3 Problemas para nivel Superior

Transcripción

1 3 Problemas para ivel Superior Reproducimos ahora, parte de los problemas de la guía para el ivel superior del año Véase [9] Problemas de geometría Problema 3.1 Sea A 1, A 2,..., A 1988 los vértices de u poĺıgoo regular P de 1988 lados. Supoer que cada uo de los lados de P tiee logitud l. Sea C 1, C 2,..., C 1988 las circuferecias co cetro e A i, i = 1, 2,..., 1988 respectivamete, y radio l/κ e dode κ es u etero cuadrado perfecto. Calcular 1988 α 1 e dode, para cada i = 1, 2,..., 1988, α i = área (C i P). Problema 3.2 Sea ABCD u cuadrilátero cíclico, E el puto de itersecció de las bisectrices e A y B y L y M dos putos e AD y BC, respectivamete, tales que la recta LM pasa por E y es paralela a DC. Demostrar que LA + BM = LM. Problema 3.3 Sea ABC u triágulo y A, B, C las reflexioes respectivas de los vértices A, B y C a través de los lados BC, CA y AB. Ecotrar codicioes ecesarias y suficietes sobre el triágulo ABC, de maera tal, que el triágulo A B C resulte ser equilátero. 1= Problemas de álgebra Problema 3.4 Cuátas raíces tiee la ecuació x 5 5x + k = 0 e el itervalo [ 1, 1]? 1 1 Nótese que debe cosiderarse k R. 27

2 Problema 3.5 Dada la ecuació x 4 px 3 + qx 2 rx + s = 0, demostrar que si la suma de dos de sus raíces es igual a la suma de las otras dos, etoces p 4pq 8r = 0 y que si el producto de dos de sus raíces es igual al producto de las otras dos, etoces r 2 = p 2 s. 2 Problema 3.6 Ecotrar todas las matrices A M 2 (C) tales que: i ) A sea diagoal. ii) Satisfaga la ecuació A 2 + I 2 = O 2. Demostrar además, que o existe matrices A M 2 (R) que satisfaga las codicioes ( i) y (ii) ateriores. Problema 3.7 Sea u, v R tales que: u + u 2 + u u 9 = 8 = v + v 2 + v v 11. Cuál de los dos úmeros es mayor que el otro? Problema 3.8 Sea f : R R la fució que satisface las siguietes codicioes: f (x + 19) f (x) + 19 (3.1) f (x + 94) f (x) + 94 (3.2) para todo x R. Demostrar que f (x + 1) = f (x) + 1 para todo x R. Problema 3.9 Sea F 2 = { 1, 2,..., 2 }, N. Ecotrar el úmero de elemetos de P (F 2 ) e los cuales la ecuació x + y = (3.3) o tega solució 2 Existe algua diferecia al cosiderar p, q, r, s R y p, q, r, s C? 28

3 3.3. Problemas de teoría de úmeros Problema 3.10 Sea α = 1900 x 2. Demostrar que si x k k es u úmero etero impar para todo k=1 k, etoces α o es u cuadrado perfecto. Problema 3.11 Sea ϕ : N N la fució de Euler. Demostrar que para cada α N, ϕ (α 1). Problema 3.12 Demostrar que si es u úmero primo, etoces debe ser ua potecia de 3. Problema 3.13 Sea f : N N, la fució defiida por recurrecia como sigue: f (1) = 1, f (2) = 2; f ( + 2) = f ( + 2 f ( + 1) ) + f ( + 1 f () ), 1. Demostrar que i ) 0 f ( + 1) f () 1. ii) Si f () es impar, etoces f ( + 1) = f () + 1. Ecotrar todos los valores de para los cuales f () = Problemas de combiatoria Problema 3.14 Demostrar que e toda gráfica el úmero de vértices impares es par. Problema 3.15 Demostrar que ( ) 2 =

4 Problema 3.16 Supoer que se posee segmetos de logitudes 1, 2,...,. Demostrar que el úmero de maeras e que se puede elegir cuatro de ellos para formar u cuadrilátero e el que se pueda iscribir ua circuferecia es: 1 48 ( 2 ( 2) (2 5) ( 1) ) Problemas de cálculo Problema 3.17 Demostrar que Problema 3.18 Sea x, y, z R. Demostrar que: Problema 3.19 si ( x 3 ) + si ( y 3) + si ( z 3 ) + si ( x yz ) 4. Ecotrar todas las sucesioes reales (a ) tales que: Problema 3.20 a 1 = 1 y a a m 2m m para cada m, N. Ecotrar todas las fucioes cotiuas f : R R tales que: Problema 3.21 f ( x + y ) f ( x y ) = ( f (x) f ( y ))2. Ecotrar todas las fucioes aaĺıticas f : R R tales que: f (x) = x f ( x 3 ) para todo x R. 3 3 Debe teerse presete la diferecia esecial etre la aaliticidad de fucioes de R a R y la de fucioes de C a C. 30

5 Bibliografía [1] C. B. Boyer, History of Aalytic Geometry, New York, Dover Publicatios, Ic., [2] C. B. Boyer, The History of the Calculus ad its Coceptual Develomet, New York, Dover Publicatios, Ic., [3] J. L. Coodlige, A History of the Coic Sectios ad Quadric Surfaces, New York, Dover Publicatios, Ic., [4] H. M. Edwards, Fermat s Last Theorem, a Geetic Itroductio to Algebraic Number Theory, New York, Spriger Verlag, [5] P. M. Gozález Urbaeja, Las raíces del cálculo ifiitesimal e el siglo XVII, Madrid, Aliaza Editorial S. A., [6] G. H. Hardy ad E. M. Wright, A Itroductio to the Theory of Numbers, sixth editio, New York, Oxford Uiversity Press, Ic., [7] Rémi Siméo, Diccioario de la Legua Náhuatl o Mexicaa, México, Siglo Veitiuo Editores, S. A. de C. V., [8] D. J. Struik (editor), A source Book i Mathematics, , Cambridge, Massachusetts, Hardvard Uiversity Press, [9], Guía de Problemas de Nivel Superior del 7 Cocurso de Matemáticas Pierre Fermat, México, E. S. F. M. del I. P. N., [10], Guía de Problemas de Nivel Medio Superior del 7 Cocurso de Matemáticas Pierre Fermat, México, E. S. F. M. del I. P. N., [11], Guía de Problemas de Nivel Secudaria del 6 Cocurso de Matemáticas Pierre Fermat, México, E. S. F. M. del I. P. N.,