{ 3 SERIE DE CÁLCULO DIFERENCIAL PROFESOR: PEDRO RAMÍREZ MANNY TEMA 1. Para las siguientes relaciones trazar su gráfica: 10) ( ) 2) ( ) 3) ( ) 4) ( )

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1 SERIE DE CÁLCULO DIFERENCIAL PROFESOR: PEDRO RAMÍREZ MANNY TEMA Para las siguietes relacioes trazar su gráfica: ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) {,, } {,, } {,, } {,, 9 } R y > R y y R y y + R y + y {,, } 5) R ( y) ( ) ( y ) + 6) ( ) 7) ( ) {,, } {,, } R y y R y + y y R, y, 9 R, y, y +, y 8) ( ) { } {,,, } 9) ( ) 0) ( ) R y y y SOLUCIONES ) ) )

2 ) 5) 6) 7) 8) 9) 0) ) Si ( ) f 5 + 0, determiar que: a) f ( ) f ( 5) f a+ a a a+ b) ( ) ) Sea f ( ), demostrar que ( + ) ( ) f h f h h ( + )

3 ) Siedo f ( ) a, hacer ver que f ( c) f ( d) f ( c d) +. ) Escribir e el parétesis de la derecha ua V si la aseveració correspodiete es verdadera o ua F si es falsa: a) Las fucioes iyectivas siempre so biyectivas..( ) b) Las fucioes biyectivas siempre so iyectivas..( ) c) Las fucioes suprayectivas siempre so biyectivas.( ) d) La fució f ( ) e) La fució ( ) + es iyectiva....( ) f es biyectiva ( ) f) La fució f ( ) + es suprayectiva......( ) g) La fució f ( ) es suprayectiva....( ) h) La fució f ( ) es iyectiva......( ) SOLUCIONES: a) F b) V c) F d) F e) V f) V g) F h) V 5) De las relacioes represetadas por diagramas de Ve, idicar cuáles so fucioes, y de estás cuáles so iyectivas, suprayectivas y biyectivas. a) b)

4 c) d) SOLUCIONES: a) Es fució, o es iyectiva, i suprayectiva, o es biyectiva. b) Es fució, es iyectiva pero o es suprayectiva, o es biyectiva. c) No es fució d) Es fució, es suprayectiva pero o es iyectiva, o es biyectiva. 6) Determie el domiio de la fució f ( ) Solució: D { R, < } { R, > } ) Obtega el domiio de la fució f ( ) Solució: D { R, ± } ) Determie el domiio de la fució f ( ) Solució: D { R, 0,} + 5 9) Sea las fucioes epresadas por

5 si < 0 f ( ) + si 0 si < < 5 g( ) y h( ) Determiar el domiio y la regla de correspodecia de: a) f + g b) h g. Solució: a) ( f + g)( ) + D + (,5) ( ) b) h g( ) 0) Se sabe que ( )( ) f g D h g (, ) (, ) g f dode g( ) etoces: a) Obteer la regla de correspodecia de la fució f. b) Determiar el domiio de la fució g f c) Trazar su gráfica. Solució: a) f ( ) ( ) + b) D g f { R } c) 5 ) Determie la fució iversa para la siguiete fució f,,,,5,6,6,7 {( ) ( ) ( ) ( )} Solució: f,,,, 6,5, 7,6 {( ) ( )( )( )}

6 ) Ivestigue si la fució f ( ) +. Solució: Si so iversas. fució iversa f ( ), tiee como 6 ) Diga si la siguiete fució f ( ) + cuya gráfica es: posee iversa. Solució: No tiee iversa. ) E los siguietes ejercicios, decir si la afirmació es verdadera. Si o lo es, dar u ejemplo que poga de relieve su falsedad. a) Si f es par, eiste f f. Solució: Falso: tomar ( ) b) Si f ( ), co impar, eiste f. Solució: Verdadero a) No eiste igua fució f tal que f Solució: Falso: tomar f ( ). f.

