Apuntes De Análisis Numérico.

Transcripción

1 Aputes De. Prof. Alberto Agarita. Departameto De Ciecias Básicas, Uidades Tecológicas de Satader. y P 1 (x) P 2 (x) P 3 (x) P i (x) P (x) P(x) I 1 I 2 I 3 I x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x x P(x) = P 1 (x) P 2 (x) P 3 (x) P (x) Textos Uiversitarios 2013

2 Coteido Itroducció Errores Y Represetació E Puto Flotate Errores Aproximació umérica y teoría de errores Cifras sigificativas Precisió y exactitud Tipos de redodeo Represetació e puto flotate Normalizació de u úmero Estádar IEEE Ejercicios propuestos Solució De Ecuacioes No Lieales Itrodució a la solució de ecuacioes o lieales e ua variable Métodos de solució de ecuacioes o lieales e ua variable Método de la bisecció Método de la falsa posició Método de puto fijo Método de Newto-Raphso Método de la secate Ejercicios propuestos Iterpolació Y Ajuste De Curvas Poliomio iterpolate de Newto Poliomio iterpolate de Lagrage Iterpolació segmetaria: Trazadores cúbicos Ajuste de curvas por míimos cuadrados Míimos cuadrados y aálisis de regresió lieal Liealizació de relacioes o lieales Ejercicios propuestos

3 4 Difereciació E Itegració Numérica Difereciació umérica Fórmulas de exactitud para la primera derivada Itegració umérica Fórmulas de Newto-Cotes Ejercicios propuestos Ecuacioes Difereciales Ordiarias Método de Euler Método de Ruge-Kutta de cuarto orde Ejercicios propuestos A Itroducció A Matlab A.1 Geeralidades del etoro de Matlab A.2 Costates y operadores básicos A.3 Fucioes elemetales A.4 Matrices y vectores A.5 Gráfica de fucioes e 2D A.6 Gráfica de fucioes e 3D A.7 Cálculo simbólico A.8 Programació e Matlab Bibliografía... 99

4 Itroducció El es ua rama de las matemáticas que, mediate el uso de algoritmos iterativos, obtiee solucioes uméricas a problemas e los cuales la matemática simbólica (o aalítica) resulta poco eficiete y e cosecuecia o puede ofrecer ua solució. E particular, a estos algoritmos se les deomia métodos uméricos. Por lo geeral los métodos uméricos se compoe de u úmero de pasos fiitos que se ejecuta de maera lógica, mejorado aproximacioes iiciales a cierta catidad, tal como la raíz de ua ecuació, hasta que se cumple co cierta cota de error. A esta operació cíclica de mejora del valor se le cooce como iteració. El aálisis umérico es ua alterativa muy eficiete para la resolució de ecuacioes, tato algebraicas (poliomios) como trascedetes teiedo ua vetaja muy importate respecto a otro tipo de métodos: La repetició de istruccioes lógicas (iteracioes), proceso que permite mejorar los valores iicialmete cosiderados como solució. Dado que se trata siempre de la misma operació lógica, resulta muy pertiete el uso de recursos de cómputo para realizar esta tarea. El desarrollo y el auge del uso del aálisis umérico corre e forma paralela al desarrollo tecológico de la computació. Las computadoras (y e cosecuecia tambié las calculadoras) está facultadas para realizar ua multitud prácticamete ifiita de operacioes algebraicas e itervalos de tiempo muy pequeños; esto las covierte e la herramieta ideal para la aplicació de los métodos uméricos. De hecho, el aálisis umérico resulta ser la maera atural de resolver modelos matemáticos (de aturaleza algebraica o trascedete tato para la matemática cotiua como para la discreta) a través de la computadora. Por otra parte, como cosecuecia directa de la aplicació de solucioes uméricas y del crecimieto de recursos computacioales, se ha logrado tambié la icorporació de la simulació matemática como ua forma de estudio de diversos sistemas. Si embargo debe haber claridad e el setido de que el aálisis umérico o es la paacea e la solució de problemas matemáticos. Cosecuecia de lo ateriormete dicho cosiste e que, por lo geeral, los métodos uméricos arroja solucioes uméricas. Si e determiado caso se desea obteer solucioes aalíticas debería recurrir a los procedimietos algebraicos acostumbrados. Por otra parte, las solucioes uméricas resulta ser aproximacioes, es decir, e pocas ocasioes so solucioes exactas. Como se aalizaría e su oportuidad, las solucioes uméricas colleva ua cota de error. Este error, que si bie puede ser ta pequeño como los recursos de cálculo lo permita, siempre está presete y debe cosiderarse su maejo e el desarrollo de las solucioes requeridas. Es muy posible que se coozca de diversos sistemas de cómputo que proporcioe solucioes aalíticas. Estos sistemas o sustituye a los métodos uméricos, de hecho so u complemeto e el proceso itegral del modelado de sistemas físicos que so el elemeto fudametal de la práctica de la Igeiería.

5 1 Errores Y Represetació E Puto Flotate 1.1 Errores Ua actividad frecuete del profesioal de la Igeiería cosiste e trabajar co modelos matemáticos represetativos de u feómeo físico. Estos modelos so abstraccioes matemáticas que dista mucho de represetar exactamete al feómeo bajo estudio debido pricipalmete a las carecias y dificultades que aú posee el humao de la compresió total de la aturaleza. Como cosecuecia de esto existe diferecias etre los resultados obteidos experimetalmete y los emaados propiamete del modelo matemático. A las diferecias cuatitativas etre los dos modelos se les deomia Errores Aproximació umérica y teoría de errores Debemos coformaros siempre, e la práctica de la igeiería y de las ciecias, co ua solució aproximada a u problema por las siguietes razoes: 1. Los modelos matemáticos so aproximados; esto es; simplificacioes al problema real. No se toma e cueta todos los factores que afecta a u feómeo. Por ejemplo, e el caso del tiro parabólico, se suele despreciar la resistecia del aire, si embargo, esta puede ser importate. 2. Los modelos matemáticos requiere de parámetros, los cuales la mayoría de las veces proviee de medicioes experimetales y estas, solo tiee ua precisió limitada, que depede del istrumeto de medició. Por ejemplo la costate de los gases ideales. Tambié puede proveir de cálculos y estos tiee ua precisió limitada que depede tato del método como del istrumeto de cálculo que se utilice. Por ejemplo π. 3. Los modelos matemáticos resultates so imposibles de resolver por métodos aalíticos y se debe de aproximar la solució uméricamete. Por ejemplo ua ecuació de quito grado. Por lo aterior, humildemete teemos que aceptar que siempre se tedrá presetes errores. Estos puede clasificarse e: Errores iheretes.

6 3 Errores de trucamieto. Errores de redodeo. Defiició 1.1 Los errores iheretes so aquellos que tiee los datos de etrada de u problema, y so debidos pricipalmete a que se obtiee experimetalmete, debiédose tato al istrumeto de medició, como a las codicioes de realizació del experimeto. Por ejemplo, sí el experimeto es a temperatura costate y o se logra esto mas que e forma aproximada. Tambié puede deberse a que se obtega de cálculos previos. Por ejemplo el valor calculado es el de u úmero irracioal como π ó 2. Defiició 1.2 Los errores de trucamieto se origia por el hecho de aproximar la solució aalítica de u problema, por medio de u método umérico. Por ejemplo al evaluar la fució expoecial por medio de la serie de Taylor, se tiee que calcular el valor de la siguiete serie ifiita: e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + = =0 Ate la imposibilidad de tomar todos los térmios de la serie, se requiere trucar después de cierto úmero de térmios. Esto os itroduce ciertamete u error, que es el error de trucamieto. Este es idepediete de la maera de realizar los cálculos. Solo depede del método umérico empleado. Defiició 1.3 Los errores de redodeo, se origia al realizar los cálculos que todo método umérico o aalítico requiere y so debidos a la imposibilidad de tomar todos los dígitos que resulta de operacioes aritméticas como los productos y los cocietes, teiedo que reteer e cada operació el úmero de dígitos que permita el istrumeto de cálculo que se este utilizado. x! Por ejemplo al calcular el valor de 1 3, teemos que quedaros solo co la mayor catidad de dígitos 3, que maeje uestro istrumeto de cálculo. Los errores ateriores tambié suele llamarse como las fuetes de error. La magitud del error geerada por algua o todas las fuetes de error mecioadas ateriormete, se puede cuatificar co ayuda de los siguietes parámetros: Error Real Error Relativo Error Porcetual

7 4 Errores Y Represetació E Puto Flotate Defiició 1.4 El error real se defie como la diferecia etre el valor real V r y ua aproximació a este valor V a : E t = V r Va Defiició 1.5 El error relativo se defie como el cociete del Error Real etre el valor real V r (sí V r 0 ): E r = V r V a V r Defiició 1.6 El error porcetual es simplemete el Error Relativo expresado e por cieto (%). E rp = V r V a V r 100(%) Tambié es usual emplear el valor absoluto e los parámetros ateriores, e cuyo caso se deomia respectivamete Error Real Absoluto, Error Relativo Absoluto y Error Porcetual Absoluto Cifras sigificativas El cocepto de cifras sigificativas se ha desarrollado para desigar formalmete la cofiabilidad de u valor umérico. Defiició 1.7 El úmero de cifras sigificativas es el úmero de dígitos que se puede usar co plea cofiaza. Por ejemplo, podemos calcular u úmero irracioal co varias cifras, pero de ellas o todas, sobre todo las últimas puede tomarse co plea cofiaza de que so correctas. Por otro lado, los ceros o siempre so cifras sigificativas ya que puede usarse sólo para ubicar al puto decimal. Por ejemplo los siguietes úmeros tiee todos 4 cifras sigificativas: , , , 1985, Para asegurar que u cero os represete ua cifra sigificativa, es comú emplear la otació cietífica. Por ejemplo los siguietes úmeros tiee 3, 4 y 5 cifras sigificativas: , y Tambié se suele poer explícitamete los ceros. Los siguietes úmeros tiee 5 cifras sigificativas: 19850, , Las cifras o sigificativas aparece como resultado de los cálculos y o tiee sigificado alguo. Las cifras sigificativas de u úmero viee determiadas por su error. So cifras sigificativas aquellas que ocupa ua posició igual o superior al orde o posició del error. Por ejemplo, cosideremos ua medida de logitud que arroja u valor de m co u error de 0.8 m. El error es por tato del orde de décimas de metro. Es evidete que todas las cifras del úmero que ocupa ua posició meor que las décimas o aporta igua iformació. E efecto, Qué setido tiee dar el úmero co precisió de diezmilésimas si afirmamos que el error es de casi 1 metro? Las cifras sigificativas e el úmero será por tato las que ocupa la posició de las décimas, uidades, deceas, etc, pero o las cetésimas, milésimas y diezmilésimas.

8 5 Cosideracioes: E u trabajo o artículo cietífico siempre se debe teer cuidado co que dichas cifras sea adecuadas. Para coocer el úmero correcto de cifras sigificativas se sigue las siguietes ormas: Cualquier dígito diferete de cero es sigificativo, ya sea 643 (tiee tres cifras sigificativas) o kg (que tiee cuatro). Los ceros situados e medio de úmeros diferetes so sigificativos, ya sea 901 cm (que tiee tres cifras sigificativas) o kg (teiedo cico cifras sigificativas). Los ceros a la izquierda del primer úmero distito a cero o so sigificativos, ya sea 0.03 cm (que tiee ua sola cifra sigificativa) ó (este tiee sólo tres), y así sucesivamete. Desde u úmero mayor a uo, a la derecha, después de la coma decimal ceros escritos tambié cueta como cifras sigificativas, ya sea 2.0 dm (tiee dos cifras sigificativas) ó cm (que tiee cico cifras). E los úmeros que tiee ceros después de u dígito distito de cero, si ser decimal, puede ser ó o cifras sigificativas, ya sea como 600 kg, puede teer ua cifra sigificativa (el umero 6), tal vez dos (60), o puede teer los tres (600). Para saber e este caso cuál es el úmero correcto de cifras sigificativas ecesitamos más datos acerca del procedimieto co que se obtuvo la medida (el aparato, etc) o bie podemos utilizar la otació cietífica, idicado el úmero 600 como (seis multiplicado por diez elevado a dos) teiedo solo ua cifra sigificativa (el umero 6) ó , teemos dos cifras sigificativas (6.0) ó , especificado teer tres cifras sigificativas. Cuado se expresa u úmero debe evitarse siempre la utilizació de cifras o sigificativas, puesto que puede supoer ua fuete de cofusió. Los úmeros debe redodearse de forma que cotega sólo cifras sigificativas. Se llama redodeo al proceso de elimiació de cifras o sigificativas de u úmero. Las reglas que emplearemos e el redodeo de úmeros so las siguietes: Si la cifra que se omite es meor que 5, se elimia si más. Si la cifra elimiada es mayor que 5, se aumeta e ua uidad la última cifra reteida. Si la cifra elimiada es 5, se toma como última cifra el úmero par más próximo; es decir, si la cifra reteida es par se deja, y si es impar se toma la cifra superior. Ejemplo 1.1 Si redodeamos a tres cifras sigificativas, el resultado es 3.68, que está más cerca del origial que E cambio si el úmero a redodear, tambié a tres cifras, fuera 3.673, quedaría 3.67 que es más próximo al origial que Para redodear 3.675, segú la tercera regla, debemos dejar Las dos primeras reglas so de setido comú. La tercera es u coveio razoable porque, si se sigue siempre, la mitad de las veces redodeamos por defecto y la mitad por exceso. Cuado los úmeros a redodear sea grades, las cifras elimiadas se sustituye por ceros. Por ejemplo, el úmero 3875

9 6 Errores Y Represetació E Puto Flotate redodeado a ua cifra sigificativa resulta E este caso suele preferirse la otació expoecial, puesto que si escribimos 4000 puede o estar claro si los ceros so cifras sigificativas o o. E efecto, al escribir queda claro que sólo la cifra 4 es sigificativa, puesto que si los ceros tambié lo fuera escribiríamos Reglas de operacioes co cifras sigificativas. Regla 1: Los resultados experimetales se expresa co sólo ua cifra dudosa, e idicado co ± la icertidumbre e la medida. Regla 2: Las cifras sigificativas se cueta de izquierda a derecha, a partir del primer dígito diferete de cero y hasta el dígito dudoso. Regla 3: Al sumar o restar dos úmeros decimales, el úmero de cifras decimales del resultado es igual al de la catidad co el meor úmero de ellas. Ateció: U caso de especial iterés es el de la resta. Citemos el siguiete ejemplo: = Observemos que cada ua de las catidades tiee seis cifras sigificativas y el resultado posee ta solo ua. Al restar se ha perdido cifras sigificativas. Esto es importate teerlo e cueta cuado se trabaja co calculadoras o computadores e dode haya cifras que se sume y se reste. Es coveiete realizar primero las sumas y luego las restas para perder el meor úmero de cifras sigificativas posible. Regla 4: Al multiplicar o dividir dos úmeros, el úmero de cifras sigificativas del resultado es igual al del factor co meos cifras Precisió y exactitud La exactitud idica los resultados de la proximidad de la medició co respecto al valor verdadero, mietras que la precisió co respecto a la repetibilidad o reproductibilidad de la medida. E igeiería, ciecia, idustria y estadística, exactitud y precisió o so equivaletes. Defiició 1.8 Precisió se refiere a la dispersió del cojuto de valores obteidos de medicioes repetidas de ua magitud. Cuato meor es la dispersió mayor la precisió. Ua medida comú de la variabilidad es la desviació estádar de las medicioes y la precisió se puede estimar como ua fució de ella. Defiició 1.9 Exactitud se refiere a que ta cerca del valor real se ecuetra el valor medido. E térmios estadísticos, la exactitud está relacioada co el sesgo de ua estimació. Cuato meor es el sesgo más exacta es ua estimació.

