Análisis de Señales en Geofísica

Transcripción

1 Aálisis de Señales e Geofísica 11 Clase Factorizació Espectral Facultad de Ciecias Astroómicas y Geofísicas, Uiversidad Nacioal de La Plata, Argetia

2 Factorizació Espectral Coocer la autocorrelació de ua señal o os da igua iformació sobre su espectro de fase, sólo os da iformació sobre su espectro de potecia. El problema de determiar cuál es la señal de fase míima, que posee u determiado espectro de potecia, es deomiado factorizació espectral, porque el espectro de potecia es igual al producto de dos factores que queremos determiar: i i P X X X e X e X 2 Existe cosideracioes físicas que os permite afirmar que ua determiada señal debe ser causal e ivertible, lo cual es equivalete a decir que la señal debe ser de fase míima. Si logramos determiar el espectro de fase míima ( ), podremos obteer la señal e el domiio del tiempo utilizado la trasformada iversa de Fourier. Factorizació Espectral 2

3 Método de las Raíces Dada ua secuecia real de logitud N: x x, x, x,, x N1 Su autocorrelació será ua secuecia real y simétrica de logitud impar 2N 1: p x x p,, p, p, p, p, p,, p N N 1 La trasformada Z de la autocorrelació está dada por: 1 P z X X z p z p z p z p p z p z p z z N N 1 N N1 N 1 Si multiplicamos P z por z obteemos u ser factorizado del siguiete modo: poliomio de grado 2N 2 que puede 2N 2 N 1 z P z pn 1 z z 1 Factorizació Espectral 3

4 Método de las Raíces Las raíces z 2N 2 N 1 z P z pn 1 z z 1 de este poliomio o bie so reales o se preseta de a pares complejos cojugados ya que es u poliomio co coeficietes reales. La disposició simétrica de los coeficietes provoca además que las raíces se presete tambié de a pares recíprocos cojugados. Es decir que las raíces complejas de este poliomio se presetará e grupos de a cuatro. Ua raíz compleja z, produce los siguietes factores asociados: z z1 z z1 z z1 z1 Fase míima Fase máxima Factorizació Espectral 4 1 si z 1 Podemos asigar las raíces cuyos módulos sea mayores que uo a X z 1 z y luego las recíprocas cojugadas, cuyos módulos será meores que uo, a X 1. De esta forma ua secuecia de logitud impar, real y simétrica podrá ser factorizada como Dode X z 1 P z X z X z será de fase míima a meos que exista ceros sobre el círculo uidad.

5 Método de las Raíces Es importate observar que o todas las secuecias de logitud impar reales y simétricas so autocorrelacioes de ua secuecia real. Para serlo debe cumplir co ua codició adicioal: que su trasformada de Fourier tome valores reales positivos para todas las frecuecias. La trasformada de Fourier de la autocorrelació es igual al espectro de potecia, es decir al espectro de amplitud al cuadrado, por lo cual debe ser positiva. Ua secuecia de logitud N tedrá N-1 raíces, y su autocorrelació de logitud 2N-1 tedrá 2N-2 raíces. Existirá 2(N-1) secuecias equivaletes de logitud N que poseerá la misma autocorrelació pero sólo ua de ellas es de fase míima. Auque el método de factorizació de las raíces o es práctico para secuecias largas co logitudes mayores que 100, es útil para secuecias cortas. Además posee u gra valor didáctico. Si bie ecotrar los ceros de u poliomio o es u problema trivial, existe subrutias dispoibles e todas las librerías matemáticas estádares para realizar esta tarea. Factorizació Espectral 5

6 Método de Factorizació Espectral de Kolmogoroff Sea x ua secuecia de fase míima de logitud N. Su trasformada Z está dada por N 1 N X ( z) x z x 1 z 1 Dode 1 por ser x de fase míima. Tomemos el logaritmo atural a esta z trasformada: N1 N 1 N1 l X ( z) l xz l x01 z l x0 l 1 z Desarrollado e serie el logaritmo atural obteemos: N1 N1 l X( z) l x0 z l x0 z Si tomamos la trasformada Z iversa vamos al domiio coocido como "cepstrum": 0 si 0 l 1 1 x 0 si 0 x = x Z 1 Z l X Xz ( z) = Z Z 1 X X z ( z) = N 1 si 0 Factorizació Espectral 6 1

7 Método de Factorizació Espectral de Kolmogoroff Por otro lado sabemos que la autocorrelació de x está dada por: ( m) p x x m N 1, N 1 xx m m La trasformada Z de la autocorrelació puede ser expresada del siguiete modo: 1 z P z X X z Dode X 1 z está dada por: N 1 N X x x0 1 z 0 z 1 1 z Ahora tomemos el logaritmo atural a esta trasformada Z. Factorizació Espectral 7

8 Método de Factorizació Espectral de Kolmogoroff N 1 N 1 N l X l x l x0 1 l x0 l 1 z 0 z 1 z 1 z N N l X l x0 l 1 l x0 z 1 z 1 1 z N l X l x0 z 1 1 z E u mometo vamos a utilizar esta expresió. Ahora volvamos a la trasformada Z de la autocorrelació p. Factorizació Espectral 8

