2.4 La regla de la cadena

Transcripción

1 30 CAPÍTULO Derivació.4 La regla e la caea Ecotrar la erivaa e ua fució compuesta por la regla e la caea. Ecotrar la erivaa e ua fució por la regla geeral e la potecia. Simplificar la erivaa e ua fució por técicas algebraicas. Aplicar la regla e la caea a fucioes trigoométricas. La regla e la caea Ahora es tiempo e aalizar ua e las reglas e erivació más potetes: la regla e la caea. Ésta se aplica a las fucioes compuestas y añae versatilia a las reglas aalizaas e las os seccioes preceetes. Como ejemplo, comparar las fucioes que se muestra a cotiuació; las e la izquiera se puee erivar si la regla e la caea, mietras que a las e la erecha coviee aplicarles icha regla. Si la regla e la caea Co la regla e la caea y y y se y se 6 y 3 y (3 ) 5 y ta y ta E esecia, la regla e la caea establece que si y cambia yu veces más rápio que u, mietras que u cambia u veces más rápio que, etoces y cambia (yu)(u) veces más rápio que. EJEMPLO La erivaa e ua fució compuesta Ruea Eje 3 Eje Ruea 3 Ruea Eje : y revolucioes por miuto Eje : u revolucioes por miuto Eje 3: revolucioes por miuto Figura.4 Ruea 4 Eje 3 U juego e rueas etaas está costruio, como muestra la figura.4, e forma que la segua y la tercera gira sobre u eje comú. Cuao la primera gira, impulsa a la segua y ésta a su vez a la tercera. Sea y, u y los úmeros e revolucioes por miuto el primero, seguo y tercer ejes. Ecotrar yu, u y y, y verificar que y y u u. Solució Puesto que la circuferecia el seguo egraaje es tres veces mayor que la e la primera, el primer eje ebe ar tres vueltas para que el seguo complete ua. Del mismo moo, el seguo eje ha e ar os vueltas para que el tercero complete ua y, por tato, se ebe escribir y u 3 y u. Combiao ambos resultaos, el primer eje ebe ar seis vueltas para hacer girar ua vez al tercer eje. De tal maera: y Razó e cambio el primer eje co respecto al seguo y u 3 6 u Razó e cambio el seguo eje co respecto al tercero Razó e cambio el primer eje co respecto al tercero. E otras palabras, la razó e cambio e y respecto a es igual al proucto e la razó e cambio e y co respecto a u multiplicao por el e u co respecto a.

2 SECCIÓN.4 La regla e la caea 3 E X P L O R A C I Ó N Aplicació e la regla e la caea Caa ua e las fucioes que se ecuetra a cotiuació se puee erivar utilizao las reglas e erivació estuiaas e las seccioes. y.3. Calcular la erivaa e caa fució utilizao ichas reglas; luego ecotrar la erivaa utilizao la regla e la caea. Comparar los resultaos. Cuál e los os métoos es más secillo? a) 3 b) ( ) 3 c) se El ejemplo ilustra u caso simple e la regla e la caea. Su euciao geeral es el siguiete. TEOREMA.0 LA REGLA DE LA CADENA Si y f(u) es ua fució erivable e u y aemás u g() es ua fució erivable e, etoces y f(g()) es ua fució erivable e y y y u u o su equivalete f g fgg. DEMOSTRACIÓN Sea h() f(g()). Usao la forma alterativa e la erivaa, es ecesario emostrar que, para c, h(c) f(g(c))g(c). U aspecto importate e esta emostració es el comportamieto e g cuao tiee a c. Se preseta ificultaes cuao eiste valores e, istitos e c, tales que g() g(c). E el apéice A se eplica cómo utilizar la erivabilia e ƒ y g para superar este problema. Por ahora, supógase que g() g(c) para valores e istitos e c. E las emostracioes e las reglas el proucto y el cociete se sumó y restó ua misma catia. Ahora se recurrirá a u truco similar, multiplicar y iviir por ua misma catia (istita e cero). Observar que, como g es erivable, tambié es cotiua, por lo que g() g(c) cuao c. hc lím c f g f gc c f g f gc g gc lím c g gc c,g gc f g f gc lím c g gc lím c fgcgc g gc c Al aplicar la regla e la caea, es útil cosierar que la fució compuesta ƒ g está costituia por os partes: ua iterior y otra eterior. Fució eterior y f g f u Fució iterior La erivaa e y ƒ(u) es la erivaa e la fució eterior (e la fució iterior u) multiplicaa por la erivaa e la fució iterior. y fu u

