I.1. Relación 1.El cuerpo de los números reales.

Transcripción

1 I.. MARIBEL RAMÍREZ 3 I.. Relació.El cuerpo de los úmeros reales...- Se cosidera u circuito elétrico formado por dos resistecias e paralelo R yr. La resitecia total R e ohmios del cicuito viee dada por la fórmula R = R + R Las resistecias R yr so uos reostatos (resistecias variables) tales que R puede variar etre 3 y 0 ohmios yr de 5 a 5 ohmios. Hállese la gama de valores etre los cuales está la resistecia...- Resuélvase las siguietes iecuacioes a) jx 3j< d ) x + x >0 b) jx j< e) 5 x < c) jx+j> f)x +x Calcúlese el supremo y el í mo, si existe de los siguietes cojutos de úmeros reales : a)a := fx R : 0 x g c)c := fx R : 0<x 4g b)b := fx R : 0<x g d)d:= fx R :x 4< 0g.4.- Obtégase, e caso de existir, el supremo, í mo, máximo y míimo de los siguietes cojutos : se¼ o a)a := fx R :x +x + 0g e)e:=, N ½ ¾ b)b := fx R :x< 0,x +x < 0g f)f :=,k Z,k 6=0 ½k ¾ c)c := fx Q :x 3 < 5g g)g:= +( ), N µ d)d:= fx R Q :x +x< g h)h := [ = ;.5 Demuéstrese por iducció las siguietes fórmulas, e las cuales es u úmero atural : a) :::+( 3) +( ) = b) :::+( ) + = (+)(+) 6 (+) c) :::+( ) = d) :::+ 3 =3 + 8 N e) (+) = + 8 N

2 4 I. MARIBEL RAMÍREZ f) 4 > 8 N g) 3 > +3 8> h) = ² (m ultiplode ) i) +5 = 9 ² (m ultiplode 9) j) ( +p) > +p siedo u úmero atural mayor que ;yp R + k) ::::: < 6 p + l) + p + p 3 +:::::+ p > p para todo : m) x y es divisible porx y: ) jx +x +x 3 +:::::::+x j jx j+jx j+jx 3 j+::::::+jx j.6 i) Pruébese que dadosym aturales, m es u etero. ii) Pruébese que todo etero se puede expresar como diferecia de dosaturales. iii) Tiee Z u míimo? iv) Pruébese que sip;q Z;p<q )p+ q:.7 i) la suma o el producto de dos úmerosx;y irracioales, es siempre irracioal? qué ocurre cuado los úmeros so racioales?.8 Ya sabemos que p es irracioal; pero además: i) Pruébese que p 3 y p 5 o so racioales. ii) Es irracioal p 3+ p 5? iii) Pruébese que 3 es irracioal..9 SeaA := fx Q :x < 5g i) Pruébese quea o posee u elemeto máximo, pero A está acotado superiormete. ii) Pruébese que e Q o existe el supremo de A.

3 I.. MARIBEL RAMÍREZ 5 I.. Relació. Sucesioes de úmeros reales.. Pruébese que las sucesioes f( ) g y fg o so covergetes.. Demuéstrese que: a) La sucesió de térmio geeral x = +3 es creciete. 3+ b) La sucesió de térmio geeralx = 5+3 es decreciete y tiee límite. +.3 Determíese el límite de cada ua de las sucesioes siguietes: a)x = +5 b)x = 3 c)x = d)x = (p ++) e) y +3 = + cos µ 4 l(5 f) z = ) l( ).4 Dése u ejemplo de dos sucesioes (x ) e (y ) de úmeros reales o covergetes tales que (x + y ) sea covergete..5 i) Pruébese que si jxj<, etoces la sucesió f +x +x +::::+x g coverge a x : Utilícese quex+ = (x )(+x+x +::::+x ) 8 N. ii) Pruébese que six es u úmero real co jxj<, etoces la sucesió fx g coverge a cero:.6 Pruébese que six!xetoces jx j! jxj..7 Estudiese la covergecia de las siguietes sucesioes: a) + b) 3 c) Aalícese el valor del límite de la sucesió de úmeros reales (x ) = p + x; segú los distitos valores de x R..9 Sea las sucesioes de úmeros reales fx g e fy g dadas por: x = X k=0 k! y =x +! 8 N Demuéstrese que: a) fx g e fy g so covergetes y, además, lo hace al mismo límite (al cual deotaremos pore).

