1. (7 puntos)encuentre el área de la región acotada por la curva en el intervalo 0.

Transcripción

1 Uiversidad de Puerto Rico. Recito Uiversitario de Mayagüez Departameto de Ciecias Matemáticas Tercer Exame Departametal Mate de abril de 206 Nombre. Secció Número de Estudiate Profesor Número de putos dispoibles: 06 putos E esta prueba se permite el uso de calculadoras cietíficas. I. Coteste las siguietes pregutas de respuesta abierta. Muestre todo el trabajo ecesario para llegar a sus respuestas. Solucioes presetadas si trabajo podría o recibir crédito. Respuestas uméricas debe presetarse como expresioes matemáticas exactas, o mediate ua aproximació decimal. Use aproximacioes decimales solo e casos e que las istruccioes del problema las pida.. (7 putos)ecuetre el área de la regió acotada por la curva e el itervalo 0. r se cos Area = (si θ + cos 2 θ)2 dθ = 2 (si2 θ + 2se θcos θ + cos 2 θ) dθ = 2 + 2se θcos θ dθ = 2 (θ + se2 θ) 0 = 2 2. (5 putos) Determie si la sucesió cuyo térmio geeral es a = 5+4 coverge o diverge. Si coverge ecuetre el límite lim = lim +3 2 la sucesió diverge. 6 = lim 2 = +. Como la sucesió o está acotada 3 3. (6 putos) Determie si la sucesió cuyo térmio geeral es a = ( ) coverge o diverge. Si coverge ecuetre el límite. 2 + Note que lim ( ) = lim = Como lim a = 0. Cocluímos que lim a = 0.

2 4. (6 putos) Determie si la sucesió cuyo térmio geeral es a = 3e cos 2 coverge o diverge. Si coverge ecuetre el límite. cos() implica que 0 cos e cos 2 3e Como lim 3 e = 0 = lim 0, el Teorema del Sadwich asegura que lim 3e cos 2 = 0. ( 3) 5. (5 putos)determie si la serie = coverge o diverge. Si 4 coverge ecuetre su valor. ( 3) = 4 = ( 4 ) = La serie es ua serie geométrica co a = 4 coverge. Su valor es ( 3) = = ( 4 ) = ( 3 4 ) 3 y r =. Como r <, la serie 6. (7 putos)verfique que la serie satisface la 7 9 hipótesis de la prueba de la itegral y use la prueba para determiar si la serie coverge o diverge. Note que = 7 9 = 2 Como la fució f(x) = es cotiua, positiva y decreciete e el 2x itervalo [, ) el criterio de la itegral aplica. Observe que b dx 2x dx 2x = l 2x b = l(2b ) cuado b. Como serie diverge. 7. (8 putos)determie si =2( ) diverge, por la prueba de la itegral sabemos que la 4 se( ) coverge o diverge. La serie es ua serie alterate co b = se( ) Observe que f(x) = se( ) es decreciete para x > 2. x Porque para para x > 2, teemos f (x) = cos x 2 ( ) es egativa x Como b = f(), cocluimos que (b ) es decreciete. Además lim b = lim se ( ) = se ( lim ) = 0, De modo que el criterio de covergecia para series alterates garatiza la covergecia de la serie. 8. Determie si cada ua de las siguietes series coverge

3 o diverge. Justifique su respuesta. a. (7 putos) = 2 + Note que lim 2 + = lim 2 + = lim + 2 = Como la serie = diverge, el criterio de comparació e el límite asegura que = diverge. b. (8 putos) +2 Note que lim = lim = lim = = lim 2 = Como la serie = coverge 3 2 el criterio de comparació e el límite asegura que +2 = 2 2 coverge (7 putos)determie si la serie Note que ( ) (0.3) = 4 ( ) (0.3) 4 (0.3) 4 4 Como la serie = coverge, el criterio de comparació directa asegura 4 ( ) (0.3) 4 que = es ua serie covergete. ( ) (0.3) De modo que la serie = coverge absolutamete 4

4 II. (6 putos) Seleccioe la mejor alterativa.. Ecuetre el (los) puto(s) de itersecció de las curvas r 2 y r 4cos a. (2, ), (2, ) 3 3 b. (2, ) 3 c. (2, ), (2, ) 4 4 d. (2, ), (2, ) 6 6 e. (2, ) Alterativa Correcta (A) 6 2. Determie si la sucesió a = 3e 3 +3 coverge o diverge. Si diverge, ecuetre el límite. a. e b. l 3 c. l 3 d. 3e 3 e. diverge Alterativa Correcta (D) 3. Dadas las dos series A = y B = = e 2. Cuál de las siguietes aseveracioes es correcta? a. Ambas series so divergetes b. La serie A coverge, la serie B diverge c. Ambas series so covergetes d. La serie A diverge, la serie B coverge Alterativa Correcta (C)

5 4. Dadas las dos series Y A = se2 5 0 = B = 8cos ( 7 ) = Cuál de las siguietes aseveracioes es correcta? a. Ambas series so divergetes b. La serie A coverge, la serie B diverge c. Ambas series so covergetes d. La serie A diverge, la serie B coverge Alterativa Correcta (B) III. Llee los blacos (24 putos). La serie = (l( + ) l ()) tiee térmio geeral a = l( + ) l ().( puto). Observe que lim a = lim l( + ) l() = lim l = l() = 0 (3 putos) = l lim Si s es el térmio geeral de la sucesió de sumas parciales asociada co = (l( + ) l ()). Etoces s = l 2 l= l(2) ( puto) s 2 = l 3 l2 + l2 l = l3 ( puto) s 3 = l4 l3 + l3 l2 + l2 l = l 4 ( puto) s = l( + ) ( puto) Como lim s = lim l( + ) = ( puto). Cocluímos que la serie = (l( + ) l ()) _diverge ( puto)

6 2. El térmio geeral de la serie l (+) =2 l es a = l (+) l ( puto) Como lim a l (+) = lim = lim l = lim = (3putos), l (+) cocluímos que =2 diverge_.(2 putos) 3. Cosidere la serie l 9 +2 =0. 7 Como = (9 7 ) ( puto) y la serie ( 9 7 ) (( putos) =0 es ua serie divergete( puto), cocluimos por comparació directa que la serie 9 +2 =0 es divergete.( puto) 7 4. Cosidere la serie Como y la serie = = (7 9 ) ( puto) ( 7 =0 9 ) ( putos) es ua serie covergete( puto), cocluimos por comparació directa que la serie 7 =0 es covergete.( puto) 9 +2