Cálculo de ceros de funciones

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1 Cálculo de ceros de fucioes El objetivo de la presete secció es el de resolver la ecuació f(x) = 0, siedo f ua fució cotiua, co ua precisió prefijada. Geeralmete esta precisió se medirá por medio del error relativo e el valor obteido. 5 Teorema de la aplicació cotractiva El problema de hallar la solució de la ecuació f(x) = 0 puede trasformarse e el de hallar la solució de ua ecuació de la forma F (x) = x. Esta última ecuació se obtedrá trasformado de algua maera la ecuació origial, por ejemplo f(x) + x = x o más geeralmete k(x)f(x) + x = x para ua fució arbitraria k. Ua buea elecció de la fució k(x) podría garatizar la existecia del puto fijo buscado y a la vez proporcioar u método de aproximació a la solució. Las codicioes suficietes se explicita e el siguiete teorema. Teorema 1 (Teorema de la Aplicació Cotractiva). Sea E = [a, b] u itervalo cerrado de R y sea F ua aplicació de E co valores e E que verifica la siguiete propiedad: existe c, 0 < c < 1 tal que para cualesquiera x, y de E se tiee que F (x) F (y) c x y. (5.1) Etoces existe u úico puto x de E tal que F ( x) = x. Demostració. Sea x 0 u puto cualquiera de E. Se defie la sucesió (x ) por medio de la ley de recurrecia x +1 = F (x ). Obsérvese que x, x +1 c x 1 x c x 0 x 1 1

2 Cálculo de ceros de fucioes y que por tato x +k x k x +j x +j 1 j=1 x 1 x 0 k j=1 x 1 x 0 c 1 c +j 1 Tomado suficietemete avazado x +k x se hará arbitrariamete pequeño idepedietemete de k, y por tato la sucesió (x ) será de Cauchy. Sea x su límite, dado que E es compacto, x E. Se tiee e primer lugar que, por cotiuidad de F la codició F cotiua es cosecuecia de (5.1), x es puto fijo de F. E segudo lugar, por la cotractividad (5.1) de la fució, este puto fijo será úico. 6 Métodos iterativos La demostració del teorema aterior sugiere que para calcular aproximadamete el valor del puto fijo de la aplicació F puede recurrirse al siguiete proceso. Se parte de u puto cualquiera x 0 de E e iterativamete se va calculado los térmios x de la sucesió por medio de la regla x = F (x 1 ). Tras cada cálculo se estima si la aproximació que x proporcioa de x es suficiete; e caso afirmativo se detiee el proceso; e caso egativo se prosigue. Si la fució F está defiida sobre u itervalo [a, b ] co valores e [a, b ] y además tiee derivada que verifica F c < 1 etoces es cotractiva e [a, b ]. Si además F es cotiua etoces el error e x +1 puede estimarse por medio de (x x +1 ) 2 x +1 2x x 1. Este resultado es cosecuecia de la siguiete proposició (véase tambié la Secció 9 e la págia 6). Proposició 2. Sea F : [a, b] [a, b] C 1 tal que F c < 1. Si x 0 [a, b] y la sucesió (x ) está defiida por x +1 = F (x ) etoces se tiee que x x +1 x x = x +1 x x x 1 = F ( x). dode x es el ite de la sucesió (x ) Demostració. Que x existe y perteece a [a, b ] está garatizado por el teorema de la aplicació cotractiva. El teorema del valor medio implica que x +1 x = F (ξ )(x x), ξ I(x, x) (6.2) 2

3 Cálculo de ceros de fucioes dode I(x, x) represeta el itervalo abierto co extremos x y x. Se tiee por tato que x +1 x x x = F ( x). Por otra parte x +1 x = (x +1 x) (x x) x x 1 (x x) (x 1 x) = (F (ξ ) 1)(x x) (x x) x x F (ξ 1 ) dode e la última igualdad se ha utilizado dos veces (6.2) para valores de cosecutivos. Se obtiee etoces que x +1 x x x 1 = F (ξ ) 1 F (ξ 1 ) 1 F (ξ 1 ) = F ( x). 7 El método de Newto Como ya se ha explicado más arriba, el problema de hallar la solució de la ecuació f(x) = 0 e u itervalo [a, b] puede trasformarse e el de hallar el úico puto fijo de ua aplicació cotractiva F. Esta fució F puede elegirse de distitas formas. Supoiedo que uestra fució de partida f es derivable, ua codició suficiete para que la aplicació F sea cotractiva e el itervalo [a, b] es que F c < 1 e el mismo itervalo. Si elegimos F (x) = x + k(x)f(x) como se ha sugerido más arriba y tratamos que F (x) sea lo meor posible e u itervalo de x, ua posible elecció sería aquella que aulara F e el puto x. Dado que f( x) = 0 se tiee que F ( x) = 1 + k( x)f ( x). Eligiedo k(x) = 1 se verifica esta codició. f (x) Se tedrá etoces F (x) = x f(x), que por cotiuidad será f (x) ua aplicació cotractiva e u itervalo que cotiee a x. El método de Newto cosiste e comezar co u valor x 1 próximo a la solució (ua solució aproximada) y mejorar su aproximació por medio de x +1 = x f(x ), = 1, 2,... f (x ) el proceso se para cuado, para uestros propósitos, o podamos distiguir la diferecia etre dos valores x cosecutivos. Ejemplo 7.1. Resuelve la ecuació x 2 x 1 = 0. Tiee ua solució e el itervalo [1, 2]. La fució de iteració será 3

