Curso Iberoamericano de formación permanente de profesores de matemática

Transcripción

1 Cetro de Altos Estudios Uiversitarios de la OEI Curso Iberoamericao de formació permaete de profesores de matemática Tema 9: Combiatoria - -

2 Curso Iberoamericao de formació permaete de profesores de matemática Combiatoria Itroducció Pricipios básicos de recueto Coceptos básicos Muestras ordeadas: Variacioes. Permutacioes. Si repetició Co repetició Muestras o ordeadas: Combiacioes. Números combiatorios Si repetició Co repetició Biomio de Newto Itroducció Es importate apreder métodos y técicas de ivestigació, pero si caer e u fetichismo metodológico. U método o es ua receta mágica. Más bie es como ua caja de herramietas, e la que se toma la que sirve para cada caso y para cada mometo Ader-Egg La combiatoria es el arte de cotar. Mediate la combiatoria podemos calcular cardiales de cojutos y eumerar sus elemetos que satisface determiados criterios de formació. La combiatoria surge e el siglo XVII co los trabajos de Blaise Pascal (6-66) y de Pierre Fermat (60-665) sobre la teoría de juegos de azar. Mietras Pascal se ecotraba trabajado e sus Cóicas e 65, su amigo el caballero de Meré, gra aficioado al juego, le plateó alguas cuestioes como la siguiete: «E ocho lazamietos sucesivos de u dado iteta u jugador obteer u uo, pero el juego se iterrumpe después de tres itetos fallidos. E qué proporció ha de ser compesado el jugador?». Pascal escribió a Fermat sobre este problema y la correspodecia itercambiada coteía los pricipios para determiar el úmero de combiacioes de elemetos de u cojuto fiito, y costituyó el puto de partida de la modera teoría de las probabilidades. Auque i Pascal i Fermat expusiero sus resultados por escrito, Huyges publicó e 657 u breve tratado titulado «Sobre los razoamietos relativos a los juegos de dados» ispirado e la correspodecia de estos dos matemáticos fraceses. Mietras tato, Pascal había relacioado el estudio de las probabilidades co el triágulo aritmético de Cardao, al que desde etoces ha pasado a llamarse triágulo de Pascal y que tiee gra utilidad e el cálculo de los - -

3 Curso Iberoamericao de formació permaete de profesores de matemática coeficietes de los térmios del desarrollo de la potecia de u biomio. El térmio «combiatoria» tal y como lo usamos actualmete, fue itroducido por Gottfried Wilhelm vo Leibiz (66-76) e su Dissertartio de Arte Combiatoria. De gra importacia para la cosolidació de la combiatoria fue el artículo de Ars Cojectadi (El arte de cojeturar) de Jaob Beroulli (65-705); este trabajo estaba dedicado a establecer las ocioes básicas de probabilidad. Para esto fue ecesario itroducir u bue úmero de ocioes de combiatoria pues se usaro de maera abudate e las aplicacioes del cálculo de probabilidades. Se puede decir que co los trabajos de Leibiz y Beroulli se iicia el establecimieto de la combiatoria como ua ueva e idepediete rama de las matemáticas. Es ua rama de utilidad e diversas especialidades, tales como la biología, la física, la química y la propia matemática, e el desarrollo de la geometría combiatoria, los grafos, programació lieal y, por supuesto, como ya se ha dicho, e la teoría de las probabilidades y sus aplicacioes prácticas. E este tema vamos a expoer las reglas geerales de la combiatoria, los pricipios aditivos y multiplicativos, las variacioes, permutacioes y combiacioes co y si repetició. Los defiiremos dado las características que permitirá recoocer su aplicació e el trabajo práctico, y los teoremas que permitirá su resolució.. Pricipios básicos de recueto Las técicas de recueto so las que permite averiguar el úmero de agrupamietos que se puede realizar co los elemetos de cojutos cuado se ordea segú determiados criterios. Se trata de técicas que derivará e los procedimietos y estrategias de la combiatoria actual. Los pricipios básicos del recueto os permitirá descompoer los problemas e partes. Defiició Se deomia cardial de u cojuto A al úmero de elemetos de dicho cojuto y lo deotaremos A o card (A) Para el cojuto vacío se defie =0. Si A =, siedo u úmero atural, etoces diremos que A es u cojuto fiito. - -