10 7 Cuado expresamos la exactitud de u resultado se expresa mediate el error absoluto que es la diferecia etre el valor experimetal y el valor verdadero. Alta Precisió Baja Alta Exactitud Baja Tipos de redodeo Al realizar los cálculos que todo método umérico o aalítico requiere debemos de redodear. Para redodear se emplea usualmete: Redodeo trucado Redodeo simétrico. Defiició 1.10 El redodeo trucado cosiste e trucar el resultado de ua operació al úmero de cifras sigificativas que se esté utilizado. Ejemplo 1.2 Sí redodeamos 9 7 a 4 cifras sigificativas teemos

11 8 Errores Y Represetació E Puto Flotate Defiició 1.11 El redodeo simétrico cosiste e aumetar e uo la última cifra reteida sí la primera cifra descartada esta etre 5 y 9, o dejarla igual sí la primera cifra descartada esta etre 0 y 4. Ejemplo 1.3 Sí redodeamos 9 7 a 4 cifras sigificativas teemos Ejemplo 1.4 Se supoe que = 1. E la práctica puede o ser así. Sí realizamos la suma empleado úicamete 4 cifras sigificativas y usamos ambos tipos de redodeo. Se obtiee: = (Redodeo trucado) = (Redodeo simétrico) Puede demostrarse que por lo geeral el redodeo simétrico lleva a resultados más precisos. 1.2 Represetació e puto flotate La uidad fudametal mediate la cual se represeta la iformació e ua computadora se llama palabra. Esta es ua etidad que cosiste e ua cadea de dígitos biarios o bits. Por lo comú los úmeros so guardados e ua o más palabras. Las catidades fraccioarias geeralmete se represeta e la computadora usado la forma de puto flotate. Co este método, el úmero se expresa como ua parte fraccioaria, llamada matisa o sigificado y ua parte etera, deomiada expoete o característica, esto es, m b e E dode m es la matisa, b la base y e la característica. E la represetació de u úmero e ua palabra se debe teer e cueta que el primer bit se reserva para el sigo del úmero (0 positivo, 1 egativo), la siguiete serie de bits para la característica o expoete co sigo y los últimos bits para la matisa.

12 Normalizació de u úmero Defiició 1.12 U úmero x está escrito e su forma ormalizada, si x esta escrito e la siguiete forma: x = δ (0.d 1 d 2 d 3 d 4 d p ) b b e E dode δ es el sigo, +1 si es positivo y -1 si es egativo; 0.d 1 d 2 d 3 d 4 d p es la matisa e base b, para 0 d i b 1 siedo d 1 0; y e es la característica. La matisa 0.d 1 d 2 d 3 d 4 d p deota la suma d 1 b 1 + d 2 b 2 + d 3 b 3 + d 4 b d p, el etero p sigifica la catidad bp de dígitos de precisió del úmero y e el etero tal que L e U, siedo L el expoete etero más pequeño que puede tomar y U el más grade. Ejemplo 1.5 Represete el úmero e ua palabra de 16 bits, siedo b = 10. Primero que todo debemos ormalizar el úmero, es decir, = ( 1)(0.523) Ahora su represetació: Estádar IEEE 754 El estádar IEEE 754 ha sido defiido por el Istituto de Igeieros Eléctricos y Electróicos (Istitute of Electrical ad Electroics Egieers, IEEE) y establece dos formatos básicos para represetar a los úmeros reales e la computadora digital: precisió simple y precisió doble Precisió simple E precisió simple, para escribir u úmero real se usa 32 bits (4 bytes): 1 bit para el sigo (s) del úmero, 23 bits para la matisa (m) y 8 bits para el expoete o característica (e), que se distribuye de la siguiete forma: s e m Sigo Expoete Matisa El expoete se suele represetar e Exceso a 2 1 1, mietras que, para la matisa, ormalmete se utiliza Sigo Magitud. Además, la matisa se suele ormalizar colocado la coma decimal a la derecha del bit más sigificativo.

13 10 Errores Y Represetació E Puto Flotate Ejemplo 1.6 Para escribir el úmero , e el estádar IEEE 754 co precisió simple, expoete e Exceso a y matisa e Sigo Magitud, primero hay que ormalizarlo: 1, El expoete, e Exceso a 2 1 1, será: ( ) 10 = (2 7 1) 10 = (128 1) 10 = De la matisa se coge los bits 23 bits más sigificativos: 1, El resto de bits o se puede represetar, ya que, o cabe e la matisa. Si embargo, cuado la matisa se ormaliza situado la coma decimal a la derecha del bit más sigificativo, dicho bit siempre vale 1. Por tato, se puede prescidir de él, y coger e su lugar u bit más de la matisa. De esta forma, la precisió del úmero represetado es mayor. Así, los bits de la matisa será: Al bit omitido se le llama bit implícito. Por otra parte, el bit de sigo vale 0, ya que, el úmero es positivo. E cosecuecia, el úmero se puede represetar como: Así pues, D 0 F , D0F HEX E este caso, los úmeros o so exactamete iguales, ya que, co precisió simple o se ha podido represetar todos los bits de la matisa.

14 11 Ejemplo 1.7 Dado el úmero 3E HEX del estádar IEEE 754 co precisió simple, expoete e exceso a y matisa e Sigo Magitud co bit implícito, para averiguar a qué úmero represeta e base 10, se puede realizar los siguietes pasos: 1. Covertir 3E a base 2: 3 E Obteer los bits del sigo, de la matisa y del expoete: Sigo Expoete Matisa 3. Pasar el expoete a base 10: ( ) 10 = (2 7 1) 10 = (128 1) 10 = = 3 4. Escribir el úmero e otació cietífica. Para ello, la matisa se debe escribir co el bit implícito (1), seguido de la coma decimal (,) y de los bits de la matisa ( ), teiedo e cueta que los ceros por la derecha se puede despreciar. Por otra parte, el úmero es positivo, ya que, el bit de sigo es 0. Por tato, el úmero es: 1, Expresar el úmero e base 10. Para ello, hay dos formas de hacerlo, la primera es: y la seguda: 1,1 2 3 = 0, = ( ) 10 = 0, , = 0, Por tato, 1,1 2 3 = (( ) 2 3 ) 10 = ((1 + 0,5) 0,125) 10 = (1,5 0,125) 10 = 0, E HEX = 1,1 2 3 = 0, = 0,

15 12 Errores Y Represetació E Puto Flotate Precisió doble Por otro lado, e precisió doble, para escribir u úmero real se emplea 64 bits (8 bytes): 1 bit para el sigo (s) del úmero, 52 bits para la matisa (m) y 11 bits para el expoete o característica (e) s e m Sigo Expoete Matisa Ejemplo 1.8 Si se quiere escribir el úmero e el estádar IEEE 754 co precisió doble, expoete e exceso a y matisa e Sigo Magitud co bit implícito, los pasos a seguir so: 1. Cambiar a base 2. Primero la parte etera: 19 2 d d d d d 1 y, a cotiuació, la parte fraccioaria: De modo que, = d 1 = = 0.25 d 2 = = 0.5 d 3 = = 1 d 2 = 1 19, , Normalizar el úmero biario obteido, colocado la coma decimal a la derecha del bit más sigificativo: 3. Escribir el expoete e exceso a 2 1 1: 10011, = 1, ( ) 10 = (2 10 1) 10 = (1024 1) 10 = = Establecer la matisa utilizado bit implícito. Para ello, se coge los ocho bits que está a la derecha de la coma ( ) y el resto de la matisa se rellea co ceros:

16 13 Ejemplo 1.8 (Cotiuació). 5. Expresar el úmero e el estádar IEEE 754 co precisió doble. E este caso, hay que teer e cueta que el bit de sigo vale 0, ya que, el úmero es positivo: Sigo Expoete Matisa 6. Represetar el úmero e hexadecimal: De tal forma que, 19, = 10011, = 1, A HEX Tato e precisió doble como e precisió simple, existe alguos casos especiales que depede de los valores del sigo, del expoete y de la matisa: Sigo(s) Expoete(e) Matisa(m) Sigificado Positivo (0) Todo uos (11...1) Todo ceros (00...0) Más Ifiito (+ ) Negativo (1) Todo uos (11...1) Todo ceros (00...0) Meos Ifiito ( ) 0 ó 1 Todo uos (11...1) Distita de todo ceros No es u úmero (Not a Number, NaN) 0 ó 1 Todo ceros (00...0) Todo ceros (00...0) Represeta al Cero (0) 0 ó 1 Todo ceros (00...0) Distita de todo ceros Número muy pequeño cercao al cero (0) Los dos últimos casos merece especial ateció, ya que, cuado todos los bits del expoete so ceros (00...0), esto quiere decir que o se está utilizado bit implícito. Si, además, la matisa es todo ceros (00...0), el úmero represetado es el cero (0), pero si la matisa es distita de todo ceros, el úmero que se está represetado es muy pequeño, de tal forma que, el expoete valdrá -126 ó -1022, depediedo de si el úmero está escrito e precisió simple o doble, respectivamete. Ejemplo 1.9 Dado el úmero 805C0000 HEX del estádar IEEE 754 co precisió simple, expoete e exceso a y matisa e Sigo Magitud co bit implícito, para averiguar a qué úmero represeta e base 10, se puede realizar los siguietes pasos: 1. Covertir 805C0000 HEX a base 2: C

17 14 Errores Y Represetació E Puto Flotate Ejemplo 1.9 (Cotiuació). 2. Obteer los bits del sigo, de la matisa y del expoete: Sigo Expoete Matisa 3. Al observar que todos los bits del expoete so ceros ( ) y la matisa es distita de todo ceros, se deduce que es u caso especial. Se está represetado a u úmero muy pequeño si bit implícito y, por tato, el expoete es E otació expoecial, puesto que e este caso o se utiliza bit implícito, la matisa se escribe co u cero (0), seguido de la coma decimal (,) y de los bits de la matisa ( ). E cuato al sigo del úmero, es egativo, ya que, el bit de sigo es 1. Co todo ello, el úmero es: 5. Expresar el úmero e base 10: 0, = [ ( ) ] (10) = [ ( ) ] (10) [ ] (10) E las dos tablas siguietes se resume los cálculos que hay que realizar para deducir el valor e base 10 de u úmero etero escrito e el estádar IEEE 754 co precisió simple o doble. Sigo(s) Expoete(e) Matisa(m) Sigificado 0 ó 1 0 < e < 255 Idiferete ( 1) s 1.m 2 e e = 255 m = 0 (+ ) 1 e = 255 m = 0 ( ) 0 ó 1 e = 255 m 0 NaN 0 ó 1 e = 0 m = ó 1 e = 0 m 0 ( 1) s 0.m Cálculo del valor e base 10 de u úmero real escrito e el estádar IEEE 754 co precisió simple. Sigo(s) Expoete(e) Matisa(m) Sigificado 0 ó 1 0 < e < 2047 Idiferete ( 1) s 1.m 2 e e = 2047 m = 0 (+ ) 1 e = 2047 m = 0 ( ) 0 ó 1 e = 2047 m 0 NaN 0 ó 1 e = 0 m = ó 1 e = 0 m 0 ( 1) s 0.m

18 15 Cálculo del valor e base 10 de u úmero real escrito e el estádar IEEE 754 co precisió doble. Los ragos de represetació e el estádar IEEE 754 co precisió simple y doble, expoete e Exceso a y matisa e Sigo Magitud co bit implícito, so los siguietes: 1. Rago de represetació e el estádar IEEE 754 co precisió simple: [(2 23 2) ] (10) x [( ) ] (10) 2. Rago de represetació e el estádar IEEE 754 co precisió doble: [(2 52 2) ] (10) x [( ) ] (10) Ambos ragos de represetació so discotiuos, es decir, o se puede represetar todos los úmeros reales que existe etre dos cualesquiera de ellos. Esto es debido a que etre dos úmeros reales cualesquiera siempre existe ifiitos úmeros, si embargo, sólo se dispoe de u úmero determiado de bits para represetar a los úmeros reales. Por esta razó, e las computadoras digitales o se puede represetar a todos los úmeros reales. Por ejemplo, co precisió simple, alrededor del úmero cero (0) existe ifiitos úmeros reales, mayores que y meores que 2 126, que o so represetables. Gráficamete: R Números No Represetables

19 16 Errores Y Represetació E Puto Flotate Ejercicios propuestos 1. Idique la catidad de cifras sigificativas que tiee cada úmero: (a) (b) (c) (d) (e) (f) Cómo puedo expresar 0,55555 e forma fraccioaria? 3. Sume a 0,222222? co 5,33333?, pero e forma fraccioaria. 4. Realice la suma de (2/3)+(2/9), primero como suma de fraccioario, trate de o usar la calculadora, luego halle la suma por redodeo trucado co 5 cifras sigificativas, luego hágalo por redodeo simétrico. 5. Si la ota de u estudiate de calculo diferecial, al realizar la sumatoria fue 2,83, pero el profe le digitó e el sistema 2,84. Qué tipo de error se cometió? 6. Escriba e ua palabra de 32-bits la catidad Cuál es su matisa? Cuál es su característica? 7. Segú la iformació del estádar IEEE 754, Qué sigifica o represeta la palabra (FFFFFFFFFFFFFFFF) Hex? 8. Escriba e ua palabra hexadecimal de precisió simple la catidad: biario? 9. Escriba u úmero que o pueda represetar su calculadora. π. Cuál es la matisa e e + π 10. Se tiee procesador NORM-32 que tiee ua logitud de palabra de 32 bits (1bit = 1Biary digital), estos se distribuye de la maera siguiete: dode los dos primeros espacios so reservado para los sigos, asigádole cero si el sigo es positivo y uo si es egativo, los siguietes siete espacios para el expoete y los restates para la matisa y dado que u umero real distito de cero x = ±q 2 m, siempre puede ormalizarse de tal maera que 1 q < 1, podemos supoer que el primer bit e q es 2 1, y por lo tato o requiere almaceamieto. Represetar y almacear e puto flotate ormalizado Se desea costruir ua torre de 10m, pero al termiarla se mide y su medida es de 998 cm, Calcular: (a) Error absoluto (b) Error relativo (c) Error porcetual 12. Realice u redodeo trucado de 5 cifras para Realice la siguiete operació y determie cuatas cifras sigificativas posee: 1, , ,1111+0, Segú la iformació del estádar IEEE 754, Qué sigifica o represeta la palabra (FFF ) Hex? 15. Escriba e ua palabra hexadecimal de precisió simple la catidad: e biario? e. Cuál es la característica e + π

20 2 Solució De Ecuacioes No Lieales 2.1 Itrodució a la solució de ecuacioes o lieales e ua variable Defiició 2.1 Sea f (x), ua fució dada. U úmero real α se dice que es ua raíz de la ecuació f (x) = 0, o u cero de la fució f (x) si f (α) = 0. Defiició 2.2 Dada ua ecuació f (x) = 0. U úmero α se dice que es ua raíz de multiplicidad m (m u etero positivo) de la ecuació f (x) = 0, si f (α) = 0, y para Si m = 1, la raíz se dice que es simple. x α, f (x) = (x α) m h(x),co lim x α h(x) 0 Teorema 2.1 Supogamos que la fució f (x) tiee sus dos primeras derivadas cotiuas e u itervalo [a,b] que cotiee a u úmero α. Etoces α es ua raíz simple de la ecuació f (x) = 0 si y solo si f (α) = 0 y f (α) 0. El teorema de Bolzao tiee ua iteresate aplicació e la localizació de las raíces o ceros de ua fució cotiua. Teorema 2.2 (de Bolzao) Si ua fució f (x) es cotiua e u itervalo cerrado [a,b] y f (a) y f (b) so de distito sigo, etoces existe por lo meos u puto etre a y b para el cual f (c) = 0.

21 18 Solució De Ecuacioes No Lieales f (b) y f (x) f (a) a c b x Represetació Gráfica del Teorema de Bolzao Geométricamete, el teorema establece que si dos putos (a, f (a)) y (b, f (b)) de la gráfica de ua fució cotiua está situados e diferetes lados del eje x, etoces la gráfica itersecta al eje e algú puto etre a y b. Por supuesto que puede haber varias iterseccioes. Ejemplo 2.1 Comprobar que la ecuació x 3 + x 1 = 0 tiee al meos ua solució real e el itervalo [0,1]. Cosideramos la fució f (x) = x 3 + x 1, que es cotiua e [0,1] por ser poliómica. Estudiamos el sigo e los extremos del itervalo: f (0) = 1 < 0 f (1) = 1 > 0 Como los sigos so distitos se cumple el teorema de Bolzao, por tato existe u c perteece (0,1) tal que f (c) = 0. Lo que demuestra que tiee ua solució e ese itervalo. 2.2 Métodos de solució de ecuacioes o lieales e ua variable Método de la bisecció Se cosidera u itervalo [a,b] dode la fució f (x) cambia de sigo, es decir f (a) f (b) < 0. El método cosiste e ir dividiedo el itervalo [a,b] por la mitad de la siguiete forma: Se toma el puto medio a+b a+b a+b 2. Si f ( 2 ) = 0 ya hemos ecotrado la raíz x = 2. E caso cotrario, si f ( a+b a+b 2 ) f (b) < 0 etoces hacemos a = 2 y volvemos a subdividir el uevo itervalo [a,b]. Si, por el cotrario, f (a) f ( a+b a+b 2 ) < 0, etoces hacemos b = 2 y volvemos a empezar. Las sucesivas subdivisioes del itervalo [a,b] va aproximado la raíz.

