1.3 Introducción a la combinatoria

Transcripción

1 .3 Itroducció a la combiatoria Aprederemos e esta secció técicas básicas para cotar, aplicadas a diferetes aspectos: Cotar los elemetos de u cojuto, como por ejemplo los elemetos de A B o los de A B, co los pricipios de la adició, de iclusió exclusió y de la multiplicació. Cotar las maeras de seleccioar k objetos de, co o si repetició, y cosiderado el orde o o cosiderádolo. Es la combiatoria clásica: permutacioes, combiacioes y variacioes. Cotar las formas e que se puede repartir objetos e cajas, para lo que emplearemos la combiatoria clásica y tambié los llamados úmeros de Stirlig de seguda especie y los úmeros multiomiales. Llamamos cardial de u cojuto A al úmero de elemetos que tiee. Lo deotamos por A. Trataremos co cojutos fiitos. Formalmete, decimos que u cojuto A tiee elemetos si se puede establecer ua biyecció etre {, 2,... } y A. Pricipio de la adició E térmios de cojutos, el pricipio de la adició dice que si dos cojutos so disjutos, es decir, etoces el cardial de la uió es la suma de los cardiales: A B A + B, si A B. Geeralizado: A... A A A si los cojutos A,..., A so disjutos dos a dos. Co u euciado más geeral: Si teemos cajas y e la caja i hay r i objetos, e total hay r r objetos. Ejemplo. Hay tres grupos de alumos matriculados e ua asigatura; uo de 56, otro de 5 y el tercero de 36. Etoces el total de matriculados e la asigatura es Ejemplo 2. Hay tres profesores de iformática. Uo de ellos tiee cico libros de programació, otro cuatro y el tercero ocho. Si llamamos al úmero de libros de programació diferetes que tiee etre los tres, se cumple que máx{5, 4, 8} , es decir, 8 7. Pricipio de las cajas El pricipio de la adició os permite afirmar, e particular, que si teemos cajas y e cada caja, como mucho, hay u objeto, e total habrá m objetos, co m. Dado la vuelta al argumeto teemos el pricipio de las cajas: Si teemos m objetos repartidos e cajas y m >, etoces habrá al meos ua caja que tega más de u objeto.

2 Ejemplo 3. E u grupo de 3 o más persoas seguro que hay, al meos, dos que cumple años e el mismo mes, segú el pricipio de las cajas: los objetos so las persoas y las cajas so los meses. El pricipio de las cajas geeralizado dice lo siguiete: Si teemos m objetos repartidos e cajas y m > r, etoces habrá algua caja que tega más de r objetos. Ejemplo 4. Este pricipio os permite asegurar que e u grupo de más de 60 persoas hay al meos seis que cumple años e el mismo mes. Los objetos so las persoas, m > 60 y las cajas so los meses, 2. Como m > 2 5, podemos decir que hay algua caja co más de cico objetos, es decir, que hay al meos seis persoas que cumple años e el mismo mes. Pricipio de iclusió exclusió Este pricipio cueta los elemetos de ua uió de cojutos, o ecesariamete disjutos. Si hallamos el cardial de la uió como la suma de los cardiales, los elemetos que está e las iterseccioes está cotados más de ua vez. Si teemos dos cojutos, el cardial de su uió es: A B A + B A B. Es decir, teemos que restar a la suma de los cardiales el cardial de la itersecció, porque los elemetos que está e ella está cotados dos veces. Co tres cojutos, la fórmula es esta: A B C A + B + C A B A C B C + A B C. Ahora hemos restado los cardiales de todas las iterseccioes de dos de los cojutos, pero hemos teido que sumar el cardial de la itersecció de los tres cojutos, porque los elemetos que está e ella estaba cotados tres veces pero estaba restados otras tres. La fórmula del pricipio de iclusió exclusió, para u úmero cualquiera de cojutos, es la siguiete: A... A α α 2 + α ( ) ( ) α, dode α i, i,..., es la suma de los cardiales de todas las iterseccioes de i cojutos de los. Ejemplo 5. E u exame que costaba de dos pruebas, 54 persoas aprobaro la primera, 9 la seguda y 2 aprobaro las dos. Para hallar el úmero de persoas que se presetaro, lo hacemos así: A B A + B A B (hemos llamado A y B a los cojutos de persoas que aprobaro la primera y la seguda pruebas, respectivamete) 2