7 5) Determiar si la fució f es iyectiva. Si lo es, obteer la regla de correspodecia de su fució iversa y trazar la gráfica de ambas fucioes. si f ( ) si 8 si > Solució: si < f ( ) si 6 si > f g ( g f ) así como su domiio. Solució: D g f R g( f ( ) ) + 6) Dadas las fucioes ( ) y ( ) +. Determiar 7) Determiar el valor de k de tal maera que la regla de correspodecia de la fució f sea la misma que la de su + fució iversa f ( ). k Solució: k

8 8) Para la fució cuya regla de correspodecia es f ( ) determiar si es iyectiva, si lo es obteer su fució iversa, así como el domiio y el recorrido de esta. Trazar la gráfica de ambas fucioes. Solució: f ( ) ( ) ; D (,] R ( ], f f 8 9) Idetifique el tipo de fució que se tiee e 7 6 a) f ( ) b) f ( ) + + c) f ( ) ; + d) f ( ) l e) f ( ) e f) f ( ) agse Solució: a) fució poliomial de séptimo grado b) fució racioal c) fució racioal d),e),f) so trascedetes. 0) La fució f ( ) es par o impar. Solució: es par. 5 7 ) La fució f ( ) + + es par o impar. Solució: es impar

9 ) La fució f ( ) se es par o impar. Solució: es par 9 π ) Trazar la gráfica de f ( ) se + Solució:. ) Obteer la forma cartesiaa de la regla de correspodecia de cosθ la fució epresada e forma paramétrica por: y se θ + Solució: y 5) U triágulo isósceles de dimesioes variables está iscrito e ua circuferecia de diámetro m, formular ua fució para determiar el área del triágulo e térmios de su altura. Solució: y ( ) 6) U coteedor de desechos tiee ua secció trasversal e forma de trapecio. Formular ua fució que permita calcular el área de dicha secció e fució del lado.

10 0 Solució: A( ) ( + ) 6 ( ) 7) U taque de lámia de hierro e forma cilídrica cerrado e sus etremos por semiesferas, de dimesioes variables r y h, como se ve e la figura, debe costruirse co m de lámia. Formular ua fució que determie la capacidad del taque e térmios de r. Solució: V r r π. 8) E ua esfera de radio costate R está iscrito u cilidro de dimesioes variables. Formular ua fució que sirva para calcular el volume del cilidro e térmios del radio de su base r. Solució: V π r R r.

11 9) U coo de dimesioes variables r y h está iscrito e otro coo de dimesioes costates R y H como se ve e la figura. Formular ua fució e la que la variable depediete sea el volume del coo iscrito y la variable idepediete su altura h. π R V H h h H Solució: ( )

12 TEMA 0) Utilice la defiició de límite para demostrar que lím 5 ( ) Solució: δ ε, ε > 0 ) Demuestre que lím 8 Solució: δ ε, ε > 0 8 Calcular los siguietes límites. ) ) ) 5) 6) 7) 8) 9) 50) lím + 5 Solució:8 9 Solució: 5 lím lím Solució: 5 lím 5 5 lím lím + lím lím lím Solució: 5 Solució: Solució: Solució: Solució: 5 Solució: 5 7

13 5) 5) 5) 5) 55) 56) 57) 58) 59) 60) 6) 6) 6) 6) + 5 lím + lím 0 lím + lím 9+ lím + + lím lím lím lím lím lím lím + 7 lím 6 + se( π ) lím 0 Solució: Solució: Solució: Solució: 5 7 Solució: Solució: 7 Solució: Solució: 6 5 Solució: Solució: Solució: 0 Solució: No eiste Solució: 0 Solució: π

14 65) 66) 67) 68) 69) 70) 7) ta lím 0 set lím t 0 cost se5 lím 0 ta cos( a+ ) cos a lím 0 lím 0 cos se( π ) lím 9 lím ag ta + ( ) Solució: Solució: No eiste Solució: 5 Solució: sea Solució: 0 Solució: π Solució: 6 9 f, Cómo debe defiirse f e para hacer que sea cotiua allí. 9, Solució: f ( ) 6, 7) Sea ( ) discotiuidad para dicha fució. Solució: Dos putos e y. 7) Sea f ( ). Ivestigar si eiste algú puto de