22 19 y f (x) f (b) f (a) a c b x c = a + b 2 Represetació Gráfica del Método de Bisecció Ejemplo 2.2 Aproxime la raíz de f (x) = e x l(x) mediate 3 iteracioes del método de la bisecció. Calculese el error relativo porcetual absoluto e cada iteració. E primer lugar se asume que se ha demostrado que f (x) es cotiua e (0,+ ). Ahora búsquese x 1 y x 2 tal que f (x 1 ) f (x 2 ) < 0, para teer la garatía que existe raíz e el itervalo [x 1,x 2 ]. Sea Evaluase e la fució x 1 = 1 x 2 = 2 f (x 1 ) = 0,3679 f (x 2 ) = 0,5578 Claramete se verifica que f (x 1 ) f (x 2 ) < 0 (o que hay cambio de sigo), lo que idica que hay ua raíz e el itervalo [1,2]. Iteració 1: Calcular el error E rpa = x 2 x 1 x = = 50% Calcular el puto medio x 3 = x 1 + x 2 2 = Evaluar dicho puto e la fució para verificar si es raíz = 1.5 f (x 3 ) = f (1.5) =

23 20 Solució De Ecuacioes No Lieales Ejemplo 2.2 (Cotiuació). Es evidete que el puto medio o es raíz. Por lo tato hay que verificar e que subitervalo se ecuetra la raíz. Para determiarlo se puede elegir cualquiera de los dos subitervalos geerados por el puto medio y realizar sobre él dicha verificació. E caso de que o haya raíz e él, automáticamete se ecotrará e el otro subitervalo (esto lo garatiza el teorema de bolzao). Es decir, f (x 1 ) f (x 3 ) = f (1) f (1.5) = (0.3679) ( ) < 0, lo que idica que hay raíz e el subitervalo [1,1.5]. Iteració 2: Calcular el error E rpa = x 3 x 1 x = = 33.33% Calcular el puto medio x 4 = x 1 + x 3 2 = Evaluar dicho puto e la fució para verificar si es raíz = 1.25 f (x 4 ) = f (1.25) = Es evidete que el puto medio o es raíz. Por lo tato hay que verificar e que subitervalo se ecuetra la raíz. Es decir, f (x 4 ) f (x 3 ) = f (1.25) f (1.5) = (0.0634) ( ) < 0, lo que idica que hay raíz e el subitervalo [1.25,1.5]. Iteració 3: Calcular el error E rpa = x 4 x 3 x = = 16.66% Calcular el puto medio x 5 = x 4 + x 3 2 = Evaluar dicho puto e la fució para verificar si es raíz = f (x 5 ) = f (1.375) = Es evidete que el puto medio o es raíz. Por lo tato hay que verificar e que subitervalo se ecuetra la raíz. Para determiarlo se puede elegir cualquiera de los dos subitervalos geerados por el puto medio y realizar sobre él dicha verificació. E caso de que o haya raíz e él, automáticamete se ecotrará e el otro subitervalo. Es decir, f (x 4 ) f (x 5 ) = f (1.25) f (1.375) = (0.0634) ( ) < 0, lo que idica que hay raíz e el subitervalo [1.25,1.375]. Después de aplicar las 3 iteracioes la raíz aproximada es x 5 =

24 Método de la falsa posició El método de la falsa posició pretede cojugar la seguridad del método de bisecció para coverger, co la rapidez del método de la secate (ver secció2.4); tambié es deomiado como: Regla falsa, Posició falsa o Iterpolació Lieal. Al igual que bisecció el método de la falsa Posició se apoya e el Teorema de Bolzao para que exista la raíz de ua fució e u itervalo dado. El método se puede describir como sigue: Se comieza co u itervalo [x a,x b ], que ecierra a la raíz, es decir f (x a ) y f (x b ) so de sigos opuestos, como lo idica el Teorema de Bolzao. Es similar al método de bisecció ya que cosiste e geerar subitervalos que ecierre a la raíz; pero la aproximació de la raíz x r o se obtiee co el puto medio, sio co la itersecció de la recta secate a la curva que ue a los putos (x a, f (x a )) y (x b, f (x b ) co el eje x; proporcioado ua mejor estimació de la raíz. El reemplazo de la curva por ua líea recta da ua posició falsa de la raíz, de aquí el ombre del método. f (x b ) y f (x) f (x a ) x a x r x b x Represetació Gráfica del Método de La Falsa Posició. U modo práctico para implemetar el método puede ser: Siedo f (x) cotiua, 1. Hallar valores iiciales x a y x b tales que f (x a ) y f (x b ) tiee sigos opuestos, es decir, f (x a ) f (x b ) < La primera aproximació a la raíz se toma igual a: x r = x a f (x a)(x b x a ) f (x b ) f (x a ) 3. Evaluar f (x r ). Forzosamete debemos caer e uo de los siguietes casos: (a) f (x a ) f (x r ) < 0. E este caso, teemos que f (x a ) y f (x r ) tiee sigos opuestos, y por lo tato la raíz se ecuetra e el itervalo [x a,x r ]. (b) f (x a ) f (x r ) > 0. E este caso, teemos que f (x a ) y f (x r ) tiee el mismo sigo, y de aquí que f (x a ) y f (x r ) tiee sigos opuestos. Por lo tato, la raíz se ecuetra e el itervalo [x r,x b ]. (c) f (x a ) f (x r ) = 0. E este caso se tiee que f (x r ) = 0 y por lo tato ya localizamos la raíz. E caso de f (x r ) 0, el proceso se vuelve a repetir co el uevo itervalo hasta se satisfaga u error deseado.

25 22 Solució De Ecuacioes No Lieales Ejemplo 2.3 Aproxime la raíz de f (x) = ta 1 (x) + x 1 e el itervalo [0,1] mediate 3 iteracioes del método de la Falsa Posició. Calcular el error relativo porcetual absoluto e cada iteració. E primer lugar se asume que se ha demostrado que f (x) es cotiua e [0,1]. Ahora verifíquese que f (0) f (1) < 0, para teer la garatía que existe raíz e el itervalo [0,1]. Sea Evaluase e la fució x 1 = 0 x 2 = 1 f (x 1 ) = 1 f (x 2 ) = Claramete se verifica que f (x 1 ) f (x 2 ) < 0 (o que hay cambio de sigo), lo que idica que hay ua raíz e el itervalo [0,1]. Iteració 1: Calcular aproximació de la raíz x 3 = x 1 f (x 1)(x 2 x 1 ) f (x 2 ) f (x 1 ) f (0)(1 0) ( 1)(1 0) = 0 = 0 f (1) f (0) ( 1) = = Evaluar dicha aproximació e la fució para verificar si es raíz f (x 3 ) = f (0.5601) = Es evidete que la aproximació o es raíz. Por lo tato hay que verificar e que subitervalo se ecuetra la raíz. Para determiarlo se puede elegir cualquiera de los dos subitervalos geerados por la aproximació y realizar sobre él dicha verificació. E caso de que o haya raíz e él, automáticamete se ecotrará e el otro subitervalo (esto lo garatiza el teorema de Bolzao). Es decir, f (x 1 ) f (x 3 ) = f (0) f (0.5601) = ( 1) (0.0707) < 0, lo que idica que hay raíz e el subitervalo [0,0.5601]. Para calcular el error e la primera iteració elegimos cualquiera de los extremos del itervalo como ua aproximació de la raíz, luego E rpa = x 3 x 2 x = = 78.54% Iteració 2: Calcular uevamete aproximació de la raíz x 4 = x 1 f (x 1)(x 3 x 1 ) f (x 3 ) f (x 1 ) f (0)( ) ( 1)( ) = 0 = 0 = f (0.5601) f (0) ( 1) = Evaluar dicha aproximació e la fució para verificar si es raíz f (x 4 ) = f (0.5231) =

26 23 Ejemplo 2.3 (Cotiuació). Es evidete que la aproximació o es raíz. Por lo tato hay que verificar e que subitervalo se ecuetra la raíz. Para determiarlo se puede elegir cualquiera de los dos subitervalos geerados por la aproximació y realizar sobre él dicha verificació. E caso de que o haya raíz e él, automáticamete se ecotrará e el otro subitervalo. Es decir, f (x 1 ) f (x 4 ) = f (0) f (0.5231) = ( 1) (0.0051) < 0, lo que idica que hay raíz e el subitervalo [0,0.5231]. Para calcular el error e la seguda iteració lo hacemos co las dos raices aproximadas que se ha calculado, luego E rpa = x 4 x 3 x = = 7.07% Iteració 3: Calcular uevamete aproximació de la raíz x 5 = x 1 f (x 1)(x 4 x 1 ) f (x 4 ) f (x 1 ) f (0)( ) ( 1)( ) = 0 = 0 = f (0.5231) f (0) ( 1) = Evaluar dicha aproximació e la fució para verificar si es raíz f (x 5 ) = f (0.5204) = Es evidete que la aproximació o es raíz. Por lo tato hay que verificar e que subitervalo se ecuetra la raíz. Para determiarlo se puede elegir cualquiera de los dos subitervalos geerados por la aproximació y realizar sobre él dicha verificació. E caso de que o haya raíz e él, automáticamete se ecotrará e el otro subitervalo. Es decir, f (x 1 ) f (x 5 ) = f (0) f (0.5204) = ( 1) ( ) < 0, lo que idica que hay raíz e el subitervalo [0,0.5204]. Para calcular el error e la tercera iteració se repite la misma idea que se usó e el calculo del error e la seguda iteració, por lo tato E rpa = x 5 x 4 x = = 0.52% Después de aplicar las 3 iteracioes la raíz aproximada es x 5 = Método de puto fijo Defiició 2.3 Sea P R, y g(x) ua fució. P es u puto fijo de g(x), si y solo si, P = g(p).

27 24 Solució De Ecuacioes No Lieales Teorema 2.3 (del Puto Fijo) Si g(x) es ua fució cotiua e [a,b] y g(x) [a,b] para todo x [a,b], etoces g(x) tiee por lo meos u puto fijo e [a,b]. Si además, g (x) existe para todo x (a,b) y g (x) K < 1 para todo x (a,b), K costate, etoces g(x) tiee u úico puto fijo α [a,b] y la sucesió {x } defiida mediate la fórmula de iteració x = g(x 1 ), = 1,2,3,... coverge a α (lim x 0 x = α) cualquiera sea x 0 [a,b]. y y = x y = g(x) x 1 = g(x 0 ) a x 0 x 1 α b x Ilustració Teorema Del Puto Fijo. Las siguietes gráficas muestra alguas formas de covergecia o divergecia de la sucesió {x }, dode x = g(x 1 ), = 1,2,3,... y y y = x y = x y = g(x) a α x 0 y = g(x) b x a α x 0 b x Covergecia. (La sucesió o es mootoa). Covergecia. (La sucesió es mootoa).

28 25 y y = g(x) y = x y y = g(x) y = x x 0α x x 0 α x 0 x Divergecia. No satisface las hipótesis del teorema del Puto. Covergecia (depediedo del puto iicial). No satisface las hipótesis del teorema del Puto Fijo Implemetació del método El método de puto fijo puede implemetarse como sigue: 1. Hacer f (x) = 0 y despejar ua x de f (x). Exprese el despeje e la forma x = g(x). 2. Demostrar que g(x) es cotiua e algú itervalo cerrado [a,b]. 3. Determiar u itervalo abierto (c,d) dode se satisfaga g (x) < 1, x (c,d) 4. Tomar u x i (c,d) y evaluar sucesivamete e la formula recursiva x i+1 = g(x i ) hasta que x i+1 sea exactamete g(x i ).

29 26 Solució De Ecuacioes No Lieales Ejemplo 2.4 Use el método de puto fijo para determiar ua raíz de f (x) = e x + x Sea f (x) = 0 = e x + x 2 = 0 = x = 2 e x = g(x) = 2 e x. 2. Puesto que g(x) o tiee idetermiació algua para algú valor de x R, se cocluye que g(x) es cotiua e todo los R y por lo tato, g(x) es cotiua e cualquier itervalo cerrado. 3. Sea g(x) = 2 e x = g (x) = e x = g (x) = e x, como e x > 0, x R = g (x) = e x. Ahora, se quiere hallar u itervalo abierto (c,d) tal que g (x) < 1. Supoga que g (x) = e x < 1 = 1 e x < 1 = 1 < ex = l(1) < l(e x ) = 0 < x, por lo tato g (x) = e x < 1 para todo x (0,+ ). 4. Tómese a x 0 = 1 (0,+ ) y calcule x i+1 = g(x i ) sucesivamete. x 1 = 2 e x 0 = 2 e 1 = x 2 = 2 e x 1 = 2 e = x 3 = 2 e x 2 = 2 e = x 4 = 2 e x 3 = 2 e = x 5 = 2 e = x 6 = 2 e = x 7 = 2 e = x 8 = 2 e = x 9 = 2 e = x 10 = 2 e = x 11 = 2 e = x 12 = 2 e = x 13 = 2 e = x 14 = 2 e = x 15 = 2 e = x 16 = 2 e = x 17 = 2 e = x 18 = 2 e = x 19 = 2 e = x 20 = 2 e = Puesto que e las iteracioes 19 y 20 los las catidades so idéticas se cocluye que x = es u puto fijo y úico e (0,+ ) para g(x) = 2 e x, el cual se covierte e ua raíz para f (x) = e x + x 2.

30 Método de Newto-Raphso El método de Newto (coocido tambié como el método de Newto-Raphso) es u algoritmo eficiete para ecotrar aproximacioes de los ceros o raíces de ua fució real. Tambié puede ser usado para ecotrar el máximo o míimo de ua fució, ecotrado los ceros de su primera derivada Descripció del método La idea de este método es la siguiete: Se comieza co u valor razoablemete cercao a la raíz (deomiado valor iicial x i ), etoces se traza la tagete a la fució desde el puto (x i, f (x i )) hasta cortar el eje x e x i+1. y f (x) f (x i ) x r x i+1 x i x Ilustració del Método de Newto-Raphso. La pediete de la recta tagete viee determiada por la expresió f (x) = f (x i) 0 x i x i+1 y que después de despejar a x i+1 se obtiee la fórmula recursiva de Newto-Raphso x i+1 = x i f (x i) f (x i ) Este x i+1 será, geeralmete, ua aproximació mejor a la raíz de la fució. Luego, se aplica tatas iteracioes como se desee. De acuerdo co la fórmula aterior, se ve claramete que el método de Newto-Raphso es u caso especial del método de iteració de Puto Fijo, cuado se toma como fució de iteració la fució g(x) = x f (x) f (x)

31 28 Solució De Ecuacioes No Lieales Ejemplo 2.5 Use el método de Newto-Raphso para determiar ua raíz de f (x) = e x + x 2. Tome como valor iicial a x 0 = 1. E primer lugar calcular la primera derivada de la fució: f (x) = e x + 1. Después crear la fórmula recursiva: x i+1 = x i e x i + x i 2 e x i + 1 Por último aplicar sucesivamete dicha fórmula: x 1 = x 0 e x 0 + x 0 2 e x = 1 e (1) + (1) e (1) = x 2 = x 1 e x 1 + x 1 2 e x = 1 e (1) + (1) e (1) = x 3 = x 2 e x 2 + x 2 2 e x = 1 e ( ) + ( ) e ( ) = x 4 = x 3 e x 3 + x 3 2 e x = x 5 = x 4 e x 4 + x 4 2 e x = x 6 = x 5 e x 5 + x 5 2 e x = Por lo tato la raíz esperada es Al hacer ua comparació etre los resultados los métodos de Puto fijo y Newto-Raphso, se puede decir, que el método de Newto-Raphso es más ágil e la búsqueda de la raíz de la fució que el método de Puto fijo Método de la secate El Método de la Secate es ua variació del método de Newto-Raphso, dode e vez de calcular la derivada de la fució e el puto de estudio, teiedo e mete la defiició de derivada, se aproxima la pediete a la recta que ue la fució evaluada e el puto de estudio y e el puto de la iteració aterior. Este método es de especial iterés cuado el coste computacioal de derivar la fució de estudio y evaluarla es demasiado elevado, por lo que el método de Newto o resulta atractivo Descripció del método Comezado co dos aproximacioes iiciales x 0 y x 1, para poder iducir f (x 1 ) f (x 0 ) ua pediete iicial. La aproximació x 2 será la itersecció de la recta que ue (x 0, f (x 0 )) x 1 x 0 y (x 1, f (x 1 )) co el eje x. Ahora teemos la recta de pediete f (x 2) f (x 1 ). La aproximació x 3 será la x 2 x 1 itersecció de la recta que ue (x 1, f (x 1 )) y (x 2, f (x 2 )) co el eje x.

