Sobrantes de 2004 (Junio Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A

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1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2004 (Juio Modelo 5) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A x+y 6 3x-2y 13 Sea el sistema de iecuacioes. x+3y -3 x 0 (2 putos) Dibuje el recito cuyos putos so las solucioes del sistema y obtega sus vértices. (1 puto) Halle los putos del recito e los que la fució F(x,y) = x 2y toma los valores máximo y míimo, y determie éstos. Solució x+y 6 3x-2y 13 Sea el sistema de iecuacioes. x+3y -3 x 0 Dibuje el recito cuyos putos so las solucioes del sistema y obtega sus vértices. Halle los putos del recito e los que la fució F(x,y) = x 2y toma los valores máximo y míimo, y determie éstos. ( y ( Las desigualdades x + y 6; 3x - 2y 13; x + 3y - 3; x 0, las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, x + y = 6; 3x - 2y = 13; x + 3y = - 3; x = 0. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = -x + 6; y = 3x - 13; y = -x/3-1; x = 0. Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, etre las que estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = 0 e y = -x/3-1, teemos y = -1 y el vértice es A(0,-1). De y = -x/3-1 e y = 3x 13, teemos -x/3 1 = 3x - 13, es decir -2x - 6 = 9x - 39, luego 33 = 11x por tato x = 3 e y = -2, y el vértice es B(3,-2). De y = 3x - 13 e y = -x + 6, teemos 3x - 13 = -x + 6 3x - 13 = -2x x = 25 x = 5, de dode y = 1, y el vértice es C(5,1). De y = -x + 6 y x = 0, teemos y = 6, y el vértice es D(0,6). Vemos que la regió factible es el polígoo covexo limitado por los vértices del recito, que so: A(0,-1), B(3,-2), C(5,1) y D(0,6). El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió covexa acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0,-1), B(3,-2), C(5,1) y D(0,6). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. 1

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2004 (Juio Modelo 5) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua F(0,-1) = (0) - 2(-1) = 2; F(3,-2) = (3) - 2(-2) = 7; F(5,1) = (5) - 2(1) = 3; F(0,6) = (0) - 2(6) = -12. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 7 (el mayor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice B(3,-2), y el míimo absoluto de la fució F e la regió es -12 (el meor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice D(0,6). EJERCICIO 2_A La temperatura T, e grados cetígrados, que adquiere ua pieza sometida a u proceso viee dada e fució del tiempo t, e horas, por la expresió: T(t) = 40t 10t 2 co 0 t 4. (1 5 putos) Represete gráficamete la fució T y determie la temperatura máxima que alcaza la pieza. (1 5 putos) Qué temperatura tedrá la pieza trascurrida 1 hora? Volverá a teer esa misma temperatura e algú otro istate? Solució La temperatura T, e grados cetígrados, que adquiere ua pieza sometida a u proceso viee dada e fució del tiempo t, e horas, por la expresió: T(t) = 40t 10t 2 co 0 t 4. Represete gráficamete la fució T y determie la temperatura máxima que alcaza la pieza. Como la gráfica de la fució T(t) = 40t 10t 2 co 0 t 4, es u trozo de parábola co las ramas hacia abajo ( ) el valor máximo se puede alcazar e su vértice (abscisa solució de T (t) = 0), o e los extremos del itervalo [0,4], es decir x = 0 y x = 4. T(t) = 40t 10t 2 T (t) = 40 20t. De T (t) = 0 teemos 40 20t = 0, es decir t = 400 = 2. T(0) = 40(0) 10(0) 2 = 0. T(2) = 40(2) 10(2) 2 = 40. T(4) = 40(4) 10(4) 2 = 0. Teiedo e cueta lo aterior la temperatura máxima de la pieza es de 40º y se alcaza e 2 horas (t = 2). Co los datos ateriores u esbozo de la gráfica es: Qué temperatura tedrá la pieza trascurrida 1 hora? Volverá a teer esa misma temperatura e algú otro istate? Me está pidiedo que T(1) = 40(1) 10(1) 2 = 30º, es decir al cabo de 1 hora la temperatura es de 30º. Como la gráfica de la fució es simétrica respecto del vértice, la temperatura de 30º se volverá a alcazar a las 3 horas. Tambié se podría ver resolviedo la ecuació T(t) = 40t 10t 2 = 30, es decir 10t 2 40t + 30 = 0, o bie t 2 4t + 3 = 0 2 -(-4) ± 4-4(3) 4 ± 2 t = =, es decir las solucioes so t = 3 y t = 1. 2

