1. Hallar un número cuadrado perfecto de cinco cifras sabiendo que el producto de esas cinco cifras es 1568.

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1 Hoja de Probleas º Algebra. Hallar u úero cuadrado perfecto de cico cifras sabiedo que el producto de esas cico cifras es 568. Solució: Sea x 0 4 x 0 3 x 3 0 x 4 0 x 5 el úero que buscaos y sea a 0 b 0 c la raíz cuadrada del úero que buscaos. Etoces debe ocurrir que: x 0 4 x 0 3 x 3 0 x 4 0 x 5 a 0 4 ab0 3 b ac) 0 bc0 c Por otro lado sabeos que , etoces se tiee que forado por las siguietes posibles cifras: debe estar ) 7, 7, 8, 4, ) 7, 7, 8,, 3) 7, 7, 4, 4, La opció ) o es posible porque u cuadrado o puede teer uca coo cifra de las uidades u 7, u 8 o u. Por otro lado la opció 3) tapoco puede ser, pues la sua de sus cifras es 4, que es dursible por 3, pero o por 9, por lo tato o puede forar u cuadrado perfecto. Por lo tato las cifras de debe ser 7, 7, 8, 4, y bajo estas codicioes se tiee que x 5 debe ser o 4 y x 4 debe ser par. Etoces se tiee que los posibles valores de so: Pero de todos ellos el úico que es u cuadrado perfecto es: Etoces: ) N Ecotrar u úero abcd de 4 cifras e base, tal que es cuadrado perfecto y adeás los úeros ab y cd so cosecuetes e base. Solució: Coo bie os dice el problea, se tiee que ab cd, /7

2 y por otro lado0000 ) abcd < ) Pasado la desigualdad a base 0, se tiee que 78 < 0738 dode deotaos por el úero abcd pero e base 0. Etoces teeos que 4 < 44 Por otro lado teeos que abab abcd a 3 b a b 45ª b) 9 5 ª b) ) ). Por lo tato ) o ) debe ser últiplos de 9 y coo 4 < 44, etoces: Si es últiplo de 9, y coo ) ) debe ser últiplo de 5 etoces ) que verifica las codicioes. Si es últiplo de 9 y coo ) ) debe ser últiplo de 5 etoces ) que verifica las codicioes del problea. Por lo tato hay dos solucioes posibles para este problea: 0 ) y 4344 ) 3. E u sistea de ueració cuya base se descooce, dos úeros se escribe 30 y 40. El producto de abos úeros es e el sistea de ueració de base 9. Hallar la base descoocida. Solució: Teeos que: 30 ) 40 ) ) Etoces pasádolo a base diez se tiee que: 3 )4 ) )4 ) , haciedo teeos: /7

3 3/ ± ± ) lo rechazaos 64 8 o -8 que lo rechazaos la solucióes 8 4. Deuestre que para todo úero atural,, se tiee: ) Solució: Sea ΙΝ Α ) / ι) Α? Α 3 ) ) ) ιι) Supogaos cierto que Α, es decir: ). Veaos si ) Α, )? 3 ) ) ) ) ) ) Α Α ΙΝ

4 5. Hallar u úero de cico cifras diferetes que sea igual a la sua de todos los de tres cifras que se puede obteer forado todas las variacioes ordiarias de dichas cico cifras toadas de tres e tres. Solució: Supogaos que N x x x 3 x 4 x 5 es el úero pedido co x 0, porque si o, o tedría cico cifras. Coo co esas cico cifras quereos forar úeros de tres cifras se tiee que hay V 5,3 60 posibilidades, de las cuales hay que tiee ua cifra deteriada e ua posició deteriada. Por tato teeos que: x x x 3 x 4 x 5 ) x x x 3 x 4 x 5 ) 0 x x x 3 x 4 x 5 ) 00 33x x x 3 x 4 x 5 ) y por lo tato: N 33x x x 3 x 4 x 5 ) Etoces N es últiplo de 9 porque 33 lo es, y utilizado el criterio de divisibilidad del 9 se tiee que: x x x 3 x 4 x 5 9t y dado que todas las cifras so distitas etre si, su sua estará etre: y x x x 3 x 4 x 5 35 Por lo tato los úicos valores posibles de t so t y t 3. Si t etoces N , y coo la sua de sus cifras es etoces cotradice que x x x 3 x 4 x 5 9t Este úero o es el buscado. Si t 3 etoces N y coo etoces N es la solució del problea. 6. Dados los códigos ordeados de cico letras etre las ocho: A, B, C, D, E, F, G, H repetidas o o, se pide hallar: a) Núero total de códigos. b) ) Núero de ellos co ua sola letra repetida dos veces. Ejeplo: ABACH. 4/7

