1) Considera el sistema de ecuaciones:

Transcripción

1 SESIÓN 4: Álgebra lieal umérica ) Cosidera el sistema de ecuacioes: x + aa aa y a) Calcula las matrices iterativas de los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. b) Para qué valores de a coverge el método de Jacobi?, Y el de Gauss-Seidel? (justifica la respuesta) Solució corta El sistema se puede escribir e la forma Ax b, dode A a a ; x x y ; b. Para sistemas de X el radio espectral para el método de Jacobi y de Gauss-Seiedel es: μ TJ a a a a a a a; μ GG a a a a a Luego ambos métodos será covergetes para a <

2 . Solució Larga El sistema se puede escribir e la forma Ax b, dode A a a ; x x y ; b. Separamos la matriz A e su parte diagoal D, su parte triagular superior U y su parte triagular iferior L A D U L La ecuació Ax b (D U L)x b es trasformada e: y x D L + U x + D b (para el método de Jacobi) x D L Ux + D L b para el método de Gauss Seidel Por lo que la matrices de iteració so respectivamete para el método de Jacobi y Gauss- Seidel : T j D L + U T GG D L U

3 El método de Jacobi será covergete si su radio espectral es meor que uo. Así que lo vamos a calcular tomado e cosideració que: A a a D ; L a ; U a T j D L + U a + a Para calcular el radio espectral calculamos los auto valores de la matriz T j : det T J λλ a a a a det a a λ det λ a a λ λ + a λ ii, λ ii λ λ a Por lo tato el radio espectral para el método de Jacobi es μ J a. El método de Jacobi será covergete si a <

4 El método de Gauss-Seidel será covergete si su radio espectral es meor que uo. Así que lo vamos a calcular tomado e cosideració que: A a a D ; L a ; U a T GG D L U a a a a Para calcular el radio espectral calculamos los auto valores de la matriz T GG : det T GG λλ det a a λ det λ a λ a λ λ + a λ, λ a Por lo tato el radio espectral para el método de Gauss-Seidel es μ GG λ a. El método de Gauss-Seidel será covergete si a < a <

5 ) Dada la serie A + A + A + dode A 4 caso afirmativo, sumarla. Solució estudiar si es covergete y, e Sabemos que si E, y si el radio espectral μ A, cumple co la codició μ A <, etoces (E A) es o-sigular y E A E + A + A + A + Así que primero calculamos μ A co det A λλ det 4 4 λ det λ 4 λ 4 λ 6 λ 4, λ 4 μ A 4 <, luego la serie coverge y suma E A E: E A Fialmete: A + A + A

6 ) Estudia para que valores de a y b es covergete la matriz: A a + a + b a Solució Para que sea covergete el radio espectral de A debe ser meor que. Calculamos los auto valores: A λλ a λ + a + b λ a λ Desarrollamos el determiate por la primera fila det A λλ a λ + a λ a + b λ + a + b λ 7 det A λλ a λ a + b λ + a + b λ 7 det A λλ 7 a + b λ a λ 9 a + b λ a λ 7 det A λλ a + b λ a λ

7 a + b λ a λ λ a + b, λ a La matriz A será covergete si max a, a+b <

8 4) Justificar que es covergete el método iterativo: x x + y + y x + y,, co x y. Calcular su límite. Solució El sistema e otació matricial queda como: La matriz de iteració es: x y x y + A Si el radio espectral de la matriz de iteració A es meor que uo el proceso iterativo será covergete.

9 A Calculamos los auto valores: det A λλ det λ 6λ 4λ 5 λ 5 6 y λ 6 E cosecuecia el radio espectral μ A 5 < y el método será covergete. 6

10 5) Dada la serie I + A + A + co A p y co p >, determiar los valores de p p para los cuales la serie coverge y calcular su suma. Solució Calculamos los auto valores de la matriz A: det A λλ det p p λ λ p λ + p λ p y λ p μ A mmm p, p La serie E + A + A + A + será covergete si μ A < y e ese caso la suma será: E A E + A + A + A + E A p p p p p p Fialmete la serie suma p p p p

11 6) Estudiar segú los valores de a y b la covergecia del método iterativo x aa + z + y x + bb z z x + aa + b Solució Escribimos el sistema e forma matricial: x y z a b a x y z + b Luego, la matriz de iteració es A determiar el radio espectral. a b a, debemos calcular sus auto valores para

12 a b a λ a λ.5 b λ.5 a λ det a λ.5 b λ.5 a λ Desarrollamos el determiate por la primera fila: b λ λ aa + a 4 λ b, λ a + λ a Si a y b el proceso coverge porque μ A.5 E otros casos el mayor de b, a +.5, a.5 deberá ser meor que uo.

13 7) Dada la matriz A calcular la orma de A para,, orma del máximo, orma subordiada a y orma subordiada a. Solució Por defiició: i,j a ii a ii i,j max a ii i,j

14 La orma subordiada a es AA x, dode x x x x, y: x mmm x, x, x AA x x x x + x x + x x + x mmm x + x, x + x, x + x AA mmm x + x, x + x, x + x AA mmm x, x, x mmm,4,4 AA x 4 mmm x, x, x mmm x, x, x 4

15 La orma subordiada a es AA x, dode x x x x, co: x x + x + x AA x x x x + x x + x x + x x + x + x + x + x + x AA 4 x + x + 4 x AA x 4 x + x + 4 x x + x + x mmm x, x, x x + x + x

16 8) a) Calcular el límite de la sucesió matricial b) Sumar la serie!. si existe. Solució Para calcular el límite de la sucesió matricial Calculamos los límites: secillamete lim lim

17 lim e lim ± Por lo tato: lim e ±

18 Para sumar la serie!!! e (trivial) log (), se trata de la serie armóica alterada, que por el criterio de Leibiz coverge y sabemos que suma log(). Por lo tato:! e lll ()

19 9) Está bie codicioada la matriz A Solució Llamamos úmero de codició de la matriz A, respecto a la orma mediate k(a) ó cod(a), al úmero:? y la deotamos Si cosideramos la orma ifiito: Para la matriz iversa: k A A A A mmm a ii 64 A 4 Etoces la codició de la matriz A es: k A 56 Como la codició de la matriz A respecto de la orma ifiito es grade, la matriz está mal codicioada.

20 ) Dado el sistema de ecuacioes: x + y x y Obteer las tres primeras iteracioes correspodietes al método de Jacobi partiedo de: Haz lo mismo co el método de Gauss-Seidel. x y. Solució A D ; L Para el método de Jacobi teemos que: ; U ; b ; x x k+ D L + U x k + D b x k+ y k x k y k +.5 k : x y

21 k : x y k : x y El método de Jacobi geera los siguietes iterados: x x x Para el método de Gauss Seidel x k+ D L Ux k + D L b x k+ y k+.5.5 x k y k +.5 k : x k+ y k

22 k : x k+ y k k : x k+ y k Coviee comparar los resultados de cada método: El método de Gauss-Seidel geera los siguietes iterados: x x x El método de Jacobi geera los siguietes iterados: x x x Co cuatro iteracioes mas obteemos co el método de Gauss- Seidel:.999.4