3 Ejemplo 6. Vamos a calcular el úmero de eteros etre y 000 que so divisibles por 2, por 3 o por 5. Teemos que hallar A 2 A 3 A 5, dode A 2 es el cojuto de los múltiplos de 2 compredidos etre y 000, A 3 el de múltiplos de 3 y A 5 el de múltiplos de 5. Los cardiales so estos (represetamos por [] la parte etera de ): A , A 3 [ ] 333 y A , co lo que α A 2 A 3 [ ] 66 (estos so los múltiplos de 6 que hay etre y 000); A 2 A (múltiplos de 0) y A 3 A 5 [ ] 66 (múltiplos de 5). Por tato, α Fialmete, A 2 A 3 A 5 [ ] 33 α 3. Etoces A 2 A 3 A 5 α α 2 α Hay 734 úmeros eteros etre y 000 que so divisibles por 2, 3 o 5. Pricipio de la multiplicació E térmios de cojutos, el pricipio de la multiplicació dice que el cardial de u producto cartesiao de u úmero fiito de cojutos fiitos es el producto de los cardiales de los cojutos. Co dos cojutos: A B A B. Geeralizado, para cojutos: A... A A... A. Podemos euciar este pricipio así: Si ua tarea costa de trabajos, y cada trabajo i se puede realizar de r i formas diferetes, el trabajo se puede hacer de r... r formas diferetes. Ejemplo 7. Hay tres grupos de alumos matriculados e ua asigatura; uo de 56, otro de 5 y el tercero de 36. Se elige u alumo de cada grupo, para formar ua tera de represetates. El úmero de teras diferetes que se puede hacer viee dado por el pricipio de la multiplicació: Ejemplo 8. Si u restaurate da e su meú cico primeros platos, tres segudos y seis postres, e total hay formas diferetes de comer. Permutacioes ordiarias o si repetició Ua permutació ordiaria, o si repetició, de objetos diferetes es cualquier ordeació que se pueda hacer, de forma que esté todos ellos, y iguo se repita. Por ejemplo, cabd, dcba o abdc so alguas de las permutacioes que se puede hacer co los elemetos a, b, c y d. El úmero de estas permutacioes co objetos viee dado por la fórmula P!. (! es el factorial de, el producto de los primeros eteros positivos:! 2... ) Ejemplo 9. Hay P 3 3! 6 permutacioes de tres elemetos a, b y c, que so: abc acb bac bca cab cba. 3

4 Ejemplo 0. El úmero de formas e que se puede colocar cico persoas e fila de a uo es P 5 5! Permutacioes co repetició Dados objetos de r tipos diferetes, i del tipo i, i,..., r, llamamos permutació co repetició de estos objetos a cualquier reordeació e la que aparezca todos ellos. Su úmero es P,..., r!!.... r! Ejemplo. El úmero de palabras que se puede formar co las letras de RECORRER (tega o o setido) es P 4,2,, 8! 8 4! 2!!! 840. Remarquemos que estamos cotado las palabras de ocho letras que tiee cuatro erres, dos es, ua o y ua ce. Combiacioes ordiarias o si repetició; úmeros biomiales Llamamos combiacioes ordiarias de elemetos (distitos) tomados de k e k a las muestras o ordeadas de k elemetos diferetes tomados de los elemetos. Así, dos de estas muestras será diferetes si alguo de los elemetos de ua o está el la otra. Su úmero viee dado por la fórmula C,k ( ) k! k!( k)!. Ejemplo 2. Hay C 4,2 ( ) 4 2 4! 2!2! 6 combiacioes si repetició de tamaño dos, co elemetos del cojuto {a, b, c, d}, que so estas: ab ac ad bc bd cd Ejemplo 3. De cuátas formas se puede escoger tres persoas de u grupo de diez? No importa el orde e que las escojamos, y o se puede repetir, co lo que sería combiacioes si repetició: C 0,3 ( ) 0 3 0! 3!7! Los úmeros de la forma ( k) se calcula, como hemos visto ates, co el cociete! de factoriales k!( k)!. Tiee setido cuado y k so eteros y 0 k, teiedo e cueta que 0!. Se lee sobre k y es el ídice superior y k, el ídice iferior; se llama úmeros biomiales porque aparece e el desarrollo de la fórmula del biomio: (a + b) ( ) a + 0 ( ) ( ) a b ab + ( ) b y se puede ordear formado lo que se deomia el triágulo de Pascal: ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 4 i0 ( ) a i b i, i