5 ) Núero de ellos co dos letras repetidas dos veces cada ua. Ejeplo: ABBCA. 3) Núero de ellos co ua letra repetida tres veces. Ejeplo: ABAAE. 4) Núero de ellos co ua letra repetida tres veces y otra dos. Ejeplo: AABAB. 5) Núero de ellos co ua letra repetida cuatro veces. 6) Núero de ellos co ua letra repetida cico veces. 7) Núero de los que o esté copredidos e los grupos ateriores. 8) Supuestas ordeadas las letras alfabéticaete, calcular el úero de códigos forados por cico letras cosecutivas e dicho orde. Ejeplo: DGFHE. c) Supuesto el orde lexicográfico etre los códigos, hallar el que correspode al 79. Solució: a) El úero total de códigos viee dado por las variacioes co repetició de 8 eleetos toados de 5 e 5. b) ) C 5, 8 V 7, ) C 5, C 3, C 8, ) C 5,3 8 V 7, ) C 5, ) C 5, ) C 5,5 8 8 VR 8, ) Le restaos al total de códigos posibles la sua de los ateriores: ) Elegidas cico letras cosecutivas el úero de foras diferetes de ordearlas es P 5 5! 0 y coo hay cuatro foras diferetes de elegir cico letras cosecutivas etre ocho, se tiee que: c) Si defiios la aplicació f {A, B, C, D, E, F, G, H} {0,,, 3, 4, 5, 6, 7} dada por: fa) 0, fb), fc), fd) 3, fe) 4, ff) 5, fg) 6, fg) 7. El orde lexicográfico de los códigos coicide co el orde de los úeros e base a 8, por ejeplo: el correspode a AAAAA etoces la posició 79 e verdad es el úero 78 segú uestra aplicació, es decir ) ADDAA. Etoces la solució es ADDAA 7. Dos ujeres y tres hobres sube a u ascesor e la plata baja de u edificio de seis pisos. Averiguar de cuatas aeras se puede bajar del 5/7

6 ascesor, sabiedo que e u iso piso o puede bajar persoar de distito sexo. Solució: Hay que teer e cueta dos posibilidades a la hora de cotar, y es que las ujeres se puede bajar e la isa plata o e distitas platas. Si las ujeres se baja, las dos, e la isa plata teeos cico foras diferetes de que se baje, ya que coo se sube e la plata baja, se puede bajar e cualquiera de las otras cico platas. Para cada ua de las cico foras de bajarse las 3 4 6! ujeres hay 0 foras de bajarse los hobres, que so las 3 3! 3! cobiacioes co repetició de 4 eleetos toados de 3 e 3. 5 Si las ujeres se baja e pisos distitos se tiee que hay 0 foras 3 3 diferetes de bajarse, y los hobres tedrá 0 foras diferetes de 3 bajarse, cobiacioes co repetició de 3 eleetos toados de 3 e 3. Por lo tato: N El resultado es N Deteriar el úero áxio de putos de itersecció de las diagoales de u polígoo covexo de lados: a)coteidos e el iterior de aquel. b) Situados e su exterior. Solució: a) Cada cuatro vértices distitos del polígoo defie dos diagoales que se corta e u puto de itersecció iterior. Etoces: P i 4 b) Para poder calcular los putos exteriores de itersecció etre las diagoales, vaos a calcular los putos de itersecció totales etre las diagoales y luego restareos las iteriores, obteeos así los putos de itersecció exteriores etre las diagoales. Coo teeos vértices y lados, etoces teeos 3) 6/7

7 Diagoales distitas que o so los lados del triágulo). Coo e cada vértice 3 cocurre - 3 diagoales, teeos por lo tato que hay diagoales que se corta e cada vértice. Coo cada dos diagoales hay u puto de itersecció se tiee que: 3 3 P T 3) 7 4) 8 Etoces teeos los putos exteriores de itersecció etre las diagoales viee dados por: P e P T P i 3) 7 4) 3) 4) 5) 8 4 Etoces las solucioes so: a) P i 4 3) 4) 5) b) P e 7/7

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