4 6 I. MARIBEL RAMÍREZ µ b)e=lim + c)e es irracioal..0 Estudiese la covergecia de la sucesió de ida por recurrecia por x = p ;:::;x = p +x.. Sea fx g la sucesió de ida por : x = 0;:::;x = + x 8. Demuestrese que fx g es moótoa y acotada y calcúlese su límite.. Sea fx g e fy g las sucesioes de úmeros reales de idas, por recurrecia, mediate: x + = x y x +y y + = x +y 8 N Dadosx =a,y =btales que 0<a<b; demuéstrese que: a)x <y 8 N. b) fx g crece e fy g decrece. c) fx g e fy g forma u par de sucesioes moótoas covergetes y hállese su límite..3 Sea a y b dos úmeros reales positivos tales que a< b. Se de e las sucesioes fx g e fy g de la siguiete forma: x =a x = p x y 8 N y =b y = x +y 8 Demuéstrese que ambas sucesioes tiee límite y que el límite de ambas es el mismo..4 Sea fx g la sucesió de ida por : x = x = x 8 Demuéstrese que dicha sucesió es covergete y tiee límite..5 Cosidérese la sucesió fx g de ida como sigue:

5 I.. MARIBEL RAMÍREZ 7 x =, x = 4+x 8 i) Estudiese la covergecia de la misma. ii) Pruébese por iducció, que jx j< para todo atural..6 Calcúlese L i) lim! µ ii)lim! + p + p + + µ p p µ 3 + iii) lim ::::::+ 4! µ 5 +!+3!+:::! iv) lim! µ! p v) lim! + p +3 p 3+::::+ p L! vi) lim! L( ) µ µ a ( ).7 Hágase uso de la sucesió = b para ver que el recíproco + del criterio de Stolz o es cierto; es decir, a ½ ¾ a+ a! 0 coverge pero b b + b o es ula (recordemos que ua sucesió se llama ula si es covergete y tiee como límite el 0)..8 Calcúlese los siguietes límites i) lim p! a +b coa yb reales positivos. ii) lim! ( p ) iii) lim ³ p! a a 3 a5 3 a7 4 ::::::a sabiedo quea!a> 0: p iv) lim ³!! µ v)lim! p!.9 Úsese la sucesió de térmio geeral a = +( ) para co rmar que el recíproco del criterio de la raíz o es cierto; es decir, p µ a es covergete, a+ mietras que o lo es. a

6 8 I. MARIBEL RAMÍREZ.0 Hállese la relació que debe existir etrea y b para que se veri que, cuado!, que µ +a +3 µ +3 b+4 lim! =lim +! +. Calcúlese el límite de la sucesió de térmio geeral :::::::+ a = L!. Estudiese la covergecia de las siguietes sucesioes: x = µ µ 3 x = +l Estúdiese la covergecia de las siguietes sucesioes: r +a x =l a (a+)( ) x = x = 34 se l + (+5)cos µ ¼+5 4+ (3 +) cos x = ( )l µ + µ x = cos p

7 I.3. MARIBEL RAMÍREZ 9 I.3. Relació 3. Series de úmeros reales Hállese el carácter de la serie de térmio geeral i) x =! 5 ii)y = (+)(+)(+3) 3..- Estudiese el carácter de la serie de térmio geeral µ + a = Estudiese el carácter de las siguietes series a) P +cos b) P c) P 0 d) P + 0! (+)! e) P 0 p f) P l Hállesese el carácter de las siguietes series a) P (+=+:::+=) b) P > c) P Hállese el carácter de la series d) P > + +:::+ 3 l a) X 0 (+)(+3) b) X 0 (+)(+) c) X 0 y si so covergetes, hállese su suma. + d) X Estudiese la covergecia de la serie P 4 7 :::(3+) 0 x! cox> 0 respecto a los diversos valores de x Estudiese la covergecia de las siguietes series

8 0 I. MARIBEL RAMÍREZ a) P P µ (3 cos ) + c) + b) P d) P (+) 0!x x> Estudiese el caracter de la serie P! (x+)(x+):::(x+) cox> Estudiese la covergecia de la serie de úmeros reales de térmio geeral µ a = x x> Hállese el carácter de P > ( ) cox> 0. +x 3..- Dada la sucesió de térmio geeral a =L ++ + se pretede estudiar el carácter de covergecia de la serie P a. Para ello, respódase razoadamete las siguietes cuestioes: a) Es ua serie de térmios o egativos? b) Calcúlese lim! (a ) c) Idíquese el carácter de P a 3..- Aalícese la covergecia de la serie P (a+)(a+)::::(a+)!