Examen Madrid 23 de Junio de 2018

Transcripción

1 Exame Madrid de Juio de 08 Academia DEIMOS Oposicioes: a) Matemáticas Secudaria. b) Diplomados e Estadística del Estado MADRID academia@academiadeimos.es editorial@academiadeimos.es Exame Madrid de Juio de 08. Dado x R y el determiate = x x x x x , calcule lim. Este problema figura resuelto e la págia 97 del volume de Problemas de Oposicioes de Editorial Deimos y ha sido resuelto este curso e clase e los grupos iiciales de alumos de la Academia Deimos (problema, documeto A) Solució: Desarrollado el determiate por los elemetos de la última fila se deduce que, para cada, es x ( ) x 4 + x = + = x x es decir, x!! = ( ) + x ( ) + = + x = +!

2 Exame Madrid de Juio de 08 Academia DEIMOS. Oposicioes: Matemáticas Secudaria - Diplomados e Estadística del Estado Por tato, si se reescribe la aterior igualdad para,,,, y después se suma todas las igualdades obteidas, se deduce: x = + x! = + ( )! x x x x = + ( )! = !!!... x = +! y como es =, deducimos que para cada es x x x = !!! Distiguimos para calcular el límite de la sucesió aterior: Si x= 0, etoces = y lim = lim=. Si x 0, etoces x x x x x x lim = lim = lim x =!!! x!!! x x x x x = lim ( ex = = ) x!!!! x = 0! x Esto es, e lim = x x

3 Exame Madrid de Juio de 08 Academia DEIMOS. Oposicioes: Matemáticas Secudaria - Diplomados e Estadística del Estado La coroa circular que forma dos circuferecias cocétricas Γ y Γ de radios respectivos r y r ( r< r ) cotiee a ocho circuferecias Γ, Γ,, Γ8 tales que a) Γ i es tagete a Γ y Γ, para cada i=,,8. b) Γ i y Γ i+ so tagetes, para cada i=,,,7. c) Γ 8 y Γ so tagetes. Determie el cociete r r. Este problema figura resuelto e la págia 9 del volume de Problemas de Oposicioes de Editorial Deimos. Aparece tambié e la págia 4 del volume y e la págia 7 del volume de la misma colecció. Ua solució: Llámese O al cetro comú de las Γ Γ i+ circuferecias cocétricas, C i al cetro de la circuferecia Γ i ( i=,,8, cualquiera) y T i al Γ T i Γ i puto de tagecia de Γ i co Γ i+. El radio s de la circuferecia Γ i cumple que r+ s = r, por lo O π/8 r s C i que y por tato, r r s= r r CT i i = s=, r r r+ r OCi = r+ s= r+ = El triágulo OTC i i es rectágulo, pues la recta OT i es tagete a la circuferecia Γ i y por tato perpedicular al radio CT i i de la misma. Como, además, águlo COT i i es la dieciseisava parte de π, es decir, COT i i = π π 6 = 8, se deduce que o, llamado k = r r, De aquí se sigue que: CT i i se COT i i =, OC r π r r se r k = = = 8 r + r r + r k+ + seπ k= 8 seπ 8 i

4 Exame Madrid de Juio de 08 Academia DEIMOS. Oposicioes: Matemáticas Secudaria - Diplomados e Estadística del Estado De las fórmulas trigoométricas del águlo mitad se sigue que π 4 π cos se = = = 8 y por tato seπ r = k= = = r seπ 8 Otra solució: Si, co la misma omeclatura de la primera solució, se aplica el teorema del coseo al triágulo OCC i i +, se cumple que ( CC ) = ( OC ) + ( OC ) OC OC cos( COC ) i i+ i i+ i i+ i i+ Dado que COC π π i i+ = 8 = 4, CC i i+ = s = r r y que OCi = OC r+ r i + =, al sustituir e la Γ Γ i+ igualdad aterior se obtiee: Γ C i + Γ i r+ r r+ r ( r r) = O π/4 r s C i o bie, r+ r = ( r r) ( ) es decir, r r= ( r + r ) Si se divide los dos miembros de la última igualdad por r y, como ates, se llama k = r r, se obtiee: y, despejado k, k = ( k+ ) r + = k= r 4

