Contribuciones didácticas para la comprensión del tema de derivada de la función potencia en cálculo diferencial
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- Eva Nieto Ortega
- hace 6 años
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1 Cogreso Virtual Iteracioal sobre Ivestigació Eucativa CIED015 ISSN: Cotribucioes iácticas para la compresió el tema e erivaa e la fució potecia e cálculo iferecial Diactic cotributios to uerstaig the issue of erivative fuctio power ifferetial calculus Alle A. Castillo Barró Uiversia Autóoma e Baja Califoria alle.castillo@uabc.eu.m Luis Ramó Siero Gozález Uiversia Autóoma e Baja Califoria lsiero@uabc.eu.m Jua A. Paz Gozález Uiversia Autóoma e Baja Califoria pazj@uabc.eu.m Alejara Jiméez Vega Uiversia Autóoma e Baja Califoria ale.jv.8@uabc.eu.m Resume La presete ivestigació se realizó e la Escuela e Ciecias e la Igeiería y la Tecología (ECITEC) e la Uiversia Autóoma el Estao e Baja Califoria, tiee el propósito e presetar la emostració e la erivaa e la fució potecia por meio e iucció matemática, así como os activiaes iácticas aplicaas a la igeiería, lo aterior se realizó para la materia e cálculo iferecial que se imparte a alumos el ivel uiversitario que cursa el troco comú e ocho carreras e igeiería: Iustrial, civil, aeroespacial, eléctrica, mecáica, mecatróica, eergías reovables y bioigeiería. El mejoramieto e las CIED015 Méico 0 al 06 e Noviembre el 015 Cetro e Estuios e Ivestigacioes para el Desarrollo Docete. CENID A.C. 1
2 Cogreso Virtual Iteracioal sobre Ivestigació Eucativa CIED015 ISSN: iácticas utilizaas e estas materias es fuametal y tiee importates cosecuecias e muchas áreas el cálculo y el aálisis matemático e la formació e las ciecias e la igeiería. Abstract The preset ivestigatio was mae i The School of Sciece of Egieerig a Techology (for its acroym i Spaish ECITEC) of the Autoomous Uiversity of Baja Califoria, it has the purpose to preset the emostratio of the erivate of the power fuctio, by mathematical iuctio as well as two iactical activities with applicatio to egieerig, it was applie at the course of ifferetial calculus, which is a fuametal class to eight egieerig careers. The improvemet of the iactical activities that are use for the class are essetial a have importat cosequeces i may areas of calculus a mathematical aalysis i the preparatio of egieers. Palabras clave / Key wors: Derivaa, fució potecia, iucció matemática, igeiería / Derivative, power fuctio, mathematical iuctio, egieerig. 1. Itroucció La formació e futuros igeieros se ha estuiao ese iferetes perspectivas e el área e la matemática eucativa (Bissell y Dillo, 000; Macias, 01; Ket y Noss, 00), estos trabajos mostraro que la eseñaza e las matemáticas e la formació e igeieros cubre too ua gama e iferetes ecesiaes particulares, por esta razó las activiaes iácticas específicamete e las materias el troco comú e igeiería so e gra importacia para que los alumos e los primeros semestres puea apreciar sus utiliaes. Usualmete e u curso e cálculo iferecial la emostració e la erivaa e la fució potecia se realiza e base al teorema el biomio, lo cual implica que el estuiate ebe teer coocimietos e combiatoria y e sumatorias. E ocasioes el alumo o posee ichos coocimietos, por lo tato, el teer ua forma alterativa para briar la emostració si la ecesia e que el estuiate coozca el teorema el biomio, es ua herramieta muy útil para la labor ocete. La eucció e la CIED015 Méico 0 al 06 e Noviembre el 015 Cetro e Estuios e Ivestigacioes para el Desarrollo Docete. CENID A.C.