3 3 CAPÍTULO Derivació EJEMPLO Descomposició e ua fució compuesta y ƒ(g()) u g() y ƒ(u) a) y u y u b) y se u y se u c) y 3 u 3 l y u ) y ta u ta y u EJEMPLO 3 Aplicació e la regla e la caea Ecotrar y para y ( ) 3. AYUDA DE ESTUDIO El ejemplo 3 tambié se puee resolver si hacer uso e la regla e la caea, si se observa que y y, por tato, y Comprobar que esta erivaa es la misma que la el ejemplo 3. Qué métoo sería preferible para ecotrar 50? Solució Para esta fució, cosierar que la fució iterior es u. Por meio e la regla e la caea, se obtiee y 3 6. y u u La regla geeral e la potecia La fució el ejemplo 3 es uo e los tipos más comues e fucioes compuestas, y [u()]. La regla para erivar tales fucioes se llama regla geeral e la potecia, y o es sio u caso particular e la regla e la caea. TEOREMA. LA REGLA GENERAL DE LA POTENCIA Si y [u()], oe u es ua fució erivable e y es u úmero racioal, etoces y u u o su equivalete u u u. DEMOSTRACIÓN Puesto que y u, aplicar la regla e la caea para obteer y y u u u u u. Por meio e la regla (simple) e la potecia estuiaa e la secció., se tiee D u [u ] u y se sigue que y u u.

4 SECCIÓN.4 La regla e la caea 33 EJEMPLO 4 Aplicació e la regla geeral e la potecia Ecotrar la erivaa e ƒ() (3 ) 3. Solució Sea u 3. Etoces f() (3 ) 3 u 3 y, meiate la regla geeral e la potecia, se euce que u u f Aplicar la regla geeral e la potecia. Derivar 3. 3 f() ( ) y EJEMPLO 5 Derivació e fucioes co raicales Ecotrar los putos e la gráfica e ƒ() 3 ( ) e los que ƒ() 0 y aquellos e los que ƒ() o eiste. Solució Reescribir e uevo la fució como ƒ() ( ) 3. Aplicar ahora la regla geeral e las potecias (co u ); se obtiee u u f 3 3 Aplicar la regla geeral e las potecias. f () La erivaa e ƒ es 0 e 0 y o está efiia e l Figura Epresar e forma raical. De tal maera, ƒ() 0 e 0 y ƒ() o eiste e, como se muestra e la figura.5. EJEMPLO 6 Derivació e cocietes co umeraores costates Derivar gt 7 t 3.. Solució Para empezar, reescribir la fució como g(t) 7(t 3). NOTA Derivar la fució el ejemplo 6 usao la regla el cociete. El resultao será el mismo, pero el métoo es meos eficiete que la regla geeral e la potecia. Después, co la regla geeral e la potecia se tiee u gt 7t 3 3 u Aplicar la regla geeral e la potecia. Regla el múltiplo costate 8t t 3 3. Epresar co epoete positivo.