32 29 Luego, se aplica tatas iteracioes como se desee. y f (x) Recta Secate f (x 1 ) f (x 0 ) x 0 x 2 x 3 x r x 1 x Ilustració del Método de La Secate. E últimas lo que se hace es sustituir la derivada que aparece e la fórmula recursiva de Newto-Raphso por ua aproximació de ella, es decir, asumiedo que f (x i ) f (x i) f (x i 1 ) x i x i 1 y sustituirla e x i+1 = x i f (x i) f (x i ) para obteer la fórmula Recursiva de la Secate x i+1 = x i f (x i)(x i x i 1 ) f (x i ) f (x i 1 )

33 30 Solució De Ecuacioes No Lieales Ejemplo 2.6 Use el método de La Secate para determiar ua raíz de f (x) = e x + x 2. Tome como valores iiciales a x 0 = 0 y x 1 = 1. E primer lugar costruimos la Fórmula Recursiva del Método de la Secate: x i+1 = x i f (x i)(x i x i 1 ) f (x i ) f (x i 1 ) = x (e x i + x i 2)(x i x i 1 ) i (e x i + x i 2) (e x i 1 + x i 1 2) Y luego aplicar sucesivamete dicha fórmula: x 2 = x 1 x 3 = x 2 x 4 = x 3 x 5 = x 4 x 6 = x 5 x 7 = x 6 x 8 = x 7 x 9 = x 8 (e x 1 + x 1 2)(x 1 x 0 ) (e x 1 + x1 2) (e x 0 + x0 2) = 1 (e (1) + (1) 2)(1 0) (e (1) + (1) 2) (e (0) + (0) 2) = (e x 2 + x 2 2)(x 2 x 1 ) (e x 2 + x2 2) (e x 1 + x1 2) = (e x 3 + x 3 2)(x 3 x 2 ) (e x 3 + x3 2) (e x 2 + x2 2) = (e x 4 + x 4 2)(x 4 x 3 ) (e x 4 + x4 2) (e x 3 + x3 2) = (e x 5 + x 5 2)(x 5 x 4 ) (e x 5 + x5 2) (e x 4 + x4 2) = (e x 6 + x 6 2)(x 6 x 5 ) (e x 6 + x6 2) (e x 5 + x5 2) = (e x 7 + x 7 2)(x 7 x 6 ) (e x 7 + x7 2) (e x 6 + x6 2) = (e x 8 + x 8 2)(x 8 x 7 ) (e x 8 + x8 2) (e x 7 + x7 2) = Por lo tato la raíz esperada es Al comparar el método de Newto-Raphso co el Método de la Secate, se puede observar que el Método de Newto-Raphso es más eficiete, y esto es debido a que la derivada e la fórmula recursiva del Método de la Secate fue sustituida por ua aproximació de ella.

34 Ejercicios propuestos 1. Cosidere g(x) = 2 x. (a) Se podría ecotrar ua costate positiva k < 1 tal que g (x) k x [ 1 3,1]? (b) Se puede garatizar que la iteració de puto fijo, iiciado e cualquier x 0 [ 1 3,1], coverge al úico puto fijo de g e el itervalo [ 3 1,1]?. 2. Cosidere x = 0.5(se(x)+cos(x)). Determie u itervalo [a, b] dóde la iteració de puto fijo coverge si importar la elecció de la aproximació iicial x 0 [a,b]. Justifique su respuesta. 3. El algoritmo de puto fijo es secillo y directo, pero co frecuecia fucioa. Supoga que ua ecuació se pueda es escribir e la forma x = g(x). Resolver esta ecuació es determiar u umero r que o es alterado por la fució g. A tal umero lo deomiamos u puto fijo de g. Haga ua primera estimació x 1. luego haga x 2 = g(x 1 ),x 3 = g(x 2 ) y así sucesivamete. Si teemos suerte, x covergerá a la raíz r cuado. Respoda lo siguiete. (a) De ua iterpretació geométrica del algoritmo de puto fijo. (b) Haga u seudocódigo del método. (c) Codifique e Matlab el algoritmo. Utilice para aproximar la solució de f (x) = x 2cosx. Esto tambié se puede escribir como f (x) = 2x (x + 2cosx). 4. Resuelva f (x) = x 5 100x x x x usado x 0 = 17. Resuelva usado bisecció co [17,22.2] 5. Resuelva la ecuació l 2 x x 1 = Resuelva e 3(x 1) l(x 1) = 0 co al meos cico decimales exactos. 7. Resuelva e 3x l(x 2 + 1) 30 = 0 co al meos cico decimales exactos. 8. Para cada ua se las siguietes fucioes, use el método de Newto para ecotrar u cero, e caso que el método falle explique por qué lo hace. (a) 5x x 2 1, x 0 = 1 (b) x 4 4x + 1, x 0 = 0 (c) 5x 4 11x x 0 = 1 2, x 0 = 0 9. Cosidere la ecuació 4(x 1) 3 cos(x) = 0. (a) Qué multiplicidad tiee la raíz x = 1? (b) Aplique Newto co x 0 = 0.5 (c) Modifique la ecuació de tal maera que el orde de covergecia sea cuadrático. Hacer esto de dos maeras: Usado la multiplicidad de la raíz y usado la ecuació u(x) = f (x) f (x). 10. Sea x 2 2cos(x) + 1 = 0 Aplique el método de Newto para resolver esta ecuació co x 0 = Aplique el método de falsa posició a la ecuació cos(x)cosh(x) 1 = 0 co a = 3π 2 co el resultado que se obtiee al aplicar el método de la secate y bisecció. y b = 2π. Compare

35 32 Solució De Ecuacioes No Lieales ( x ) 1 + x 12. Cosidere f (x) = x cos x 2. Ésta fució tiee u cero cerca de x = 1. Use el método de la secate para aproximar este cero co error absoluto estimado meor que El pricipio de arquímedes establece que el empuje que que esta sometido u cuerpo sumergido e u liquido es igual al peso del fluido desplazado. Al platear la codició de equilibrio para ua esfera de radio 1 cm y desidad γ = 0.75gm/cm 3, se cosigue la ecuació h 3 3h = 0, dode h es la altura de la parte de la esfera que está sumergida. Se pide aplicar el método de Newto-Raphso, modificado y secate para estimar u valor aproximado h co 1 por cieto de error co respecto al valor aterior calculado. Nota: presetar la tabla de datos de cada ua de las iteracioes realizadas. 14. La velocidad v de caída de u paracaidista esta dada por v = gm c c 1 e m t dode g = 9.8. Para el paracaidista co u coeficiete de rozamieto c = 14kg/s, calcule la masa m de éste de tal forma que la velocidad sea de v = 35m/s e t = 35m/s e t = 7s. Use el método de la falsa posició y la bisecció para determiar m e el ivel de ε = 0.1 por cieto. Nota: Hacer ua tabla que muestre los datos e cada ua de las iteracioes. 15. Hallar el área sombreada e la gráfica, dode L 1 se determia por el método de Newto-Raphso (tomado x 0 = 3) y L 2 por el método de la secate modificada (tomado x 0 = 5; x = 0.01). Tabule sus resultados e itere hasta que ε a < %. 16. Hallar el área sombreada e la gráfica, dode L 1 se determia por el método de Newto-Raphso (tomado x 0 = 0.5) y L 2 por el método de la secate modificada (tomado x 0 = 1.5; x = 0.01). Tabule sus resultados e itere hasta que ε a < 0.001%.

36 Determie la veracidad de los siguietes euciados justificado su respuesta. (a) El método del puto fijo coverge siempre y cuado x 0 se ecuetre ates de la raíz, es decir x 0 < r. (b) Tomado x 0 = 2 y x 1 = 1 el método de la secate o coverge para la fució f (x) = e x, para que coverja se debe tomar valores x 0,x 1 diferetes.

37 3 Iterpolació y Ajuste De Curvas E el subcampo matemático del aálisis umérico, se deomia iterpolació a la costrucció de uevos putos partiedo del coocimieto de u cojuto discreto de putos. E igeiería y alguas ciecias es frecuete dispoer de u cierto úmero de datos obteidos por muestreo o a partir de u experimeto y preteder costruir ua fució que los ajuste. Otro problema estrechamete ligado co el de la iterpolació es la aproximació de ua fució complicada por ua más simple. Si teemos ua fució cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de u cierto úmero de sus valores e iterpolar dichos datos costruyedo ua fució más simple. E geeral, por supuesto, o obtedremos los mismos valores evaluado la fució obteida que si evaluásemos la fució origial, si bie depediedo de las características del problema y del método de iterpolació usado la gaacia e eficiecia puede compesar el error cometido. E todo caso, se trata de, a partir de parejas de putos (x k,y k ), obteer ua fució f que verifique f (x k ) = y k, k = 1,..., a la que se deomia fució iterpolate de dichos putos. A los putos x k se les llama odos. Alguas formas de iterpolació que se utiliza co frecuecia so la iterpolació poliómica, la iterpolació lieal (la cual es u caso particular de la aterior) y la iterpolació por medio de splie o trazador cúbico. 3.1 Poliomio iterpolate de Newto Éste método es algorítmico y resulta sumamete cómodo e determiados casos, sobre todo cuado se quiere calcular u poliomio iterpolador de grado elevado. Para u poliomio de -ésimo orde se requiere + 1 putos: (x 0, f (x 0 )),(x 1, f (x 1 )),...,(x, f (x )) y para determiarlo usamos la fórmula: o que es lo mismo: P (x) = b 0 + b 1 (x x 0 ) + b 2 (x x 0 )(x x 1 ) + + b (x x 0 )(x x 1 ) (x x 1 ) P (x) = b 0 + i=1 ( ) i 1 b i (x x j ) j=1

38 35 Estos coeficietes se calcula mediate diferecias divididas, cuya expresió geeral esta dada por: f [x i,...,x i+ j+1 ] = f [x i+1,...,x i+ j+1 ] f [x i,...,x i+ j ] x i+ j+1 x i Como se ve e la fórmula, las diferecias divididas se calcula de modo recursivo usado coeficietes ateriores. Ua vez hayamos realizado todos los cálculos, otaremos que hay (muchas) más diferecias divididas que coeficietes b i. El cálculo de todos los térmios itermedios debe realizarse simplemete porqué so ecesarios para poder formar todos los térmios fiales. Si embargo, los térmios usados e la costrucció del poliomio iterpolador so todos aquéllos que ivolucre a x 0, así: b 0 = f [x 0 ], b1 = f [x 0,x 1 ],..., b i = f [x 0,x 1,...,x i ] Co esta otació, podemos reexpresar el poliomio P como: P (x) = f [x 0 ] + f [x 0,x 1 ](x x 0 ) + f [x 0,x 1,x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) + + f [x 0,x 1,...,x ](x x 0 )(x x 1 ) (x x 1 ) A esta ecuació se le cooce co el ombre de fórmula de diferecias divididas iterpolates de Newto. Ejemplo 3.1 Determie el poliomio Iterpolate de Newto que cotiee los putos (3,-1), (5,-3), (7,9) y (8,6). La idea pricipal es completar la siguiete tabla: x i y i b 1 b 2 b 3-3 9??? 5 2?? 7-1? 8 0 Para facilidad de eteder el algoritmo del poliomio iterpolate de Newto mediate las diferecias divididas, hagamos la costrucció por iveles o columas: Nivel b 1 : ( 3) = 7 8 ( 1) = 3 2 (0 ( 1) =

39 36 Iterpolació Y Ajuste De Curvas Ejemplo 3.1 (Cotiuació). Nivel b 2 : ( ) ( ) = 7 ( 3) ( ) = 1 16 Nivel b 3 : ( ) ( ) = 8 ( 3) = = ( ) = 5 2 = Por tato la tabla de datos queda completa del siguiete modo: x i y i b 1 b 2 b A cotiuació se costruye el poliomio tomado como coeficietes a los úmeros de la primera fila, excepto el primero de todos. Lo que se quiere es Remplazado los datos se obtiee P(x) = 9 + P 3 (x) = b 0 + b 1 (x x 0 ) + b 2 (x x 0 )(x x 1 ) + b 3 (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ) ( ) ( ) ( ) (x ( 3)) + (x ( 3))(x 5) + (x ( 3))(x 5)(x 7) y al simplificar se llega al poliomio Verificació: P(x) = x x x P( 3) = ( 3) ( 3) ( 3) = 9 P(5) = (5) (5) (5) = 2 P(7) = (7) (7) (7) = 1 P(8) = (8) (8) (8) = 0

40 Poliomio iterpolate de Lagrage E aálisis umérico, el poliomio de Lagrage, llamado así e hoor a Joseph-Louis de Lagrage, es el poliomio que iterpola u cojuto de putos dado e la forma de Lagrage. Fue descubierto por Edward Warig e 1779 y redescubierto más tarde por Leohard Euler e Para evitar el cálculo de las diferecias fiitas que se hace e el poliomio de Newto, el método de Lagrage propoe ua fórmula más secilla, pero que por supuesto, por ser ua aproximació puede teer u ligero marge mayor de error. Aú así, es u método muy práctico. Reformulació del poliomio de Newto que evita el cálculo por diferecias divididas: f (x) = i=0 L i (x) f (x i ), dode L i (x) = j=0 j i x x j x i x j, Π desiga el producto de. Ejemplo 3.2 Determie el poliomio iterpolate de Lagrage que cotiee los siguietes putos de la tabla: x i y i Lo que se quiere es costruir el poliomio de Lagrage mediate su fórmula recursiva: P(x) = = 3 i=0 3 i=0 L i (x) f (x i ) y i L i (x) = y 0 L 0 (x) + y 1 L 1 (x) + y 2 L 2 (x) + y 3 L 3 (x) = 9L 0 (x) + 2L 1 (x) + ( 1)L 2 (x) + 0L 3 (x) Solo falta costruir los L i (x), estos será determiados mediate la fórmula como se muestra a cotiuació: L i (x) = 3 k=1k i x x k, x i x k

41 38 Iterpolació Y Ajuste De Curvas Ejemplo 3.2 (Cotiuació). L 0 (x) = 3 k=1k 0 x x k x 0 x k = x x 1 x 0 x 1. x x 2 x 0 x 2. x x 3 x 0 x 3 = x x x = x 5 8.x 7 10.x 8 11 = x x x L 1 (x) = 3 k=1k 1 x x k x 1 x k = x x 0. x x 2. x x 3 x 1 x 0 x 1 x 2 x 1 x 3 = x ( 3) 5 ( 3). x x = x x 7 2.x 8 3 = x x2 4 11x L 2 (x) = 3 k=1k 2 x x k x 2 x k = x x 0. x x 1. x x 3 x 2 x 0 x 2 x 1 x 2 x 3 = x ( 3) 7 ( 3). x x = x x 5 2.x 8 1 = x x2 2 x 20 6 No hace falta costruir L 3 (x), pues este poliomio será multiplicado por 0. Ua técica útil para sumar todos estos productos, cosiste costruir ua tabla que cotega toda la iformació y luego hacer la suma por columas, como se muestra a cotiuació:

42 39 Ejemplo 3.2 (Cotiuació). y i L i x 3 x 2 x k 9L L L P(x) La última fila idica que el poliomio iterpolate de Lagrage es P(x) = x x x Iterpolació segmetaria: Trazadores cúbicos Dados + 1 putos (x 0,y 0 ),(x 1,y 1 ),...,(x,y ) co x 0,x 1,...,x úmeros reales diferetes, y f algua fució de valor real defiida e u itervalo [a,b], que cotiee a x 0,x 1,...,x, se pretede aproximar la fució f por segmetos o trazas. De atemao vamos a supoer que: x 0 < x 1 <... < x La idea es aproximar la fució f e cada subitervalo [x k,x k+1 ],k = 0,1,..., 1, usado u poliomio de grado meor o igual a tres, el cual supodremos de la forma: p (k) 3 (x) p k(x) = a k + b k (x x k ) + c k (x x k ) 2 + d k (x x k ) 3 y y = P k (x) y = P k+1 (x) x k x k+1 x k+2 x Represetació Gráfica de Trazador Cúbico 1. p k (x k ) = f (x k ), p 1 (x ) = f (y ), k = 0,1,..., 1 (codició básica de iterpolació) Esta codició supoe + 1 codicioes.