3 Cogreso Virtual Iteracioal sobre Ivestigació Eucativa CIED015 ISSN: erivaa e la fució potecia por meio el métoo e iucció matemática permitirá al maestro ar la emostració usao eclusivamete herramietas propias el cálculo iferecial.. Desarrollo Demostració clásica Los autores e cálculo iferecial «clásicos» (Stewart, 008; Larso, 010; Leithol, 1998; Ayres, 1971) ofrece la siguiete emostració para la erivaa e la fució potecia Daa la fució f (1) Partieo e la efiició e erivaa f ( lim h0 f h) h f ( h) lim h0 h () E oe es ecesario esarrollar biomio h), y para realizar este esarrollo se ebe utilizar el teorema el k k k k h) h h (3) k0 k k0! k!( k)! CIED015 Méico 0 al 06 e Noviembre el 015 Cetro e Estuios e Ivestigacioes para el Desarrollo Docete. CENID A.C. 3
4 Cogreso Virtual Iteracioal sobre Ivestigació Eucativa CIED015 ISSN: E oe se requiere el coocimieto e cálculo e factoriales y combiacioes, así como el uso e series. Sustituyeo (3) e () 1 ( 1) 1 h h... h h h) f ( lim lim (4) h0 h h0 h E la ecuació (4) se puee elimiar el térmio 1 ( 1) 1 h h... h h f ( lim (5) h0 h Elimiao h se obtiee 1 ( 1) 1 f ( lim h... h h h0 (6) y tomao el límite e (6) 1 f ( (7) co lo cual quea fializaa la emostració. La emostració o es muy complicaa, si embargo se requiere que el estuiate posea coocimietos previos el teorema el biomio. CIED015 Méico 0 al 06 e Noviembre el 015 Cetro e Estuios e Ivestigacioes para el Desarrollo Docete. CENID A.C. 4
5 Cogreso Virtual Iteracioal sobre Ivestigació Eucativa CIED015 ISSN: Auque otros autores preseta emostracioes iferetes (Ewars, 008) que se basa e álgebra, utilizao teoremas e factorizació, e cotraste la emostració por iucció matemática eseña al estuiate ua herramieta que le ayuará a resolver emostracioes e teoremas e problemas futuros, así como repasar erivaas previamete emostraas. Demostració por iucció matemática Para poer realizar la emostració es ecesario coocer previamete la erivaa e,, 3, así como la erivaa el proucto e os fucioes. Demostració Es coocio que la erivaa e es 1, la erivaa e es y la erivaa e 3 es 3, las cuales se puee epresar e la siguiete forma: ( 1 ) ) 1 (8) 3 ) 3 Parece eistir u patró, el cual se puee epresar como ) 1 (9) CIED015 Méico 0 al 06 e Noviembre el 015 Cetro e Estuios e Ivestigacioes para el Desarrollo Docete. CENID A.C. 5
6 Cogreso Virtual Iteracioal sobre Ivestigació Eucativa CIED015 ISSN: Si embargo esta relació ecesita ser emostraa, para esto se utilizará el métoo e iucció matemática (Somiskii, 1990), la cual iica que ua fórmula es veraera si: 1. La proposició es cierta para 1.. Partieo e que la premisa es veraera para, etoces lo es tambié para 1. E (8) se observa claramete que la proposició es veraera para 1. Para completar la emostració es ecesario que partieo e (9) se euzca 1 ) ( 1) (10) Multiplicao (9) por 1 ) (11) y sumao a ambos laos e (11) ) ) ( 1 (1) Se observa que los miembros erechos e (10) y (1) so iéticos, etoces para termiar la emostració es ecesario emostrar que los miembros izquieros e (10) y (1) so iguales CIED015 Méico 0 al 06 e Noviembre el 015 Cetro e Estuios e Ivestigacioes para el Desarrollo Docete. CENID A.C. 6
7 Cogreso Virtual Iteracioal sobre Ivestigació Eucativa CIED015 ISSN: ) 1 ) (13) Recorao la erivaa el proucto [ u( v( ] u( [ v( ] v( [ u( ] (14) Ietificao a u( y v( e el miembro izquiero e (13) y sus erivaas como [ u( ] 1 [ v( ] 1 (15) Sustituyeo (15) e (14) se obtiee 1 ) 1 1 ( 1) (16) Lo que se quería emostrar. Etoces se ha satisfecho los os requerimietos e la iucció matemática, por lo tato (9) es veraera ) 1 N : 1 (17) CIED015 Méico 0 al 06 e Noviembre el 015 Cetro e Estuios e Ivestigacioes para el Desarrollo Docete. CENID A.C. 7
