11Soluciones a los ejercicios y problemas

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1 Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 9 Pág. P R A C T I C A D e s a r r o l l o s y á r e a s Dibuja el desarrollo plano y calcula el área total de los siguientes cuerpos geométricos: a) b) cm 9 cm 0 cm c) d) 5 m m cm m m 0 m 5 m 0 cm 4 cm a) cm Altura de una cara: , cm cm Área del triángulo: A 5, 5, Área de un rectángulo: cm Área de la figura: 8 5, + 4 7, Unidad. Figuras en el espacio

2 Soluciones a los ejercicios y problemas b) Pág. 0 9 Hallamos la altura de la base: , cm Área base 0,, Área lateral (Perímetro base) altura 9 4 Área total 48 +,5 4 c), 0 5 d) Área base 0 + 0, 0 +,5 7,5 m Área lateral m Área total ,5 m 0 4 y Hallamos e y (alturas de las caras laterales): ,9 cm y + 8 y 40 8 y, Área de las caras laterales: A 0 0,9 54, ; A 4,8, Área de la base cm Área total ,5 +, 9, cm Unidad. Figuras en el espacio

3 Soluciones a los ejercicios y problemas Calcula la superficie total de cada cuerpo: a) b) Pág. cm c) d) 4 cm m e) f) 9 m m m m a) Área base π 4 50,7 cm cm Área lateral π 4 75,4 cm Área total 50,7 + 75,4 75,94 cm b) Área base π 8,7 cm g Hallamos la generatriz: g g 5, Área lateral π 5,8 54,9 Área total 8,7 + 54,95 8, cm c) Apotema del eágono: a 7 8 a 7 5, cm Área del eágono: a 5, 9, Altura del triángulo: cm Área de un triángulo 4 cm Área total 9, + 5, Unidad. Figuras en el espacio

4 Soluciones a los ejercicios y problemas d) Pág. 4 4 cm Área de la superficie esférica 4π 4 0, cm e) m 5 cuadrados de lado : 5 45 m rectángulos de Ò : 9 m 9 m m rectángulos de 9 Ò : m m 9 8 m Área total: m f) Altura de una cara: 7 8 5, cm Área de una cara 5, 5, Área total 8 5, 4, Dibuja los siguientes cuerpos geométricos y calcula su área: a) Prisma de altura 0 cm y cuya base es un rombo de diagonales y cm. b) Pirámide eagonal regular de arista lateral y arista básica. a) d cm Hallamos el lado del rombo: d D D , 0 cm Área lateral 4(0 0,8) 85, Área base 8 0 Área total 85, , b) Área de una cara lateral: ,7 Área 7,75 5, Área lateral 5,5 9, 9 Unidad. Figuras en el espacio

5 Soluciones a los ejercicios y problemas Área de la base: Pág. 5 a cm a 8 a 7 8 a 7 5, cm Área 5, 9, Área total 9,5 + 9, 4, cm 4 Dibuja los siguientes cuerpos geométricos y calcula su área: a) Cilindro de altura 7 cm y cuya circunferencia básica mide 44 cm. b) Tronco de cono generado al girar un trapecio rectángulo de bases 0 cm y cm y altura alrededor de esta. a) Radio de la base: πr 44 8 r 44 r π Área base r π 54, cm ( π ) 7 cm π Área lateral (πr) π 7 8 π Área total 54, , cm b) 0 cm Área base menor π 0 00π 4 cm g Área base mayor π 44π 45, cm Área lateral π(r + r') g g g g 9 5,9 cm Área lateral π(0 + ) 5,9 7,4 cm cm Área total 7, , 8,50 cm 5 Calcula el área total de los siguientes poliedros semirregulares de arista : Unidad. Figuras en el espacio