43 40 Iterpolació Y Ajuste De Curvas 2. p k (x k+1 ) = p k+1 (x k+1 ), k = 0,1,..., 1 (codició de cotiuidad) Esta codició supoe 1 ecuacioes. 3. p k (x k+1) = p k+1 (x k+1), k = 0,1,..., 1 (codició de primera derivada) Esta codició sugiere 1 codicioes. 4. p k (x k+1) = p k+1 (x k+1), k = 0,1,..., 1 (codició de seguda derivada) Esta codició sugiere 1 codicioes. 5. a. p 0 (x 0) = f (x 0 ) b. p 1 (x ) = f (x ) (codicioes de frotera). Para que los p k iterpole los putos, se debe verificar las siguietes codicioes: Al verificar las codicioes 1., 2., 3. y 4., se asegura que los p k tiee sus primeras y segudas derivadas e los putos x 0,x 1,...,x, e este caso se dice que los p k so trazadores cúbicos que aproxima la fució f. Ahora, si se cumple la codició 5.a, el trazador cúbico se llama atural, y si cumple la codició 5.b, el trazador cúbico se llama de frotera sujeta (o so mutuamete excluyetes). Ejemplo 3.3 Determie mediate iterpolació segmetaria el cojuto de poliomios que ajusta a los putos de la tabla que se muestra a cotiuació: x i f (x i ) Para cumplir tal tarea es ecesario primero hallar las k i como lo muestra la siguiete tabla: x i f (x i ) f (x i ) k k k k Para determiar dichas k i es ecesario costruir las siguietes ecuacioes, las cuales se costruye a partir de los datos cosigados e la tabla aterior, luego resolver el sistema geerado por ellas:

44 41 Ejemplo 3.3 (Cotiuació). Para la costrucció de dichas ecuacioes os apoyamos e la fórmula: Dadas tres parejas cosecutivas de la tabla, [x i 1, f (x i 1 )],[x i, f (x i )] y [x i+1, f (x i+1 )] aplique (x i x i 1 ) f (x i 1 ) + 2(x i+1 x i 1 ) f (x i ) + (x i+1 x i ) f (x i+1 ) = 6 6 [ f (x i+1 ) f (x i )] + [ f (x i 1 ) f (x i )] x i+1 x i x i x i 1 Cotiuemos co la costrucció de las ecuacioes: Para la ecuació E 1, tómese las parejas (0.2,0.2),(0.6,0.55) y (1.2,0.211), y aplíquese la fórmula aterior: [ [( )(0)] + 2[ ]k 1 + [ ]k 2 = 6 ( ) 2k k 2 = k k 2 = 8.35 ] [ ( ) ] ( ) Para la ecuació E 2, tómese las parejas (0.6,0.55),(1.2,0.211) y (1.4,0.2): 0.6k k k 3 = 1.9 Para la ecuació E 3, tómese las parejas (1.2,0.211),(1.4,0.2) y (1.8,0.44): 0.2k k k 4 = 4.8 Para la ecuació E 4, tómese las parejas (1.2,0.211),(1.4,0.2) y (2.23,0.83): [ ( )k 3 + 2( )k 4 + ( )(0) = 0.4k k 4 = ] [ ( ) + 6 ( ) ] ( ) El sistema de ecuacioes que se obtiee es:

45 42 Iterpolació Y Ajuste De Curvas Ejemplo 3.3 (Cotiuació). 2k k 2 = k k k 3 = k k k 4 = k k 4 = 1.84 Para visualizar mejor el sistema de ecuacioes ubiquemos los coeficietes de cada ecuació e ua tabla, como se muestra a cotiuació: E i k 1 k 2 k 3 k 4 R E E E E Dicho sistema lo podemos resolver co Matlab haciedo uso del comado lisolve(a, B), e dode A y B se costruye como sigue: La solució arrojada por Matlab es: A = B = k 1 = 4,9588 k 2 = 2,6128 k 3 = 3,4740 k 4 = 0,2713 Co lo que se completa la tabla iicial: x i f (x i ) f (x i )

46 43 Ejemplo 3.3 (Cotiuació). Ua vez completada la tabla se debe costruir los poliomios P i (x), que ajusta los datos origiales, esto se hará teiedo e cueta la fórmula: Dadas dos filas cosecutivas de la tabla de datos, [x i 1, f (x i 1 ), f (x i 1 )] y [x i, f (x i ), f (x i )], aplique P i (x) = f (x i 1 ) 6(x i x i 1 ) (x i x) 3 + f (x i ) [ f (x i ) + (x i x i 1 ) f (x i )(x i x i 1 ) 6 [ f 6(x i x i 1 ) (x x i) 3 (xi 1 ) + ] (x x i 1 ) (x i x i 1 ) f (x i 1 )(x i x i 1 ) 6 ] (x i x) Para determiar P 1 (x), tómese las filas [0.2,0.2,0] y [0.6,0.55, ], y aplíquese la fórmula aterior: [ P 1 (x) = = 0 6( ) [ [ ] [ (0.6 x) 3 + 6( ) ( ) 6 ] [ (x 0.2) 3 + ] (x 0.2) ] (x 0.2) (0.6 x) ()x = (x) (x 2 ) x ( ) ] (0.6 x) Para determiar P 2 (x), tómese las filas [0.6,0.55, ] y [1.2,0.211,2.6128]: [ P 2 (x) = ] [ (1.2 x) ( ) 6( ) [ ] ( ) + (x 0.6) = (1.2 x) 3 + = x x x ] [ (x 0.6) 3 + [ ] 1633 (x 0.6) (1.2 x) ( ) ( ) 6 [ ] 867 (x 0.6) 6250 ] (1.2 x) Para determiar P 3 (x), tómese las filas [1.2,0.211,2.6128] y [1.4,0.2,3.4740]:

47 44 Iterpolació Y Ajuste De Curvas Ejemplo 3.3 (Cotiuació). [ P 3 (x) = = ] [ (1.4 x) ( ) 6( ) [ ( ) + ( ) 6 [ ] (1.4 x) 3 + [ ] [ (x 1.2) 3 + ] (x 1.2) = x x x ] (x 1.2) (1.4 x) ( ) ( ) 6 [ ] 4421 (x 1.2) 5000 ] (1.4 x) Para determiar P 4 (x), tómese las filas [1.4,0.2,3.4740] y [1.8,0.44,0.2713]: [ P 4 (x) = = ] [ (1.8 x) ( ) 6( ) [ ] ( ) + (x 1.4) ( ) 6 ( ) (1.8 x) 3 + ( ) (x 1.4) 3 + = x3 + 7,34173x x ] [ (x 1.4) 3 + ( ( ) ( ) 6 ) (1.8 x) (x 1.4) ] (1.8 x) Para determiar P 5 (x), tómese las filas [1.8,0.44,0.2713] y [2.23,0.83,0]: [ P 5 (x) = ( ) [ ( ) ( ) 2713 = ] [ (2.23 x) 3 + 0( ) 6 0 6( ) ] (x 1.8) ] [ (x 1.8) 3 + (2.23 x) (2.23 x) + 83 (x 1.8) 43 = x x x ( ) ( ) 6 ] (2.23 x) Por lo tato el cojuto de todos los poliomios que ajusta a los datos de la tabla iicial, co sus respectivos domiios so:

48 45 Ejemplo 3.3 (Cotiuació). P 1 (x) = (x) (x 2 ) x , x [0.2,0.6] P 2 (x) = x x x , x [0.6,1.2] P 3 (x) = x x x , x [1.2,1.4] P 4 (x) = x3 + 7,34173x x , x [1.4,1.8] P 5 (x) = x x x , x [1.8,2.23] 3.4 Ajuste de curvas por míimos cuadrados El día de Año Nuevo de 1801, el astróomo italiao Giuseppe Piazzi descubrió el asteroide Ceres. Fue capaz de seguir su órbita durate 40 días. Durate el curso de ese año, muchos cietíficos itetaro estimar su trayectoria co base e las observacioes de Piazzi (resolver las ecuacioes o lieales de Kepler de movimieto es muy difícil). La mayoría de evaluacioes fuero iútiles; el úico cálculo suficietemete preciso para permitir a Zach, astróomo alemá, reecotrar a Ceres al fial del año fue el de u Carl Friedrich Gauss de 24 años (los fudametos de su efoque ya los había platado e 1795, cuado aú teía 18 años). Pero su método de míimos cuadrados o se publicó hasta 1809, apareciedo e el segudo volume de su trabajo sobre mecáica celeste, Theoria Motus Corporum Coelestium i sctioibus coicis solem ambietium. Míimos cuadrados es ua técica de optimizació matemática que, dada ua serie de medicioes, iteta ecotrar ua fució que se aproxime a los datos miimizado la suma de cuadrados de las diferecias ordeadas (llamadas residuos) etre los putos geerados por la fució y los correspodietes e los datos. U requisito implícito para que fucioe el método de míimos cuadrados es que los errores de cada medida esté distribuidos de forma aleatoria. El teorema de Gauss-Markov prueba que los estimadores míimos cuadráticos carece de sesgo y que el muestreo de datos o tiee que ajustarse, por ejemplo, a ua distribució ormal. Tambié es importate que los datos recogidos esté bie escogidos, para que permita visibilidad e las variables que ha de ser resueltas (para dar más peso a u dato e particular, véase míimos cuadrados poderados).

49 46 Iterpolació Y Ajuste De Curvas Míimos cuadrados y aálisis de regresió lieal El ejemplo mas simple de ua aproximació por míimos cuadrados es ajustar ua líea recta a u cojuto de observacioes defiidas por putos: Sea (x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ),...,(x,y ) putos. La expresió matemática para la líea recta que los ajusta es y = a + bx + ε Dode los coeficietes a y b represeta la pediete y la itersecció co el eje y respectivamete. ε es el error o diferecia etre el modelo y las observacioes. Así el error o residuo puede expresarse como: ε = y a bx Luego la suma de los cuadrados de dichas desviacioes estaría dada por: S r = i=1 ε 2 = i=1 y i a bx i Asumiedo que la suma S r se comporta como ua fució de dos variables (respecto de a y b), la obteció de los valores de los coeficietes, tales que esta suma sea míima es u problema que se puede resolver recurriedo a la derivació parcial de la fució e térmios de a y b e igualado a cero: S r a = 2(y i a bx i ) ( 1) = 2 i=1 a + b i=1 x i = y i i=1 S r b = 2(y i a bx i ) ( x i ) = 2 i=1 a i=1 x i + b i=1 x 2 i = i=1 x i y i i=1 i=1 2(y i a bx i ) = 0 i=1 2(y i a bx i ) x i = 0 y i i=1 i=1 x i y i a b i=1 i=1 x i = 0 ax i b i=1 x 2 i = 0 De esta forma se obtiee dos ecuacioes llamadas ecuacioes ormales del modelo que puede ser resueltas por cualquier método. Escribiedo el sistema de ecuacioes e forma matricial teemos: x i i=1 i=1x i i=1 x 2 i a = b Si usamos la regla de Cramer: y i i=1 x i y i i=1 ; det(a) = x i i=1 i xi i=1x 2 i=1 = i=1 x 2 i ( i=1x i ) 2

50 47 i i=1y i=1 i y i a = i=1x i=1 det(a) x i x 2 i = i=1y i i=1 i=1 x 2 i x 2 i i x i y i i=1x i=1 ( ) 2 b = i i=1x y i i=1 x i y i = det(a) i=1x i i=1 i=1 i=1 x i y i x 2 i i i=1x i=1 ( ) 2 i i=1x y i Queda al lector demostrar que efectivamete estos valores para a y b so los que hace míima la suma de errores (S r ). Por lo tato el modelo lieal que mejor ajusta a u cojuto de datos viee dado por: e dode y = a + bx a = i=1y i i=1 i=1 x 2 i x 2 i i x i y i i=1x i=1 ( ) 2 y b = i i=1x i=1 i=1 x i y i x 2 i i i=1x i=1 ( ) 2 i i=1x Se debe teer presete la diferecia etre el valor obteido co la ecuació de regresió y el valor de y observado. Mietras es ua estimació y su bodad e la estimació depede de lo estrecha que sea la relació etre las dos variables que se estudia. Esta diferecia se cooce como error e la estimació, este error se puede medir a partir de la desviació estádar de la estimació: y i S xy = Sr 2, dode (y i a bx i ) 2 i=1 Como esta medida trata de resumir la disparidad etre lo observado y lo estimado, es decir, trata de medir la diferecia promedio etre lo observado y lo estimado ó esperado de acuerdo al modelo, puede cosiderarse como u idicador del grado de precisió co que la ecuació de regresió, describe la relació etre las dos variables. No es posible comparar co las relacioes de variables dadas e distita uidad de medida. Es ecesario etoces calcular ua medida que iterprete o mida mejor el grado de relació etre las variables. Coeficietes de determiació y de correlació: El coeficiete de determiació es la relació etre la variació explicada y la variació total. Este coeficiete de correlació mide la fuerza de la relació etre las variables. Su valor siempre estará 0 < r < 1. r 2 = S t S r, dode S t es el error residual asociado co la variable depediete ates de la regresió. Ua S t presetació alterativa es la siguiete: r = i=1 ( i i=1x 2 i=1 x i y i i y i i=1x i=1 ) 2 x i ( i=1y 2 i i=1 ) 2 y i

51 48 Iterpolació Y Ajuste De Curvas Criterios: 0 a 0.2 Correlació muy débil, despreciable. 0.2 a 0.4 Correlació débil, baja. 0.4 a 0.7 Correlació moderada. 0.7 a 0.9 Correlació fuerte, alta, importate. 0.9 a 1.0 Correlació muy fuerte, muy alta. La correlació etre los valores de dos variables es u hecho. El que lo cosideremos satisfactorio o o, depede de la iterpretació. Otro problema que represeta la correlació es cuado se preguta si ua variable, de algú modo causa o determia a la otra. La correlació o implica causalidad. Si las variables x e y está correlacioadas, esto puede ser por que x causa a y, o porque y causa a x o porque algua otra variable afecta tato a x como y, o por ua combiació de todas estas razoes; o puede ser que la relació sea ua coicidecia. Ejemplo 3.4 Determie el mejor modelo lieal que ajuste los siguietes datos: x i y i E primer lugar realicemos los siguietes cálculos: = 5, pues hay 5 datos (x,y). A = x i y i = 260, B = x 2 i = 106, C = x i = 16, D = y i = 47 Luego sustituimos e las formulas asociadas a a y b: a = b = 5(260) (16)(47) 5(106) (16) 2 = a = 2 (106)(47) (206)(16) 5(106) (16) 2 = b = 3 Por lo tato lieal y = ax + b asociado a los datos de la tabla es y = 2x + 3.

52 49 Ejemplo 3.5 Se toma ua muestra aleatoria de 8 ciudades de ua regió geográfica de 13 departametos, que se determia por los datos del ceso el porcetaje de graduados e educació superior y la mediaa de igreso de cada ciudad, los resultados so los siguietes: % M Determie el mejor modelo lieal que ajusta a la iformació. = 8, pues hay 8 datos (x,y). A = x i y i = B = x 2 i = C = x i = 89.8 D = y i = 43.5 a = b = 8(546.63) 89.8(43.5) 8( ) (89.8) 2 = a = ( )(43.5) (89.8) 8( ) (89.8) 2 = b = Por lo tato el modelo lieal que mejor ajusta es y = x Liealizació de relacioes o lieales La liealizació es el proceso mediate el cual es posible covertir ua curva e ua liea de modo que mediate la regresió lieal se pueda ecotrar ciertos parámetros que defia la ecuació de la curva Modelo potecia y = αx β Log 10 y = Log 10 ( αx β) Log 10 y = Log 10 α + Log 10 x β Las uevas variables idepediete y depediete se aprecia e Log 10 y = } {{ } Nueva Var Dep Puto Corte { }} { Log 10 α + β }{{} Pte Log 10 x } {{ } Nueva Var Id

53 50 Iterpolació Y Ajuste De Curvas Modelo expoecial y = αe βx L y = L (αe βx) L y = L α + βxl e Las uevas variables idepediete y depediete se aprecia e Razó de crecimieto L y }{{} Var Dep = }{{} Lα + β }{{} P.C P y = αx x + β 1 y = x + β αx 1 y = x αx + β αx x }{{} Var Id Las uevas variables idepediete y depediete se aprecia e 1 y }{{} Var Dep = 1 α }{{} P.C + β α }{{} P 1 x }{{} Var Id Ejemplo 3.6 Determie el Modelo de Potecia que aproxima los datos de la siguiete tabla: x i y i

54 51 Ejemplo 3.6 (Cotiuació). E primer lugar completemos la tabla del siguiete modo: x i y i log 10 (x i ) log 10 (y i ) Luego tomamos las columas 3 y 4 y realizamos los siguietes cálculos: A = x i y i = B = x 2 i = C = x i = D = y i = = 5 por que teemos 5 datos. A cotiuació sustituimos e el modelo lieal, A CD 5(1.9209) ( )( ) a = = B C2 5(1.4556) ( ) 2 = a = BD AC (1.4556)( ) (1.9209)( ) b = = B C2 5(1.4556) ( ) 2 = b = Co lo que se obtiee el modelo lieal y = x Ahora procedemos a determiar el modelo o lieal e la forma de potecia: Log 10 α = α = α = β = Por lo tato, el modelo de potecia es y = x

55 52 Iterpolació Y Ajuste De Curvas Ejercicios propuestos 1. Cosidere los cuatro putos (0,1), (1,2), (3,0), (4,4). (a) Calcule el poliomio iterpolate P(x), e la forma de Lagrage. (b) Iterpolar f (3.5). 2. Cosidere la fució de Bessel J 0 (x) = 1 π π 0 cos(xse(θ)) dθ. Teemos la siguiete iformació, x πj 0 (x) (a) Obteer la forma de Lagrage del poliomio iterpolate. (b) Iterpolar J 0 (0.25) 3. Cosidere la siguiete tabla de salarios, Salarios ($) Frecuecia Estimar la catidad de persoas co salario etre $1000 y $ Iterpolar cos(1.75) usado la tabla x i cos(1 + 3x i ) / / Ayuda: La estimació que se obtiee co el poliomio iterpolate es Cosidere la siguiete tabla de vapor para H 2 O caletada a 200MPa. v(m 3 /kg) s(kj/kg K) Use iterpolació para ecotrar la etropía s para u volume especifico v de 0.108m 3 /kg. 6. Cosidere la siguiete tabla de datos para el itrógeo, T (K) B(cm 3 /mol) dode T es la temperatura y B es el segudo coeficiete virial. Iterpolar el segudo coeficiete virial a 450K.

