PREPARACIÓN OLIMPIADAS DE LA RSME UNIVERSIDAD DE ALMERÍA RELACIÓN PRIMERA DE EJERCICIOS A RESOLVER MEDIANTE DIFERENTES ESTRATEGIAS

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1 PREPARACIÓN OLIMPIADAS DE LA RSME UNIVERSIDAD DE ALMERÍA RELACIÓN PRIMERA DE EJERCICIOS A RESOLVER MEDIANTE DIFERENTES ESTRATEGIAS. Qué es cierto: 3 < 3 o 3 < 3? 2. Sea a 2 R tal que a 3 2a 2 0a = 20. Prueba que a y a 2 so dos úmeros irracioales. 3. Sea a; b; c 2 R tales que a b c = 2; ab bc ca = ; abc = 2. Calcula el valor de las expresioes: a) a 2 b 2 c 2, b) a 3 b 3 c 3, c) a 4 b 4 c Calcula a; b 2 R para que el poliomio ax 4 bx 3 sea divisible por x 2 2x.. Calcula a; b 2 R para que el poliomio x ax 3 b tega ua raíz real múltiple. 6. Sea a; b; c 2 R. Se sabe que ua de las raíces del poliomio x 3 ax 2 bxc es la suma de las otras dos. Prueba que a 3 4ab 8c = Teemos 00 úmeros e progresió aritmética tales que su suma es. Si la suma de los térmios de subídice par es, cuáto vale la suma de los cuadrados de los cie úmeros? 8. Prueba la siguiete relació etre las llamadas medias armóica, geométrica y aritmética: 2 x y p xy x y ; 8x; y > 0: 2 Discute cuádo se alcaza la igualdad etre ellas. Aplica la coveiete relació etre las ateriores medias que te ayude a probar que: a; b; c > 0 : ( a) ( b) ( c) = 8 =) abc : 9. Sea a; b; c 2 R tales que a 2 b 2 c 2 =. Prueba que =2 ab bc ca : Para qué valores de los tres parámetros se alcaza las igualdades? 0. Sea a; b; c > 0. Prueba que a b c b c a Estudia e qué casos se tiee la igualdad. c a b 3=2:

2 . Ecuetra todos los aturales de cuatro cifras tales que sea iguales al cubo de la suma de sus cifras. 2. Se te pide que des ua fórmula explícita para la derivada -ésima de la fució f : R f ; g! R j f (x) = x 2 : 3. Prueba que si tres putos del plao z ; z 2 ; z 3 so tales que jz j = jz 2 j = jz 3 j = y z z 2 z 3 = 0; etoces se trata de los tres vértices de u triágulo equilátero sobre la circuferecia uidad. 4. Ecuetra ua biyecció del itervalo ]0; ] e el itervalo ]0; [ :. Ecuetra ua biyecció de N N e N: 6. Prueba que R o se puede escribir de la forma fa ; a 2 ; : : : ; a ; : : :g. (Sigi ca que o es umerable, que o se puede umerar.) 7. Prueba que la relació = 30 (múltiplo de 30) se veri ca para cualquier úmero etero. (Idicació: ( ) = 2 y 2 2 = 3:) 8. Prueba que, para cada atural, se tiee la relació: 2 p < p ; 2 2 siedo estricta la primera desigualdad para 2: 9. Ecuetra las cuatro raíces (complejas) de la ecuació x 4 x 3 x 2 x = 0: 20. Teemos 0 chas umeradas del al 0. El objetivo es colorearlas, e rojo o e azul, e fució de las siguietes reglas: la cha úmero es azul, y el resto obedece a: Si las chas co úmeros x e y so de distito color, etoces la cha úmero jx yj se pita de color rojo. Si las chas co úmeros x e y so de distito color y el úmero xy 2 f; 2; 3; : : : ; 49; 0g, etoces la cha úmero xy se pita de color azul. Determia cuátas coloracioes distitas se puede realizar e ese cojuto de chas. 2

3 2. E la pared de u barraco hay 20 huecos dispuestos a ser ocupados por ua badada de 2 palomas. Razoa que si todas decide alojarse e ellos, al meos uo de dichos huecos será usado por más de ua de las palomas. 22. Cosidera cico putos e el iterior de u cuadrado de lado. Prueba que las distacias etre ellos, e al meos uo de los casos, es meor que p 2=2: 23. Prueba que e cualquier reuió de persoas siempre ha de existir, al meos, dos de ellas que haya realizado el mismo úmero de saludos al iicio de la misma. 24. La familia López-Pérez ha orgaizado ua esta e casa para otras tres parejas. Al llegar, como es atural, los asistetes se ha saludado; pero, eso sí, siguiedo las ormas de setido comú: adie ha saludado a su propia pareja, i se ha saludado a sí mismo! Al acabar la esta, López pregutó a cada uo de los asistetes qué úmero de saludos había realizado; y oh, casualidad, que resultó que iguo de los pregutados había realizado el mismo úmero de saludos! Podrías decir a qué úmero de persoas saludó Pérez al comiezo de la esta? 2. Escogemos úmeros distitos desde el al 2. a) Prueba que siempre hay dos que so primos etre sí. b) Demuestra que siempre hay uo que es divisible por otro. So ciertas las a rmacioes ateriores si tomamos sólo úmeros e vez de? 26. Prueba que la matriz cuadrada (y simétrica) de orde dada por B A tiee determiate igual a. 27. Cuádo se tiee que! 3 > 0? 28. Prueba que toda fució de puede descompoer de maera úica como la suma de ua fució par y otra impar. 29. Prueba que el producto de cuatro aturales cosecutivos uca puede ser u cuadrado perfecto. (Idea: desarrolla y relacioa los productos ( 3) y ( ) ( 2).) 30. Prueba que si 2 N, etoces 3 = 6 (múltiplo de 6). 3