8 Cogreso Virtual Iteracioal sobre Ivestigació Eucativa CIED015 ISSN: Activiaes iácticas E el estuio e ua igeiería, el estuiate se efretará a muchos problemas para los cuales ecesita etermiar patroes, si embargo o tiee ua herramieta que e certeza a que sus cojeturas so ciertas. A cotiuació se preseta os problemas que ecotrará e etermiao puto e su carrera. Ejercicio 1 Demostrar que la suma S e los primeros úmeros aturales es ( 1) S (18) La proposició es veraera para =1. Partieo e (18) se ebe emostrar que ( 1)( ) S ( 1) (19) Sumao (+1) a (19) ( 1) S ( 1) S 1 ( 1) (0) Rearreglao ( 1) ( 1) ( 1)( ) S 1 (1) CIED015 Méico 0 al 06 e Noviembre el 015 Cetro e Estuios e Ivestigacioes para el Desarrollo Docete. CENID A.C. 8
9 Cogreso Virtual Iteracioal sobre Ivestigació Eucativa CIED015 ISSN: y la emostració ha queao completaa. Ejercicio Demostrar la fórmula e De Moivre Cosierao las siguietes ietiaes: Cos ( ise ( ise ( () a b) a) b) Se ( a) Se ( b) Se( a b) a) Se( b) Se( a) b) (3) La epresió () es cierta para =1, ya que resulta e la ietia e Euler. Etoces se ebe emostrar que partieo e () se puee obteer 1 Cos ( ise( Cos 1 ise 1 (4) Multiplicao () por la ietia e Euler se obtiee Cos ( ise( Cos ( ise( Cos ( ise( Cos ( ise( (5) CIED015 Méico 0 al 06 e Noviembre el 015 Cetro e Estuios e Ivestigacioes para el Desarrollo Docete. CENID A.C. 9
10 Cogreso Virtual Iteracioal sobre Ivestigació Eucativa CIED015 ISSN: Rearreglao ise ( 1 Se( Se( i Se( ise( (6) oe los primeros os térmios el miembro erecho se puee epresar como y el tercer térmio puee ser reescrito e la forma Se ( Se ( Cos 1 (7) ise i Se ( ise ( Cos ( ise 1 (8) Sustituyeo (7) y (8) e (6) 1 Cos ( ise( Cos 1 ise 1 (9) Lo que se quería emostrar. 3. Coclusió La emostració por iucció matemática e esta fórmula permite al estuiate u primer acercamieto formal a este tipo e emostracioes que porá emplear e su igeiería, así como repasar erivaas previamete estuiaas. El estuiate e igeiería apree ua importate herramieta para emostrar e forma estricta los patroes que observará e iversos feómeos físicos urate su carrera. CIED015 Méico 0 al 06 e Noviembre el 015 Cetro e Estuios e Ivestigacioes para el Desarrollo Docete. CENID A.C. 10
11 Cogreso Virtual Iteracioal sobre Ivestigació Eucativa CIED015 ISSN: Bibliografía Bissell, C. y Dillo, C. (000). Tellig tales: moels, stories a meaigs. For the Learig of Mathematics, 0(3), Macias, C. (01). Uso e las uevas tecologías e la formació e igeieros (Tesis e maestría o publicaa). CICATA-IPN, Méico. Ket, P. y Noss, R. (00). The mathematical compoets of egieerig epertise: The relatioship betwee oig a uerstaig mathematics. Proceeigs of the IEE Seco Aual Symposium o Egieerig Eucatio: Professioal Egieerig Scearios (pp. 39/1-39/7). Loo U.K. Stewart, J. (008). Cálculo e ua Variable Trasceetes Tempraas. Méico: Cecage learig. Larso, R., Hostetler, R., y Ewars, B. (010). Cálculo Esecial. Méico: Cecage learig. Leithol, L. (1998). El Cálculo. Méico: Ofor Uiversity Press. Ayres, F. (1971). Cálculo Diferecial e Itegral. Méico: Mc Graw-Hill Ewars, C., y Peey, D. (008). Cálculo co Trasceetes Tempraas. Méico: Pearso Eucatio. Somiskii, I.S. (1990). El métoo e la iucció matemática. E El métoo e la iucció matemática (14-19). Méico: Limusa. CIED015 Méico 0 al 06 e Noviembre el 015 Cetro e Estuios e Ivestigacioes para el Desarrollo Docete. CENID A.C. 11
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