Exámenes de 2016 Modelo 5 Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A. y C =

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1 Exámees de 016 Modelo 5 Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A 16_mod5_EJERCICIO 1 (A) Sea las matrices A = 0-3 B = y C = (1 7 putos) Resuelva la ecuació matricial C B X A X = A t. (0 8 putos) Aalice cuáles de las siguietes operacioes si efectuarlas se puede realizar y justifique las respuestas: B C + A A C + C B t C C B A Sea las matrices A = 0-3 B = y C = Resuelva la ecuació matricial C B X A X = A t. De C B X A X = A t sacado factor comú X por la derecha teemos (C B A) X = A t. Llamamos D a la matriz C B A D = C B A = 0 - = + = La ecuació (C B A) X = A t se reduce a la ecuació D X = A t. Como det(d) = D = t = 3-9 = -6 0 la matriz D tiee matriz iversa D = Adj(D ). Multiplicado la expresió D X = A t por la izquierda por la D matriz D -1 teemos D -1 D X = D -1 At I X = D -1 At X = D -1 At t -1 3 D = Adj(D ) det(d) = -6 D t = D Adj(Dt ) = -3-1 ; -1 1 t / 1/ D = Adj(D ) = = D / 1/6 luego: X = D -1 A / -3/ t = = = /6-1/ Aalice cuáles de las siguietes operacioes si efectuarlas se puede realizar y justifique las respuestas: B C + A A C + C B t C C B A. Para poder multiplicar matrices el úmero de columas de la 1ª matriz tiee que coicidir co el úmero de filas de la ª matriz y la matriz producto tiee filas de la 1ª y columas de la ª. Para poder sumar matrices debe de teer el mismo orde. B C + A = B3x C x3 + Ax si se puede multiplicar B C y sale ua matriz 3x3 pero o se puede sumar co A porque A tiee orde x. A C + C = Ax C x3 + Cx3 si se puede multiplicar A C y sale ua matriz x3 que si se puede sumar co C porque tambié tiee orde x3. B t C = B t x3 A x o se puede multiplicar. C B A = Cx3 B 3x Ax si se puede multiplicar C B y sale ua matriz de orde x que se puede sumar co A que tambié tiee orde x. 16_mod5_EJERCICIO (A) ( 5 putos) Ua fábrica produce etre 1000 y 6000 bombillas al día. El coste diario de producció e euros de x bombillas viee dado por la fució C(x) = x + (000000)/x co 1000 x Cuátas bombillas debería producirse diariamete para miimizar costes? Cuál sería dicho coste? Ua fábrica produce etre 1000 y 6000 bombillas al día. El coste diario de producció e euros de x bombillas viee dado por la fució gjrubio@hotmail.com 1

2 Exámees de 016 Modelo 5 Germá-Jesús Rubio Lua C(x) = x + (000000)/x co 1000 x Cuátas bombillas debería producirse diariamete para miimizar costes? Cuál sería dicho coste? Me está pidiedo el míimo absoluto de la fució C(x) que sabemos se puede ecotrar e los extremos del itervalo x = 1000 x = 6000 y los úmeros x solució de C (x) = 0 porque C(x) es cotiua y derivable e R {0}. Teemos C (x) = 0 08 (000000)/x. De C (x) = 0 teemos 0 08 (000000)/x = = (000000)/x x = (000000)/(0 08) = = x = ± ( ) = ± De estas dos solucioes sólo x = 5000 está e el itervalo [ ]. Evaluamos e C(x) x= 1000 x = 5000 y x = El valor mas pequeño será el míimo absoluto. C(1000) = (1000) + (000000)/(1000) = C(5000) = (5000) + (000000)/(5000) = C(6000) = (6000) + (000000)/(6000) = Por tato para reducir costes debe de fabricarse diariamete 5000 bombillas y el coste sería de _mod5_EJERCICIO 3 (A) El 60% de los jóvees de ua ciudad usa Facebook el 80% usa WhatsApp y el 4% usa Facebook pero o WhatsApp. (0 5 putos) Halle el porcetaje de jóvees de esa ciudad que usa ambas