4 3. Prueba que si m; ; p 2 N so tales que m p = 6, etoces m 3 3 p 3 = Calcula el valor de la suma para cada valor del atural. 33. Cosidera esta sucesió: ) 7 6; 6; 6; 6; : : : de modo que a partir del úmero 6 lo que hacemos, sucesivamete, es itroducir u e el cetro de la ueva cifra. Prueba que todos estos úmeros so cuadrados perfectos. 34. Prueba que el úmero es múltiplo de Prueba la fórmula del biomio de Newto: a; b 2 R; 2 N =) (a b) = X k=0 a k k b k 36. Calcula las siguietes sumas co 2 N: a: P k k; b: P k k 2 ; c: P k k : 37. Calculad el úmero de ceros e que termia el úmero 000! = : 38. Ídem del ejercicio aterior para 20! = : 39. Ecuetra la expresió geeral de las fucioes aditivas racioales de variable racioal; es decir: f : Q! Q j f (x y) = f (x) f (y) ; 8x; y 2 Q: 40. Prueba que o existe igua fució f : R! R tal que f x 2 y = f (x) y 2 : 4. Ecuetra todas las fucioes f : N! N tales que para cada atural. f () f (f ()) f (f (f ())) = 3 4

5 42. Ecuetra todos los poliomios P de coe cietes reales tales que P (P (x)) = [P (x)] 2007 : 43. Existe algú poliomio p para el que se veri que que xp (x ) = (x ) p (x) para cualquier valor del úmero real x? 44. Dado u úmero real s, cosidera el poliomio p (x) = 3x 2 3sx s 2 del que supodremos que y so raíces suyas. Prueba que p 3 = p 3 : 4. Halla todos los úmeros aturales m y tales que! = (m! ) 2 : 46. Sea a; b; c 2 R f0g y distitos dos a dos. Si los poliomios x 2 ax bc y x 2 bx ac tiee ua raíz comú, etoces las otras dos raíces (ua de cada uo) so las raíces del poliomio x 2 cx ab. 47. Prueba que la serie P = o tiee suma ita; es decir, la serie de la suma de los recíprocos de los aturales es divergete. 48. Prueba que la suma de los recíprocos de los aturales que e su represetació decimal o cotiee al dígito 9, es ita. 49. Calcula el límite lim 0. Calcula la suma Del poliomio p (x) := x 3 x k se sabe que tiee tres raíces eteras distitas. Quié puede ser k? 2. Sea 2 R. Se sabe de las solucioes de la ecuació x 3 2x 2 x 0 = 0 que so reales y está e progresió aritmética. Hállalas.

6 3. Calcula las solucioes reales de la ecuació 4p 97 x 4 p x =. 4. Calcula a 2 R tal que la suma de los cuadrados de las raíces del poliomio sea míima. Calcula dicha suma. p (x) = x 3 2ax 2 (a ) x a 3. Prueba la desiguadad de Cauchy-Schwarz-Buyakowski: para cualesquiera 2 úmeros reales a ; : : : ; a ; a b ; : : : ; b ; se tiee que v v X ux a k b k t (a k ) 2 ux t (b k ) 2 ; dádose la igualdad si y sólo si a b = a2 b 2 = = a b : 6. Comprueba que la sucesió de térmio geeral x = es estrictamete creciete a través del estudio de la fució f (x) = x x, para x > Dibuja la regió R del plao dada por R := f(x; y) j jxj jyj ; jyj g y calcula su área. 8. Prueba (usado el desarrollo de ( i) ) que p 2 cos = p 2 si = Prueba que si 2 es u cuadrado perfecto, etoces = a 2 ( a) 2, para coveiete a. 60. Prueba que si a; b; c so las logitudes de los lados de cualquier triágulo, etoces 3 (ab bc ca) (a b c) 2 4 (ab bc ca) : 6. Prueba que el producto de úmeros aturales cosecutivos siempre es múltiplo de!. 62. Prueba que para todo etero : ) 3 = : 27 6

7 63. Prueba que de etre todos los rectágulos circuscritos e ua circuferecia dada, el cuadrado es el de mayor área. 64. (Lewis Carroll) E ua batalla ua escuadra de 00 persoas ha sufrido las bajas siguietes etre sus miembros: 8 de ellos ha perdido ua piera, 80 la de u brazo, 7 ha perdido u ojo y 70 la de ua oreja. U úmero idetermiado x de ellos ha perdido piera, braxo, ojo y oreja. Prueba que 0 x 70. 7