6 Soluciones a los ejercicios y problemas Área de un eágono regular de de lado: Pág. ap 8 ap ap 48 Área 8,9, cm,9 cm Área de un triángulo equilátero de de lado: Área 8,9 7,7 cm,9 cm ÁREAS DE LOS POLIEDROS A) Cuatro eágonos y cuatro triángulos. A 4, + 4 7,7 77, B) Seis cuadrados y oco triángulos. A ,7 05,7 C) Seis cuadrados y oco eágonos. A 8 + 8, 74,5 D) E) F) Dos eágonos y seis cuadrados. A, + 8 7,4 cm Dos eágonos y doce triángulos. A, + 7,7 5, Tiene 8 cuadrados y 8 triángulos. A ,7 7,7 Unidad. Figuras en el espacio

7 Soluciones a los ejercicios y problemas Halla el área total de un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas bases tienen de lado 0 cm y 4 cm y cuya arista lateral mide 7 cm. Pág. 7 0 cm 4 cm cm Área base menor 4 9 Área base mayor cm Área lateral: : Área trapecio (4 + 0) 5 0 cm Área lateral cm Área total Haciendo girar un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 9 cm y cm alrededor de cada uno de ellos, se obtienen dos conos. Dibújalos y alla el área total de cada uno de ellos. a) Área base π 44π cm 9 cm g cm Área lateral: g g 5 A π 5 80π cm Área total 44 π + 80π 4π 07,8 b) Área base π 9 8π cm g cm Área lateral π 9 5 5π cm 9 cm Área total 8π + 5π π 78,5 8 Calcula la superficie de una esfera cuyo diámetro mide 4 cm. Cuál será el área de un casquete esférico de cm de altura de esa misma esfera? 4 cm Superficie esférica 4πR 4π 809,5 Casquete esférico de cm de altura: es la mitad de la superficie esférica 904,7. 9 Calcula el área total del tronco de cono generado al girar este trapecio isósceles alrededor de una recta perpendicular a sus bases en su punto medio: 9 cm Unidad. Figuras en el espacio

8 Soluciones a los ejercicios y problemas Calculamos la generatriz: g + 8 g 40, cm Pág. 8 g 9 cm cm Área lateral π(r + r')g π(4,5 +,5), 8,9 Área de las bases π 4,5 + π,5 8, Área total 8,98 + 8,5, cm PÁGINA 40 V o l ú m e n e s 0 Calcula el volumen de estos cuerpos: a) b) 7 cm 9 cm c) d) 8,4 cm 8,4 cm,5 m 8 m 4 m cm 5 m cm e) m f) 5 m m m m 4 m m 9 m m Unidad. Figuras en el espacio

9 Soluciones a los ejercicios y problemas a) Pág. 9 9 cm V 9 cm V 0 b) 7 cm V πr V π π cm V 770,8 c) 4 m 4 m,5 m,5 8 m 5 m 4 m V π,5 4 5π m,5 V π,5 4,5π m Volumen total: 5π +,5π 7,8 m d) 8,4 cm 8,4 cm cm cm 8,4 cm cm 8,4 4,5 8 5,8 Área de la base 5,88 5, Volumen Área base altura 5, ,8 e) m m 5 m 5 m 4 m m 4 m ,7 m Área de la base ,7 77,9 m V (Área de la base) 77,9 4 44,4 m Unidad. Figuras en el espacio

10 Soluciones a los ejercicios y problemas f) Pág. 0 m 9 m m m m Podemos descomponer la figura en cuatro cubos de arista cm. V 4 0 Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos: a) Octaedro regular de arista 0 cm. b) Pirámide eagonal regular cuya arista lateral mide y la arista de la base. c) Cono de radio 9 cm y generatriz. d) Semiesfera de radio 0 cm. e) Cilindro inscrito en un prisma recto de base cuadrada de lado y altura. a) Podemos descomponerlo en dos pirámides cuadrangulares de arista 0 cm. 0 cm 0 cm cm 0 cm ,07 cm Volumen de la pirámide: V (Área base) altura 0 7,07 5,7 cm Volumen del octaedro 5,7 47,4 cm b) Calculamos la altura de la pirámide: a 5 8 8,9 cm Hallamos el área de la base: a a 48,9 cm Área 8,9, cm Volumen (Área base),,9 70, c) Hallamos la altura: cm 9 cm Área de la base πr π 9π cm Volumen (Área base) 9π π, cm Unidad. Figuras en el espacio