4 Cálculo de ceros de fucioes F (x) = x x2 x 1 2x 1 = x x 1. Comezamos la iteració co x 1 = 1 5. Obteemos Ejemplo 7.2. Cálculo del iverso de u úmero (o como costruir ua máquia de dividir utilizado solamete sumas y productos). Dado a > 0 queremos hallar 1/a. Resolvemos x = 1/a, equivalete a a 1/x = 0. Aplicamos la regla de Newto a esta ecuació x +1 = x (2 ax ). Hagamos el cálculo para a = 7, comezamos e x 0 = Si observamos el úmero de dígitos que se estabiliza e cada paso vemos que aproximadamete se dobla, lo que sigifica si pesamos que los dígitos estabilizados so correctos que el error e cada paso es el cuadrado del error e el paso aterior. Veremos a cotiuació que este es el comportamieto esperado. Defiició 1. Ua sucesió (x ) coverge a x co orde p si x = x y además p > 0 es el mayor úmero real para el que existe u úmero K > 0 tal que 1, x +1 x K x x p orde de covergecia Si el cero de f es simple etoces el método de Newto tiee orde de covergecia al meos dos (covergecia cuadrática). E efecto, dado que f( x) = 0, y f ( x) 0, se obtiee que F (x) = 1 f (x) 2 f (x)f(x) f (x) 2 y etoces F ( x) = 0, por tato x +1 x = F (x ) F ( x) = F ( x) x x F (ξ) x x 2 4

5 Cálculo de ceros de fucioes de forma que si x y x +1 está detro de I, itervalo de covergecia del método, { } 1 x +1 x K x x 2 dode K = sup 2 F (x) x I. Esta propiedad explica el comportamieto de los iterados observado e los ejemplos ateriores. Iterpretació geométrica. El método descrito tiee ua fácil iterpretació geométrica, por la cual recibe tambié el ombre de método de la tagete. Si represetamos gráficamete la fució método de la tagete f, el problema que queremos resolver es el de hallar la itersecció (o al meos ua de ellas) de la gráfica co el eje x. Sea x 0 ua aproximació de la solució. Para buscar ua aproximació mejor hallamos el valor f(x 0 ) y trazamos la recta tagete a la gráfica y = f(x) e el puto (x 0, f(x 0 )). E vez de tomar como solució la itersecció de la gráfica co el eje x, tomamos como ueva aproximació x 1 a la solució la itersecció de la recta tagete co el eje x. U secillo cálculo produce x 1 = x 0 f(x 0) f (x 0 ), es decir, la misma fórmula obteida ateriormete. 8 El método de la secate Ua vez vista la iterpretació geométrica del método de Newto podemos platearos el utilizar u método geométricamete parecido e el cual e vez de utilizar como aproximació a la gráfica de y = f(x) su tagete e u puto próximo al cero buscado, utilicemos la secate que pasa por dos de sus putos tambié próximos a este cero. Supogamos que el itervalo [a, b ] aísla el cero buscado, que es u cero simple, y por tato f(a)f(b) < 0. Utilizado los valores a y b como aproximacioes al cero buscado esperamos que ua mejor aproximació será la itersecció de la recta que pasa por los putos (a, f(a)) y (b, f(b)) co el eje X. El valor de esta abscisa será c = b f(b) (b a) f(b) f(a) Al igual que e el caso aterior este procedimieto puede iterarse tratado de mejorar la aproximació dada por c. Si embargo e este caso cada iteració está basada o solamete e la última aproximació obteida sio e las dos últimas. La regla que defie 5