4 Curso Iberoamericao de formació permaete de profesores de matemática.. Pricipio del producto Si u procedimieto se puede separar e dos etapas ua de m maeras y otra de maeras, de forma tal que el resultado de ua o ifluye e el resultado de la otra, etoces ambas situacioes puede ocurrir de m maeras. Si A y B so cojutos fiitos o vacíos y A B es su producto cartesiao, etoces A B A B Geeralizado este pricipio a cojutos fiitos o vacíos teemos que: A A... A A A... A Este pricipio es útil cuado se puede descompoer el proceso de recueto e pasos idepedietes. Cuátos resultados distitos podemos obteer al lazar ua moeda veces? Puesto que los resultados de cada lazamieto so idepedietes y el resultado obteido e u lazamieto o ifluye e los siguietes, vamos a aplicar el pricipio del producto. E cada lazamieto podemos obteer resultados (cara o cruz). Por tato, se trata de u cojuto A co dos elemetos que se multiplica por sí mismo tres veces. E total hay: 8 resultados posibles. Esta situació se puede esquematizar e forma de u diagrama de árbol que quedaría de la siguiete maera: - -

5 Curso Iberoamericao de formació permaete de profesores de matemática.. Pricipio de la uió (regla de la suma) Si ua situació se puede dar m veces y la otra veces, etoces el úmero total de veces que se puede dar ua situació o la otra, si que puede ocurrir cojutamete, es m+. Este pricipio permite calcular el úmero de formas totales e que puede suceder ua situació u otra, pero o ambas. Si A y B so cojutos fiitos, o vacíos y o tiee elemetos e comú, es decir A B, etoces A B A B Geeralizado este pricipio a cojutos fiitos o vacíos teemos que: A A... A A A... A Es tambié ua técica que se usará para descompoer u problema de recueto e partes más pequeñas. E ua biblioteca hay 0 libros de texto de legua y 0 libros de texto de matemáticas. De cuátas maeras distitas puede u estudiate escoger u libro de cualquiera de las dos asigaturas? Para la elecció del libro, como o se especifica si este debe ser de matemáticas o de legua, hay, por el pricipio de la suma, = 50 posibilidades, puesto que, ambos grupos so icompatibles, esto es: el libro es de legua o de matemáticas pero o de ambas materias a la vez. A veces, la resolució de u problema pasa por aplicar ambos pricipios, como podemos ver e el siguiete ejemplo: E ua sociedad e la que hay 0 hombres y 0 mujeres es ecesario elegir u presidete y u vicepresidete, si que ua misma persoa pueda ocupar los dos cargos. De cuátas maeras distitas puede elegirse a las dos persoas que ocupará los cargos? Para la elecció del presidete hay, por el pricipio de la uió, = 50 posibilidades, puesto que ambos grupos so icompatibles: o se es hombre o mujer. Para la elecció del vicepresidete dispoemos de los 9 restates puesto que ua misma persoa o puede ocupar los dos cargos y, aplicado el pricipio del producto teemos que hay: formas posibles de seleccioar los cargos

6 Curso Iberoamericao de formació permaete de profesores de matemática.. Pricipio del complemetario Si X es u cojuto fiito y A u subcojuto de X, esto es, A X etoces A c c X A, dode A es el cojuto complemetario de A. Esta técica es de aplicació cuado es más secillo cotar lo que o se pide que lo que queremos. Veamos u caso e el siguiete ejemplo: Cuátos úmeros aturales de tres cifras que o sea capicúas existe? Siguiedo el pricipio del complemetario vamos a cotar los úmeros capicúas de tres cifras y luego se lo restamos al úmero total de tres cifras existetes. Calculemos cuátos úmeros de cifras hay. U úmero de tres cifras es de la forma: a b c, siedo a 0 (e otro caso o sería de cifras) pudiedo tomar el resto de las 9 cifras y las posicioes b y c puede tomar cualquier valor del 0 al 9, es decir, 0 cifras. Aplicado el pricipio del producto la catidad de úmeros de tres cifras es: úmeros de cifras Ahora calcularemos la catidad de úmeros capicúas de cifras que será de la forma a b a, dode a 0 pudiedo tomar el resto de las 9 cifras y la posició b puede tomar ua de las 0 cifras. Aplicado uevamete el criterio del producto obteemos: úmeros capicúas de cifras Aplicado el pricipio del complemetario existe =80 úmeros o capicúas de cifras... Pricipio de las cajas (o de Dirichlet) Si se quiere repartir objetos e m cajas y >m, etoces e algua caja habrá más de u objeto. Teorema Si se tiee u cojuto de objetos, repartidos e m cajas y m, co, y m úmeros aturales, etoces algua caja debe recibir más de objetos. Demostració Supogamos que teemos objetos repartidos e m cajas y, vamos a demostrar el pricipio por reducció al absurdo, vamos a supoer que igua caja recibe más de objetos. Esto quiere decir que todos las cajas tiee a lo sumo objetos ( o meos objetos). Etoces el úmero de objetos que hay e las cajas será igual a... m, siedo i el úmero de objetos de la caja i. Como sabemos que e cada caja hay objetos o meos i, i... m