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2004 (Juio Modelo 5) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua EJERCICIO 3_A Parte I María y Laura idea el siguiete juego: cada ua laza u dado, si e los dos dados sale el mismo úmero, gaa Laura; si la suma de ambos es 7, gaa María; y e cualquier otro caso hay empate. (1 puto) Calcule la probabilidad de que gae Laura. (1 puto) Calcule la probabilidad de que gae María. Solució María y Laura idea el siguiete juego: cada ua laza u dado, si e los dos dados sale el mismo úmero, gaa Laura; si la suma de ambos es 7, gaa María; y e cualquier otro caso hay empate. Sabemos que al lazar dos dados hay 6 6 = 36 casos posibles. Llamamos i-j al suceso salir º i e u dado y º j e el otro dado. A = gaa Laura = salir el mismo º = {1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6}. Hay 6 casos. B = gaa María = la suma de ambos es 7 = {1-6, 6-1, 2-5, 5-2, 3-4, 4-3}. Hay 6 casos. Calcule la probabilidad de que gae Laura. p(gaa Laur = p(a) = 6/36 = 1/6. Calcule la probabilidad de que gae María. p(gaa Marí = p(b) = 6/36 = 1/6. EJERCICIO 3_A Parte II U fabricate de pilas alcalias sabe que el tiempo de duració, e horas, de las pilas que fabrica sigue ua distribució Normal de media descoocida y variaza Co ua muestra de su producció, elegida al azar, y u ivel de cofiaza del 95% ha obteido para la media el itervalo de cofiaza (372 6, 392 2). (1 puto) Calcule el valor que obtuvo para la media de la muestra y el tamaño muestral utilizado. (1 puto) Cuál sería el error de su estimació, si hubiese utilizado ua muestra de tamaño 225 y u ivel de cofiaza del 86 9%? Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. (µ) = x z 1 α,x + z1 α = (a, dode z 1-α y z α = - z 1-α es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α ) = 1 - α Tambié sabemos que la media es x = (a +, el error máximo de la estimació es E = z1 α, para el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a = 2 z1 α = 2 E, de dode E = (b, z 1- α. 2 z 1- α. por tato el tamaño míimo de la muestra es = = E b - a. 3

