Método Eficiente para Resolver la Ecuación Implícita de Colebrook-White

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1 Método Eiciete para Resolver la Ecuació Implícita de Colebrook-White Guillermo Evagelista, Martí W. Córdova () Uiversidad Nacioal de Trujillo, Departameto de Igeiería Química, Av. Jua Pablo II s/, Ciudad Uiversitaria, Trujillo (Perú) RESUMEN Los estádares iteracioales (orma UNE 4920:2008) para el cálculo de tuberías y diseño de equipos de trasporte de luidos, eige el uso de la ecuació de Colebrook- White (CW) para hallar el actor de ricció que se usa e la ecuació de Darcy,que calcula la pérdida de eergía e u sistema dado. Actualmete eiste varias ecuacioes eplicitas para el cálculo de este actor que so lo bastate coiables, las que os servirá para establecer ua primera aproimació del método propuesto, el cual es lo bastate robusto, de rápida covergecia y u algoritmo secillo de implemetar, que muestra errores absolutos meores a e-5 para el valor del actor de ricció. Las errores absolutos meores a e-5 so cosiderados igual a cero desde el puto de vista computacioal, debido a que la memoria de u leguaje de programació estádar puede almacear a lo mucho 5 ciras decimales. INTRODUCCIÓN Los luidos so de gra importacia e la igeiería, a partir del cual se desarrolla grades proyectos que beeicia el progreso de u país. Uo de los pilares del modelamieto de los procesos para el trasporte y diseño de equipos de luidos es el cálculo del actor de ricció de Darcy, para los cuales se ha desarrollado muchas ecuacioes semi-empíricas para el cálculo de su valor, de todas estas, la ecuació de CW es cosiderada la mas eacta. La ecuació CW es implícita co respecto a lo que hace su solució aproimada, muchos solucioes computacioales se ha propuesto, todas ellas utiliza algoritmos de métodos uméricos para ecuacioes o lieales de ua variable, pero siempre hay variacioes e sus errores absolutos de e-06 a e-08 mediate ua diícil covergecia, etre estas las más coocidas so la de Newto-Raphso, puto ijo y el método de la secate. Se debe resaltar la solució propuesta para CW mediate la aplicació de la ució de Lambert (Didier Clamod, 2008) La solució plateada e el presete trabajo para la ec. CW está basada e el teorema de Taylor, que tiee ua vasta aplicació computacioal como ua solució idirecta a complejos problemas de igeiería. Lo importate de este teorema es os permitirá relacioar ua ecuació eplicita ácil de implemetar como es la ecuació de Haalad co la ec, CW, Esta ecuació se seleccioó segú la literatura especializada. El teorema de Taylor se aplicara e la ec. CW e la parte logarítmica, trucado la serie co ua buea aproimació de, proporcioada por la ecuació de Haalad cuyo error relativo es meor al 2% (Brkic D., 20). Se compara el método propuesto co la herramieta Solver de Ecel. Tato el solver de MSEcel y el método propuesto comieza la iteració co u valor iicial dado por la ecuació de Haalad para ua misma serie de datos de rugosidad relativa y umero de Reyolds. El error absoluto del método propuesto es cero (meores a e-6) e todos los valores calculados para la solució de la ecuació de CW después de 5 iteracioes

2 como máimo, mietras que la del Solver llega a u error absoluto de e-7 después de iteracioes. La herramieta solver queda muy desmejorada por los errores que preseta e la solució de CW a pesar de su algoritmo soisticado que posee y optimizado por décadas. El problema de eiciecia presetado por el solver e la covergecia y precisió, lo preseta casi todos los algoritmos de uso geeral para la solució de ecuacioes o lieales que cosidera y preseta la ució e orma eplícita para su solució iterativa, pero esta o es la mejor maera cuado se trata de ua ecuació implícita como la CW. FUNDAMENTO TEÓRICO Teorema de Taylor Proposició. Sea () ua ució de ua variable e co derivadas (), ``(),... () () cotiuas e el itervalo desde a hasta, y supoiedo que (+) () eiste e el itervalo. Etoces: ( ) ( a) Dóde: R ( ) a ' a '' a! ( a) a! 2! ( ) ( a)... ( b)! ( ) ( a) R ( ). () (2) a b es u puto del itervalo. El térmio () R se le llama resto y es el error que comporta aproimar la ució por el poliomio de grado (Steier Erich, 20) Ecuació de Colebrook-White 2log D Re (3) Dóde: : Factor de ricció de Darcy D : Rugosidad relativa Re : Número de Reyold El campo de aplicació de esta órmula se ecuetra e la zoa de trasició de lujo lamiar a lujo turbuleto y e lujo turbuleto (Matai Claudio, 986). MÉTODOS Se aplicara la serie de Taylor al seguido térmio de la ec.(3) y deiiedo la ució z():