15 7) De la fució ( ) si < f + si 5 determiar e cuál o 0 si > 5 cuales de los siguietes itervalos es cotiua. a) ( 0, ) b) [ 0, ] c) (,5 ) d) [ 5,8 ) Solució: a) y c). 75) Mediate el cálculo de los límites e el ifiito y los límites + ifiitos determiar para la fució f ( ) a) Las asítotas verticales de su gráfica. b) Las asítotas horizotales de su gráfica. Bosquejar su gráfica. Solució: 5 76) Para la fució f ( ) +, obteer por medio del + cálculo de los límites e el ifiito y los límites ifiitos, las asítotas verticales y horizotales de su gráfica. Trazar su gráfica. Solució:

16 6 77) Sea la fució + 5 si < 0 f C + si 0 < ( ) ( ) ( ) D si < Calcular el valor de C y el valor de D tal que la haga cotiua. Solució: C D ) Dada la fució + b si f ( ) 9 ( ) si < c ( ) + si > c Determiar los valores de b y c que hace que sea cotiua e R. Solució: b, c

17 TEMA 7 79) Derive por el método de los cuatro pasos a) f ( ) + b) f ( ) + Solució: a) f '( ) + b) f '( ) + Obteer la derivada de cada ua de las siguietes fucioes 80) f ( ) ( 8+ 5)( ) Solució: ( ) 8) f ( ) 8) f ( ) f ' Solució: f '( ) + Solució: f '( ) 8 5 ( ) ( ) 5 ( + ) 6 8) f ( ) + Solució: f '( ) 8) f ( ) 85) f ( ) 86) Solució: Solució: f '( ) 9 ( 9 ) 8 + Solució: f '( ) a + b y a cost, b cost, c cost a + b + c y ' ac b ( ) a + b + c. ( )

18 87) Verificar el teorema de la fució iversa TFI co la fució f ( ) e el puto 0. Solució: ( f )'( ) f ' () 8 88) Sea ( ) 7 f + +. Calcular la derivada de la fució iversa f e y 6. Solució: ( )'6 ( ) f. 6 Obteer la derivada de cada ua de las siguietes fucioes. 89) y se( a) Solució: y ' acos( a) 90) y 5cos Solució: y ' 5se 9) y ta sec ( ) Solució: y ' ta y asec b y ' absec b ta b 9) ( ) Solució: ( ) ( ) 9) f ( θ ) cscθ Solució: ( ) ( ) 9) ( ) f cos Solució: '( ) cos seθ θ Solució: f ' θ cot θ cscθ f se θ cosθ seθ f ' θ θ cot ( ) y ' csc 95) f ( θ ) Solució: ( ) 96) y cot ( ) ( ) 97) Dada la fució y + agse valor para 0. Solució: y', y'. 0 + obteer dy d y su

19 98) Para la fució f ( ) determie si tiee derivada e. Solució: No tiee derivada. 9 99) Obteer dy d de y + y + y 5 Solució: y ' y + y + y + y+ 00) Sea se ( y) cos( y ) d dy y se( y ) se ( + y) cos( + y) Solució: d se ( + y) cos( + y) y se( y ) + +, obtega dy agtat 0) De la epresió y + t dy Solució: d t + t ( ) obteer dy d. 0) Calcular Solució: dy d dy d π y π y para la fució: f t t + : y ag tat

20 t+ 0) Dada la fució e forma paramétrica obteer la y t + ecuació de la o las rectas tagetes a su gráfica que sea paralelas a la recta y +. Solució: y ) Para y y + 0 obteer y ''. y Solució: y ''. d y ( ) 05) Calcular para la fució defiida por: d ag sec t; y t + t +. d y 6t + t t Solució:. d t+ t ( ) + 06) Para la curva defiida por y obteer la ecuació de la recta tagete a la curva e el puto para el cual. Solució: + y ) Calcular los valores de a, b y c tales que las curvas cuyas ecuacioes so y + a+ b y y c, tega la misma recta tagete e el puto (, ). Solució: a 8, b 8, c. 08) Calcular el águlo de itersecció de las curvas y. 0,0, 0,, φ 88' Solució: e ( ) φ ; e ( ) y y