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2004 (Juio Modelo 5) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua U fabricate de pilas alcalias sabe que el tiempo de duració, e horas, de las pilas que fabrica sigue ua distribució Normal de media descoocida y variaza Co ua muestra de su producció, elegida al azar, y u ivel de cofiaza del 95% ha obteido para la media el itervalo de cofiaza (372 6, 392 2). Calcule el valor que obtuvo para la media de la muestra y el tamaño muestral utilizado. Datos del problema: La distribució de las medias muestrales es X N(µ ; ), co 2 = 3600, luego = 60, ivel de cofiaza = 95% = 0 95 = 1 - α, de dode α = 0 05, es decir α = 0 05 = De p(z z 1-α ) = 1 - α = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad viee, y que correspode a z 1-α = 1 96, tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. (µ) = x z 1 α,x + z1 α = (a, = (372 6, 392 2). Teemos que la media de la uestra es x = (a + = ( ) = = z 1- α. De la amplitud del itervalo es b a = 2 z1 α, teemos b - a = 2 1' '2-372'6 = 144, teemos que el tamaño de la muestra es = 144. Cuál sería el error de su estimació, si hubiese utilizado ua muestra de tamaño 225 y u ivel de cofiaza del 86 9%? Datos del problema: = 225, = 60, ivel de cofiaza = 86 9% = = 1 - α, de dode α = 0 131, es decir α = = De p(z z 1-α ) = 1 - α = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad viee, y que correspode a z 1-α = Como el error máximo de la estimació es E z1 α = / (225) = 6 04, luego el error es meor o igual que OPCIÓN B EJERCICIO 1_B Sea las matrices A=, B=, C= (2 putos) Calcule la matriz P que verifica B P A = C t. (C t, idica la traspuesta de C) (0 5 putos) Determie la dimesió de la matriz M para que pueda efectuarse el producto A M C. c) (0 5 putos) Determie la dimesió de la matriz N para que C t N sea ua matriz cuadrada. Solució Sea las matrices A=, B=, C= Calcule la matriz P que verifica B.P A = C t. (C t, idica la traspuesta de C). De B.P A = C t, teemos B P = A + C t. Si la matriz B tiee matriz iversa B -1, (podemos pasar de (B I 2 ) mediate trasformacioes elemetales a la matriz (I 2 B -1 )), podemos multiplicar la expresió matricial B P = A + C t por la izquierda por la matriz B F 1 - F F (B I 2 ) = = (I 2 B -1 ), por tato 0 1 F2- F B = Tambié la podíamos ver por la fórmula B -1 = 1/( B ) Adj(B t ). 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2004 (Juio Modelo 5) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua B = det(b) = 2 1 = 4-2 = 2 0, luego existe B-1 ; B t = B = (1) = , Adj(B t ) = , luego - De B P = A + C t, teemos B -1 B P = B -1 (A + C t ) I 2 P = B -1 (A + C t ) P = B -1 (A + C t ). Luego P = B -1 (A + C t ) = ( 1 ) + = ( 1 ) = ( 1 ) = Determie la dimesió de la matriz M para que pueda efectuarse el producto A M C. = Para poder efectuar el producto de matrices el º de columas de la 1ª debe coicidir co el º de filas de la 2ª, como teemos A 2x3 M C 3x2, vemos que M tiee que ser de orde 3x3. c) Determie la dimesió de la matriz N para que C t N sea ua matriz cuadrada. Para poder efectuar el producto de matrices el º de columas de la 1ª debe coicidir co el º de filas de la 2ª, como teemos C t 2x3 N, vemos que N tiee que ser de orde 3x2, porque me ha dicho que es cuadrada la matriz C t N. EJERCICIO 2_B (1 5 putos) Halle los valores de a y b para que la fució f(x) = x 3 + ax 2 + b tega u extremo relativo e el puto (- 2,3). (1 5 putos) Halle la ecuació de la recta tagete a la curva y = x 3 4x + 2 e su puto de iflexió. Solució Halle los valores de a y b para que la fució f(x) = x 3 + ax 2 + b tega u extremo relativo e el puto (- 2,3). Como (- 2,3) es u puto de la gráfica teemos que f(-2) = 3. Como (- 2,3) es u extremo relativo, sabemos que aula la primera derivada, luego f (-2) = 0. f(x) = x 3 + ax 2 + b; f (x) = 3x 2 + 2ax. De f (-2) = 0 3(-2) 2 + 2a(-2) = a = 0, de dode a = 3. De f(-2) = 3 (-2) 3 + (3)(-2) 2 + b = b = 0, de dode b = -1. Halle la ecuació de la recta tagete a la curva y = x 3 4x + 2 e su puto de iflexió. Sabemos que los putos de iflexió aula la seguda derivada. y = x 3 4x + 2 = g(x); g (x) = 3x 2-4; g (x) = 6x. De g (x) = 0, teemos 6x = 0, de dode x = 0. Me pide la ecuació de la recta tagete a y = x 3 4x + 2 = g(x), e el puto de abscisa x = 0. La recta tagete e x = 0 es y g(0) = g (0) (x 0). g(x) = x 3 4x + 2; g (x) = 3x 2-4 g(0) = (0) 3-4(0) + 2 = 2 y g (2) = 3(0) 2-4 = - 4, y la recta tagete pedida es y - 2 = -4 (x 0) = - 4x, es decir y = - 4x + 2. EJERCICIO 3_B Parte I Dados dos sucesos aleatorios A y B, se sabe que: p(b C ) = 3/4 y p(a) = p(a/b) = 1/3 (B C idica el complemetario del suceso B). (0 75 putos) Razoe si los sucesos A y B so idepedietes. (1 25 putos) Calcule p(aub). 5

