Polinomio Mínimo en Campos Cuadráticos

Transcripción

1 Poliomio Míimo e Campos cuadráticos Poliomio Míimo e Campos Cuadráticos 1. Método de solució Partiedo de que u cuerpo cuadrático es K = Q ( a + b), vamos a propoer u método o estructura para ecotrar el poliomio míimo de grado [ K Q] la + + = 0, y propoer su solució. : =, co Z de Sea D u úmero racioal que o es cuadrado perfecto e Q, pero que puede represetar alguos de los elemetos de u poliomio, como ua raíz r = a + b D o u discrimiate como =. Podemos decir que u cuerpo cuadrático es de la K =Q ( D) D b c y puede ser defiido como Q D = { a + b D a b Q } ( ) :,. Si D < 0, perteece al campo de los úmeros complejos y tiee represetacioes fiitas de la + Dy = C. Si D > 0, perteece al campo de los úmeros reales y tiee represetacioes ifiitas de la Dy = C. Sea N ua orma o cojugado tal que N( a, b) = ( a + b ± D)( a b ± D) = a ± Db, dode, si D < 0, perteece al campo de los úmeros complejos y tiee represetacioes fiitas de la a + Db = C y si D > 0, perteece al campo de los úmeros reales y tiee represetacioes ifiitas de la a Db = C. Establecida la relació etre + Dy a + Db, C y Dy a Db, R, podemos determiar que todo poliomio de la + + = 0 tiee solució a partir de Si D < 0, + Dy = C = + ± = ± N(, y) ( a b D) Dy 1.1. Solucioes fiitas e ifiitas de u cuerpo cuadrático C Si D > 0, Dy = C R Supogamos que partimos del úmero 31, que es primo, y o tiee raíz cuadrada eacta, podemos decir que la raíz cuadrada de 31 está compredida etre 5 y 6, esto es, 6 > 31 > 5. Como = 6 6 = 30 = 5(5 + 1), eiste ua dispersió de 1 = (31 30) y geera u úmero Oblogo o Heterométrico, que es producto de dos úmeros cosecutivos. Pues bie, el 31 tiee eactamete 5 represetacioes e el campo de los úmeros complejos, tatas como úmeros cuadrados so meores a 31, así: Represetacioes fiitas Dy = Por cotra, las represetacioes e el campo real so ifiitas como ifiitos so los cuadrados mayores a 31. Represetacioes ifiitas Dy = Todas estas represetacioes geera otros tatos poliomios míimos, bie detro del campo complejo, bie detro del campo real. 1

2 Poliomio Míimo e Campos cuadráticos. Si K = Q ( 3 + 5) es u cuerpo cuadrático, el poliomio míimo geerado será de la + = Solució por descomposició poliómica Para 3, si = 3 y = 3, etoces 3 = 0 es u poliomio móico. Para 5, si = 5 y = 5, etoces 5 = 0 es u poliomio móico. Co la multiplicació de estos dos poliomios móicos, obteemos: ( 3)( 5) = = = 0 poliomio que tiee como solució = 3,5, los dos úmeros bases de las radicales cuadráticos. Ahora bie, este o es el poliomio que buscamos, ya que la variable tiee epoete, por tato: ( 3)( 5) = = = 0 que es u poliomio de grado que tiee como solució = ± 3, ± 5, cuatro raíces reales dos a dos cojugadas. Es la solució de las raíces cuarticas... Solució sobre cuerpo cuadrático co domiio real Dado que se trata de u cuerpo cuadrático co domiio real, 3, 5, las bases so positivas, la solució se platea a partir de N(, y) = ( a + b D) = Dy = C. E este caso, como las raíces reales so 3 y 5, = a = = 8 y D = 3 5 = 15, teemos 8 15y = C de dode y = (8 C) 15. Mediate modulares, C mód obteemos para 8 (.15) Aplicado la estructura creada, N(, y ) = (8 + 15) = 8 15 =, podemos calcular los valores de B y C del poliomio C = = y para b = =. + = 0 : C = (8 + 15)(8 15) = y B = (8 + 15) + (8 15) = = 0 y su solució = 8 ± 15 R, so dos raí- de dode el poliomio míimo es ces reales cojugadas..3. Poliomio reducible o irreducible Para determiar si u poliomio es reducible o irreducible, podemos aplicar el procedimieto del módulo. Veamos: Si Si mód + 0(.) = 0, el poliomio es reducible. mód + 0(.) = ± 1, el poliomio es irreducible. E uestro supuesto aterior, reducible. mód mód (.), 0(.) = 0, por tato es