21 09) Determiar la curvatura y el radio de la curvatura de la curva y e el puto 5 5 Solució: κ ; r ) Se laza ua piedra a u estaque de aguas traquilas y se geera ua serie de odas circulares cocétricas. El radio de la primera oda aumeta a razó de 0.5 cetímetros cada segudo. A qué velocidad está cambiado el área del círculo que ecierra esta oda cuado el radio del círculo es r metro? da cm Solució: 00π dt s ) Ua escalera de 7 metros de logitud está recargada sobre ua pared. E su etremo superior se ecuetra u hombre haciedo uos arreglos. Esta persoa o sabía que el piso sobre el cual estaba apoyada la escalera era resbaladizo y e u mometo dado el etremo iferior de la escalera comieza a resbalar, alejádose de la pared a ua velocidad costate de metros cada miuto. A qué velocidad irá cayedo el hombre cuado éste se ecuetre a u metro del piso? dy m Solució: 8 dt mi ) U hombre que mide.70 metros está parado debajo de u farol que está colgado a metros del piso. Esta persoa comieza a camiar alejádose del farol a ua velocidad de 0. m s. Calcular la velocidad a que crece la sombra del hombre proyectada sobre el piso. dy m Solució: 0.5 dt s

22 ) U puto se mueve sobre la parábola y de tal modo que su abscisa aumeta a ua velocidad costate de cm s. Calcular la velocidad a la que varía la ordeada de este puto cuado pasa por (, ). dy cm Solució:. dt s ) U puto se mueve sobre la hipérbola y de tal modo que su abscisa aumeta a ua velocidad costate de cm s. Calcular la velocidad a la que varía la ordeada de este puto cuado pasa por (, ). dy cm Solució: dt s 5) U puto comieza a moverse, e t 0, partiedo del orige y l +, de tal modo que su de coordeadas, por la curva ( ) ordeada crece a ua velocidad costate de cm s. Determiar el mometo e que su abscisa está creciedo a ua velocidad de 5 cm s. Solució: t l5 segudos. 6) Se iyecta gas a u globo esférico a razó de m h.calcular la rapidez a la que está aumetado el radio del globo después de horas de haber comezado a iflarlo. dr m Solució: 0.. dt h

23 7) E u recipiete, e forma de coo circular recto (ivertido), co radio de base R 0cm y altura H 50cm, se vierte agua a razó de dos litros cada miuto. Si e t 0 el recipiete estaba vacío, calcular la velocidad a la que está aumetado el ivel del agua e el recipiete, después de 5 miutos de haber comezado a llearse. Solució: El ivel del líquido está subiedo a ua rapidez de.988 cetímetros cada miuto 5 miutos después de que comezó el lleado. 8) Obtega la diferecial de la fució a) f ( ) ta Solució: dy ( sec + ta) d + b) f ( ) Solució: dy d + + ( ) 9) Cosidere las fucioes y u y u + +. Obtega la diferecial dy e térmios de y de d. Solució: 6( ) ( ) dy d., calcular la diferecial de segudo orde 0) Sea y cos( ) Solució: cos( ) ( ) d y se d ) Cosidere ua pieza metálica e forma de cuadrado de lado a m. Cuado esta pieza se epoe a los rayos solares, sus lados aumeta cm. Calcule aproimadamete (usado difereciales) e cuáto aumeta el área del cuadrado. Solució: da 0.6m..

24 ) Cuado u globo e forma esférica de radio r 0cm se epoe a los rayos solares, el radio del globo aumeta a razó de 0.cm cada hora. Use difereciales para calcular aproimadamete e cuáto ha aumetado el volume del globo después de horas de estar epuesto a la radiació solar. Solució: dv 9cm.