aplicacioes. (0 75 putos) Calcule el porcetaje de esos jóvees que usa WhatsApp pero o Facebook. c) (0 75 putos) Etre los jóvees que usa WhatsApp qué porcetaje usa tambié Facebook? d) (0 5 putos) Los sucesos usar Facebook y usar WhatsApp so idepedietes? El 60% de los jóvees de ua ciudad usa Facebook el 80% usa WhatsApp y el 4% usa Facebook pero o WhatsApp. Halle el porcetaje de jóvees de esa ciudad que usa ambas aplicacioes. Sea las sucesos W = usar WhatsApp y F = usar Facebook. Datos del problema: p(f) = 60% = 0 6 p(w) = 80% = 0 8 p(f y ow) = p(f W C ) = 4% = Me pide p(usar ambas) = p(f y W) = p(f W) = {**} = 0 56 = 56% {**} de p(f W C ) = 4% = 0 04 = p(f) - p(f W) teemos 0 04 = (F W) luego (F W) = = Calcule el porcetaje de esos jóvees que usa WhatsApp pero o Facebook. Me pide p(w y of) = p(w F C ) = p(w) - p(f W) = = 0 4 = 4% c) Etre los jóvees que usa WhatsApp qué porcetaje usa tambié Facebook? ( ) Me pide p(f sabiedo que usa W) = p(f/w) = p F W = 0 56/0 8 = 0 70 = 70%. p(w) d) Los sucesos usar Facebook y usar WhatsApp so idepedietes? F y W so idepedietes si p(f W) = p(f) p(w). Como p(f W) = 0 56 p(f) p(w) = = 0 48 los sucesos F y W o so idepedietes. 16_mod5_EJERCICIO 4 (A) (1 5 putos) La talla de los idividuos de ua població sigue ua distribució Normal co desviació típica 8 cm y media descoocida. A partir de ua muestra aleatoria se ha obteido u itervalo de cofiaza al 95% para estimar la talla media poblacioal que ha resultado ser ( ) e cm. Calcule la talla media de la muestra y el tamaño muestral míimo ecesario para reducir a la mitad el error máximo de estimació aterior. (1 puto) E u club privado co 43 usuarios se ha seleccioado ua muestra para hacer u sodeo segú la actividad realizada y por muestreo aleatorio estratificado. E esa muestra 5 usuarios practica Yoga 7 Pilates y 15 Mateimieto cuátos usuarios está iscritos e cada actividad e ese club? gjrubio@hotmail.com

3 Exámees de 016 Modelo 5 Germá-Jesús Rubio Lua La talla de los idividuos de ua població sigue ua distribució Normal co desviació típica 8 cm y media descoocida. A partir de ua muestra aleatoria se ha obteido u itervalo de cofiaza al 95% para estimar la talla media poblacioal que ha resultado ser ( ) e cm. Calcule la talla media de la muestra y el tamaño muestral míimo ecesario para reducir a la mitad el error máximo de estimació aterior. σ Sabemos que para la media poblacioal μ el estimador MEDIA MUESTRAL X sigue ua N(μ ) y geeralmete escribimos X N(µ σ σ ) o X N(µ ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C. (µ) = x z 1 α / x + z1 α / = (a; observamos que b + a = x de dode x = (a + /. Tambié sabemos que z1-α/ y zα/ = - z1-α/ so los putos críticos de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(01) que verifica p(z z1 -α/) = 1 - α/ σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α / = (b - / para el itervalo de la z 1- /. media de dode el tamaño míimo de la muestra es = σ α E. Datos del problema: I.C.