Matemática Discreta. Una (muy breve) introducción a la Combinatoria.

Transcripción

1 Matemática Discreta Ua (muy breve itroducció a la Combiatoria El objetivo pricipal de la Combiatoria es determiar el úmero de objetos perteecietes a u cojuto dado y que verifica cierta codició o propiedad Éste es el problema de coteo Otro aspecto tambié importate asociado al problema de coteo es el problema de eumeració e el cual o iteresa tato saber el úmero de objetos sio la obteció explícita de dichos objetos Ambos problemas está ítimamete relacioados y la resolució de uo de ellos ormalmete colleva la resolució del otro E toda fórmula de tipo combiatorio subyace ua algoritmo y recíprocamete e todo algoritmo combiatorio subyace ua fórmula de coteo Emplearemos ua otació basada pricipalmete e cojutos Prácticamete e todas las propiedades asumiremos que los cojutos que aparece tiee cardial fiito Como es usual, deotamos por X el cardial o úmero de elemetos del cojuto X 1 Pricipios básicos Recordemos que dos cojutos A y B se dice que so disjutos si o tiee igú elemeto e comú, es decir, si A B Proposició 1 (El Pricipio de la suma Si A y B so dos cojutos disjutos, etoces A B A + B Ejemplo 2 Si u muicipio costa de dos úcleos de població, habiedo e el primero u total de 200 habitates y e el segudo u total de 300 habitates, etoces el úmero de habitates de dicho muicipio es El Pricipio de la Suma puede presetarse de maera más geeral como sigue Proposició 3 Si A 1, A 2,, A so cojutos disjutos dos a dos (es decir, A i A j para i j, etoces A 1 A 2 A A 1 + A A Recordemos que para dos cojutos cualesquiera A y B, el producto cartesiao de A y B, deotado por A B, es el cojuto de todos los pares ordeados formados por u elemeto de A y otro de B, es decir, A B {(a, b a A, b B} Proposició 4 (El Pricipio del producto Para dos cojutos cualesquiera A y B se verifica que A B A B Ejemplo 5 Supogamos que u viajate puede ir desde u país P 1 hasta u país P 2 e autobús, e tre o e avió, y puede ir desde P 2 hasta u tercer país P 3 e barco o e avió Etoces el úmero de posibilidades para hacer el viaje desde P 1 hasta P 3 pasado por P 2 es de El Pricipio del Producto puede presetarse de maera más geeral como sigue 1

2 2 Proposició 6 Para cojutos cualesquiera A 1, A 2,, A se verifica que A 1 A 2 A A 1 A 2 A Ejemplo 7 Supogamos que el meú ofrecido por u restaurate costa de u primer plato a elegir de etre 4 posibilidades, u segudo plato a elegir de etre 3 posibilidades y postre a elegir de etre 5 posibilidades Etoces el úmero de meús posibles ofrecidos por el restaurate es Ejemplo 8 Sea u cojuto Σ {a, b, c} al que llamaremos alfabeto Ua palabra sobre Σ es ua secuecia (ordeada fiita de letras perteecietes a Σ Por ejemplo abbc y babc so dos palabras distitas sobre Σ Admitimos además la existecia de ua palabra especial sobre Σ a la que llamaremos la secuecia vacía y que o cotiee igua letra 1 Por el Pricipio del Producto el úmero de palabras sobre Σ de logitud 0 es igual a 3 Obsérvese que cuado 0 se obtiee que se refiere a la palabra vacía 2 Por el Pricipio de la Suma, el úmero de palabras sobre Σ de logitud meor o igual que es Recordado que para a 1 se verifica que 1 + a 1 + a a a+1 1 a 1, el úmero de palabras sobre Σ de logitud meor o igual que es igual a El úmero de palabras de logitud sobre Σ y que o empieza por la letra b es igual a Dado u úmero real x, defiimos la parte etera de x como el mayor úmero etero z verificado que z x Desigamos la parte etera de x por x Para dos úmeros eteros a y b, siedo b 0, se cumple que a es igual al cociete de b dividir a etre b Obsérvese que si b y úmeros eteros, co 0 y b 0, el úmero de elemetos del cojuto {1,, } que so múltiplos de b es igual al cociete de dividir etre b, es decir, b Ejemplo 9 Cuátos úmeros eteros meores o iguales que 1000 so múltiplos de 7? La respuesta es Ejemplo 10 Cuátos úmeros eteros x verificado que 600 < x 1000 so múltiplos de 7? La respuesta es E geeral, si A y B so dos cojutos cualesquiera, se verifica que A B A + B A B Ejemplo 11 Cuátos úmeros eteros positivos x 1000 so múltiplos de 5 o de 7? Sea X {x Z 1 x 1000}, A {x X x es múltiplo de 5}