5 34 CAPÍTULO Derivació Simplificació e erivaas Los siguietes tres ejemplos poe e maifiesto alguas técicas para simplificar las erivaas e fucioes que ivolucra prouctos, cocietes y composicioes. EJEMPLO 7 Simplificació por factorizació e la potecia míima f f Reescribir. Regla el proucto. 3 3 Regla geeral e la potecia. Factorizar. EJEMPLO 8 Simplificació e la erivaa e u cociete TECNOLOGÍA Las herramietas e graficació co erivació simbólica so capaces e erivar fucioes muy complicaas. No obstate, suele presetar el resultao e forma o simplificaa. Si se cueta co ua e ese tipo, usarla para calcular las erivaas e las fucioes e los ejemplos 7, 8 y 9, y comparar espués los resultaos. f f Reescribir. Regla el cociete. Factorizar. EJEMPLO 9 Simplificació e la erivaa e ua potecia y 3 3 u u y Regla geeral e la potecia. Regla el cociete. Multiplicar.

6 SECCIÓN.4 La regla e la caea 35 Fucioes trigoométricas y la regla e la caea A cotiuació se muestra las versioes e la regla e la caea correspoietes a las erivaas e las fucioes trigoométricas: se u cos u u ta u sec u u sec u sec u ta u u cos u se u u cot u csc uu csc u csc u cot u u EJEMPLO 0 Aplicació e la regla e la caea a fucioes trigoométricas u cos u u a) b) c) y se y cos y ta 3 y cos y se y 3 sec 3 cos cos Hay que asegurarse e eteer los coveios matemáticos que afecta a parétesis y fucioes trigoométricas. Así, e el ejemplo 0a, se escribe se que sigifica se (). EJEMPLO Parétesis y fucioes trigoométricas a) b) c) ) e) y cos 3 cos3 y se se 3 y cos 3 y cos cos y cos 3 cos 3 y cos3 cos9 y se se 9 y cos cos cos se y cos se y cos se se cos Para calcular la erivaa e ua fució co la forma k() ƒ(g(h())) es ecesario aplicar la regla e la caea os veces, como se ilustra e el ejemplo. EJEMPLO Aplicació reiteraa e la regla e la caea ft se 3 4t se 4t 3 ft 3se 4t se 4t t 3se 4t cos 4t t 4t 3se 4t cos 4t4 se 4t cos 4t Reescribir. Aplicar la regla e la caea por primera vez. Aplicar la regla e la caea por segua vez.

7 36 CAPÍTULO Derivació 3 4 y Figura.6 f() = se + cos (, ) 3 EJEMPLO 3 Recta tagete a ua fució trigoométrica Ecotrar la ecuació e la recta tagete a la gráfica e ƒ() se cos e el puto (, ), como se muestra e la figura.6. A cotiuació etermiar toos los valores e e el itervalo (0, ) e los que la gráfica e ƒ tiee ua tagete horizotal. Solució Comezar por ecotrar ƒ(). f se cos f cos se cos se Aplicar la regla e la caea a cos. Para ecotrar la ecuació e la recta tagete e (, ), evaluar ƒ(). f cos se Sustituir. Peiete e la gráfica e (, ). Ahora, utilizao la forma puto-peiete e la ecuació e la recta, escribir y y m y y. Forma puto-peiete. Sustituir y, m y. Ecuació e la recta tagete e (, ). AYUDA DE ESTUDIO Para aquirir mayor práctica e la erivació, se ebe apreer toas las reglas. Como ayua para la memoria, observar que las cofucioes (coseo, cotagete y cosecate) tiee u sigo egativo e sus erivaas. Se puee etermiar que ƒ() 0 cuao, y 3,. De tal moo, ƒ tiee ua 6 6 tagete horizotal e y 3 6,, 6,. 5 Esta secció cocluye co u compeio e las reglas e erivació estuiaas hasta este mometo. 5 Compeio e reglas e erivació Reglas geerales e erivació Sea ƒ, g y u fucioes erivables e. Regla el múltiplo costate: cf cf Regla e la suma o e la iferecia: f ± g f ± g Derivaas e fucioes algebraicas Derivaas e fucioes trigoométricas Regla e la caea Regla el proucto: fg fg gf Regla e la costate: c 0 se cos cos se Regla e la caea: fu fu u Regla el cociete: g f gf fg g Regla simple e la potecia:, ta sec cot csc Regla geeral e la potecia: u u u sec sec ta csc csc cot