UN SISTEMA DINAMICO DISCRETO

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1 UN SISTEMA DINAMICO DISCRETO Luis Arturo Polaía Q. Uiversidad Surcolombiaa Neiva. RESUMEN Iicialmete e este trabajo se obtiee ua sucesió de estimacioes del lado del decágoo regular iscrito e ua circuferecia uitaria que coverge hacia el úmero áureo; la cual a su vez permite obteer el sistema diámico discreto siedo la ley de evolució del sistema. Fialmete iterado la ley de evolució u umero suficietemete grade y evaluado estos iterados e cualquier puto de ecotramos ua ifiidad de sucesioes de elemetos de co la propiedad de Cauchy y todas covergetes hacia el úmero áureo espacio de fases co la métrica usual.. De paso demostrádose asi la completez del Palabras y frases claves: Sistema diámico discreto procesos iterativos espacio de fases o espacio de estados variables de estado ley de evolució del sistema orbita de u puto puto fijo. INTRODUCCION La sucesió de Fiboacci juto co la secció áurea ha teido itrigados a los matemáticos por mucho tiempo e parte a causa de su tedecia a presetarse e los lugares más isospechados por ejemplo e el reio vegetal dicha sucesió hace su aparició e la implatació espiral de las semillas de ciertas variedades de girasol igualmete e la distribució e espiral de las hojas alrededor del tallo co el propósito de aprovechar mejor la luz solar; e las escamas que se distribuye e toro al eje de ua piña. Ua propiedad otable de la sucesió de Fiboacci es aquella e que la razó etre cada par de úmeros cosecutivos va oscilado por ecima y por debajo de la razó áurea y coforme se avaza e la sucesió la diferecia co esta se hace cada vez meor; la razó de térmios cosecutivos tiee por límite e el ifiito la razó áurea. Existe abudate literatura dedicada a la secció áurea y a la sucesió de Fiboacci tal es el caso de las aplicacioes a las artes plásticas a la arquitectura e icluso a la poesía (cueta que Virgilio y otros poetas de su época se sirviero de la sucesió de Fiboacci e sus composicioes).

2 El iterés por esta sucesió y las llamadas sucesioes geeralizadas de Fiboacci (que comieza por dos eteros cualesquiera y a partir de allí cada térmio de obtiee sumado los dos ateriores) ha aumetado e respuesta a recietes avaces e programació de computadores dode estas sucesioes so aplicadas e clasificació de datos recuperació de iformació geeració de úmeros aleatorios e icluso e métodos rápidos de cálculo aproximado de valores máximos o míimos de fucioes complicadas cuado o se cooce su derivada. El objetivo del presete trabajo es el de costruir ua familia de sucesioes e el itervalo uidad [] todos covergetes hacia u úico úmero real coocido como el úmero de oro de la geometría ó la media de oro. METODOLOGIA Para el desarrollo del presete trabajo hemos usado el método costructivo. Esto ese de ua costrucció geométrica hemos logrado ua sucesió de aproximacioes del úmero de oro. Esta sucesió resulta ser u proceso iterativo. E cosecuecia le asociamos u Sistema Diámico Discreto o-lieal; el cual os permitió obteer la familia de sucesioes covergetes a través del úico puto fijo del Sistema Diámico que resultó ser atractor. DISCUSION Y RESULTADOS Para obteer la media proporcioal etre todo u segmeto uitario y la parte más corta cosideramos u decágoo regular iscrito e ua circuferecia de radio uidad y llamado x a la medida del lado del decágoo.

3 vemos que el águlo AOB mide 6 y los águlos OAB y OBA mide cada uo 7 pues el triágulo AOB es isósceles. Al trazar la bisectriz al águlo OAB se determia el triágulo BAC tambié isósceles; y así el triágulo AOB es semejate co el triágulo BAC. E x cosecuecia es válida la proporció = ; de dode x( + x) = es decir x x x =. Esta ecuació geera la fracció cotiua simple + x x = de dode se obtiee la siguiete sucesió de estimacioes del úmero x (llamadas las covergetes de la fracció cotiua) 8 x = x = x = = x = = x4 = x = x6 = x7 = a o bie ( ) x = N 8 a+ dode a es el -ésimo úmero de Fiboacci. Luego a+ a+ x+ = = = =. a a + a+ + a + + x a+ Equivalete al Sistema Diámico discreto o-lieal x = f x.. ( ). + = dode f es ua aplicació f : [ ] [ ] defiida por ( y) Por ser f fució cotiua e [ ] [ ] tal que f(y) y. y = f =. + y e virtud del teorema Brouwer existe u Esto es y + y = o sea la ecuació cuadrática y + y = ± cuyas solucioes so y =. + Seleccioamos como valor de y pues o perteece al itervalo [ ]. E cosecuecia el sistema diámico mecioado ates posee u solo puto fijo espacio de fases [ ]. e el

4 y=x α Retrato de fase El gráfico aterior muestra claramete que la órbita de cualquier puto α [ ] coverge hacia. Esto es Lím f ( α) = para todo α [ ] ; pues si fuera f Lím ( α ) = β co β β [ ] se tedría + f( β ) = f Lím f ( α) = Límf f ( α) = Límf ( α) = β por cotiuidad de la fució f e ( ) ( ) [ ]. Así f( β ) = β cotradice el hecho de que es el úico puto fijo de f e [ ] Obsérvese que es u puto fijo atractor y que la órbita del puto x = que es el cojuto de valores O ) = 4 6 { x f( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( )...} + ( x x coverge hacia. =

5 CONCLUSIONES Mediate esta costrucció se puede obteer fácilmete alguos úmeros irracioales tal como. El método de costrucció logrado e este artículo preseta vetajas sobre los métodos usuales de costrucció de los úmeros reales a partir de los úmeros racioales ; tal como el método de los itervalos ecajados de extremos racioales o el de las sucesioes de Cauchy de úmeros racioales. REFERENCIAS Misiurewicz Michal ad N. Zbigiew; Combiatorial patters for Maps of the Iterval America Mathematical Society November 99 volúme 94. Aderso Joh ad Ogilvy Staley; Excursios i Number Theory; Dover Publicatios INC. New York Gutiérrez María Victoria (Q.P.D); Geometría y Forma segudo coloquio Distrital de Matemáticas y Estadística 98. Reyes Miguel y otros; Iiciació al Caos (Sistemas Diámicos). Editorial Sítesis S.A. 99