3 y B {x X x es múltiplo de 7} Obsérvese que x A B si y sólo si x es múltiplo del míimo comú múltiplo de 5 y 7, es decir, es múltiplo de 35 Por cosiguiete A B A + B A B De maera más geeral, si A 1, A 2,, A so subcojutos de u cojuto X, se puede demostrar que 3 A 1 A 2 A A i i j A i A j + + ( 1 +1 A 1 A 2 A Basta teer e cueta el caso para 2 y aplicar iducció sobre Nótese que e la fórmula eterior, los sigos aparece de forma alterada Así por ejemplo para A 1, A 2 y A 3, teemos A 1 A 2 A 3 ( A 1 + A 2 + A 3 ( A 1 A 2 + A 1 A 3 + A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 Dicha fórmula se cooce co el ombre de Pricipio de Iclusió-Exclusió Otra técica de coteo elemetal cosiste e defiir ua aplicació biyectiva etre u cojuto A cuyo cardial queremos determiar y u cojuto B de cardial coocido Ejemplo 12 Dado u cojuto X {x 1,, x }, vamos a probar que el úmero de subcojutos de X es igual a 2 Como es usual, deotamos por P(X el cojuto de las partes de X, es decir, aquel cuyos elemetos so todos y cada uo de los subcojutos de X Llamamos B {0, 1} y supoemos además que los elemetos de X está ordeados de la forma siguiete: x 1 < < x Defimos la aplicació f : P(X B, como f(a (a 1,, a, siedo cada { 1 si xi A, a i 0 e caso cotrario Obsérvese que f( (0, 0,, 0 y f(x (1, 1,, 1 Se puede justificar fácilmete que f es ua aplicació biyectiva Ya que por el Pricipio del Producto B 2, deducimos que P(X 2 Cerramos esta secció sobre pricipos básicos mecioado la técica basada e platear relacioes de recurrecia Hay problemas cuya solució puede expresarse fácilmete mediate ua relació de recurrecia Vimos e el Tema 1 cómo el problema de calcular el meor úmero de movimietos a para resolver el juego de las torres de Haoi co aradelas se resolvía fácilmete mediate ua relació de recurrecia Cocretamete obtuvimos que a 0 0 y 1, a 2a Veamos otro ejemplo Ejemplo 13 Cuátas secuecias biarias, es decir, formadas por símbolos 0 y 1, de logitud 20 existe de modo que e cada ua de ellas o aparezca dos (o más ceros cosecutivos? Sea X el cojuto de tales secuecias de logitud Podemos descompoer X como la

4 4 uió disjuta de dos cojutos A y B El cojuto A está formado por aquellas secuecias perteecietes a X que empieza por 1 mietras que B está formado por aquellas secuecias perteecietes a X que empieza por 0 Si x 1 x 2 x es ua secuecia perteeciete a A, es decir, x 1 1, etoces x 2 x es ua secuecia arbitraria perteeciete a X 1 Ésto os dice que A X 1 Si por el cotrario x 1 x 2 x es ua secuecia perteeciete a B, es decir, x 1 0, etoces ecesariamete x 2 1 y x 3 x es ua secuecia arbitraria perteeciete a X 2, co lo cual B X 2 Si llamamos f X, por el Pricipio de la Suma obteemos que f A + B X 1 + X 2 f 1 +f 2 Por tato f verifica ua relació de recurrecia lieal de orde dos, para la cual ecesitamos dos codicioes iiciales Es imediato que f 1 2 y f 2 3 Utilizado los resultados ateriores obteemos que f Ua vez que teemos ua expresió recurrete os podemos platear obteer ua expresió o recurrete equivalete Este problema e geeral o tiee solució 2 Seleccioes de elemetos Dado u cojuto A {a 1,, a } vamos a estudiar el úmero de formas de elegir o seleccioar r elemetos de A atediedo a dos criterios: Que haya o o repetició, es decir, que u elemeto de A puede ser o o elegido más de ua vez Que se tega e cueta o o el orde e el que se va eligiedo los elemetos de A Detacamos que lo que os iteresa es el úmero de resultados posibles tras el proceso de elecció De este modo obteemos cuatro casos o situacioes distitas segú haya o o repetició y se tega e cueta o o el orde de elecció 21 Seleccioes si repetició teiedo e cueta el orde Cada selecció de r elemetos de A si repetició y teiedo e cueta el orde de elecció se deomia tradicioalmete ua variació ordiaria o si repetició de elemetos tomados de r e r Se suele emplear el símbolo V r para deotar el úmero de variacioes ordiarias de elemetos tomados de r e r Nosotros tambié emplearemos el térmio de r-permutació de elemetos para referiros a las variacioes ordiarias de elemetos tomados de r e r, y usaremos el símbolo P (, r para idicar su úmero Debido a que o hay repetició, ha de verificarse que 0 r Determiemos el valor exacto de P (, r Imagiemos u casillero que hemos de completar co elemetos de A si que haya repetició: 1 2 r La primera casilla podemos rellearla de formas posibles, co cualquier elemeto de A Ua vez hecho ésto, os queda 1 elemetos dispoibles co cualquiera de los cuales