56 53 7. Usar la forma de Newto del poliomio iterpolate para completar la siguiete tabla de datos para el agua, dode T es temperatura y ρ es la desidad. T (C) ρ(kg/m 3 ) ? E la tabla que sigue aparece las estadísticas de u curso co la catidad de estudiates e cada rago de otas. Rago de Notas No Estudiates (a) Estime la catidad de estudiates co ota mayor o igual a 65. (b) Estime la catidad de estudiates e el rago La siguiete tabla muestra los pesos ormales de bebés durate los primeros 12 meses de vida, Edad e meses Peso e libras Determie el peso de los bebés etre los 5 y 5.6 meses de vida. 10. E la siguiete tabla de diferecias divididas, complete los datos que falta. x i y i ?? ? 0? ? 11. Los datos que se tabula a cotiuació se puede modelar por la siguiete ecuació: y = Liealizar esta ecuació y usarla para estimar a y b co base e los siguietes datos. x y ( ) 2 a + x b x Elabore ua gráfica de los datos y determie si visualmete es u bue ajuste, si lo es, prediga el valor de y e x = Sea y = αxe βx, liealizar este modelo y usarlo para estimar α y β co base e los siguietes datos: x y Elabore ua gráfica de los datos de la tabla y determie si visualmete es u bue ajuste, si lo es, prediga el valor de y e x = 2. ( u ) Sugerecia: Utilice l y la propiedad l(u) l(v) = l para liealizar el modelo. v

57 54 Iterpolació Y Ajuste De Curvas 13. Determie la veracidad de los siguietes euciados justificado su respuesta. (a) U algoritmo bie elaborado e MATLAB halla ua regresió lieal para u cojuto de datos y arroja u error acumulado igual a cero. Se puede cocluir etoces que e realidad el algoritmo está mal programado pues ε a > 0 para todo cojuto de datos. (b) La recta que se halla mediate regresió lieal para u cojuto de datos siempre es la que deja meor dispersió. (c) Ua persoa laza ua pelota al aire hacia abajo. La altura que alcaza esta dada por s(t) = s 0 + v 0 t gt2. Se toma las siguietes medicioes: Usado los datos, estime i. la altura a la dejo caer la pelota. ii. velocidad iicial iii. g (e pies/seg 2 ) Tiempo trascurrido (segudos) Altura (pies) (d) U fabricate compra grades catidades de refraccioes para cierta máquia. Él ecuetra que este costo depede del úmero de cajas compradas al mismo tiempo y que el costo por uidad dismiuye coforme el umero de cajas aumeta. Supoer que el costo es ua fució cuadrática del volume y de las facturas ateriores. El registro de alguas compras se ecuetra e la siguiete tabla: Ecuetre su fució de costo total. Número de cajas compradas Costo Total(Dólares) (e) La viscosidad µ de u fluido depede de la temperatura T del fluido de acuerdo a la relació represetada e la siguiete tabla T (C o ) µ(n seg/m 2 ) Use la iterpolació para ecotrar u estimativo para la viscosidad a T = 25 y T = 40. (f) Supoga que f C 1 [a,b], f (x) 0 y que f tiee u cero p e [a,b]. Sea x 0,...,x, + 1 úmeros distitos e [a,b] co f (x k ) = y k para cada k = 0,1,...,. Se quiere aproximar p, costruya el poliomio iterpolate e los odos y 0,...,y, para f 1. Puesto que y k = f (x k ) y 0 = f (p), se deduce que f 1 (y k ) = x k y p = f 1 (0). Seda el ombre de iterpolació iterada iversa al uso de la iterpolació iterada para aproximar f 1 (0). i. Costruya u algoritmo que sirva para obteer la iterpolació iversa

58 55 ii. Utilice la iterpolació iversa para obteer la aproximació de la solució x e x = 0 por medio de los datos: x e x

59 4 Difereciació e Itegració Numérica 4.1 Difereciació umérica Se desarrollará fórmulas para aproximacioes de diferecias hacia adelate, hacia atrás y cetradas para la primera derivada utilizado la serie trucada de Taylor. E el mejor de los casos, estas estimacioes preseta errores de orde O(h 2 ); es decir, sus errores fuero proporcioales al cuadrado de su tamaño de paso. Este ivel de exactitud se debe al úmero de térmios de la serie de Taylor. Se puede geerar fórmulas de alta exactitud al icluir térmios adicioales e la expasió de la serie de Taylor Fórmulas de exactitud para la primera derivada Fórmulas de Tres Putos Defiiedo u tamaño de paso h = x i+1 x i. Hacia adelate: Hacia atrás: Cetral: f (x i ) 3 f (x i) + 4 f (x i + h) f (x i + 2h) 2h f (x i ) f (x i 2h) 4 f (x i h) + 3 f (x i ) 2h f (x i ) f (x i + h) f (x i h) 2h + O(h 2 ) + O(h 2 ) + O(h 2 )

60 57 Fórmulas de Cico Putos Defiiedo u tamaño de paso h = x i+1 x i. Hacia adelate: Cetral: f (x i ) = 25 f (x i) + 48 f (x i + h) 36 f (x i + 2h) + 16 f (x i + 3h) 3 f (x i + 4h) 12h f (x i ) = f (x i 2h) 8 f (x i h) + 8 f (x i + h) f (x i + 2h) 12h + O(h 4 ) + O(h 4 ) Usado la serie trucada de Taylor, se puede desarrollar fórmulas aproximadas iterativas para resolver las derivadas uméricamete usado putos. Usado hasta la expresió de Taylor de la seguda derivada se puede hallar mayor precisió para la derivada de la fució. Ejemplo 4.1 Usar las fórmulas hacia adelate de tres y cico putos para aproximar f (2), si f (x) = se(x) y h = 0.1. Fórmula de Tres Putos: Si h = 0.1 se tiee que f 3 f (2) + 4 f ( ) f (2 + 2(0.1)) (2) 2 (0.1) Fórmula de Cico Putos: Si h = 0.1 se tiee que f 25 f (2) + 48 f ( ) 36 f (2 + 2(0.1)) + 16 f (2 + 3(0.1)) 3 f (2 + 4(0.1)) (2) 12 (0.1) Claramete f (2) = cos(2) Lo que permite calcular el error segú cada fórmula, es decir, E f 3p = ( ) % y E f 5p = ( ) %. Co estos cálculos se puede cocluir que la fórmula de cico putos aproxima mejor la primera derivada e el puto dado.

61 58 Difereciació E Itegració Numérica 4.2 Itegració umérica E muchos casos, la itegració de ua fució f (x) es difícil o hasta imposible de ecotrar, para ello debemos usar ua fució que se aproxime a la fució origial y que sea de más fácil solució, la más comú es el poliomio de térmios. El otro tema a tomar e cueta es cuado se desarrolla la itegració. Numéricamete debemos usar sumatorias para desarrollarla; etre más putos que se ecuetra e los límites de la itegral se tega, será más aproximada la solució, pero esto implica que el algoritmo sea a veces más complicado Fórmulas de Newto-Cotes Las fórmulas de itegració de Newto-Cotes so los esquemas más comues detro de la itegració umérica. Se basa e la estrategia de reemplazar ua fució complicada o u cojuto de datos tabulares co algua fució aproximada que sea más fácil de itegrar. La itegral se puede aproximar usado ua serie de poliomios aplicados por partes a la fució o a los datos sobre itervalos de logitud costate. Se dispoe de las formas abierta y cerrada de las fórmulas de Newto-Cotes. Las formas cerradas so aquellas e dode los putos al pricipio y al fial de los límites de itegració se cooce. Las fórmulas abiertas tiee los límites de itegració extedidos más allá del rago de los datos. Las fórmulas abiertas de Newto-Cotes, e geeral, o se usa e la itegració defiida. Si embargo, se usa extesamete para evaluar itegrales impropias y e la solució de ecuacioes difereciales ordiarias Regla del trapecio simple y compuesta La regla del trapecio o regla trapezoidal es la primera de las fórmulas cerradas de Newto-Cotes. Regla del trapecio simple Cosidérese la fució f (x), cuya gráfica esta etre los extremos x = a y x = b como se muestra e la figura. f (x) f (a) f (b) a b x Ilustració de La Regla del Trapecio Simple Si utilizamos u poliomio P(x) de primer grado como ua aproximació de f (x) teemos:

62 59 P(x) = f (a) x b a b + f (b) x a, el cual es equivalete a: b a P(x) = f (a) + f (b) f (a) (x a) b a El área bajo ésta líea recta es ua aproximació del área bajo la curva etre los límites a y b. Ejemplo 4.2 b a b a f (x) dx f (x) dx b a b a ( f (a) + ( f (a) + [ f (a)x + (b a) ) f (b) f (a) (x a) dx b a ) f (b) f (a) (x a) dx b a f (b) f (a) b a f (a) + f (b) 2 (x a) 2 1 Utilizar la regla del trapecio simple para aproximar la itegral ] b a arcse(x) dx. ( arcse(x) dx 1 1 ) [ f (1) + f ( 1 2 ) ] π 2 + π 6 4 π 6 = La solució exacta de esta itegral es 5π El error relativo porcetual que se cometió al aplicar la regla del trapecio simple esta dado por: E r = %

63 60 Difereciació E Itegració Numérica Regla del Trapecio Compuesta Ua maera de mejorar la exactitud de la regla del trapecio es dividir el itervalo de itegració de a a b e u úmero de segmetos y aplicar el método a cada uo de ellos. Las ecuacioes resultates so llamadas fórmulas de itegració de múltiple aplicació o compuestas. Hay + 1 putos base igualmete espaciados (x 0,x 1,x 2,...,x ). E cosecuecia hay segmetos de igual achura: h = b a. Si a y b so desigados como x 0 y x respectivamete, la itegral total se represetará como: x1 x2 x I = f (x)dx + f (x)dx f (x)dx x 0 x 1 x 1 Al sustituir la regla trapezoidal para cada itegral: I = h f (x 0) + f (x 1 ) 2 + h f (x 1) + f (x 2 ) h f (x 1) + f (x ) 2 Y mediate agrupació de térmios: I = h 2 [ ] 1 f (x 0 ) + 2 f (x i ) + f (x ) i=1 Usado h = (b?a)/ y expresádola e la forma geeral: I = (b a) f (x 0 ) f (x i ) + f (x ) i=1 2 U error para la regla trapezoidal de múltiple aplicació se puede obteer al sumar los errores idividuales de cada segmeto, para dar: (b a)3 E t = 12 3 f (ξ i ) i=1 Dode f (ξ i ) es la seguda derivada e u puto ξ i localizado e el segmeto i. Este resultado se puede simplificar al estimar la media o valor promedio de la seguda derivada para todo el itervalo:

64 61 f f (ξ i ) i=1 Por tato f (ξ i ) f. Etoces la ecuació del error trapezoidal puede escribirse como: (b a)3 E a = 12 2 f Así, si el úmero de segmetos se duplica, el error de trucamieto dismiuirá a u cuarto. Ejemplo 4.3 Utilizar la regla del trapecio compuesta co =5 subitervalos para aproximar la itegral 1 arcse(x) dx. 1 2 b a = = 0.1 x i = [0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1] arcse(x) dx [ ] 0.1 [ f (0.5) + 2 f (0.6) + 2 f (0.7) + 2 f (0.8) + 2 f (0.9) + f (1)] El error relativo porcetual que se cometió al aplicar la regla del trapecio compuesta esta dado por: E r = % Vemos que efectivamete se ha obteido ua mejor aproximació co este método, reduciedo el error relativo verdadero de u 18.2% hasta u 1.884%.

65 62 Difereciació E Itegració Numérica Ejercicios propuestos 1. E u circuito eléctrico co u voltaje impreso E(t) y ua iductacia L, la primera ley de Kirchhoff os da la siguiete relació L di + Ri = E(t) dt dode R es la resistecia del circuito e i es la corriete. Supogamos que medimos co varios valores de t y obteemos t i dode t se mide e segudos, i se da amperes, la iductacia L de heries y resistecia R es de ohms. Aproxime me el voltaje E(t) e los valores t =1.00, 1.01,1.02, 1.03 y Ecotrar ua aproximació al área bajo la curva de la siguiete fució usado el método de trapecios. Tomar 6 subitervalos iguales. f (x) = arcta 2 (x + π); x π + 2; si π x π si π < x 2π 3. La cocetració de salida de u reactor se mide e distitos mometos durate u período de tiempo de 12 horas: t c El caudal de salida e m 3 /s se puede calcular co la siguiete ecuació ecuació: [ π ] Q(t) = se 12 (t 10) Use la regla de Simpso 1/3 para determiar el promedio poderado (c) de cocetració de salida del reactor durate el período de 12 horas, dode: c = t 0 Q(t)c(t) dt t 0 Q(t) dt 4. E u día de trabajo, José aotó su velocidad cada 3 miutos. Los resultados se muestra e la siguiete tabla. Qué distacia recorrió e cada aotació? Tiempo (miutos) velocidad (mi/h) La regió limitada por la curvas y = x 3, y = 0, x = 0 y x = 2 se hace girar, e toro del eje x. Emplee la regla de Simpso, co = 10, y estime el volume del solido restate.

66 63 6. La regla mas itegració mas comú es la de puto medio. Sea y h co sus sigificados usuales, pero supoga que es par. Etoces b a f (x)dx M dode M = 2h[ f (x 1 ) + f (x 3 ) + f (x 5 ) + + f (x 1 )] (a) Sea T y P las aproximacioes trapezoidal y parabólica o Simpso correspodiete. la itegració de Simpso se puede expresar como P = 2 3 M T. Realice u programa e MATLAB que se vea represetado esta ueva formula de método de Simpso. (b) Utilice el item aterior co = 16 para estimar 3 1 x4 dx.