11 Soluciones a los ejercicios y problemas d) 0 cm V 4 πr 4 π π 094,4 cm Pág. e) Radio del cilindro cm V πr π 8 π 508,94 cm r Calcula el volumen de este tetraedro regular: B H A O C Para allar la altura H, recuerda que A O, donde es la altura de una cara ,9 AO,9 4, Calculamos la altura del tetraedro: H 8 4, Área de la base: 8,9 A 7,7 cm 8 H, Volumen 7,7,5 0,4 cm Calcula el volumen de estos cuerpos: 4 cm 4 m 0 m 5 m 5 m m 8 m Unidad. Figuras en el espacio

12 Soluciones a los ejercicios y problemas a) Pág. 5 m 0 m 5 m 5 m m m m V CONO πr π 5 5π m V CILINDRO πr π 5 45π m V SEMIESFERA 4 πr π 8π m V TOTAL 5π + 45π + 8π 78π 45,04 m b) 4 m V CILINDRO GRANDE π R π π m V CILINDRO PEQUEÑO π 5 0π m V TOTAL 40π 0π 80π 55,49 m 5 m 8 m 5 Calcula el volumen de un tronco de cono de radios cm y y altura 0 cm. Calculamos las alturas de los conos que forman el tronco: cm cm V TRONCO V CONO MAYOR V CONO MENOR π 80 π 0 50 π 58,4 cm 0 0 Unidad. Figuras en el espacio

13 Soluciones a los ejercicios y problemas a) Qué vaso tiene mayor capacidad? 7 cm Pág. 7 cm 7 cm b) Cuántos litros son 0 de estos vasos? a) 7 cm V CILINDRO π 7 π 97,9 cm Volumen tronco de cono:,5 7, ,5,5 + 7,5 8,5,5 8 7, ,,5,5 Altura cono grande: 4,5,5 Altura cono pequeño: 7,5,5 8 4, 8 7, cm Volumen tronco π,5 4,5 π,5 7, 97,7 cm Es un poco mayor el cilindro. b) 0 vasos son,97 l, aproimadamente. PÁGINA 4 C o o r d e n a d a s g e o g r á f i c a s 7 Dos ciudades tienen la misma longitud, 5 E, y sus latitudes son 7 5' N y 5' S. Cuál es la distancia entre ellas? R α β a 7 5' b 5' Tenemos que allar la longitud del arco correspondiente a un ángulo de a + b 7 5' + 5' 0 Distancia πr 0 π ,5 km 0 0 Unidad. Figuras en el espacio

14 Soluciones a los ejercicios y problemas 8 Cuando en el uso 0 son las 8 a.m., qué ora es en el uso. al E? Y en el uso 5. O? En el uso E son tres oras más, es decir, las a.m. En el uso 5 O son cinco oras menos, es decir, las a.m. Pág. 4 9 La milla marina es la distancia entre dos puntos del ecuador cuya diferencia de longitudes es '. Calcula la longitud de una milla marina. ' grados; radio de la Tierrra: R 70 km 0 πr Milla marina 8 0 πr π 70,85 km Dos puntos P y Q de la Tierra están en el paralelo 0 N y sus longitudes son E y 50 E. Calcula la distancia entre esos puntos y di en qué uso orario se encuentra cada uno. Si en P son las a.m., qué ora es en Q? P Q Calculamos el radio del paralelo 0. Para ello, tenemos en cuenta el triángulo equilátero de lado R 70 km. R 0 R El radio del paralelo 0 es r 85 km. El ángulo entre P y Q es Distancia πr 47 π 85 47,7 km 0 0 P está en el uso 0 y Q en el al E. Si en P son las a.m., en Q son oras más, las p.m. R Roma está en el uso. E y Nueva York, en el 5. O. Si un avión sale de Roma a las p.m. y el vuelo dura 8, cuál será la ora local de llegada a Nueva York? 5 + oras menos en Nueva York que en Roma. p.m a.m. ora de Roma. 9 p.m. a.m. es la ora de llegada a Nueva York. Unidad. Figuras en el espacio