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2004 (Juio Modelo 5) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua Solució Dados dos sucesos aleatorios A y B, se sabe que: p(b C ) = 3/4 y p(a) = p(a/b) = 1/3 (B C idica el complemetario del suceso B). Razoe si los sucesos A y B so idepedietes. ( ) Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); p(a/b) = B p(b) ; p(b) = 1 - p(b C ); A y B so idepedietes si p(a B) = p(a) p(b); p(a B C ) = p(a) - p(a B). Me pide ver si A y B so idepedietes, es decir si p(a B) = p(a) p(b) De p(b C ) = 3/4 1 p(b) = 3/4, de dode p(b) = 1/4. p( A B ) De p(a) = p(a/b) = 1/3 =, teemos que p(a B) = p(a) p(b), por tato los sucesos so p(b) idepedietes. Calcule p(aub). Como p(a B) = p(a) p(b) = (1/3)(1/4) = 1/12, teemos p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = 1/3+1/4-1/12 = 1. EJERCICIO 3_B Parte II El peso de los paquetes eviados por ua determiada empresa de trasportes se distribuye segú ua ley Normal, co ua desviació típica de 0 9 kg. E u estudio realizado co ua muestra aleatoria de 9 paquetes, se obtuviero los siguietes pesos e kilos: 9 5, 10, 8 5, 10 5, 12 5, 10 5, 12 5, 13, 12. (1 puto) Halle u itervalo de cofiaza, al 99%, para el peso medio de los paquetes eviados por esa empresa. (1 puto) Calcule el tamaño míimo que debería teer ua muestra, e el caso de admitir u error máximo de 0 3 kg, co u ivel de cofiaza del 90%. Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. (µ) = x z 1 α,x + z1 α = (a, dode z 1-α y z α = - z 1-α es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α ) = 1 - α Tambié sabemos que la media es x = (a +, el error máximo de la estimació es E = z1 α, para el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a = 2 z1 α = 2 E, de dode E = (b, z 1- α. 2 z 1- α. por tato el tamaño míimo de la muestra es = = E b - a. El peso de los paquetes eviados por ua determiada empresa de trasportes se distribuye segú ua ley Normal, co ua desviació típica de 0 9 kg. E u estudio realizado co ua muestra aleatoria de 9 paquetes, se obtuviero los siguietes pesos e kilos: 6

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2004 (Juio Modelo 5) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua 9 5, 10, 8 5, 10 5, 12 5, 10 5, 12 5, 13, 12. Halle u itervalo de cofiaza, al 99%, para el peso medio de los paquetes eviados por esa empresa. Datos del problema: = 0 9, = 9, x = ( )/9 = 11, ivel de cofiaza = 99% = 0 99 = 1 - α, de dode α = 0 01, es decir α = 0 01 = De p(z z 1-α ) = 1 - α = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad o viee, y que ua de las más próximas es que correspode a z 1-α = 2 57, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: I.C. (µ) = x z 1 α,x + z1 α = 0'9 0'9 11-2'57,11 + 2'57 = (10 229, ). 9 9 Calcule el tamaño míimo que debería teer ua muestra, e el caso de admitir u error máximo de 0 3 kg, co u ivel de cofiaza del 90%. Datos del problema: = 0 9, E 0 3, ivel de cofiaza = 90% = 0 90 = 1 - α, de dode α = 0 10, es decir α = 0 10 = De p(z z 1-α ) = 1 - α = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad 0 95 o viee, y que ua de las más próximas es que correspode a z 1-α = De z 1- α. 1' 65 0 ' 9 = E 0'3 = , teemos que el tamaño míimo es = 25. 7

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