7 Curso Iberoamericao de formació permaete de profesores de matemática Sumado todos los objetos de las cajas obteemos que:... m m m, cotradicció porque m Por lo tato, el Pricipio de Dirichlet es cierto. Auque este pricipio puede ser muy trivial, puede resolver problemas tales como el siguiete. Las otas de ua asigatura va de a 0. Cuál es el míimo úmero de estudiates que debe teer ua clase para estar seguros de que al meos recibirá la misma ota? E este caso, como las otas so del al 0 tedremos 0 cajas e las que ubicar a los estudiates, para asegurar que e ua de esas cajas al meos haya estudiates, el úmero total de estudiates, segú el pricipio de Dirichlet debe ser. Cada ua de las cajas de las otas co alumos y ua co alumos.. Coceptos básicos Defiició Se deomia població al cojuto de elemetos que estamos estudiado. Llamaremos tamaño de la població al úmero de elemetos de este cojuto. Defiició Se deomia muestra a u subcojuto de la població. Llamaremos tamaño de la muestra al úmero de elemetos que la compoe. E las muestras hay que cosiderar dos aspectos: El orde, es decir, si es importate que los elemetos de la muestra aparezca ordeados o o. La repetició, es decir, la posibilidad de que los elemetos de la muestra se pueda tomar más de ua vez o o; e otros térmios: que se repita o o. E u juego de azar e el que el jugador ha de elegir 6 úmeros de etre los úmeros aturales que va del al 9. Cuátas posibles combiacioes se puede hacer e ese juego? Població:,,,...,9-7 -

8 Curso Iberoamericao de formació permaete de profesores de matemática Muestra: como hay que elegir 6 úmeros ua muestra estará formada por cualquier combiació de 6 úmeros tomados de la població, es decir, del al 9 (ua de ellas es:,7,, 7,, 5, 8) Orde: Importa el orde de elecció? No Repetició: Se puede repetir los úmeros e la muestra? : No (los úmeros o se puede repetir) La combiatoria es la parte de las matemáticas que estudia métodos para determiar el úmero de muestras que se puede extraer de ua determiada població si ecesidad de eumerarlos uo por uo e cada caso. Para ello, es preciso apreder técicas de ordeació, colocació, selecció, etc., de objetos. Los que aprederemos e este tema para calcular el úmero de muestras se basa e los pricipios del puto siguiete.. Muestras ordeadas.. Muestras ordeadas si repetició Variacioes si repetició Si teemos ua població de tamaño y queremos extraer ua muestra ordeada y si repetició de tamaño ( < ), podemos hacerlo de este modo: El primer elemeto lo podemos elegir etre los elemetos. El segudo, al o poder repetir, podemos elegirlo etre los elemetos restates.... El elemeto, lo podremos elegir etre + elemetos que queda si usar. Por tato, y aplicado el pricipio del producto, e total hay: ( ) ( +) muestras de tamaño ordeadas y si repetició. De cuátas maeras se puede elegir el comité de ua clase de 0 estudiates formado por el delegado, el subdelegado y el secretario, teiedo e cueta, además, que ua misma persoa o puede ocupar más de ua cargo? Població:,,,...,0, los 0 estudiates. Muestra: como hay que elegir cargos será cualquier selecció de persoas tomadas de la població - 8 -

9 Curso Iberoamericao de formació permaete de profesores de matemática Orde: Importa el orde de elecció? Sí. Si ua muestra está formada por A como delegado, B como subdelegado y C como secretario, y se cambia los papeles etre sí, etoces se tiee ua muestra distita. Repetició: Se puede repetir los úmeros e la muestra? No. Lo dice explícitamete el texto. Para el cargo de delegado teemos 0 posibilidades (daría igual si se empieza por otro cargo). Determiado el delegado, para el cargo de subdelegado queda 9 posibilidades. Para el secretario, fialmete 8 estudiates. Por tato, el úmero total de comités posibles es de: Defiició Las muestras ordeadas y si repetició se deomia variacioes si repetició. Por tato, si el tamaño de la població es y el de la muestra, el úmero de variacioes si repetició lo expresaremos co la otació: V Y teiedo e cueta lo explicado, e úmero de muestras es: ( )... V Obsérvese que determia el úmero de factores, es decir: producto de cuatro factores de la forma: V 9 es igual al Permutacioes si repetició Defiició E el caso particular de que se tome ua muestra de tamaño igual al tamaño de la població, es decir =, las variacioes si repetició se deomia permutacioes. Co esa codició se tiee: V ( )... ( )... Defiició Se deomia factorial de al producto de todos los úmeros aturales desde el hasta el y se represeta por!! ( )... Por defiició: 0! y!