(µ) = ( ) de dode x = ( )/ = 168; σ = 8; ivel de cofiaza = 95% = 0 95 = 1 - α de dode α = 0 05 co la cual α/ = (0 05)/ = De p(z z1-α/) = 1 - α/ = = mirado e las tablas de la N(01) vemos que la probabilidad si viee y correspode a 1 96 luego z1 - α/ = Por tato la talla media de la muestra es x = 168 cm. σ De los datos del problema teemos que el error es E = z1 α / = (b - / = ( )/ = Como os preguta el tamaño muestral míimo ecesario para reducir a la mitad el error máximo de estimació aterior teemos que el uevo error es E = (3 14)/ = 1 57 se sigue mateiedo σ = 8 y z1 - α/ = z 1- /. De σ α E' = = 1' teemos que el tamaño míimo es de = 100 idividuos para 1'57 reducir el error a la mitad. E u club privado co 43 usuarios se ha seleccioado ua muestra para hacer u sodeo segú la actividad realizada y por muestreo aleatorio estratificado. E esa muestra 5 usuarios practica Yoga 7 Pilates y 15 Mateimieto cuátos usuarios está iscritos e cada actividad e ese club? Sabemos que e u muestreo aleatorio estratificado co afijació proporcioal si hay k estratos y que el úmero de elemetos de cada estrato es N1 N... Nk y si 1... k so los elemetos de cada ua de las muestras de los estratos el tamaño total de la muestra es = k y se calcula eligiedo los úmeros 1... k proporcioales a los tamaños de los estratos N1 N... Nk es decir 1 = =... = k = N1 N Nk N E uestro caso teemos 1 = 5 = 7 y 3 = 15 co lo cual = = = 7 de dode: gjrubio@hotmail.com 3

4 Exámees de 016 Modelo 5 Germá-Jesús Rubio Lua 7 = = 5 = 7 = 15 N 43 N1 N N3 7 5 De = teemos N1 = 5 43 = 45 luego los usuarios que practica Yoga so = 45 persoas. 43 N 7 De = teemos N = 7 43 = 63 luego los usuarios que practica Pilates so = 63 persoas. 43 N De = teemos N3 = = 135 luego los usuarios que practica Mateimieto so = N3 7 persoas. OPCION B 16_mod5_EJERCICIO 1 (B) ( 5 putos) Ua empresa fabrica dos tipos de agua de coloia A y B. La coloia A cotiee u 5% de extracto de rosas y u 10% de alcohol mietras que la B se fabrica co u 10% de extracto de rosas y u 15% de alcohol. El precio de veta de la coloia A es de 4 /litro y el de la B es de 40 /litro. Se dispoe de 70 litros de extracto de rosas y de 10 litros de alcohol. Cuátos litros de cada coloia covedría fabricar para que el importe de la veta de la producció sea máximo? Ua empresa fabrica dos tipos de agua de coloia A y B. La coloia A cotiee u 5% de extracto de rosas y u 10% de alcohol mietras que la B se fabrica co u 10% de extracto de rosas y u 15% de alcohol. El precio de veta de la coloia A es de 4 /litro y el de la B es de 40 /litro. Se dispoe de 70 litros de extracto de rosas y de 10 litros de alcohol. Cuátos litros de cada coloia covedría fabricar para que el importe de la veta de la producció sea máximo? Es u problema de programació lieal. Sea x = º de coloias tipo A. Sea y = º de coloias tipo B. Para determiar las iecuacioes y la fució objetivo F(xy) poemos u cuadro de doble etrada que os lo simplificará. Extracto Alcohol Precio Rosas Coloia A (x) 5% = % = /litro Coloia B (y) 10% = % = /litro Total 70 litros 10 litros Teiedo e cueta lo aterior teemos las siguietes iecuacioes y la fució beeficio: De Extracto rosas Coloia A 5% = 0 05 y Coloia B 10% = x + 0 1y 70. De Alcohol Coloia A 10% = 0 1 y Coloia B 15% = x y 10. De se fabrica algua coloia tipo A y B x 0 y 0. De El precio de veta de la coloia A es de 4 /litro y el de la B es de 40 /litro teemos que la fució a optimizar es F(xy) = 4x + 40y. Resumiedo: Fució a optimizar es F(xy) = 4x + 40y. Restriccioes: 0 05x + 0 1y 70; 0 1x y 10; x 0; y 0 Las desigualdades 0 05x + 0 1y 70; 0 1x y 10; x 0; y 0 las trasformamos e igualdades y sus gráficas ya so rectas 0 05x + 0 1y = 70; 0 1x y = 10; x = 0; y = 0. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete) despejamos las y y teemos: y = 70/ x/0 1 = 700 x/; y = 10/ x/0 15 = 800 x/3; x = 0; y = 0 Dibujamos las rectas y = 700 x/; y = 800 x/3; x = 0; y = 0 teemos e cueta las desigualdades y señalamos el polígoo covexo o regió factible y después sacaremos los vértices de dicho polígoo gjrubio@hotmail.com 4