3 D 2.5 z( ) 2log 3.7 Re (4) La serie de Taylor se desarrolla por medio de CAS (Computer Algebra system) Maima, trucada a la primera derivada. Se llega a la siguiete igualdad: l().( D 3.7 / 2 2( / 2 ) ) 2.5 Re (5) Despejado X : 2.5 Re D l(). / ( ) l() / 2 2( ) / 2 (6) Dode: : Nuevo valor de : Valor aterior de Este método es iterativo y como primer valor iicial para la primera aproimació de se.8log. D Re (7) cosiderara la ecuació de Haalad Esta ecuació se seleccioó por su acilidad de implemetació y por ser lo bastate eacta para el cálculo de como ua primera aproimació. Hay otras recomedadas por la literatura como la ecuació de P. K. Swamee y A. K. Jai (Mott L. Robert, 2006)

4 RESULTADOS Y DISCUSIONES Tabla. Solució de la ecuació de CW por Solver de MSEcel Número de Rugosidad Primer Segudo Error Nro. Reyolds relativa térmio térmio absoluto Iteracioes A B A - B E E E E E E E E E E-07 Tabla 2. Solució de la ecuació de CW por método propuesto Número de Rugosidad Primer Segudo Error Nro. Reyolds relativa térmio térmio absoluto Iteracioes A B A - B E E Dode: D 2.5 A B 2 log 3.7 Re Tato el solver de MSEcel y el método propuesto comieza la iteració co u valor iicial dado por la ecuació de Haalad. El error absoluto del método propuesto es cero o casi cero e todos los valores calculados para la solució de la ecuació de CW. La herramieta Solver queda muy desmejorada por los errores que preseta e la solució de CW a pesar de su algoritmo soisticado que posee y optimizado por décadas. E el diseño por computadora de tuberías se calcula el actor de ricció e varios miles de putos a través de las paredes de la tubería para ua secció dada. Es de imagiar el eorme ahorro de esuerzo de cómputo al dismiuir el úmero de iteracioes para hallar el de la ecuació de CW utilizado uestro método propuesto. Además de saber la coiabilidad e el método para dar la solució de CW.

5 CONCLUSIONES Al método propuesto se puede implemetar como primera aproimació cualquier otra ecuació eplicita para el cálculo de que mejore su covergecia. La serie de Taylor va asociada a ua solució computacioal de varios problemas complejos de igeiería de ahí que la solució del método propuesto para la ecuació de CW sea ua solució coiable. La solució es persoalizada solo para la ecuació de CW, lo que garatiza o solo ua rápida covergecia para valores dados de úmero de Reyold y rugosidad relativa, sio ua alta precisió e comparació a los métodos uméricos de ecuacioes o lieales de ua variable que so de uso geeral. REFERENCIAS Brkic, D. (20a). A eplicit approimatio o the Colebrook equatio or luid low rictio actor. Petrol. Sci CAS Maima, sotware de álgebra simbólica ( et/ ) Didier Clamod, Eiciet resolutio o the Colebrook equatio Laboratoire J., Frace,2008 Matai Claudio, Maquias Hidráulicas. Editorial Edicioes del Castillo. 2da. Edició (986) Mott L. Robert, Mecáica de Fluidos. Editorial Pearso Educatio. 6ta. Edició (2006) Steier Erich, Matemáticas para Ciecias Aplicadas. Editorial Reverte. 2da.Edició(20).