67 5 Ecuacioes Difereciales Ordiarias 5.1 Método de Euler Ua de las técicas más simples para aproximar solucioes de ua ecuació diferecial es el método de Euler, o de las rectas tagetes. La idea del método de Euler es muy secilla y está basada e el sigificado geométrico de la derivada de ua fució e u puto dado. y Tagete Error y +1 Secate y x x +1 x Costrucció de la fórmula del Método de Euler Supogamos que tuviéramos la curva solució de la ecuació diferecial y trazamos la recta tagete a la curva e el puto dado por la codició iicial. dy dx = f (x,y), y(0) = x 0 Observe e la figura, que la pediete de la recta secate está dada por pero x +1 = x + h, etoces y +1 y x +1 x, y +1 y = y +1 y x + h x h

68 65 es aproximadamete igual a la pediete de la recta tagete siempre y cuado h sea pequeño. De aquí obteemos que f (x,y ) = y +1 y h = y = y + f (x,y ) h obteemos así la coocida Fórmula de Euler: y +1 = y + f (x,y ) h Co lo cual podemos usar el puto (x 0,y 0 ) para costruir el siguiete puto (x 1,y 1 ) y así sucesivamete. De esta forma geeramos la sucesió de putos: (x 0,y 0 ),(x 1,y 1 ),,(x,y ) los cuales es de esperar que se ecuetre cercaos a los putos (x 0,y(x 0 )),(x 1,y(x 1 )),,(x,y(x )) Ejemplo 5.1 Dada la siguiete ecuació diferecial dy = 2xy co la codició iicial: y(0) = 1, dx 1. Resuélvala aalíticamete. 2. Utilice el Método de Euler e el itervalo de x = 0 a x = 1 co tamaño de paso h = Aproxime y(0.5). 4. Grafique y compare los resultados. 1. Solució Aalítica Primero observamos que esta ecuació sí puede resolverse aalíticamete (por métodos tradicioales de ecuacioes difereciales). Podemos aplicar el método de separació de variables: dy y = 2x dx = dy y = 2x dx = L y = x 2 +C

69 66 Ecuacioes Difereciales Ordiarias Ejemplo 5.1 (Cotiuació). Sustituyedo la codició iicial x = 0 y = 1 L 1 = 0 +C = C = 0 Por lo tato, teemos que la solució esta dada por: 2. Solució Numérica L y = x 2 = y = e x2 Aplicamos el método de Euler para los valores de x etre 0 y 1 co tamaño de paso h = 0.1 y codició iicial: x = 0 y = 1, que sigifica que (x 0,y 0 ) = (0,1) Ahora, x 1 = x 0 + h = = 0.1 y 1 = y 0 + f (x 0,y 0 ) h = 1 + 2(0)(1) (0.1) = 1, lo que sigifica (x 1,y 1 ) = (0.1,1) Aplicado uevamete la fórmula de Euler, teemos, e u segudo paso: x 2 = x 1 + h = = 0.2 y 2 = y 1 + f (x 1,y 1 ) h = 1 + 2(0.1)(1) (0.1) = 1.02,(x 2,y 2 ) = (0.2,1.02) Resumimos todos los resultados e la siguiete tabla: 3. Aproxime y(0.5) De la solució aalítica y(0.5) = e (0.5)2 = x i y i

70 67 Ejemplo 5.1 (Cotiuació). De la solució umérica y(0.5) = El error relativo porcetual que se cometió al aplicar la fórmula de Euler esta dado por: E r = % 4. Gráfica y comparació de resultados 3 y x Solució Numérica Solució Aalítica 5.2 Método de Ruge-Kutta de cuarto orde Los Ruge-Kutta o es solo u método sio ua importate familia de métodos iterativos tato implícitos como explícitios para aproximar las solucioes de ecuacioes difereciales ordiarias (E.D.O), estas técicas fuero desarrolladas alrededor de 1900 por los matemáticos alemaes Carl David Tolmé Ruge y Marti Wilhelm Kutta. El clásico método Ruge-Kutta de cuarto orde: U miembro de la familia de los métodos Ruge-Kutta es usado ta comúmete que a meudo es refereciado como RK4 o como el método Ruge-Kutta. Defiamos u problema de valor iicial como: dy dx = f (x,y), y(0) = x 0 Etoces el método RK4 para este problema esta dado por la siguiete ecuació:

71 68 Ecuacioes Difereciales Ordiarias y +1 = y + h 6 [k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ], de dode: k 1 = f (x,y ) k 2 = f (x + h 2,y + h 2 k 1) k 3 = f (x + h 2,y + h 2 k 2) k 4 = f (x + h,y + hk 3 ) Así, el siguiete valor y +1 es determiado por el presete valor y más el producto del tamaño del itervalo h por ua pediete estimada. La pediete es u promedio poderado de pedietes: k 1 es la pediete al pricipio del itervalo. k 2 es la pediete e el puto medio del itervalo, usado k 1 para determiar el valor de y e el puto x + 2 h usado el método de Euler. k 3 es otra vez la pediete del puto medio, pero ahora usado k 2 para determiar el valor de y k 4 es la pediete al fial del itervalo, co el valor de y determiado por k 3. Promediado las cuatro pedietes, se le asiga mayor peso a las pedietes e el puto medio: Pediete = k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 6 El método RK4 es u método de cuarto orde lo cual sigifica que el error por paso es del orde de h5, mietras que el error total acumulado tiee el orde h4. Ejemplo 5.2 Dada la siguiete ecuació diferecial dy = 2xy co la codició iicial: y(0) = 1, dx 1. Resuélvala aalíticamete. 2. Utilice el Método de Ruge-Kutta de cuarto orde e el itervalo de x = 0 a x = 1 co tamaño de paso h = Aproxime y(0.5). 4. Grafique y compare los resultados. 1. Solució Aalítica dy = 2xy = y = ex2 dx

72 69 Ejemplo 5.2 (Cotiuació). 2. Solució Numérica Aplicamos el método de Ruge-Kutta de cuarto orde etre 0 y 1 co tamaño de paso h = 0.1. Codició iicial: x = 0 y = 1, (x 0,y 0 ) = (0,1) x 1 = x 0 + h = = 0.1 Aplicamos las ecuacioes del método: Para f (x,y) = 2xy k 1 = f (x 0,y 0 ) = f (0,1) = 2(0)(1) = 0 k 2 = f k 3 = f ( x 0 + h 2,y 0 + h ) ( 2 k 1 = f ( x 0 + h 2,y 0 + h ) ( 2 k 2 = f ) 0.1,1 + 2 (0) = f (0.05,1) = 2(0.05)(1) = 0.1 ) , (0.1) = f (0.05, 1.005) = 2(0.05)(1.005) = k 4 = f (x 0 + h,y 0 + hk 3 ) = f ( ,1 + (0.1)(0.1005)) = f (0.1, ) = 2(0.05)( ) = Ahora sustituimos e la fórmula recursiva y +1 = y + h 6 [k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ]: y 1 = y 0 + h 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) = (0 + 2(0.1) + 2(0.1005) + ( )) = Resumimos todos los resultados e la siguiete tabla: x i k 1 k 2 k 3 k 4 y i y aalitica

73 70 Ecuacioes Difereciales Ordiarias Ejemplo 5.2 (Cotiuació). 3. Aproxime y(0.5) De la solució aalítica y(0.5) = e (0.5)2 = De la solució umérica y(0.5) = El error relativo porcetual que se cometió al aplicar la fórmula de RK4 esta dado por: E r = % 4. Gráfica y comparació de resultados 3 y x Solució Numérica Solució Aalítica

74 Ejercicios propuestos 1. Cosidere el problema de valor iicial y (t) = cos(2t) + se(3t), t [0,1], y(0) = 1. (a) Usado el método de Euler, aproximar y(0.4) co h = 0.1. (b) Usado el método de Ruge-Kutta de orde 4, aproximar y(0.4) co h = Cosidere el problema de valor iicial y (t) = te 3t 40y, t [1,2], y(1) = 10. (a) Usado el método de Euler, aproximar y(0.4) co h = 0.1. (b) Usado el método de Ruge-Kutta de orde 4, aproximar y(0.4) co h = Dada la siguiete ecuació diferecial dy dx = 4e0.8x 0.5y co la codició iicial: y(0) = 2, (a) Si aalíticamete se ecotró que y = e0.8x ce 0.5x es la solució geeral del sistema, ecuetre ua solució particular co las codicioes iiciales dadas. (b) Resuelva uméricamete para x [0, 4], co tamaño de paso 0.5, aplicado los métodos estudiados. (c) Aproxime y(2.5). (d) Grafique y compare los resultados uméricos co los aalíticos. 4. Dada la siguiete ecuació diferecial dy dt = yse3 t co la codició iicial: y(0) = 1, (a) Resuélvala aalíticamete. (b) Resuelva uméricamete aplicado los métodos estudiados e el itervalo de t = 0 a 1, co tamaño de paso 0.1. (c) Aproxime y(1.5). (d) Grafique y compare los resultados uméricos co los aalíticos. 5. Usar el método de Euler para resolver la siguiete ecuació diferecial dy dt = yse3 (t) e el itervalo [0,1] co h = 0.1 y codició iicial y(0) = Si se drea el agua desde u taque cilídrico vertical por medio de ua válvula e la base, el líquido fluirá rápido cuado el taque esté lleo y despacio coforme se dree. La tasa a la que el ivel del agua dismiuye es: dy dt = k y dode k es ua costate que depede de la forma del agujero y del área de la secció trasversal del taque. La profudidad del agua y se mide e metros y el tiempo t e miutos. Si k = 0.06, determie cuáto tiempo se requiere para vaciar el taque si el ivel de fluido se ecuetra e u iicio a 3 m. Utilice el método RK4 co u icremeto de 0.5 segs.

75 A Itroducció A Matlab El ombre MatLab es ua abreviatura de las palabras MATrix LABoratory. MatLab es u sistema iteractivo para cálculos cietíficos y de igeiería basado e las matrices. Co él se puede resolver complejos problemas uméricos si ecesidad de escribir u programa específico para ello, auque tambié es posible programar. Además, el programa Matlab dispoe de diferetes módulos (Toolboxes) que permite resolver problemas específicos. E Matlab, las órdees se itroduce escribiédolas ua a ua a cotiuació del prompt (>>) que aparece e la vetaa de comados (Commad Widow). Matlab es sesible a miúsculas y mayúsculas, es decir la variable A es diferete a la variable a. A.1 Geeralidades del etoro de Matlab Guardar, Recuperar y Salir de ua sesió de trabajo save: Almacea las variables e u archivo.mat. Por ejemplo: >> save prueba load: Carga variables y su coteido. Por ejemplo: >> load prueba delete: Elimia archivo. Por ejemplo: >> delete prueba.mat quit: Para termiar la sesió co Matlab. Directorio Actual de trabajo pwd: Muestra cual es el directorio actual. cd: Cambia la ruta del directorio actual. >> cd c:\matlab\work

76 73 dir: Lista el coteido del directorio actual. Elimiar Variables de sesió de trabajo Las fucioes que permite elimiar variables so: clear [var 1, var 2,..., var ]: Elimia las variables Idicadas. clear all: Elimia todas las variables de la sesió actual. Limpiar patalla Para limpiar la patalla se debe digitar e la liea de comados (>>) la fució clc. Ayudas Las fucioes que os sirve para solicitar ayuda a Matlab so: help Nombre_Fucio: Muestra e la Vetaa de Comados la ayuda asociada a Nombre_Fucio. helpwi Nombre_Fucio: Muestra e ua vetaa flotate la ayuda asociada a Nombre_Fucio. Variables e uso Las siguietes fucioes os permite u tratamieto especial co las variables de sesió: who: Nos idica que variables está e uso. whos: Nos idica lo mismo que who, pero además os iforma del tamaño y del tipo de variable. as: Es la variable que se utiliza e los resultados. E la operació siguiete se puede recuperar este resultado volviedo a escribir as. Esta variable se modificará e cuato haya u uevo resultado. A.2 Costates y operadores básicos a) Costates Costate Sigificado pi i La uidad imagiaria, 1. j Lo mismo que i. eps Precisió relativa de los úmeros e coma flotate, 2 52 = 2.204e 16. realmi Número e coma flotate más pequeño, realmax Número e coma flotate más grade, (2 eps) if Ifiito. Se produce al dividir u úmero distito de cero por cero. a "Not-A-Number". Se produce al evaluar expresioes como 0/0 ó if-if.

77 74 Itroducció A Matlab b) Operacioes etre escalares Operador Operació Ejemplo Resultado + Adició Sustracció * Multiplicació / Divisió 2/ ^ Poteciació 2ˆ3 8 c) Números complejos Fució Descripció Ejemplo Resultado abs(z) Devuelve el módulo de z, siedo z u úmero complejo z=3+4i; abs(z) 5 agle(z) Retora el águlo de fase e radiaes de u úmero complejo z z=1+i; agle(z) coj(z) Devuelve el cojugado de z z=3+4i; coj(z) i imag(z) Devuelve la parte imagiaria de z z=3+4i; imag(z) 4 real(z) Devuelve la parte real de z z=3+4i; real(z) 3 d) Operadores relacioales Operador Relacioal Sigificado < meor que > mayor que <= meor o igual >= mayor o igual == igual = distito e) Operadores lógicos Operador Sigificado & Y O NO f) Fucioes útiles vpa(expr,): Variable de precisió aritmética, permite calcular la expr co catidad de dígitos. sum(v): Suma los elemetos de u vector V. roots(): Calcula las raíces de u poliomio. legth(v): Calcula catidad de elemetos de u vector V. rats(x): Expresa e la forma racioal cualquier úmero decimal x. decov(): Calcula divisió de poliomios.

78 75 A.3 Fucioes elemetales Fució Nombre Ejemplo Resultado abs(x) Valor absoluto de x o Modulo de x, si x es úmero complejo a)abs(-1) b)abs(3+4i) a)1.7 b)5 acos(x) Arco coseo de x acos(1) e-17 acot(x) Arco cotagete de x acot(10) acoth(x) Arco cotagete hiperbólica de x acoth(5) acsc(x) Arco cosecate de x acsc(4) acsch(x) Arco cosecate hiperbólica de x acsch(0.2) asec(x) Arco secate de x asec(2) asech(x) Arco secate hiperbólica de x asech(0.5) asi(x) Arco seo de x asi(1) ata(x) Arco tagete de x ata(1) ata2(y,x) Arco tagete de y x ata2(0,-1) ceil(x) Redodeo hacia más ifiito de x a)ceil(-7.3) b)ceil(7.3) a)-7 b)8 cos(x) Coseo de x cos(0) 1 cosh(x) Coseo hiperbólico de x cosh(3) cot(x) Cotagete de x cot(3) coth(x) Cotagete hiperbólica de x coth(5) csc(x) Cosecate de x csc(10) csch(x) Cosecate hiperbólica de x csch(2) exp(x) Expoecial de x (e x ) exp(1) fix(x) Redodeo hacia cero de x a)fix(2.7) b)fix(-2.7) a)2 b)-2 floor(x) Redodeo hacia meos ifiito de x floor(-5.8) b)floor(5.8) a)-6 b)5 log(x) Logaritmo atural log(2.7183) log10(x) Logaritmo e base 10 log10(350) mod(x,y) Modulo(cociete etero de la divisió x y ) a)mod(7,3) b)mod(7,-3) a)1 b)-2 pow2(x) Potecia e base 2 de x pow2(4) 16 rem(x,y) Resto etero de la divisió de x y a)rem(7,3) b)a)rem(7,-3) a)1 b)1 roud(x) Redodeo hacia el etero más próximo de x a)roud(7.3) b)roud(7.7) a)7 b)8 sec(x) Secate de x sec(5) sech(x) Secate hiperbólica de x sech(1) sig(x) Fució sigo de x a)sig(-7) b)sig(7) a)-1 b)1 si(x) Seo de x si(pi/6) sih(x) Seo hiperbólico de x sih(3) sqrt(x) Raíz cuadrada de x sqrt(2) ta(x) Tagete de x ta(pi/4) tah(x) Tagete hiperbólico de x tah(3)

79 76 Itroducció A Matlab A.4 Matrices y vectores a) Matrices 1. Crear Ua Matriz Matlab cocibe ua matriz como u arreglo de filas co m columas. Ejemplo A.1 Escriba e matlab la matriz [ M = ] Se escribiría así: >> M=[42,44,70; 50,51,5] Tambié puede ser escrita de la siguiete forma: >> M=[ ; ] El el símbolo ";" idica que fializa la fila y se da la etrada para ua ueva, como se aprecia e los ejemplos e la última columa o es ecesario digitarlo. Se puede observar además, que e lugar de escribir comas para separar los elemetos de ua fila, basta dejar u espacio etre ellos. 2. Modificar Elemetos de Ua Matriz Para Modificar u elemeto de ua matriz basta escribir la posició absoluta del elemeto al que se quiere acceder.

80 77 Ejemplo A.2 Modifique el elemeto de la posició (2,3) de la matriz M ateriormete creada por la catidad 10. Esto se haría mediate la orde: >> M(2,3)=10 3. Agregar ó Elimiar Filas ó Columas de Ua Matriz Para agregar ua fila a ua matriz se debe escribir e el siguiete formato: MatrizActual = [MatrizActual; NuevaFila] ó MatrizActual = [NuevaFila; MatrizActual] Ejemplo A.3 Añadir la fila [1 5 9] al fial de la matriz M, creada al comiezo de la secció de matrices. La orde sería: >> M=[M;[1 5 9]] Hay que otar que es obligatorio el símbolo ";". Para agregar ua columa a ua matriz se debe escribir e el siguiete formato: MatrizActual = [MatrizActual NuevaColuma] ó MatrizActual = [NuevaColuma MatrizActual] Ejemplo A.4 Añadir la columa [1; 5] a la matriz M, creada al comiezo de la secció de matrices. Se debe escribir la siguiete orde: >> M=[[1; 5] M] Hay que otar que es obligatorio dejar u espacio etre la columa ueva y la matriz actual.