5 y haciedo los cálculos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Etre las propiedades que tiee los úmeros biomiales, destacaremos estas tres: Verifica esta fórmula de recurrecia, válida si r : ( ) ( ) ( ) +. r r r E el triágulo, esta fórmula idica que cada úmero biomial es igual a la suma de los dos que tiee ecima. La suma de los úmeros biomiales que tiee ídice superior es 2 : i0 ( ) i ( ) + 0 ( ) ( ) 2. Es decir, los úmeros de cada fila del triágulo de Pascal suma 2 : 2 0, , Fialmete, señalaremos que la simetría que tiee los úmeros biomiales respecto del eje vertical del triágulo de Pascal se debe a esta idetidad: ( ) ( ). r r Combiacioes co repetició Las combiacioes co repetició de elemetos tomados de k e k so las muestras o ordeadas de k elemetos, etre los cuales puede haber repeticioes, elegidos etre los elemetos. Su úmero es CR,k ( ) +k k (+k )! k!( )!. Ejemplo 4. Hay CR 4,2 ( ) ( ) 2 0 combiacioes co repetició de dos elemetos tomados del cojuto {a, b, c, d}, que so estas: aa ab ac ad bb bc bd cc cd dd 5

6 Ejemplo 5. De cuátas maeras se puede asigar tres tareas a diez persoas de forma que cada tarea la realice ua persoa y que ua persoa pueda realizar varias tareas? E este caso teemos que escoger tres persoas de las diez, si que el orde sea relevate, porque cosideramos las tareas idistiguibles, y pudiedo haber repeticioes. Por tato, hay CR 0,3 ( ) ( ) maeras de hacer esta asigació. Este ejemplo lo podemos ver como u problema de cotar las formas de repartir objetos idistiguibles (las tres tareas) e k cajas diferetes (las diez persoas). El úmero de estos repartos viee dado, etoces, por CR,k. Variacioes ordiarias o si repetició Llamamos variacioes si repetició de objetos (diferetes) tomados de k e k a las muestras ordeadas de k objetos diferetes escogidos de etre los. Dos de estas variacioes sería diferetes si tiee algú elemeto diferete o, si tiee los mismos elemetos pero e orde diferete. El úmero de variacioes ordiarias o si repetició es V,k ( )... ( k + ), o, tambié, V,k! k!. Ejemplo 6. Las variacioes si repetició de dos elemetos tomados del cojuto {a, b, c, d} so estas: ab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dc E este caso, 4, k 2 y V 4, Aparece, por ejemplo, ab y ba porque, como variacioes, so diferetes; e cambio, e el ejemplo 2 solo aparece ab porque, como combiacioes, ab y ba so la misma. Ejemplo 7. De cuátas maeras se puede escoger u presidete, u secretario y u vocal etre los diez miembros de ua asociació? Teemos que escoger tres persoas de diez, teiedo e cueta que el orde es relevate, y que o puede haber repeticioes. Por tato, so variacioes si repetició: V 0, Variacioes co repetició Llamamos variacioes co repetició de elemetos (distitos) tomados de k e k a las muestras ordeadas de k elemetos, etre los que puede haber repeticioes, tomados de los elemetos. Su múmero es V R,k k. Ejemplo 8. Cuátas palabras de seis letras se puede hacer co el alfabeto {a, b, c, d}? Teemos que hacer muestras ordeadas, co repeticioes e este caso, de tamaño seis. Por ejemplo, estas: babcbd dddddd cbdcba aaaddd dddaaa... E total habría V R 4,

