6. ECUACIONES DE RECURRENCIA.

Transcripción

1 6. ECUACIONES DE RECURRENCIA Itroducció. Las relacioes de recurrecia puede cosiderarse como técicas avazadas de coteo. Resuelve problemas cuya solució o puede obteerse usado variacioes, permutacioes, combiacioes o co las técicas derivadas del pricipio de iclusió-exclusió. Recordemos que ua sucesió es ua fució f: A. Para idicar la image e el cojuto A de, esto es f(), se emplea el símbolo a. Ua sucesió suele deotarse por a 0,a 1,a 2,a 3,..., por {a : }, por {a } o por {a }. A los elemetos a 0,a 1,a 2... se les llama térmios de la sucesió, de a se dice que es el térmio geeral. Para itroducir la teoría de las relacioes de recurrecia, tomemos como ejemplo la coocida sucesió de Fiboacci 1,1,2,3,5,8,13,... dode cada térmio, a partir del tercero, se obtiee sumado los dos ateriores, esto es: a =a +a si 3, -1-2 Ua expresió de este tipo, e la que el térmio geeral de la sucesió se escribe e fució de alguos otros térmios ateriores, recibe los ombres de relació de recurrecia, ecuació de recurrecia o ecuació e diferecias. La relació de recurrecia o determia de maera úica la sucesió. Para ello es ecesario coocer alguos térmios de la sucesió, lo que llamaremos codicioes iiciales o codicioes frotera. E el caso aterior a =1 y a = Ejemplo: Las sucesioes 1,2,4,8,16,... 3,6,12,24,48,... satisface la misma relació de recurrecia a =2a -1, si 1. La codició iicial a 0=1 juto co esta relació de recurrecia determia de forma úica la primera. El cojuto {a =2a si 1, a =3} defie la seguda Si queremos obteer u térmio cocreto de ua sucesió dada e forma recurrete debemos ir obteiedo todos los ateriores lo cual o parece muy práctico, ( cual es el valor a e la sucesió de Fiboacci?). Iteresa pues, 100 determiar ua expresió del tipo a =g() e la que el térmio geeral de la 133

2 sucesió depeda sólo de la posició que ocupa y o de térmios ateriores. A ua expresió de este tipo se llama solució de la ecuació de recurrecia. Ejemplo 1. Para las siguietes ecuacioes de recurrecia la solució se obtiee de forma elemetal. 1.1) Para a =3a-1 si 1, a 0=5 se tiee a 0= 5, a 1= 3a 0= 3x5, a = 3a = x5, y aplicado iducció se obtiee que la sucesió solució es a = 3 x5 1.2) Sea a-a -1=(-1) si 1 co a 1=0. Despejado a =a -1+(-1) se tiee a 1= 0, a 2= a 1+1= 0+1, a 3= a 2+2= 0+1+2,... a = (-1) =(-1)/2 1.3) a-a -1=0 si 1, a 0=1 a 0= 1, a 1= 1.a 0= 1, a 2= 2.a 1= 2x1, a 3= 3.a 2= 3x2x1,... a = x(-1)x...x3x2x1=! No os ocuparemos de ecuacioes como esta última e la que el coeficiete de a es variable. Trataremos sólamete de las ecuacioes de recurrecia lieales -1 co coeficietes costates que defiimos a cotiuació. Defiició. Ua ecuació de recurrecia lieal de orde k co coeficietes costates es ua relació c a +c a +...+c a = b, k (I) k -k dode c,c,...,c so costates co c 0 y c 0 y {b } es ua sucesió -1 -k -k coocida. Diremos que (I) es homogéea si b =0. Cetraremos uestra ateció e el cálculo explícito de la solució de tales ecuacioes. El problema cosiste e determiar la solució {a } e forma 134

3 cerrada, es decir expresar a como ua fució coocida de. Si fijamos codicioes iiciales, esto es valores para a,a,...,a, la solució de (I) 0 1 k-1 está uívocamete determiada. E geeral ecotrar la solució de ua ecuació de recurrecia o es fácil. Veamos cómo hacerlo para cierta familia de ecuacioes de recurrecia Ecuació de recurrecia lieal homogéea. Ates de geeralizar, comezamos obteiedo la solució de la ecuació homogéea de primer y segudo orde. La ecuació de recurrecia homogéea de orde 1 a = c.a-1 1, c 0 verifica a = ca = c2a = c3a =...= ca Por tato la solució es de la forma a = α.c co α, α 0. El valor de α viee determiado por la codició frotera. La ecuació de recurrecia homogéea de orde 2 es c a + c a + c a = 0, 2 c 0 y c k y su solució geeral es de la forma a = α.s1 + β.s2 co α,β y dode {s1 } y {s2 } so dos sucesioes solució idepedietes de la ecuació. (Dos sucesioes so idepedietes si ua o es múltiplo escalar de la otra). Si bie se puede demostrar que tales solucioes siempre existe, os cetramos e la maera práctica de obteerlas. Dode buscar estas solucioes particulares?. La idea os la da la ecuació de orde 1. Si probamos co ua de la forma a =r, siedo r 0 (r=0 correspodería a la solució trivial) se tiee, y como r 0, para que r c r + c r -1 + c r = 0 r -2 (c r 2 + c r + c )= sea solució debe ser raíz del poliomio P(x) =c x 2 + c-1x + c-2 Al poliomio P(x) se le llama poliomio característico de la ecuació de recurrecia y sus raíces determia la forma de la solució. Así, 135