5 Exámees de 016 Modelo 5 Germá-Jesús Rubio Lua covexo. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = 0 e y = 0 teemos el puto de corte A(00). De y = 0 e y = 800 x/3 teemos 0 = 800 x/3 800 = x/3 x = 100 y el puto de corte es B(1000). De y = 700 x/ e y = 800 x/3 teemos 700 x/ = 800 x/3 luego 400 3x = x de dode x = 600 e y = 700 (600)/ = 400 y el puto de corte es C(600400). De x = 0 e y = 700 x/ teemos y = 700 y el puto de corte es D(0700). Observamos que la regió factible es el polígoo coexo limitado por los vértices del recito que so: A(00) B(1000) C(600400) y D(0700). Cuátos litros de cada coloia covedría fabricar para que el importe de la veta de la producció sea máximo? El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió covexa acotada y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito por lo que evaluamos F(xy) = 4x + 40y e los vértices ateriores: A(00) B(1000) C(600400) y D(0700). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. FA(00) = 4(0) + 40(0) = 0; FB(1000) = 4(100) + 40(0) = 8800; F C(600400) = 4(600) + 40(400) = 30400; FD(0700) = 4(0) + 40(700) = 8000; Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es (el mayor valor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(600400) es decir la veta máxima es de fabricado 600 litros de la coloia A y 400 litros de la coloia B. 16_mod5_EJERCICIO (B) Los beeficios de ua empresa e miles de euros ha evolucioado e los 5 años de su existecia segú ua fució del tiempo e años dada por la siguiete expresió: 4t si 0 t < 10 B(t) = 1 - t + 8t - 0 si 10 t 5 (1 puto) Estudie la cotiuidad y derivabilidad de B e el itervalo [0 5]. (1 puto) Estudie la mootoía de esta fució y determie e qué año fuero mayores los beeficios de esta empresa y cuál fue su beeficio máximo. c) (0 5 putos) Represete gráficamete esta fució. Los beeficios de ua empresa e miles de euros ha evolucioado e los 5 años de su existecia segú ua fució del tiempo e años dada por la siguiete expresió: gjrubio@hotmail.com 5

6 Exámees de 016 Modelo 5 Germá-Jesús Rubio Lua 4t si 0 t < 10 B(t) = 1 - t + 8t - 0 si 10 t 5 Estudie la cotiuidad y derivabilidad de B e el itervalo [0 5]. La fució 4t es cotiua y derivable e todo R e particular e 0 < t < 10 La fució -t /5 + 8t - 0 es cotiua y derivable e todo R e particular e 10 < t < 50 Falta ver la cotiuidad y derivabilidad e t = 10. Estudiamos la cotiuidad e t = 10. B(t) es cotiua e t = 10 si B(10) = lim B(t) = lim B(t). t 10 t 10+ lim (4t) = 4(10) = 40. lim t 10 B(t) = t 10 B(10) = lim B(t) = lim (-t /5 + 8t - 0) = -(10) /5 + 8(10) 0 = 40. t 10 + t 10+ Como los valores so iguales B(t) es cotiua e t = 10 y por tato e [0 5]. B(t) es derivable e t = 10 si B (10 - ) = B (10 + ) (Vemos la cotiuidad de la derivada. 4t si 0 t < 10 4 si 0 < t < 10 B(t) = 1 B (t) = t - t + 8t - 0 si 10 t si 10 t < 5 B (10 - ) = lim B (t) = lim (t) = 4. t 10 t 10 B (10 + ) = lim B (t) = lim (-t/5 + 8) = -(10)/5 + 8 = 4. t 10 + t 10+ Como B (10 - ) = B (10 + ) = 4 la fució B(t) es derivable e t = 10 y por tato e (05). Estudie la mootoía de esta fució y determie e qué año fuero mayores los beeficios de esta empresa y cuál fue su beeficio máximo. 