10 Curso Iberoamericao de formació permaete de profesores de matemática E cosecuecia, las permutacioes ordiarias o si repetició de elemetos, que deotamos por P, so los distitos grupos que se puede formar, de tal maera que e cada grupo etre los elemetos y, e cosecuecia, u grupo se diferecia de los demás e el orde de colocació de los elemetos. Por tato: P! De cuátas maeras se setar 8 persoas e 8 asietos? La primera persoa se puede setar e cualquiera de los 8 sitios. La seguda e cualquiera de los 7 sitios restates. La tercera e 6, y así sucesivamete hasta que la octava sólo tiee sitio para setarse. Se trata etoces de ua permutació de 8 elemetos y las posibilidades será: P 8 8! La itroducció del factorial os permite demostrar el siguiete teorema, que es otra forma de calcular el úmero de variacioes de ua població de elemetos co muestras de elemetos. Teorema V! ( )! Demostració E efecto, sabemos que V ( )... Si multiplicamos y dividimos esta expresió por ( )! queda: V ( )...( ) ( )!! ( )...( ) ( )! ( )!.. Muestras ordeadas co repetició Variacioes co repetició Defiició Las muestras ordeadas y co repetició se deomia variacioes co repetició. Si la població es de tamaño y la muestra de tamaño, pero ahora permitimos repeticioes, etoces procedemos de la siguiete maera: - 0 -

11 Curso Iberoamericao de formació permaete de profesores de matemática El primer elemeto se puede elegir de maeras. Como podemos repetir, el segudo se puede elegir tambié de maeras.... Y así hasta el elemeto úmero se puede elegir por tato de maeras. E total tedremos )... ( veces muestras. Cuátos úmeros de tres cifras (o ecesariamete distitas) puede formarse co los dígitos, 6, 7, 8 y 9? La primera cifra se puede elegir de etre las 5. La seguda, al poderse repetir la cifra tambié se puede elegir de etre las 5. La tercera tambié de etre las 5. Por tato puede formarse úmeros de tres cifras. Las variacioes co repetició de elemetos de orde,que se puede repetir, se expresa co la otació: VR Y segú se ha demostrado: VR Permutacioes co repetició Veamos cuátas ordeacioes distitas puede obteerse co elemetos si hay subgrupos cuyos objetos so idistiguibles etre sí y cada subgrupo cotiee a,...,a elemetos respectivamete. Para clarificar lo expresado, cosideremos el siguiete ejemplo. E la figura se puede ver la represetació de = elemetos distribuidos e = subgrupos de elemetos idistiguibles (,5, y respectivamete). - -

12 Curso Iberoamericao de formació permaete de profesores de matemática Si se coloca todos e fila, uo detrás de otro, se tiee ua cofiguració. Si se itercambia etre sí dos objetos iguales la ueva cofiguració es equivalete a la aterior. Se trata de ecotrar cuátas ordeacioes distitas podemos obteer co estos elemetos. E el ejemplo de la figura, las posibles permutacioes de elemetos si fuera diferetes so!, pero! so iguales porque se ha obteido por permutacioes de los soles ;! so iguales porque se ha obteido por permutacioes de los corazoes ; 5! so iguales porque se ha obteido por permutacioes de las cruces y como solo hay ua cara o se itercambia co otra.! Por lo tato, se tiee: muestras distitas. 5!!!! Esta expresió puede geeralizarse para calcular el úmero de ordeacioes distitas que se puede obteer co elemetos si hay subgrupos cuyos objetos so iguales y cada subgrupo cotiee a a,..., a elemetos, respectivamete, de tal forma que expresa como: P a, a,..., a a! a!!... a!, a a... a lo que se Cuátas palabras, co o si sigificado, se puede formar co las letras de la palabra VIVIR? La V se repite veces. La I se repite veces. La R o se repite. ++=5 que es el úmero total de letras que vamos a permutar. Se trata de ua permutació co repetició de 5 elemetos de los que dos se repite dos veces:,, 5! P 5 0 palabras!!!. Muestras o ordeadas.. Muestras o ordeadas y si repetició E este epígrafe vamos a tratar muestras e las que o importa el orde e el que figure los elemetos de la muestra, es decir, las series, y, se trata como iguales pues ha salido u y u si importar el orde e el que aparece. - -