4 (a) si P(x) tiee sus dos raíces distitas r y r (ambas reales o ambas complejas), etoces r y r so las solucioes idepedietes buscadas y la solució geeral es a = α.r 1 +β.r2 (b) si P(x) tiee ua úica raíz real r de multiplicidad 2, etoces claramete la sucesió r es ua solució y se puede probar (hágase) que r es otra solució idepediete de la aterior. Luego la solució geeral es frotera. a = α.r +β.r E ambos casos los valores de α y β se determia utilizado las codicioes Ejemplo 2. Resolvamos a + a-1-6a -2= 0, 2 a =1, a =2 0 1 La ecuació característica x 2+x-6=0 tiee dos raíces reales distitas que so 2 y -3, y por tato la solució geeral es a = α.2 + β.(-3) 0 0 Para determiar α y β co las codicioes frotera para =0 (a =α.2 +β.(-3) =1) y 1 1 =1 (a =α.2 +β.(-3) =2) obteemos el sistema 1 α+β=1 2α-3β=2 cuya solució, α=1 y β=0, os permite establecer que la solució úica de la ecuació de recurrecia dada es a = 2. Ejemplo 3. Resolvamos Poliomio característico: Raíces: 3 (ua raíz doble) Solucioes idepedietes: 3 a - 6a a -2= 0, 2 a =5, a = x2-6x+9 Solució geeral: a =α.3 +β.3 y 3 Las codicioes frotera para =0 y =1 determia el sistema α=5 3α+3β=12 solució es α=5 y β=-1. Solució de la ecuació de recurrecia: a = cuya 136

5 Ejemplo 4. Resolvamos Poliomio característico: a =2a-1-2a -2, 2 a =1, a =2 0 1 x2-2x+2 Raíces: 1+i y 1-i (dos raíces distitas complejas) Solució geeral: E pricipio es de la forma a =α.(1+i) +β.(1-i) pero utilizado propiedades de los úmeros complejos se tiee π π π π (1+i)= 2 (cos + ise ) y (1-i)= 2 (cos - ise ) π π π π (1+i) = 2 (cos + ise ) y (1-i) = 2 (cos - ise ) de dode π π 2 [(α+β)cos + (α-β)ise 4 4 ] a = y llamado k =α+β y k =(α-β)i, 1 2 las codicioes frotera para =0 y =1 determia el sistema k1cos 0 + k2se 0 = 1 π π cuya solució es k 1=1 y k 2=1. 2 [k cos + k se 1 2 ] =2 4 4 (Observar que auque e pricipio k y k era úmeros complejos, fialmete 1 2 resulta ser reales). Solució de la ecuació de recurrecia: a π π = 2 [cos + se ] 4 4 Geeralizado los resultados ateriores para la ecuació de recurrecia homogéea de orde k c a + c a c a = 0, k k -k se tiee que si {s1 },{s2 },...,{sk } so solucioes particulares idepedietes, etoces su solució geeral es a = α.s1 + α.s α.sk 1 2 k dode α,α,...,α so costates que se determia utilizado las codicioes 1 2 k iiciales. Para ecotrar estas solucioes particulares probamos co ua de la forma a =r, siedo r 0 (r=0 correspodería a la solució trivial). Etoces, c r + c r c r -k -1 -k = 0 r -k (c r k + c r k c )= 0-1 -k 137

