pasando siempre por un punto fijo, llamado vértice y apoyándose en una curva fija. La recta se llama generatriz y la curva directriz. La superficie cónica se compone de dos partes, hojas o mantos, opuestos por el vértice. El Cono B E A C

32 135 Procedimiento para construirlo. - Dibuje un ángulo de 90º, haciendo centro en A, y con una abertura igual a la longitud de AB, se describe el arco CEB. Cono circular. Es el sólido geométrico limitado por uno de los mantos de una superficie cónica y por un plano que corta todas las generatrices, llamado base. Cono de revolución. g h r Es el sólido geométrico engendrado por la revolución completa de un triángulo rectángulo alrededor de uno de los catetos. El cateto sobre el cual gira el triángulo se llama eje o altura del cono, la hipotenusa es la generatriz y el otro cateto describe el circulo de la base. Área lateral Teorema: El área lateral de un cono es igual a la mitad de la longitud de la circunferencia de la base por la generatriz. Al = 2prg Al = p r g 2

33 136 Área total Teorema: El área total de un cono es igual al área lateral más el área de la base. At = pr g + pr 2 At = pr(g +r) Volumen El volumen de un cono es igual a la tercera parte del área de la base por la altura. V = 1/3pr 2 h PROBLEMAS 1. Un cono tiene 48m 3 de volumen. Calcular el área de la base, sabiendo que la altura del cono es dos veces el radio de la base. 2. El lado de un triángulo equilátero mide 15cms. Hallar el área lateral, el área total y el volumen del cono generado al girar alrededor de la altura. 3. La hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles mide 24 cms. Calcular el área total, y el volumen del cono generado por dicho triángulo, si gira alrededor de uno de sus catetos. 4. Calcular el área de la superficie de una tienda construida de forma cilíndrica, rematada por un cono, sabiendo que tanto la generatriz del cono como la del cilindro y el diámetro común miden 2.5 m cada uno. 5. La longitud de la circunferencia de la base de un cono mide 22Hm, y la altura 39m. Calcular el área lateral, el área total y el volumen. 6. Cuánto cuesta el material para construir un embudo sin tapa de 65 cms de diámetro, 80cms de alto. Si el m 2 de lámina cuesta Bs 330? SUPERFICIE ESFÉRICA. ESFERA Definiciones Se llama superficie esférica a la superficie que está engendrada por la revolución completa de una semi-circunferencia alrededor de su diámetro. Esfera. Es el sólido geométrico engendrado por un semi-círculo que gira alrededor del diámetro.

34 137 Radio de una esfera. Es el segmento de recta que une el centro con un punto cualquiera de la superficie esférica. Diámetro de una esfera. Es el segmento de recta que pasa por el centro y une dos puntos de la superficie esférica. Plano diametral. Es todo plano que pasa por el centro de la esfera y la divide en dos partes iguales llamadas hemisferios. Nota: Cuando un plano corta una esfera origina sobre la superficie esférica una circunferencia y sobre la esfera un círculo. Círculo máximo. Es la sección que produce un plano diametral.es el círculo de radio igual al radio de la esfera. Círculo menor. Es la sección que produce un plano que no pasa por el centro. Área de la Esfera Experiencia Tomamos una esfera de madera y la dividimos en dos semi-esferas, se coloca un clavo en cada semiesfera, en el punto indicado y se enrolla un hilo que cubra la superficie de la semi-esfera y otro que cubra el círculo máximo, entonces podemos observar que el hilo empleado para cubrir la superficie de la semi-esfera es el doble del largo que el empleado para cubrir el círculo máximo, lo cual nos permite obtener la siguiente conclusión: El área de una semiesfera es equivalente a la de dos círculos máximos, y por tanto el área de una esfera es equivalente al área de cuatro círculos máximos. Sea r, el radio de la esfera, el área del círculo máximo es A = pr 2, y el área de la esfera equivalente a cuatro círculos máximos es: A = 4pr 2 Volumen de la Esfera Teorema: El volumen de una esfera es la tercera parte del producto de p por el radio al cubo..1 V = 4pr 3 3

35 138 Ejemplo. Calcular el volumen de una esfera inscrita en un cubo de 6 cm de arista. Solución. r = 3 cm. Porqué? V = 4/3p r 3 V = 4/3(3.14)(3cm) 3 V = cm 3 PROBLEMAS Calcular el costo de la pintura de un globo esférico de 28m de radio, si el metro cuadrado de pintura cuesta Bs Calcular el radio de una esfera de hierro que pesa 400 Kg. (Densidad del hierro 7.8) 2. Dos cuerdas se cortan en un círculo máximo de una esfera, la distancia del punto de intersección al centro es de 30cm y el producto de los segmentos de cada cuerda es 530. Determinar el área de la esfera. 3. Calcular el radio de la base de un cono de 99 cm de altura si su volumen es igual al de una esfera de 2m de radio. RELACIÓN ENTRE EL ÁREA DE LA ESFERA Y EL ÁREA DEL CILINDRO CIRCUNSCRITO Se observa en la gráfica que el diámetro de la base del cilindro es igual al diámetro de la esfera y que la altura del cilindro es igual al diámetro de la esfera. Significa que el área lateral del cilindro es Al= 2prg Al= 2pr (2r) Al= 4pr 2 que es exactamente el área de la esfera.