7 Números de Stirlig (de seguda especie); úmeros multiomiales E esta secció veremos alguos resultados referidos al úmero de formas de repartir objetos diferetes e cajas, iguales o diferetes. El úmero de Stirlig (de seguda especie), que se deota por S(, k), es el úmero de formas de repartir objetos diferetes e k cajas iguales, de forma que cada caja tega algú elemeto. Observemos que tiee que ser k. Desde el puto de vista de la teoría de cojutos, S(, k) es el úmero de particioes de u cojuto de elemetos e k partes. Es fácil ver que S(, ) y S(, ), para cualquier. Pero o hay ua fórmula explícita para S(, k). E cambio, teemos esta fórmula de recurrecia, que permite calcular los úmeros de Stirlig para coociedo los de : S(, k) S(, k ) + k S(, k), y esta otra fórmula, e forma de sumatorio: S(, k)! k ( ) k ( ) k i i. i i0 Los úmeros de Stirlig se puede ordear, de forma similar a los úmeros biomiales, e el triágulo de Stirlig: y haciedo los cálculos, teemos: S(, ) S(2, ) S(2, 2) S(3, ) S(3, 2) S(3, 3) S(4, ) S(4, 2) S(4, 3) S(4, 4) S(5, ) S(5, 2) S(5, 3) S(5, 4) S(5, 5) Observemos que, segú la fórmula de recurrecia, cada elemeto es la suma de los dos que tiee ecima, pero el de la derecha multiplicado por k. Ejemplo 9. De cuátas maeras se puede repartir cuatro persoas e dos grupos? Si los grupos so idistiguibles y o puede quedar iguo vacío, teemos que el reparto se puede hacer de S(4, 2) 7 maeras. So las siguietes (llamamos A, B, C y D a las persoas): A BCD B ACD C ABD D ABC AB CD AC BD AD BC 7

8 Seguimos co el problema de cotar los repartos de objetos diferetes e k cajas o vacías. Si ahora las cajas so tambié diferetes, debemos multiplicar el úmero de Stirlig S(, k) por k!, que so las formas de asigar las k partes a las k cajas. Ejemplo 20. E el ejemplo aterior, si los grupos fuera diferetes, las maeras de hacer el reparto sería S(4, 2) 2! Observemos que ahora hay dos casos por cada uo de los del ejemplo aterior: por ejemplo, hay que cotar como diferetes los casos A BCD y BCD A. Por último, cosideramos el problema de cotar los repartos de objetos e k cajas, 2,..., k, de forma que a cada caja vaya u úmero de objetos determiado: objetos a la caja, 2 a la caja 2,... y k a la caja k. Estos úmeros tiee que sumar y puede ser cero, es decir, puede haber e este caso cajas vacías. El úmero de estos repartos es ( ) 2... k!! 2!... r!. Ejemplo 2. E u restaurate hay cico mesas diferetes. De cuátas formas se puede colocar diez persoas, si e la mesa tiee que haber cuatro persoas, e la 2 tres, e la 3 otras tres, y tiee que quedar vacías las mesas 4 y 5? La respuesta es ( ) ! 4! 3! 3! 0! 0! Los úmeros ( )... k so ua geeralizació de los úmeros biomiales; de hecho, ( si k 2 coicide: ) ( 2 ) ( ) 2. Se llama úmeros multiomiales, porque aparece e el desarrollo de (a a k ) : ( ) (a a k ) a a k k. k (,..., k ) k, i 0 Hay tatos sumados como formas de expresar el úmero como suma de k eteros o egativos. Ejemplo 22. E el desarrollo de (a + b + c) 2 aparece seis sumados, que so los correspodietes a las teras (2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 2), (,, 0), (, 0, ) y (0,, ): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (a+b+c) 2 a 2 + b 2 + c 2 + ab+ ac+ bc Haciedo las operacioes, resulta (a + b + c) 2 a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc. 8