6 por lo que para que r sea solució de la ecuació, r debe ser raíz del poliomio P(x)=c x k+c x k c-k al que llamaremos poliomio característico de la ecuació homogéea de orde k. dos casos: E fució de cómo sea las raíces del poliomio característico distiguimos (a) Todas las raíces de P(x) so simples. Si P(x) tiee sus k raíces distitas, r 1, r 2,..., r k, etoces las k solucioes idepedietes so r, r,... y r y la solució geeral es 1 2 k k k a = α r + α r α r (b) P(x) tiee algua raíz de multiplicidad >1. k1 k2 kt Sea P(x)= (x-r 1).(x-r 2)...(x-r t) co k 1+k 2...k t=k. Es decir P(x) tiee raíces distitas r 1, r 2,..., rt co multiplicidad k 1, k 2,..., kt respectivamete. Etoces cada raíz del poliomio cararacterístico cotribuye co tatas solucioes como idique su multiplicidad. Esto es, para cada j=1,...,t se tiee que las k sucesioes j 2 kj-1 (r ), (r ), (r ),..., (r ) j j j j so solucioes idepedietes de la ecuació de recurrecia. Como escribirías la solució geeral? Ejemplo 5. 2a +3 = a a+1 - a, 0 a =0, a =1, a = Poliomio característico: 2x3-x2-2x+1 Raíces: 1, -1, 1/2 Solució geeral: a = α.1 + β(-1) + γ(1/2) Las codicioes frotera para =0, =1 y =2 determia el sistema α + β + γ =0 α - β + 1/2 γ =1 cuya solució es α=5/2, β=1/6, γ=-8/3 α + β + 1/4 γ =2 Solució: a = (-1) (1/2) Ejemplo 6. a -3a -1+ 3a-2 - a -3 =0, 3, Poliomio característico: x3-3x 2+3x-1 Raíces: 1 (raíz triple) Solució geeral: a = α.(1 ) + β.(1 ) + γ.(21 ) 138

7 6.3 Ecuació de recurrecia lieal o homogéea. Cosideremos la ecuació de recurrecia lieal de orde k c a +c a +...+c a = b, k (I) k -k llamaremos ecuació de recurrecia homogéea asociada a (I) a la ecuació c a +c a +...+c a = 0, k k -k Euciamos si demostració la siguiete propiedad: Cualquier solució {a } de (I), verificado determiadas codicioes iiciales a,a,...,a, se puede escribir como 0 1 k-1 a = p +h dode {p } es ua solució particular de (I) y {h } es la solució de la homogéea asociada. Ya hemos visto e el apartado aterior cual es la solució de la ecuació de recurrecia homogéea. Respecto de cómo obteer ua solució particular de (I) podemos decir que o hay métodos geerales. Si embargo, se espera que co los ejemplos que se poe se adquiera cierta destreza para ecotrarlas. Probaremos co solucioes particulares p de la forma sugerida por b. Por ejemplo si la sucesió b es ua fució poliómica e de grado t, podemos probar co ua solució particular tambié poliómica del mismo grado. Ejemplo 6. Para ecotrar ua solució particular de la ecuació de recurrecia a +2a -1=3, como b =3 es ua costate, probamos co a =A. Sustituyedo e la ecuació se tiee A+2A=3. Es decir A=1. Por tato a =1 es ua solució particular. Ejemplo 7. E la ecuació a +2a = 2--1, b = es u poliomio e de grado 2. Probamos si puede ser solució ua sucesió del mismo tipo, a =A 2+B+C. Y efectivamete se obtiee los valores A=1/3, B=1/9, C=-13/27. Ejemplo 8. Cosideramos ahora a -3a = 5(7-1 ). Aquí probamos co ua sucesió de la forma a =A7. Sustituyedo e la ecuació, teemos A(7 )-3A(7-1)=5(7 ), de dode A=35/4. Esto es, ua solució particular es a =(35/4).7 Ejemplo 9. La técica mostrada e los ejemplos ateriores sólo será válida cuado b, o algú sumado de b, o cotega igú factor que sea solució de la homogéea. Así para 139

8 a - a = 2-1 si probamos co ua sucesió costate de la forma a =A, al sustituir os da ua cotradicció (0=2), de lo que se deduce que o existe igua solució particular de esta forma (poliómica de grado 0). E estos casos pobraremos co solucioes poliómicas de grado superior al que tiee la sucesió b. Para uestro ejemplo tomado ua de la forma a =A+B, obteemos A=0, B=2 y por tato la solució particular es {2}. Ejemplo 10. Dada la ecuació a - 3a = 5(3 ) -1 probamos co p =A3. La sustitució de a por A3 os lleva a la cotradicció 0=5. (Observar que aquí la solució de la homogéea asociada es h =α3 ). No existe, por tato, igua solució particular de la forma {A3 }. E este caso, probamos co ua de la forma {A3 } y obteemos que {53 } es ua solució particular. Recordar que la solució geeral será de la forma a =α α se determiaría aplicado las codicioes iiciales. dode el valor de E geeral, costruiremos ua solució particular p se idica e los siguietes apartados: de la ecuació (I) segú (a) Si b es u múltiplo costate de ua de las siguietes formas y o es solució de la homogéea asociada, etoces p tiee la forma mostrada e la tabla (K, r, α, Α, B, A 0, A 1,...At-1 y At so costates): b p K A A1 + A0 2 A 2 + A + A A +A +...+A +A t t t-1 t t r Ar t t t-1 t t r r (A +A +...+A +A ) se α cos α Ase(α) + Bcos(α) Ase(α) + Bcos(α) (Las costates A,B,A,A,...A,A se determia sustituyedo p e la 0 1 t-1 t ecuació dada). 140