13 Curso Iberoamericao de formació permaete de profesores de matemática E ua asociació formada por 0 hombres y 0 mujeres se quiere formar ua comisió de tres persoas. La comisió formada por las persoas A, B y C es la misma que las formadas por B, C y A puesto que, e este caso, el orde e el que figure o modifica la comisió. Esta situació es esecialmete distita de la plateada ateriormete cuado había que elegir tres cargos. Cómo proceder para calcular el úmero de muestras e esta situació? Si ifluyera el orde, co la muestra A,B,C habría P =!= 6 grupos que tedría a esos tres elemetos; pero como ahora o ifluye el orde, el úmero total hay que dividirlo por esa catidad, es decir: = es el úmero total de comisioes distitas que se puede formar. Veamos e que cosiste las muestras ordeadas si repetició co este otro ejemplo: Supogamos teer ua bolsa co 5 bolas umeradas del al 5. Sacamos tres bolas, si importaros el orde y si repetir, cuátos posibles resultados hay? Si el orde ifluyese e el agrupamieto, etoces ya sabemos que tedríamos V 5 posibilidades. Ahora bie, como o os importa el 5 orde, para osotros los tríos (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,), que so 6, e realidad sólo debería cotar como ua, y lo mismo ocurre co el resto de las teras. Es decir, que tedremos que dividir el úmero de variacioes por las permutacioes de elemetos. Así resulta que el úmero de muestras del ejemplo es: V 5 P 5 0 posibilidades de selecció de las tres bolas.! De esta forma, el úmero de muestras o ordeadas y si repetició de tamaño que se extrae de ua població de tamaño es: V P Defiició Las muestras o ordeadas y si repetició se deomia combiacioes si repetició. - -

14 Curso Iberoamericao de formació permaete de profesores de matemática - - Las otaremos así: C y, segú se ha deducido, el úmero de combiacioes si repetició es: )!! (!! )! (! P V C A este úmero resultate se le deomia tambié úmero combiatorio, que se deota de la siguiete maera: C Defiició La expresió se deomia úmero combiatorio y se lee sobre. Y la expresió que permite calcular su valor es: )!! (! Propiedades de los úmeros combiatorios ) 0 m m ) m m m, a estos úmeros se les deomia complemetarios ) Fórmula de Stiefel: m m m Usado esta última propiedad obteemos el coocido triágulo de Pascal, tambié llamado de Tartaglia o Cardao, e el que u úmero es la suma de los dos situados sobre él

15 Curso Iberoamericao de formació permaete de profesores de matemática Hemos obteido dos triágulos equivaletes: el primero formado por los úmeros combiatorios, y el segudo, por los valores de esos mismos úmeros. E ambos casos podemos observar la relació que guarda uos úmeros co otros. Aplicado la tercera propiedad advertimos que cada úmero combiatorio es la suma de los dos úmeros que está situados ecima de él. El iterés del triágulo de Pascal radica e su aplicació e diversos cálculos, como por ejemplo, el desarrollo del biomio de Newto que veremos más adelate... Muestras o ordeadas y co repetició El grupo saguíeo se costituye co los gees A, B (domiates) y O (recesivo). Los geotipos que se puede formar co estos caracteres so: AA, BB, OO AB, AO, BO E estas muestras o importa el orde, es decir, el grupo saguíeo AB es el mismo que el BA, pero se puede repetir los gees. Vamos a calcular el úmero de posibles combiacioes: casos, tatos como modalidades del ge, e los que se repite el ge. Los otros tres resulta de las posibles combiacioes si repetició de los gees tomados e grupos de, es decir, C. Etoces, el úmero total de posibilidades sería, e este caso: + C Defiició Se deomia combiacioes co repetició al úmero de muestras de elemetos iguales o distitos que se puede hacer co ua població de elemetos, de forma que dos grupos se diferecia e algú elemeto y o e el orde de colocació. Se represeta por CR. Veamos co u ejemplo cómo se forma: Teemos ua bolsa co bolas umeradas del al y vamos a costruir todas las combiacioes co repetició posibles. Sacamos ua bola: Si teemos u cojuto de cuatro elemetos y queremos hacer grupos de uo, úicamete podremos hacer cuatro grupos:,,,. CR - 5 -