6 Cálculo de ceros de fucioes la sucesió de iterados a partir de los dos primeros valores x 0 y x 1 es la siguiete: x +1 = x x x 1 f(x ) f(x 1 ) f(x ). Obsérvese que, e comparació co el método de Newto, aquí o ecesitamos evaluar f. Habrá que evaluar la fució f e dos putos distitos; si embargo e cada paso es suficiete coservar la última evaluació del paso aterior. 9 El método de extrapolació de Aitke Sea F : [a, b] [a, b] ua fució difereciable tal que sup F (x) = M < 1 x [a,b] Por el teorema de la aplicació cotractiva implica! x tal que F ( x) = x. Además, para todo x [a, b], F (x) = x. Fijamos x 0 y sea x = F (x 0 ), etoces x x x x 1 = F ( x) Si F ( x) = 0 etoces la covergecia de la sucesió (x ) hacia x es cuadrática. Si embargo, si F ( x) 0 la covergecia será solamete lieal. Veamos u método que os permite acelerar la covergecia a partir de los iterados calculados. Más cocretamete, corregiremos el valor de la aproximació x +1 por medio de los valores x 1, x, y el propio x +1. Estudiamos el cociete d = x +1 x x x 1 = ( x x ) ( x x +1 ) ( x x 1 ) ( x x ) = = x x 1 x x 1 x x +1 x x 1 x x x x 1 = F (ξ 1 ) 1 F (ξ ) 1 F (ξ 1 ) (9.3) dode los putos ξ k cae e los itervalos que ue los putos x y x k segú el teorema del valor medio. Si tomamos el límite de la última fracció obteemos, por cotiuidad de F, d = F ( x). La fracció 9.3 puede utilizarse etoces como aproximació de la derivada F cerca del puto x, por tato 6

7 F ( x) = 1 1 m 0 (10.4) Cálculo Numérico I Cálculo de ceros de fucioes y etoces d = x +1 x x x 1 F ( x), x x +1 = ( x x ) + (x x +1 ) x x +1 d + (x x +1 ) (1 1 d )( x x +1 ) = x x +1 x x +1 d d 1 (x x +1 ) De esta última expresió obteemos la aproximació c x +1 + d 1 d (x +1 x ) que es la llamada fórmula de extrapolació de Aitke. Este método os da a partir de los iterados (x ) las correccioes (ˆx ); ua vez substituidas las d obteemos ˆx +1 = x +1 (x +1 x ) 2 x +1 2x + x 1 = x 2 +1x 1 x. x +1 2x + x 1 10 Tratamieto de raíces dobles por el método de Newto Como hemos visto, el método de Newto tiee orde de covergecia dos cuado el cero al que coverge es simple. Si embargo, cuado el cero es múltiple la covergecia es lieal. La razó es la siguiete. Si c es u cero de orde m 2 de f etoces f(x) = (x x) m g(x) dode g( x) 0. Por tato, g(x) F (x) = x (x x) mg(x) + (x x)g (x) F (x) = ( ) g(x) d g(x) 1 (x x) mg(x) + (x x)g (x) dx mg(x) + (x x)g (x) por tato la covergecia es lieal. Estudiaremos varios métodos para acelerar esta covergecia. U primer método cosistirá e aplicar la extrapolació de Aitke a la sucesió de iterados de Newto. 7

8 Cálculo de ceros de fucioes Si pudiéramos determiar el valor de m etoces tambié podríamos recuperar la covergecia cuadrática modificado el método de Newto de la siguiete maera F (x +1 ) = x m f(x ) f (x ) (10.5) ya que etoces, al repetir los cálculos de (10.4), obtedríamos F ( x) = 1 m m = 0. O bie podríamos calcular el cero simple de f (m 1). El valor de m se puede determiar experimetalmete por medio de la estimació de F ( x) a partir de los iterados. Resulta que, como hemos visto ateriormete x +1 x x x = x +1 x = F ( x) = m 1 x x 1 m, de forma que si al aplicar el método de Newto observamos que la covergecia (el úmero de cifras decimales que se estabiliza) es muy leta, sospecharemos que estamos tratado de determiar u cero doble y trataremos de ver si los cocietes x +1 x x x 1 se estabiliza cerca de u valor λ; e caso afirmativo determiamos el etero m por medio de m 1 m = λ. Ejemplo Cálculo de 2 como cero doble del poliomio x 4 4x por diversos métodos. Método de Newto: F (x) = 3x4 4x 2 4 4x 3 8x Newto doble: F (x) = x4 4 2x 3 4x Newto derivada: F (x) = 2x3 3x 2 2 Aitke (sobre Newto): ˆx k+1 = x k+1x k 1 x 2 k x k+1 2x k + x k 1. Iiciamos todos los métodos co x 0 = 1 5. Newto Newto doble Newto der. Aitke

9 Cálculo de ceros de fucioes Podemos observar que si sobre la columa de Newto simple calculamos los cocietes x +1 x x x 1 los tres primeros valores so: , , ; se estabiliza sobre el valor λ = 0 5 por tato m = 2, como ya sabíamos. 11 El método de Muller Cosiste e sustituir la fució f por u poliomio de segudo grado P (x) e u itervalo que cotega la solució buscada y resolver P (x) = 0. Para ello se parte de tres putos x 0, x 1, x 2 e dicho itervalo y se localiza la itersecció de la cóica que pasa por (x 0, f(x 0 )), (x 1, f(x 1 )), (x 2, F (x 2 )) co el eje X: x 3. Se itera el proceso obteiédose x +1 co base e x 2, x 1, x. 9

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