81 78 Itroducció A Matlab Para elimiar ua fila de ua matriz se debe escribir e el siguiete formato: MatrizActual(NúmeroDeFila,:)=[] Ejemplo A.5 Elimiar la seguda fila de la matriz M, creada al comiezo de la secció de matrices. Se debe escribir la siguiete orde: >> M(2,:)=[] Para elimiar ua columa de ua matriz se debe escribir e el siguiete formato: MatrizActual(:,NúmeroDeColuma)=[] Ejemplo A.6 Elimiar la tercera columa de la matriz M, creada al comiezo de la secció de matrices. Se debe escribir la siguiete orde: >> M(:,3)=[] b) Vectores Matlab defie los vectores como matrices, e el caso de u vector fila lo defie como ua matriz de 1 fila por columas, e el caso de ser vector columa, lo defie como ua matriz de filas por ua columa. 1. Creació de Vectores Para crear u vector solo es ecesario escribir cada compoete detro de corchetes separados por comas o espacios e el caso de ser u vector fila, y ";" e el caso de ser u vector columa.

82 79 Ejemplo A.7 Escribir el vector V = 3i 2 j + 4k y el vector W = Se escribiría así: >> V=[3-2 4] >> W=[4; 5; 6] Para crear vectores que coserve la distacia de u elemeto a otro, como por ejemplo, V=[ ], se hace mediate la sitaxis: VectorNuevo=Iicio:Icremeto:fial otra forma de hacer lo mismo es co la fució lispace, cuya sitaxis es: lispace(iicio,fial,catidad etera putos) Ejemplo A.8 Use ua orde e Matlab que permita costruir el vector V=[ ] automáticamete. Se escribiría así: >> V=0:0.1:0.5 Tambié se puede escribir: >> V=lispace(0,0.5,6) 2. Producto de u Vector por u Escalar Ejemplo A.9 Calcule w = 4v 9u, si u = 3i + 5 j y v = 6i 2 j. Se escribiría así: >> u=[3 5]; v=[6-2]; w=4*v-9*u

83 80 Itroducció A Matlab 3. Producto Puto Para calcular el producto puto etre dos vectores basta co usar la fució dot(v 1,V 2 ), dode V 1 y V 2 so vectores de la misma catidad de compoetes. Ejemplo A.10 Calcule el producto puto etre los vectores V = 3i + 4 j + 5k y W = 2i + 9 j 3k. Se escribiría: >> V=[3 4 5]; W=[-2 9-3]; dot(v,w) 4. Producto Cruz Para calcular el producto cruz etre dos vectores basta co usar la fució cross(v 1,V 2 ), dode V 1 y V 2 so vectores de la misma catidad de compoetes. Ejemplo A.11 Calcule el producto cruz etre los vectores V = 3i + 4 j + 5k y W = 2i + 9 j 3k. Se escribiría así: >> V=[3 4 5]; W=[-2 9-3]; cross(v,w) c) Operacioes básicas etre matrices y etre vectores Operador Operació Ejemplo Resultado + Adició [2 3] + [2 4] [4 7] - Sustracció [2 3] [2 4] [0 1] [ ] * Multiplicació [1 3 4; 4 2 5] [4 3; 2 7; 8 5] * Multiplicació térmio a térmio [2 3]. [2 4] [4 12]./ Divisió térmio a térmio [2 3]./[2 4] [ ].^ Poteciació térmio a térmio [2 3].ˆ2 [4 9]

84 81 A.5 Gráfica de fucioes e 2D a) E coordeadas rectagulares o cartesiaas Gráfica de Ua Fució Simple Para hacer gráficas de fucioes de ua variable co MatLab, podemos hacer uso de las fucioes plot(), fplot() y ezplot(). Ejemplo A.12 Dibujar la gráfica de la fució y = se(x) para x [0,2π]. Para dar solució al problema teemos: 1. Primera Opció: Usado la fució plot(v x,v y ). Primero creamos ua tabla de valores para x: >> x=0:pi/100:2*pi; Co este comado hemos formado ua tabla (el vector x) co 200 valores etre 0 y 2π. Otra forma de coseguir el mismo resultado sería utilizar el comado: Ahora calculamos los valores de y: >> x=lispace(0,2*pi,200); >> y=si(x); Por último la dibujamos mediate la fució plot(v x,v y ): Co lo que se obtiee: >> plot(x,y), grid o

85 82 Itroducció A Matlab Ejemplo A.12 (Cotiuació). 2. Seguda Opció: Usado la fució fplot( Fució,Limites,[especificadores de liea]). Solo basta co escribir: >> fplot( si(x),[0,2*pi]), grid o Co lo que se obtiee la misma gráfica aterior. 3. Tercera Opció: Usado la fució ezplot( Fució,Limites,[especificadores de liea]). Solo basta co escribir: >> ezplot( si(x),[0,2*pi]), grid o Co lo que se obtiee gráfica: si(x) x Gráfica de Varias Fucioes e u Mismo Plao Se puede cosiderar dos opcioes: Primera Opció: Usar La Fució plot(). La fució se puede usar mediate la sitaxis: plot(x 1,y 1,x 2,y 2,,x,y ), dode cada par x i y y i so los vectores que represeta ua fució.

86 83 Ejemplo A.13 Graficar las fucioes y = se(x) y y = se(x + π 3 ) e u mismo plao. >> x=lispace(0,2*pi,300); >> y=si(x); >> z=si(x+pi/3); >> plot(x,y, r-,x,z, b- ),grid o Seguda Opció: Usar la Fució hold. La fució hold permite bloquear (o) o desbloquear (off) la figura actual para que se pueda graficar mas de ua fució. Ejemplo A.14 Graficar las fucioes y = se(x) y y = se(x + π 3 ) e u mismo plao. >> fplot( si(x),[0,2*pi], r ), grid o, hold o >> fplot( si(x+pi/3),[0,2*pi], b ) Co ambas opcioes la gráfica resultate es: Gráfica de ua Fució Defiida a Trozos Para dibujar gráficas de fucioes defiidas a trozos, ecesitamos utilizar lo que vamos a deomiar ídices o variables lógicas. Para crear estas variables lógicas se puede utilizar operadores relacioales vistos e la primera secció.

87 84 Itroducció A Matlab Ejemplo A.15 Graficar la fució Se debería escribir: f (x) = x 2 si x < 0 1 si 0 x < 1 x + 2 si x 1 Co lo que se obtiee: >> x=lispace(-2,3,3000); >> y=(x.^2).*(x<0)+1.*((0<=x)&(x<1))+(-x+2).*(1<=x); >> plot(x,y),grid o,title( Fució defiida a trozos ) 4 Fució defiida a trozos b) E coordeadas polares Ua curva e coordeadas polares es la image de la fució r = h(θ), θ [θ 1,θ 2 ] U puto de la curva e polares (r 0,θ 0 ) tiee distacia al orige r 0 y el águlo que forma el vector de posició del puto co el eje horizotal, medido e setido positivo, es θ. Por lo tato, la relació etre las coordeadas polares y las coordeadas paramétricas es { x = r cos(θ) y = r se(θ) Para dibujar ua curva e polares co MatLab se utiliza la fució polar().

88 85 Ejemplo A.16 Gráficar de r = 2 4cos(θ), π θ π. Se debería escribir: >> tetha=lispace(-pi,pi,100); >> r=2-4*cos(tetha); >> polar(tetha,r) c) Formatear gráficas 1. Título de Gráfica. Se usa la fució title(). Por ejemplo: >> title( Gráfica de la fució f(x)=se(x) ) Esta fució tambié soporta el formato Latex, por ejemplo: >> title( Grafica de $\frac{se(x)}{x^2+2}$..., iterpreter, latex, fotsize,10); 2. Etiquetar el Eje X y el Eje Y. Se usa las fucioes xlabel() y ylabel(). Por ejemplo: >> xlabel( x e años ) >> xlabel( y e milloes de pesos ) 3. Agregar ua leyeda e cualquier parte de la gráfica. Se usa la fució gtext(). Cuado se ejecuta la fució, el putero del mouse se ubica detro de la gráfica esperado a que se le haga click para isertar el texto escrito. Por ejemplo: >> gtext( f(x)=seo(2x) ) Esta fució tambié soporta el formato Latex, por ejemplo: >> gtext( Grafica de $\frac{se(x)}{x^2+2}$..., iterpreter, latex, fotsize,18);

89 86 Itroducció A Matlab A.6 Gráfica de fucioes e 3D Para realizar ua gráfica e 3D cotamos co las fucioes plot3(), mesh() y surf(). Ejemplo A.17 Realice la gráfica de f (x,y) = se(x 2 + y 2 ) para todas las parejas (x,y) R, e dode R = {(x,y) R 2 3 x 3 3 y 3}. E primer lugar se debe crear el rectágulo sobre el cual se quiere graficar la fució. Estos valores será almaceados e dos vectores, e uestro ejemplo será almaceados e x y y. Para lograr lo que queremos usamos la fució meshgrid(). >> [x,y]=meshgrid(-3:0.1:3,-3:0.1:3); Luego, calculamos los valores del rago de la fució y los almaceamos e ua tercera variable (z). >> z=si(x.^2+y.^2); Por último, para realizar la gráfica usamos ua de las tres fucioes mecioadas. 1. Usado plot3(): Resulta: >> plot3(x,y,z) Usado mesh(): >> mesh(x,y,z) Resulta:

90 87 Ejemplo A.17 (Cotiuació). 3. Usado surf(): Resulta: >> surf(x,y,z) A.7 Cálculo simbólico Siempre que se ecesite trabajar co objetos o variables simbólicos, es ecesario usar la fució syms para declararlos de atemao. Hay que otar que basta co declararlos solo ua vez durate toda la sesió de trabajo. Se recomieda ecarecidamete! que al trabajar co expresioes algebraicas, por favor! o olvide los operadores básicos, por ejemplo, si desea calcular (4x 5y) (256x 4y), NO estaría bie escrito e Matlab lo siguiete: La escritura correcta sería: >> (4x-5y)*(256x-4y) >> (4*x-5*y)*(256*x-4*y) Es decir, los coeficietes va seguido del operador multiplicació (*). a) Expresioes algebraicas Fucioes Útiles Sobre Expresió Algebraicas Matlab cueta co u cojuto fucioes que os facilita el tratamieto de expresioes algebraicas, etre ellas ecotramos: collect(): Reúe los térmios iguales. expad(): Expade los productos e sumas.

91 88 Itroducció A Matlab factor(): Factoriza la expresió (a veces) si el argumeto es ua fució simbólica. Si se trata de u úmero proporcioa la factorizació e úmeros primos. simplify(): Simplifica ua expresió mediate la aplicació de diversas idetidades algebraicas. simple(): Utiliza diferetes herramietas de simplificació y seleccioa la forma que tiee el meor úmero de caracteres. pretty(): Visualiza la expresió de ua maera similar a la utilizada e la escritura habitual. Ejemplo A.18 Sea A = 2x + 3x 2 y y B = 3x 2 y 4 5x + 4y + 4. Calcule: 1. C = A + B 2. C = A B 3. C = A 2 B 3 4. C = A B Se podría escribir: >> syms x y >> A=2*x+3*x^2*y >> B=3*x^2*y^4-5*x+4*y+4 >> C=expad(A+B) >> C=expad(A-B) >> C=expad(A^2-B^3) >> C=expad(A*B) Evaluar Ua expresió Simbólica Para evaluar solo se ecesita usar la fució subs(). Ejemplo A.19 Costruya la expresió simbólica y = se(x) + 3 x + x+1 8 y sustituirla cuado x = 3. Se debería escribir: >> syms x >> y=si(x)+3^x+8/(x+1) >> subs(y,x,3) Otra opció altera es usado la fució ilie(), es decir, >> y=ilie( si(x)+3^x+8/(x+1) ) >> y(3)

92 89 b) Solució de ecuacioes poliomicas y sistemas de ecuacioes lieales La fució que os permite resolver tato Ecuacioes Poliomicas como Sistemas de Ecuacioes Lieales es la fució solve(). Veamos su uso mediate los siguietes ejemplos. Ejemplo A.20 Determie las raíces de la ecuació 4x 5 7x 2 2x 5 = 0. Se podría escribir así: o tambié así: >> solve(4*x^5-7*x^2-2*x-5) >> solve( 4*x^5-7*x^2-2*x-5=0 ) Ejemplo A.21 Resolver el sistema de ecuacioes lieales: x + 4y z = 6 2x + 2y 14z = 36 x + 8y + 4z = 29 Se podría escribir así: >> [x,y,z]=solve( x+4*y-z=6, 2*x+2*y-14*z=-36, x+8*y+4*z=29 ) Otra forma altera de resolver el sistema sería mediate la fució lisolve(). Para usarla se debe escribir el sistema e su forma matricial, es decir, A X = B, e dode A represeta la matriz de coeficietes del sistema, B represeta el vector de resultados y X represeta el vector de icógitas. Resolvamos el sistema aterior usado la fució lisolve(): >> A=[1 4-1; ; 1 8 4] >> B=[6; -36; 29] >> X=lisolve(A,B)

93 90 Itroducció A Matlab c) Cálculo de límites La fució idicada para calcular todo tipo de límite e Matlab es limit(). Véase el siguiete ejemplo. Ejemplo A.22 Calcule los siguietes límites: 1. lim x 0 se(x) x 2. lim x 0 + l(x) 3. lim x 2 x 2 4 x 2 4. lim x + e x 5. lim x 1 x Se podría escribir así: >> syms x >> limit(si(x)/x,x,0) >> limit(log(x)/x,x,0, right ) >> limit((x^2-4)/(x-2),x,2, left ) >> limit(exp(-x),x,if) >> limit(1/x,x,-if) d) Cálculo de derivadas La fució idicada para calcular derivadas e Matlab es diff(). Véase el siguiete ejemplo. Ejemplo A.23 Sea f (x) = cos(4x 2 + 5). Calcule: a) f (x) b) f (3) (x) E Matlab se podría escribir así: >> syms x >> diff(si(4*x.^2+5)) >> diff(si(4*x.^2+5),3) d) Cálculo de itegrales La fució idicada para calcular itegrales e Matlab es it().

94 91 Véase el siguiete ejemplo. Ejemplo A.24 Calcule las siguietes itegrales: 1. cos(x) dx 2. Se podría escribir así: 2 1 e x x dx e x dx sec 3 x dx >> syms x >> it(cos(x)) >> eval(it(exp(sqrt(x))/sqrt(x),x,1,2)) >> eval(it(exp(-x),x,0,if)) >> eval(it((sec(x))^3,x,0,1)) A.8 Programació e Matlab Esta es ua itroducció a la programació de scripts y fucioes e Matlab. El primer iterrogate que puede surgir es qué es u script?. Este térmio iglés sigifica: escrito, guió, ota; el térmio guió es el que más se utiliza e las traduccioes al español. Recordemos que e Matlab trabajamos sobre el Workspace que es la vetaa iicial dode igresamos comados y los ejecutamos directamete. Frecuetemete ua serie de comados debe ser ejecutada varias veces durate ua misma sesió, para evitaros el trabajo de igresarlos cotiuamete existe los scripts. El Editor de Fucioes y Scripts Las fucioes y scripts o so más que archivos de texto ASCII, co la extesió *.m, que cotiee defiició de fucioes o cojutos de comados respectivamete. El editor permite tato crear y modificar estos archivos, como ejecutarlos paso a paso para ver si cotiee errores (proceso de Debug o depuració, elimiar errores al programa). Tambié Matlab permite que utilicemos cualquier editor (edit de DOS, Word, Notepad, etc.), ya que los archivos so sólo de texto. El siguiete gráfico muestra la vetaa pricipal del Editor/Debugger.

95 92 Itroducció A Matlab Por último cotestamos a las siguietes pregutas: Cómo accedemos al editor? Desde el Workspace:» edit. Desde la barra de Meú: File -> New -> M-file. Cómo se ejecuta u script? Secillamete se debe itroducir su ombre e la líea de comados o mediate el editor. Cómo se ejecuta ua fució? De igual maera que u script pero sus argumetos debe pasarse etre parétesis y separados por coma. Ejemplo: mi_fucio(arg1, arg2,..., arg) Cómo se programa e Matlab? La respuesta a esta preguta o es secilla, la respoderemos e varios pasos. Sepamos alguas cosas respecto a las variables y setecias fudametales que podemos usar e uestros programas.