15 Soluciones a los ejercicios y problemas Un avión tiene que ir de A a B, dos lugares diametralmente opuestos en el paralelo 45. Puede acerlo siguiendo el paralelo (APB) o siguiendo la ruta polar (ANB). Cuál es la más corta? A N B P Pág. 5 S 45 R Hallamos el radio del paralelo 45 : R + 8 R R ,7 km R Por tanto, la longitud del arco APB, es: L APB π 4 504,7 π 4 504,7 4 4,4 km El radio de la Tierra es R 70 km. Para ir de A a B por la ruta ANB, se abarca un ángulo de sobre el meridiano. Por tanto, la longitud del arco ANB es: L ANB πr 90 πr πr π ,9 km 0 4 La ruta más corta es la polar. P I E N S A Y R E S U E LV E a) Calcula la superficie del triángulo coloreado en la figura. b) Cuál es la superficie del mayor tetraedro que cabe dentro de ese cubo? 0 cm a) Cada uno de los lados del triángulo es la diagonal de una de las caras del cubo. Por tanto, mide: ,4 cm 0 cm 4,4 cm 0 cm La altura del triángulo es: 4,4 cm 4,4 + 7, , El área del triángulo es: A 4,4,5 8, Unidad. Figuras en el espacio

16 Soluciones a los ejercicios y problemas b) Las caras son triángulos como los del apartado anterior; por tanto, el área de una cara es: A 8, Como son cuatro triángulos iguales, el área del tetraedro será: A T 4 8, 4,44 cm 0 cm Pág. 4 Calcula el volumen de una abitación de,0 m de altura, cuya planta tiene la forma y dimensiones indicadas en la figura. m Área rectángulo m m Área trapecio (4 + ) m Área base 0 + m Volumen (Área base),0 5,9 m 5 Calcula el volumen de los cuerpos de revolución que genera cada una de estas figuras planas al girar alrededor del eje indicado: 5 m 4 m A B 4 cm 7 cm cm cm cm A A 7 cm cm 4 cm cm V CILINDRO π 4 π cm V CONO π 9π cm V TOTAL π + 9π 45π 4,7 cm B B V SEMIESFERA 4 π 8π cm V CONO π 9π cm V TOTAL 8π + 9π 7π 84, Unidad. Figuras en el espacio

17 Soluciones a los ejercicios y problemas Tres pelotas de tenis se introducen en una caja cilíndrica de, de diámetro en la que encajan asta el borde. Halla el volumen de la parte vacía. Altura del cilindro, 9, V CILINDRO π, 9,8 77,4 cm V ESFERAS 4 ( π, 45, ) V PARTE VACÍA 77,4 45, 5, Pág. 7, 7 Se introduce una bola de piedra de 4 cm de diámetro en un recipiente cúbico de 4 cm de arista lleno de agua y después se retira. Calcula: a) La cantidad de agua que se a derramado. b) La altura que alcanza el agua en el recipiente después de sacar la bola. a) V CUBO cm 4 V AGUA DERRAMADA V ESFERA 4 π 7 4,7 b) V AGUA NO DERRAMADA 744 4,7 07,4 cm Altura que alcanza el agua: 07,4 4 8,7 cm 4 8 Un triángulo rectángulo isósceles, cuyos catetos miden respectivamente, se ace girar alrededor de la ipotenusa. Halla el volumen del cuerpo que se forma. Se forman dos conos iguales cuya altura es la mitad de la ipotenusa. a a, cm r 8 ( a 4 8 r 5, ) Radio de la base: r 5, Altura a, 5,5 V CONO π 5, 5, 89,7 cm V TOTAL 89,7 79,4 cm r a r a r Unidad. Figuras en el espacio