25 TEMA 5 + tiee máimo ) Determie si la fució f ( ) absoluto y míimo absoluto e el itervalo [, ], utilizado el teorema de Weierstrass. Solució: Má. Abs. : f ( ) Mí. abs. : ( ) f 0. ) Determiar si la fució f ( ) + + satisface el teorema de Rolle e el itervalo [,]. E caso afirmativo obteer el o los valores de que verifica el teorema. Solució: 0 56) Determiar si la fució f satisface el teorema del Valor Medio del Cálculo Diferecial e el itervalo idicado, se es así, calcular el o los valores dode se cumple, si o es así, eplicar porqué o es aplicable. f ( ) + + e [, ] 7 Solució: c. f 5 satisface el teorema del Valor Medio del Cálculo Diferecial e el itervalo [, ]. E caso afirmativo obteer el o los valores dode se cumple. Solució: c. 57) Determiar si la fució ( ) 58) Determiar si las fucioes f ( ) y g( ) el teorema de Cauchy e el itervalo [, ]. E caso afirmativo obteer el o los valores de que verifica el teorema. Solució: 6 satisface

26 6 f es creciete o 59) Hallar los itervalos e los que ( ) decreciete. Solució: I f '( ) f ( ) < 0 + Creciete 0< < Decreciete > + Creciete 60) Ecuetre los valores máimo y míimo absolutos de f sobre el itervalo dado a) f ( ) +,, Solució: f ( ) Mi. Abs. f ( ) 5 Má. Abs. b) f ( ) 8, Solució: +, [ ] 8 f 7.7 Mí. Abs. 8 f 9.7 Má. Abs. 6) Utilizado el criterio de la primera derivada hallar los etremos relativos de la fució f ( ) Solució: Mí. rel. e 0; e o hay etremo. 6) Determiar los itervalos e los que la gráfica de 6 f ( ) es cócava hacia arriba o cócava hacia abajo. + Solució: Itervalo f '( ) Cocavidad

27 < < < > f ) Hallar los etremos relativos de ( ) Solució: f ( 0) 8 No es má. i mí. f ( ) 9 Má. relativo ( ) f mí. relativo. 6) U terreo rectagular que tiee 500m va ser cercado y dividido e dos porcioes iguales mediate ua cerca adicioal paralela a dos de los lados. Ecotrar las dimesioes del terreo que requiera la meor catidad de cerca. Solució: 5 0 m, y 0 0 m. 65) Si u evase de hojalata cerrado de 60 pu lg de volume tiee forma de cilidro circular recto, determie aalíticamete el radio de la base del evase si se emplea la míima catidad de hojalata e su elaboració. Solució: r 0 pulg. pulg. π 5) E u terreo e forma de elipse co eje mayor 80m y eje meor de 60m, se va a trazar ua cacha rectagular que tega la mayor área posible, obteer las dimesioes de la cacha. Solució: Largo: 0 m Acho: y 0 m.

28 6) E ua esfera de m de radio está iscrito u coo de radio y altura variables. Determiar las dimesioes del coo de modo que su volume sea el mayor posible. Solució: r h. + determiado: a) Los itervalos dode es creciete o decreciete. b) Sus valores máimos y míimos relativos. c) De su gráfica, la orietació de la cocavidad y los putos de ifleió. d) Trazar su gráfica. 7) Aalizar la fució f ( ) 8 Solució: f '( ) ( ), f ''( ) ( ) 8 ( ). f Característica de la gráfica < 0 + Crece Creciete, 0 0 Má. Rel. 0< < Decrece Decreciete, No No No Asítota vertical defiido defiido defiido < < + Decrece Decreciete, Mí. Rel. > + + Crece Creciete, I f '( ) f ''( ) ( )

29 9 5 8) Aalizar la fució f ( ) ( ) ( ) determiado: a) Los itervalos dode es creciete o decreciete. b)sus valores máimos y míimos relativos. c) De su gráfica, la orietació de su cocavidad y los putos de ifleió. d)trazar su gráfica. Solució: f ' ( ) ( 9) ( ) ( ) 5 5 f '' ( ) ( + )( ) ( ) ( )