3 Poliomio Míimo e Campos cuadráticos Otro procedimieto os viee dado por la estructura empleada. Si mcd( a, b ) = 1, es irreducible. Si mcd( a, b) 1, es reducible. E uestro caso, como mcd (8,) =, el poliomio 16 + = 0 es reducible, así N(, y ) = ( + 15) = 15 1 = 1 y, por tato: C = ( + 15)( 15) = 1 y B = ( + 15) + ( 15) = 8 el poliomio míimo es = 0 y su solució = ± 15 R, dos raíces reales cojugadas. Podíamos haber utilizado la Norma, y el Poliomio se habría obteido mediate desa- rrollo ( a + b D)( a b D) = + a a b D = B + C = 0 N ( ) = ( + 15)( 15) = = 0 Por la descomposició poliómica sabemos que el grado del poliomio es K : Q =, ya que se parte de dos poliomios móicos, 3 = 0 y 5 = 0, así [ ] N ( ) = ( + 15)( 15) = = 0 es el poliomio míimo irreducible, de la 8 + 1= 0, que tiee como solució = ± ± 15 R, cuatro raíces reales, dos a dos cojugadas. Podemos hacer la comprobació a partir de ua de las raíces geeradas. Por ejemplo, para r = + 15 : Si = + 15, = + 15, = 15 y ( ) = 15, etoces ( ) 15 = 0. Desarrollado el cuadrado de la suma de dos úmeros, resulta: ( ) 15 = = 0 lo que demuestra que las raíces so correctas para este poliomio... Trasció de Tschirhaus Si e = 0 hacemos que = 3, trasmos el poliomio e uo de se- 6 3 to grado de la = 0. Es la trasció de Ehrefried Walter vo Tschirhaus ( ) que, e las Acta Eruditorum de 1683, propuso u método co el que pretedía trasr cualquier ecuació poliómica de grado e otra del mismo grado si térmios itermedios. Esta idea ya era coocida por Fraçois Viête ( ). Ver págia de Supogamos que ua de las raíces es = Mediate trasció sucesiva, obteemos último térmio orige = + 15, - = 15, ( - ) = 15, ( - ) -15 = 0. Desarrollado el = + = + = obteemos el poliomio de ( - ) , 3

4 Poliomio Míimo e Campos cuadráticos El resultado aterior os asegura seis raíces: cuatro raíces dos a dos cojugadas, de la = ± 3 ± 15 y dos raíces primitivas de la uidad de la / dode ( 1) = + y su cojugado + = 1. Ver págia de = + /3 3 ( 1) 15, 3. Si K = Q ( 6 + 8) es u cuerpo cuadrático, el poliomio míimo geerado será de la + = Solució por descomposició poliómica Para 6, Para 8, = = = 6, 6, 6 0. = = = 8, 8, 8 0 de dode ( 6)( 8) = = 0, que tiee como solució = ± 6, ± 8, cuatro raíces reales, dos a dos cojugadas, que represeta las dos raíces cuadradas propuestas. Calculamos a = = = 1 y D = 6 8 = 8 y buscamos la solució mediate la estructura tato 3. Solució de la cuadrática N y b y C (, ) = (1 + 8) = 1 8 =. Utilizado modulares hacemos que 1 C( mód.8), de dode C = y b = y =, por N(, y ) = (1 + 8) = 1 8 =. Los valores de C y B, so C = (1 + 8)(1 8) = y C = (1 + 8) + (1 8) = 8 de dode 8 + = 0 es el poliomio que tiee como solució = ± 1 ± 8, cuatro raíces reales, dos a dos cojugadas. Pero este poliomio es reducible. Veamos por qué: Por la prueba del módulo, 8 + 0( mód.), el valor de = 0, por tato distito a, 1. El discrimiate 8 = 3, o es u úmero libre de cuadrados. El mcd( a, b) = d = (1,) =, o sea d 1, etoces C = ( )(7 1 8) = 1 y B = ( ) + (7 1 8) = 1, por lo que el poliomio míimo es 1 + 1= 0, que tiee como solució = 7 ± 1 8, dos raíces reales cojugadas. El discrimiate 8 = 3 = 3, por tato reales cojugadas. 8 = 3, o es u úmero libre de cuadrados, ya que = 0, tiee como solució = 7 ± 3, dos raíces Si el poliomio hubiera sido ( )( ) 8 N( ) = = = 0, las solucioes habría sido 1 = ± ± 3 y = ± ± 3 i, ocho raíces e dos grupos de cuatro raíces cojugadas, reales y complejas, respectivamete.

5 Poliomio Míimo e Campos cuadráticos. Si K = Q ( 5 + 7) es u cuerpo cuadrático, el poliomio míimo geerado será de la + + = 0..1 Solució por descomposició poliómica Para 5, si = 5 etoces + 5 = 0 es u poliomio móico. Para 7, si = 7 etoces + 7 = 0 es u poliomio móico. Co la multiplicació de estos dos poliomios móicos, obteemos: ( + 5)( + 7) = = 0 Este poliomio tiee como solució = ± 5 i, ± 7 i, cuatro raíces complejas, dos a dos cojugadas. Calculamos a = = = 1 y D = 5 7 = 35 y buscamos la solució mediate la estructura. Solució de la cuadrática e campo complejo N y b y C (, ) = (1 + 35) = =. Mediate modulares de dode C = y b = y =, por tato 1 C( mód.35) N(, y ) = (1 + 35) = = 8. Observamos que el mcd (1, ) =, por tato podemos reducir el poliomio mediate poliomio reducido resulta N(, y ) = (6 + 35) = = 1, por lo que el C = (6 + 35)(6 35) = 1 y C = (6 + 35) + (6 35) = 1 así, = 0 es el poliomio que tiee como solució = ± 6 ± 35 i, cuatro raíces complejas, cojugadas dos a dos..3 Solució utilizado el programa WolframAlpha Mediate la fució MiimalPolyomial -5-7, +, de WolframAlpha, se geera el poliomio + + = 0, y mediate la fució Roots + + == 0,, geera como solucioes i ( ) i ( ) i ( ) i ( ) = , = , = 6 35, = Observe que las solu- cioes lleva todas el como multiplicador, lo que sugiere que + + = 0, o es u poliomio irreducible. Efectivamete, prescidimos de ese multiplicador y utilizamos la orma o cojugado de 6 35, + ecotramos ( )( ) N( ) = = = 0, poliomio igual al ecotrado ateriormete por u procedimieto totalmete distito, y que po- demos comprobar mediate MiimalPolyomial i, = = 0. Nota: Todas estas fucioes puede resolverse copiádolas simplemete e el programa WolframAlpha e o lie