FIBONACCI Y LA RAZÓN ÁUREA

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María Isabel Acuña Castilla
hace 7 años
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1 Números de Fiboacci FIBONACCI Y LA RAZÓN ÁUREA Dr. Baldovio Lamirata Carigli Facultad de Ciecias, ESPOCH baldoviol@hotmail.com R esume E el artículo se muestra que la relació existete etre los úmeros de Fiboacci y la razó áurea es que la sucesió de las razoes de dos sucesivos úmeros de Fiboacci coverge justo al valor de la razó áurea. Además se justifica la importacia de la razó áurea por sus iumerables aplicacioes operadas tato e la aturaleza misma como por el hombre. Palabras claves: Números de Fiboacci, razó áurea A bstract The article shows that the relatioship betwee Fiboacci umbers ad the golde sectio is that the sequece of ratios of two successive Fiboacci umbers coverges fair value of the golde ratio. It also justifies the importace of the golde sectio for coutless applicatios operated by the very ature ad by ma. Keywords: Fiboacci umber, golde ratio INTRODUCCIÓN Triágulo de Tartaglia E el artículo titulado La Sucesió de Fiboacci presetado e la revista Nuestra Ciecia.º 8, de 006, de la Facultad de Ciecias de la PUCE, aseveré que los úmeros de Fiboacci y la razó áurea tiee mucho e comú. Cotiúo etoces esta reflexió, recomedado a los iteresados leer aquel artículo; de maera que supogo coocidos los úmeros de Fiboacci y alguas de sus propiedades, descritas allí LA SUCESIóN DE LAS RAZONES R Por comodidad del lector, se reporta los primeros térmios de la sucesió de Fiboacci: Figura. Números de Fiboacci frete Triágulo de Tartaglia

2 ISSN Número Vol. (04) Excepto por los dos primeros térmios, o se ecesita recordar los otros porque so la suma de los dos ateriores: F = F + F, > Obsérvese que los úmeros de Fiboacci tambié se puede costruir emplea- do el Triágulo de Tartaglia, como se muestra e la figura. resulta: R =, R = 0 + R 0 = + R = =, R = = + R 3 + R Costruyamos ahora las razoes etre u térmio y el siguiete: Se geera ua fracció cotiua que coverge al límite de las razoes etre los sucesivos úmeros de Fiboacci. El úmero a así defiido: a cuyo valor e otació decimal es: 0,5 0,6 0,6 0,65 0,65 0, ,67 0,688 0,679 0,6805 Estas razoes tiede a estabilizarse alrededor de u valor poco superior a 0,6. Ecotrémoslo. Hay ua fórmula recursiva para geerar las fraccioes. Idiquemos por R + la razó etre el úmero (+)-ésimo y el (+)-ésimo de Fiboacci; se cumple: F + F+ geera por sustitució repetida la siguiete fracció cotiua: = = + a a + + a =... y por supuesto es el límite de la fracció misma. Ahora bie, esta fracció cotiua coverge al mismo valor de la sucesió de las razoes R y por tato a es i el límite de las razoes etre los sucesivos úmeros de Fiboacci: R = = = = + F F + F F + F lim R Al poer: F + El valor a se calcula e el modo siguiete. Se cumple: = a( + a) = F + R luego: + F+ a + a = 0

3 Lamirata luego: - ± 5 Por ser a el límite de ua sucesió de térmios positivos, su valor o puede ser egativo, luego queda la sola solució positiva:. LA RAZÓN ÁUREA 5 - Existe u rectágulo ta armóico que se merece el calificativo de áureo : es el que tiee las medidas de los lados e ua razó especial, idicada por φ, la iicial del artista ateiese Fidia, que vivió e el siglo V ates de Cristo. El rectágulo aparece e las costruccioes griegas que se cosidera bellas, como el Parteó e Ateas y el templo de Poseidó e Phestum, como tambié e las esculturas y e la aturaleza. La razó áurea φ es la media proporcioal etre u segmeto y la parte que queda. Se costruye de la maera siguiete. Dado el segmeto AB, se traza la circuferecia de diámetro igual a AB y tagete al segmeto e B, luego se traza la secate por A y por el cetro C de la circuferecia: () Se prueba que AB es la media proporcioal etre toda la secate AD y la parte extera AE: AD : AB = AB : AE. y por tato: (AE + ED) : AB = AB : AR. Sigue: (AE + ED AB) : AB = (AB AR) : AR AR : AB = RB : AR AB : AR = AR : RB luego AR es la razó áurea de AB. Por ede, el siguiete es u rectágulo áureo: A d r B Figura 3. Rectágulo áureo d Si se asume igual a la medida del segmetoab,es: : φ = φ : φ. C Sigue: E φ = φ luego: A r B Figura. Costrucció de la razó áurea φ + φ = 0. Por (), el úmero positivo que solucioa a esta ecuació es 5 -