16 Curso Iberoamericao de formació permaete de profesores de matemática Sacamos dos bolas: Tedremos las combiacioes si repetició a las que hay que añadir las repeticioes del mismo elemeto. Es decir, se forma añadiedo a cada ua de las de orde uo, el mismo elemeto y todos los siguietes. Así se obtiee:,,,,,,,,,. CR 5 C Sacamos tres bolas: Se puede costruir a partir de las ateriores añadiedo a cada combiació de orde dos el último elemeto y todos los elemetos siguietes. Se obtiee:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,. CR 0 6 C C6 Sacamos cuatro bolas: Al igual que el caso aterior se puede obteer a partir de las de orde tres, añadiedo a cada ua de ellas el último elemeto y los elemetos siguietes. CR 7 C C7 De cico o más elemetos: Como estamos costruyedo combiacioes co repetició y los elemetos se puede repetir, podríamos cotiuar costruyedo combiacioes de orde cico o más elemetos. 0 5 Geeralizado el procedimieto del ejemplo, las calculamos de la siguiete forma: CR C El popular juego del domió está formado por uas fichas rectagulares divididas e dos partes cuadradas. E cada parte se marca putos que puede ir desde cero hasta seis. Se trata de u caso de combiacioes co repetició pues = 7 y =, es decir, CR 7 C7 = = 8 El juego del domió tiee 8 fichas diferetes. 5. Biomio de Newto Vamos a desarrollar la potecia cúbica del biomio x a : ( x a) Lo vamos a hacer realizado el producto de los tres biomios: - 6 -

17 Curso Iberoamericao de formació permaete de profesores de matemática ( x a) ( x a) ( x a) ( x a) Para el objetivo que perseguimos, o aplicaremos la propiedad comutativa, es decir, dejaremos las variables e el mismo orde e el que ha sido multiplicadas: ( x a) ( xx xa ax aa) ( x a) xxx xxa xax xaa axx axa aax aaa E el siguiete paso vamos a agrupar los térmios que cotiee el mismo úmero de letras iguales, es decir, igual úmero de x y de a : xxx ( xxa xax axx) ( xaa axa aax) aaa Así teemos: el primer térmio cotiee tres veces la x ; e el parétesis que sigue está todas las combiacioes costituidas de dos x y ua a y hay tres, los mismos que los que cotiee ua x y dos a ; e el último o hay x. E sítesis: El primer factor El segudo factor El tercer factor x x a xa a = cueta las combiacioes formadas por las tres x. 0 = cueta las formadas por dos x y ua a. = cueta las formadas por ua x y dos a. El último factor = cueta las combiacioes formadas por las tres a. Teiedo e cueta la pauta obteida e el ejemplo aterior, el desarrollo de la potecia cuarta del biomio ( x y) es:!!! ( x y) x x y x y x y y 0!!!!!! x x y x y x y y = x x y 6 x y x y y Pero observamos que los coeficietes obteidos tato e el ejemplo primero como e el segudo se correspode co filas del triágulo de Pascal, empezado a cotar las filas desde el 0: - 7 -

18 Curso Iberoamericao de formació permaete de profesores de matemática Fila 0 Fila Fila Fila Fila 6 Se cooce por el ombre de biomio de Newto a la fórmula que os proporcioa la potecia -ésima del biomio. Así, si N, se tiee que: a x a a x a x a x x a x... 0 ) ( Los coeficietes del biomio de Newto de expoete so, pues, úmeros combiatorios que correspode a la fila -ésima del triágulo de Pascal.

19 Curso Iberoamericao de formació permaete de profesores de matemática Bibliografía: Boyer, C. (996) Historia de la matemática. Ed. Aliaza Uiversidad. Grimaldi, R.P. (989). Matemática discreta y combiatoria. Ed. Addiso- Wesley. Criado Herrero, Regio; Muñoz Izquierdo, Roberto (007). U semestre de matemática discreta. N. L. Biggs: Matemática Discreta. Ed. Vices Vives, 99. Wilhelmi, Miguel R. Combiatoria y Probabilidad. Grupo de Ivestigació e Educació Estadística. Departameto de Didáctica de la Matemática. Uiversidad de Graada. Rey Pastor, J. Elemetos de Aálisis Algebraico. Séptima edició corregida. Madrid. Idustria Gráfica - Martí