9 (b) Si b costa de ua suma de múltiplos costates de térmios como los de la primera columa de la tabla aterior, etoces p está formada por la suma de los térmios correspodietes de la seguda columa. (c) Si u sumado de b cotiee u factor (r ) que es solució de la homogéea asociada y r es raíz de multiplicidad k e el poliomio característico, etoces la parte de p k. correspodiete a ese sumado debe multiplicarse por Ejemplo 11. Resolvamos la siguiete ecuació de recurrecia a - 2a -1 + a -2 = 3, 2 co las codicioes iiciales a 0=1/2, a 1=3. La solució de la homogéea asociada es h = α(1 )+ β(1 ). E pricipio, la forma de b os sugiere que probemos ua solució particular costate. Pero, puesto que 1 es factor de b =3, 1 es solució de la homogéea y 1 es raíz característica de multiplicidad 2, lo adecuado es probar co A 2. Efectivamete se ecuetra la solució particular p =(3/2) 2. De la forma de la solució geeral a = α + β + (3/2)2 y de las codicioes iiciales, obteemos los valores de α=1/2 y β=1. Por tato la solució es a = 1/2 + + (3/2) 2 Bibliografía:. Grimaldi, Ralph P. "Matemáticas discreta y combiatoria". 3a edició. Ed. Addiso- Wesley Iberoamericaa, Capítulo 10.. Rose, K.H. "Discrete Mathematics ad its applicatios" 3rd ed. Ed. McGraw-Hill, Capítulo

10 6.4. Problemas. 1.- Ecotrar la relació de recurrecia que determia de maera úica las siguietes sucesioes: a) {2, 10, 50, 250,...} b) {6, -18, 54, -162,...} c) {1, 1/3, 1/9,...} d) {7, 14/5, 28/25, 56/125,...} 2.- El úmero de bacterias e u cultivo de laboratorio es de 1000 uidades. Sabemos que ese úmero se icremeta e u 250% cada 2 horas. Ecotrar ua relació de recurrecia para coocer lo que ocurrirá al cabo de u día. 3.- Supoiedo que ua bici ocupa ua plaza de aparcamieto para bicis y ua moto ocupa dos, ecotrar ua relació de recurrecia que os dé el úmero de formas posibles de aparcar bicis y motos e u aparcamieto de plazas. 4.- Ecotrar ua ecuació de recurrecia co la que obteer el úmero de formas de apilar fichas de póquer de color rojo, blaco, verde y azul de modo que o haya fichas azules cosecutivas. 5.- Ecotrar ua ecuació de recurrecia co la que obteer el úmero de regioes e las que queda dividido u plao al trazar e él rectas, de forma que se corte dos a dos y tal que tres rectas o tega u puto e comú. 6.- Ecotrar la solució geeral de las siguietes ecuacioes de recurrecia. a) a+1-1.5a = 0, 0 b) 4a - 5a -1 = 0, 1 c) 3a+1-4a = 0, 0, a 1=5 d) 2a - 3a -1= 0, 1, a 4= Resolver las siguietes ecuacioes de recurrecia a) a = 5a + 6a, 2, a =1, a = b) a - 11a + 5a =0, 0, a =2, a = c) 3a = 2a + a, 1, a =7, a = d) a + a =0, 0, a =0, a = e) a - 6a + 9a =0, 2, a =5, a =

11 f) a + 2a + 2a =0, 2, a =1, a = g) a - 3a + 3a - a =0, 3, a =1, a =2, a = Si a =0, a =1, a =4 y a =37 verifica la relació de recurrecia a +ba +ca =0 para 0 co b,c costates, dar la expresió de a Resolver cada ua de las ecuacioes de recurrecia obteidas e los problemas 3, 4 y Ecotrar la solució geeral de las siguietes ecuacioes de recurrecia. a) a+1 - a = 2+3, 0; a 0=1 b) a - a = 32-, 0; a = c) a+1-2a = 5, 0; a 0=1 d) a - 2a = 2, 0; a = Usar ua relació de recurrecia para deducir la fórmula de i Resolver las siguietes ecuacioes de recurrecia a) a a a = 3, 0; a 0=0, a 1=1 b) a a a = 7, 0; a 0=1, a 1=2 2 c) a a a =, 0; a 0=0, a 1=2 d) a+2 - a = se(π/2), 0; a 0=1, a 1=1 i=0 143