9 Método de Factorizació Espectral de Kolmogoroff Cosideremos que x es de fase míima, por lo tato sus ceros está fuera del círculo uidad, tomemos el logaritmo atural a la trasformada Z de su autocorrelació: 1 l l l z P z X X z N 1 N1 1 l P z l x0 l x0 z 1 1 z 1 1 l P z N 1 N1 1 2l x0 1 1 z 1 1 z Tomemos ahora la trasformada Z iversa simplemete idetificado los coeficietes asociados a cada potecia de z. Factorizació Espectral 9

10 Método de Factorizació Espectral de Kolmogoroff Factorizació Espectral 10 N 1 si 0 1 1l p p Z P z 2l x0 si 0 N 1 si 0 1 Ahora comparado co la expresió para x vemos que: 0 si 0 0 si < 0 p p x x = 2 si si 0= 0 2 p si > 0 p si >0 Como vimos al estudiar trasformada de Hilbert, x es ua secuecia causal cuyo espectro de amplitud está dado por: X Xω ( ) = l X ( ) l P( ) Por lo tato su espectro de fase está dado por: 1 2 x 1 2 ( )= HT l P( )

11 Método de Factorizació Espectral de Kolmogoroff Resumiedo, podemos decir que si tomamos la autocorrelació y vamos al domiio del cepstrum. E este domiio os quedamos co la parte causal y luego volvemos al domiio de los tiempos discretos, obteemos la secuecia de fase míima que estamos buscado: X ( z) Z x l X ( z) X z = Z x = l X z X( z) X ( z) X ez = e x 1 X( z) x = Z 1 e Z e Si queremos implemetar el método de factorizació de Kolmogoroff uméricamete utilizado la TDF e vez de la trasformada Z, sólo podremos hacerlo de maera aproximada, ya que la secuecia xx Factorizació Espectral 11 es ua secuecia ifiita y que al discretizarla e el domiio de las frecuecias geeraremos periodicidad e tiempo e ievitablemete aliasig "temporal". X z X z

12 Método de Factorizació Espectral de Kolmogoroff Para implemetar uméricamete el método de factorizació de Kolmogoroff, coocido 2 el espectro discreto de potecia P P P M pasos:, debemos seguir los siguietes 1. Tomamos el logaritmo atural del espectro de potecia co ua catidad M grade de muestras e frecuecia para miimizar el aliasig "temporal" e el domiio del cepstrum: Factorizació Espectral 12 P P= l PP 2. Calculamos la trasformada discreta iversa de Fourier: 3. Nos quedamos co la parte causal de p para así obteer x: x p IDFT P p = IDFT P p 0 si 0 0 si < 0 p p x = 2 si si 0= 0 2 p si > 0 p si >0 x :

13 Método de Factorizació Espectral de Kolmogoroff 4. Calculamos la TDF de x: X DFT x X = DFT x 5. Tomamos la expoecial de X para así obteer X : X X XX = ee X 6. Fialmete calculamos la trasformada discreta iversa de Fourier para obteer la secuecia de fase míima buscada: x IDFT X Factorizació Espectral 13

14 Método del Doble filtro Wieer iverso de retardo cero Dada la autocorrelació ( ) de logitud (2N 1) de ua familia de secuecias xx equivaletes de logitud N, queremos hallar la secuecia x de esa familia cuya fase es míima. Cuado vimos decovolució impulsiva de fase míima vimos que el operador de decovolució f x de fase míima está dado por: f que decovolucioaba adecuadamete a la secuecia 1 xx 0 Dode es la matriz de autocorrelació. Tambié vimos que el operador f es ua xx x0 0 secuecia de fase míima. Como o coocemos x el operador iverso Wieer salvo u factor de escala: f xx 0 Factorizació Espectral 14 0 poemos e su lugar u 1 y obteemos

15 Método del Doble filtro Wieer iverso de retardo cero La logitud M del operador Wieer iverso debe ser grade para que se aproxime al operador iverso. Podemos obteer la secuecia x de fase míima y de logitud N diseñado u operador de decovolució impulsiva de fase míima de logitud N del operador f: y x= ff 0 Fialmete debemos escalar la secuecia x por u escalar para que su eergía sea igual a la autocorrelació a lag cero: y N1 N1 N xx 0 x x 0 0 φ xx 0 = λy 2 = λ 2 y 2 λ = φ xx 0 N 1 y 2 =0 =0 0 0 xx N; 1 x = λy x Factorizació Espectral 15 x x 2 N 1 =0

16 Bibliografía: Karl, Joh H. (1989), A itroductio to Digital Sigal Processig, Academic Press. Chapter Te. Claerbout, Jo F. (1992), Earth Soudig Aalysis, Processig versus Iversio, Blacwell Scietific Publicatios Factorizació Espectral 16