5 Exame Madrid de Juio de 08 Academia DEIMOS. Oposicioes: Matemáticas Secudaria - Diplomados e Estadística del Estado Dados los úmeros reales positivos x e y, se pide: a) Demuestre que xy < yx cuado x< y< e. b) Demuestre que xy > yx cuado e< x< y. Solució: La fució logaritmo eperiao L es estrictamete creciete e el itervalo (0, + ), luego si x e y so úmeros reales positivos, las siguietes desigualdades so todas equivaletes: Lx Ly xy < yx L( xy) < L( yx) ylx< xly <, x y Por tato, lo que debe demostrarse es que la fució f :(0, + ) R, defiida por f() t = Lt t es: a) estrictamete creciete e el itervalo (0, e ), y b) estrictamete decreciete e el itervalo (, e + ). Dado que f es derivable e cada t> 0 y que Lt f () t = t la derivada de f sólo se aula cuado Lt=, es decir, cuado t= e, y es imediato que f () t > 0 cuado 0< t< e y que f () t < 0 cuado t> e, por lo que f es estrictamete creciete e el itervalo (0, e ) y estrictamete decreciete e el itervalo (, e + ), que es lo que había que demostrar. 5

6 Exame Madrid de Juio de 08 Academia DEIMOS. Oposicioes: Matemáticas Secudaria - Diplomados e Estadística del Estado E ua de las mesas de u casio se juega a los dados como sigue: El jugador realizará sucesivos lazamietos de dos dados equilibrados hasta que la suma de los resultados de ambos sea 4 o 7. Si sale 4, habrá gaado; si sale 7, habrá perdido. Cuál es la probabilidad de que gae el jugador? Ua solució: E cualquier tirada de los dos dados, de los 6 = 6 casos posibles hay casos favorables a suma 4, a saber, (,),(,),(,); hay 6 casos favorables a suma 7 : (,6),(,5),(,4),(4,),(5,),(6,) y, e cosecuecia, hay 6 (+ 6) = 7 casos e los que la suma o es i 4 i 7. El jugador gaará e el lazamieto -ésimo ( =,,, ) si y sólo si o ha obteido suma 4 i suma 7 e igua de las primeras partidas y ha obteido suma 4 e la -ésima. La probabilidad p de que el jugador gae el juego e la tirada -ésima es por tato, atediedo a lo escrito e el primer párrafo: p 7 = = 6 6 4, =,,, Dado que si el jugador gaa, debe hacerlo e algua de las tiradas, la probabilidad p de que gae el jugador es p = p = = = = = 4 4 OBSERVACIÓN: La probabilidad de que el juego o termie uca es la probabilidad de que e igua de las sucesivas tiradas de los dos dados se obtega suma 4 o suma 7, y que es = lim = Por tato, el juego termia tarde o temprao y, e cosecuecia, la probabilidad de que el jugador pierda es p= =. 6

7 Exame Madrid de Juio de 08 Academia DEIMOS. Oposicioes: Matemáticas Secudaria - Diplomados e Estadística del Estado Otra solució: Llámese p a la probabilidad de que gae el jugador. Si e el primer lazamieto de los dos dados se obtiee suma 4, cosa que ocurre co probabilidad 6, el jugador gaa co probabilidad ; si se obtiee suma 7, suceso co probabilidad 6 6, el jugador gaa co probabilidad 0, mietras que si se obtiee suma distita de 4 y de 7, cuya probabilidad es 7, el jugador gaa co la misma probabilidad p que teía 6 ates del primer lazamieto, es decir, de acuerdo co el teorema de la probabilidad total, será 6 7 p= + 0+ p o bie, 6p= + 7p y por tato p= 7