4t si 0 t < 10 4 si 0 < t < 10 Teemos B(t) = 1 B (t) = t - t + 8t - 0 si 10 t si 10 t < 5 Sabemos que la mootoía es el estudio de la primera derivada B (x). Si 0 < t < 10 B (t) = 4. De B (t) = 0 teemos 4 = 0 lo cual es absurdo es decir B(t) siempre es creciete o decreciete e 0 < t < 10. Como B (5) = 4 > 0 B(t) es estrictamete creciete ( ր ) e (010). Si 10 t < 5 B (t) = -t/ De B (t) = 0 teemos -t/5 + 8 = 0 teemos t/5 = 8 es decir t = 0 que será u posible extremo relativo. Como B (15) = -(15)/5 + 8 = > 0 B(t) es estrictamete creciete ( ր ) e (100). Como B () = -()/5 + 8 = -4/5 = -0 8 < 0 B(t) es estrictamete decreciete ( ց ) e (05). Por defiició t = 0 es u máximo relativo que vale B(0) = -(0) /5 + 8(0) - 0 = 60 Como fa fució B(t) está defiida e u itervalo cerrado sus extremos absolutos estará etre los extremos del itervalo es decir t = 0 y t = 5; y etre las solucioes de B (t) = 0 es decir t = 0. Evaluamos B(t) e 0 0 y 5 y el valor más grade es el máximo absoluto. B(0) = 4(0) = 0. Recordamos que si 0 t < 10 B(t) = 4t. B(0) = - (0) /5 + 8(0) - 0 = 60. Recordamos que si 10 t 5 B(t) = - t /5 + 8t 0. B(5) = - (5) /5 + 8(5) - 0 = 55. Por tato el máximo absoluto es 60 y se alcaza e t = 0 es decir los beeficios de esta empresa fuero euros y se alcazaro e su año 0. gjrubio@hotmail.com 6

7 Exámees de 016 Modelo 5 Germá-Jesús Rubio Lua c) Represete gráficamete esta fució. 4t si 0 t < 10 Teemos B(t) = 1 - t + 8t - 0 si 10 t 5 Si 0 t < 10 B(t) = 4t que es u trozo de segmeto. Co dos putos es suficiete para dibujarlo; para t = 0 B(0) = 4(0) = 0 puto (00). Para t = 10 - B(10 - ) = 4(10 - ) = 40 - puto ( ). Si 10 t 5 B(t) = - t /5 + 8t 0 cuya gráfica es u trozo de parábola co las ramas hacia abajo (el úmero que multiplica a t es egativo) su vértice ya lo hemos calculado que era su máximo relativo V(060). Para termiar de dibujarla le damos u valor a t a la izquierda y a la derecha de la abscisa del vértice 0. Para t = 10 B(10) = - (10) /5 + 8(10) 0 = 40 puto (1040); y Para t = 5 B(5) = 55 ya calculado y el puto es (555); U esbozo de la gráfica de f(x) es 16_mod5_EJERCICIO 3 (B) De los sucesos A y B de u experimeto aleatorio se cooce las siguietes probabilidades: P(A) = 0 4 P(B) = 0 5 P((A B) C ) = 0 1. (0 75 putos) Razoe si A y B so sucesos compatibles. (0 75 putos) Razoe si A y B so sucesos idepedietes. c) (0 5 putos) Calcule P(A B C ). d) (0 5 putos) Calcule P(A/B C ). De los sucesos A y B de u experimeto aleatorio se cooce las siguietes probabilidades: P(A) = 0 4 P(B) = 0 5 P((A B) C ) = 0 1. Razoe si A y B so sucesos compatibles. Sabemos que A y B so compatibles si p(a B) 0 Del problema teemos: p(a) = 0 4 p(b) = 0 5 p(a B) C = 0 1. De p(a B) C = 0 1 = 1 - p(a B) teemos p(a B) = = 0 9. De p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) teemos 0 9 = p(a B) luego p(a B) = = 0. Como p(a B) = 0 los sucesos A y B so icompatibles luego o so compatibles. Razoe si A y B so sucesos idepedietes. Sabemos que A y B so idepedietes si p(a B) = p(a) p(b) Como p(a B) = 0 p(a) p(b) = = 0 los sucesos A y B so depedietes luego so so idepedietes. gjrubio@hotmail.com 7