30 f '( ) f ''( ) ( ) Puto o itervalo f Característica de la gráfica + Decreciete, < Puto de ifleió Decreciete, < < No No 0 Míimo relativo eiste eiste 9 + Creciete, < < Máimo relativo 9 Decreciete, < < No No 0 Míimo local eiste eiste < < 6 + Creciete, Puto de ifleió > Creciete, 0

31 TEMA 5 9) Escribir cuatro térmios más de cada sucesió y ua epresió que represete el térmio geeral (eésimo). a),,,,... b) { + } Solució: { } ( ) 0,,,,... 5 a Solució: { a } + Idicar si la sucesió es covergete o divergete, si es covergete determiar su límite. 0) { } ) ( ) ) {} e + Solució: diverge { + } 0 ) ) 5 5) 6) { π } 7) ) 7 Solució: diverge Solució: coverge a e Solució: coverge a cero. Solució: coverge a cero Solució: Solució: 5 r >, diverge. π r <, coverge a cero. Solució: coverge a 5. 7 Solució: r > 0, coverge a cero.

32 Idicar si la sucesió es moótoa o o moótoa. { } 9) ( ) 50) 5) + Solució: No es moótoa + Solució: es moótoa Solució: No es moótoa + 5) Determie si es ua cota superior para la sucesió +. Solució: represeta ua cota superior para dicha sucesió. 5) Determie si está acotada superiormete. + Solució: No tiee cota superior. { } 5) Determie si la sucesió ( ) Solució: Si es acotada. 55) Para la serie. a) Escriba su -ésima suma parcial. b) Calcular la suma de la serie. es acotada. Solució: a) S + b) S

33 56) Utilice el criterio del térmio geeral para la divergecia a) b) 0 Solució: a) La serie diverge. b) el criterio o es aplicable. 57) Determie si la siguiete serie coverge o diverge: a) b) c) Solució: coverge a 6 0 r < Solució: coverge a r < 5 Solució: la serie diverge, 0 r 5 > 58) De las siguietes series p Cuáles coverge? a) b) c) 5 Solució: coverge Solució: diverge Solució: coverge

34 59) Utilizado el criterio de comparació directa aalizar la covergecia o divergecia de la serie. a) b) c) + 5 ( ) + Solució: coverge Solució: diverge Solució: Coverge. Serie de prueba 0 60) Utilizar el criterio del límite para decidir si es covergete o divergete la serie. a) b) Solució: Serie de prueba ; coverge 5 Solució: Serie de prueba ; diverge 6) Utilizado el criterio de D Alembert verifique la covergecia o divergecia de la serie: a)! b) 5 Solució: coverge Solució: diverge

35 6) Utilizar el criterio de Leibiz para determiar si la serie es covergete o divergete. 5 a) ( ) b) ( ) + ( + ) Solució: coverge Solució: coverge 6) Determie si las siguietes series so absolutamete covergetes. + a) ( ) b) ( ) + Solució: es absolutamete covergete Solució: es absolutamete covergete 6) Determiar si la serie ( ) covergete. + es codicioalmete Solució: No es absolutamete covergete, es codicioalmete covergete. 65) Utilizado el criterio de cociete absoluto determiar si la serie es covergete o divergete. + a) ( ) + b) ( ) 5! Solució: la serie coverge absolutamete y e cosecuecia es covergete. Solució: la serie es absolutamete covergete y por lo tato covergete.

36 66) Utilizado el criterio de la raíz determiar si la serie es covergete o divergete. e Solució: la serie es absolutamete a) covergete y e cosecuecia es covergete. + Solució: la serie es absolutamete b) ( ) covergete y e cosecuecia es covergete. 6 67) Hallar el itervalo de covergecia de la serie de potecias ( 5). I,8 Solució: El itervalo de covergecia es [ ) c