4 ISSN Número Vol. (04) Por ede: φ = 5 - Por ede, el rectágulo áureo de base AB tiee altura AD = 5 - AB. Y aquí el exo etre los úmeros de Fiboacci y la razó áurea: la sucesió de las razoes r de los úmeros de fiboacci coverge a la razó áurea φ. Otra característica: cosidérese u rectágulo de medidas x y x, co x < x < 0 0 x. Etoces se puede trazar e el iterior del rectágulo u cuadrado de lado de logitud x y queda u rectágulo de lado mayor de logitud x y de lado me- or de logitud x = x 0 x. Si x < x < x, se puede trazar e el iterior del segudo rectágulo u cuadrado de lado de logitud x y queda u rectágulo 3 - de lado mayor de logitud y de lado meor de logitud x = x x. Si x < x < x, se puede trazar e el i- Geeralmete este proceso de costrucció de rectágulos y cuadrados acaba. Hay u valor de la razó etre las medidas del rectágulo dado: x / x, por el cual el 0 proceso o tega fi? Obtegamos ua expresió recursiva de x. Cosidérese las dos solucioes de la ecuació a + a = 0, que como ya sabemos so: <, a = y el sistema e las icógitas X, Y: cuyas solucioes so: { X + Y = x 0 a X +a Y = x < - terior del tercer rectágulo u cuadrado de lado de logitud x y queda u rectá- 3 gulo de lado mayor de logitud x 3 y el meor de logitud x 4 3

5 Lamirata x = x x = a X + a Y a X a Y = (a a )X + (a a )Y = a 3 X + a 3 Y 3 Se costruye ua parte coectado los vértices opuestos de todos los cuadrados ob- teidos mediate arcos de circuferecia. Es ua de las espirales arquetipo de gax = x x = a - X + a - Y a - X a - Y = (a - laxias, formacioes huracaadas, cochas: a - )X - + (a - a - )Y = a X + a Y Para que el proceso de recorte sea ifiito, los x tiee que seguir siedo positivos. Ellos so iguales a la suma a X + a Y de la cual el primer sumado siempre es positivo y meor que X, el segudo es alterativamete positivo y egativo segú el valor de, mayor que Y y creciete e valor absoluto co. Etoces para que los x sea todos positivos, debe ser Y = 0, luego debe ser x = ax = ax0, esto es, la altura del rectágulo debe ser la razó áurea de la base, o sea el rectágulo debe ser áureo. Ua última ota. Por qué a la razó áurea se la llama así? Hasta la llamaro la divia proporció. Es que ella está presete e muchas obras de la aturaleza y del hombre. Vimos que a partir de u rectágulo áureo, recortado u cuadrado de lado igual al lado meor, se obtiee u rectágulo más pequeño símil al primero, luego áureo; del cual recortado u cuadrado de lado igual al lado meor, se obtiee u tercer rectágulo au más pequeño, símil a los ateriores, luego áureo; y así sucesivamete. Asimismo, costruyedo sobre el lado mayor del primer rectágulo u cuadrado, este determia co el primer rectágulo áureo todavía u rectágulo áureo, sobre el cual operado de maera aáloga se obtiee todavía u rectágulo áureo más grade, y así sucesivamete. Ahora, costruyedo los rectágulos siempre de la misma parte, los putos de corte a, b, d, e, f, g, h perteece a ua espiral logarítmica, co el polo puto de itersecció de la diagoal comú a los rectágulos horizotales co la diagoal comú a los rectágulos verticales. Esta espiral logarítmica especial se llama espiral áurea.

6 ISSN Número Vol. (04) Asimismo, si cotamos las hojas sucesivas de u tallo hasta ecotrar ua co la misma orietació de la primera, el úmero que se obtiee es u úmero de Fiboacci. Fialmete, la razó áurea está presete e muchas obras arquitectóicas y e el arte, como demostració de que los grades artistas cooce la Geometría: RECOMENDACIONES E la Red hay muchos sitios que habla acerca de la sucesió de Fiboacci y de la razó áurea. Para ampliar o profudizar estas otas, se recomieda a estudiates, arquitectos, profesioales de la image visitar los sitios que aparece e la bibliografía. RB eibflieorgeracfiíascomplemetaria. Corbalá F. La Proporció Áurea. RBA Coleccioables S. A.; 00.. Ghyka M. El úmero de Oro. I Los Ritmos. II Los Ritos. Madrid, España: Edicioes Apóstrofe, S. L.; Ghyka M. La Divia Proporció. Tres Catos. Edicioes Akal, S. A.; 99.

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