8 Exámees de 016 Modelo 5 Germá-Jesús Rubio Lua c) Calcule p(a B C ). Teemos p(a B C ) = P(A) - P(A B) = = 0 4. d) Calcule P(A/B C ). Me está pidiedo p(a/b C ) = C ( ) p A B p(a)-p(a B) = = 0 4/(1-0 5) = 4/5 = 0 8. C C p(b ) 1 - p(b ) 16_mod5_EJERCICIO 4 (B) ( 5 putos) E u artículo de iteret se afirma que el úmero medio de mesajes de WhatsApp que mada los jóvees al día o es iferior a 40. Para cotrastar dicha iformació se elige ua muestra aleatoria de 100 jóvees y se observa que evía ua media de 38 mesajes al día. Se sabe que el úmero de mesajes eviados diariamete sigue ua distribució Normal de desviació típica. Co u ivel de sigificació del 5% platee u cotraste (H0 : µ 40) determie la regió de rechazo y cocluya si se puede aceptar la afirmació del artículo de iteret? E u artículo de iteret se afirma que el úmero medio de mesajes de WhatsApp que mada los jóvees al día o es iferior a 40. Para cotrastar dicha iformació se elige ua muestra aleatoria de 100 jóvees y se observa que evía ua media de 38 mesajes al día. Se sabe que el úmero de mesajes eviados diariamete sigue ua distribució Normal de desviació típica. Co u ivel de sigificació del 5% platee u cotraste (H0 : µ 40) determie la regió de rechazo y cocluya si se puede aceptar la afirmació del artículo de iteret? Sabemos que si ua variable aleatoria X sigue ua distribució ormal N(µ0σ) y extraemos de ella muestras de tamaño la distribució muestral de medias X sigue tambié ua distribució ormal: N(µ0 σ ). Datos del problema: µ0 = 40; = 100; x = 38; σ = ; el úmero medio de mesajes de WhatsApp que mada los jóvees al día o es iferior a 40 (H0 :µ 40) ivel de sigificació = α = 5% = Es u cotraste uilateral y trabajamos co la ormal N(01). Tambié se puede hacer co la distribució ormal muestral y es parecido a los itervalos de cofiaza. El problema la dividimos e cico etapas Etapa 1: Formulamos la hipótesis ula y la alterativa. Las hipótesis ula y alterativa so: H0 : µ 40 y H1 : µ < 40 la cual os idica la direcció del cotraste es decir la regió crítica está a la izquierda del puto crítico zα = - z 1-α. Etapa : Calculamos el puto crítico que os dará la regió crítica y de aceptació. Para el ivel de sigificació es α = 0 05 teemos u ivel de cofiaza o probabilidad = 1 - α = De p(z z1-α) = 1 - α = = 0 95 mirado e las tablas de la N(01) vemos que dicha probabilidad o viee e la tabla y los valores más próximos es y que correspode a 1 64 y 1 65 por tato el valor crítico es la media de ambos z1-α = ( )/ = e uestro caso -z 1-α = que separa la zoa de aceptació y la de rechazo. La regió de rechazo ó crítica es el itervalo ( ). Lo observamos e u dibujo: gjrubio@hotmail.com 8

9 Exámees de 016 Modelo 5 Germá-Jesús Rubio Lua Etapas 3 y 4: Poemos el estadístico del cotraste y calculamos el valor observado. X - µ E este caso el estadístico de prueba de este cotraste es Z = que sigue ua ley ormal N(01) y σ / x - µ el valor observado del estadístico de prueba será el úmero z 0 = = = σ / / 100 Etapa 5: Comparamos el valor observado co el puto crítico para tomar la decisió adecuada. Como el valor observado del estadístico de prueba z0 = - 10 es meor que el valor crítico zα = - z1-α = = vemos que os ecotramos e la regió de rechazo. Por tato tomamos la decisió de rechazar la hipótesis ula H 0: µ 0 40 y aceptar la hipótesis alterativa H 1: µ < 40 co u ivel de sigificació del 5% Co lo cual co u ivel de sigificació del 5% se rechaza acepta la hipótesis de que el úmero medio de mesajes de WhatsApp que mada los jóvees al día o es iferior a 40 es decir es iferior a 40. gjrubio@hotmail.com 9