5 podemos rellear la seguda casilla, y así hasta la casilla úmero r para la cual queda (r + 1 elemetos posibles Por el Pricipio del Producto resulta P (, r ( 1( 2 ( r + 1, valor que se suele escribir de la forma siguiete:! P (, r ( r! Obsérvese que P (, 0!! 1, valor que represeta la secuecia vacía ( 0!! Cada -permutació de A se deomia simplemete ua permutació del cojuto A Ya que P (,!!!!, obteemos que el úmero de permutacioes de (! 0! 1 A es igual a! Ejemplo 14 Partiedo de u alfabeto A {a, b, c, d, e, f, g}, cuátas palabras de tres letras puede formarse de modo que o se repita igua letra? Las codicioes del euciado idica que se trata de variacioes ordiarias de siete elemetos tomados de tres e tres, cuyo úmero viee dado por P (7, El úmero de permutacioes del cojuto A es igual a P (7, 7 7! 5040 Ejemplo 15 De cuátas formas puede ocupar cuatro persoas cuatro puestos de trabajo? Se trata de permutacioes de u cojuto de cuatro elemetos cuyo úmero viee dado por 4! 24 El argumeto dado más arriba sobre relleado de casillas muestra tambié la siguiete propiedad Proposició 16 El úmero de aplicacioes iyectivas que se puede defiir del cojuto {1, 2,, r} e el cojuto A {a 1,, a } es igual al úmero de variacioes ordiarias de elemetos tomados de r e r 5 22 Seleccioes si repetició y si teer e cueta el orde Ua selecció de r elemetos de A si repetició y si teer e cueta el orde de elecció se deomia ua r-combiació de A Dar ua r-combiació de A es equivalete a dar u subcojuto de A de cardial r Deotaremos el úmero de r-combiacioes de A como C(, r Todas las r-permutacioes de A puede ser obteidas geerado previamete todas las r-combiacioes de A y ordeado (es decir, permutado sus objetos de todas las formas posibles Ésto implica que P (, r C(, r P (r, r, de dode C(, r P (, r P (r, r! r!( r!

6 6 El úmero C(, r se deomia úmero combiatorio o coeficiete biomial y se deota por ( r A partir de la fórmula aterior obteemos ( r ( 1( 2 ( r + 1 r! Se les llama coeficietes biomiales porque so los coeficietes que aparece e la fórmula del biomio de Newto Como es sabido, si x e y so elemetos de u aillo tales que x y y x y N, etoces ( (x + y x k y k k Proposició 17 (Propiedad de simetría para los úmeros combiatorios k0 ( ( r r Esta propiedad se puede demostrar fácilmete usado la fórmula aterior, o bie observado que la aplicació f : P(A P(A defiida por f(b B trasforma biyectivamete el cojuto de las r-combiacioes de A e el cojuto de las ( r-combiacioes de A Aplicado la fórmula aterior obteemos que ( 0 1, lo cual os dice que existe ua úica 0-combiació de A, es decir, u úico subcojuto co 0 elemetos que como sabemos es el cojuto vacío Tambié ( ( 1 Por la propiedad de simetría obteemos que ( 1 y 1 Los úmeros combiatorios verifica u si fí de propiedades de las cuales destacamos las siguietes: ( 1 ( 0 + ( Esta propiedad se puede deducir a partir de la fórmula del biomio de Newto haciedo x y 1 Otra forma de deducir la misma fórmula es teiedo e cueta el ( Ejemplo 12 2 ( r 1 ( r + 1 r 1 siempre que 1 r < Fijado x A, el cojuto de todas las r-combiacioes de A se obtiee como la uió de dos cojutos disjutos: el cojuto de las r-combiacioes de A \ {x} y el cojuto de las r-combiacioes de A las cuales siempre cotiee al elemeto x Observamos que hay tatas r-combiacioes de A cada ua de ellas coteiedo al elemeto x como (r 1-combiacioes de A \ {x} Aplicado el Pricipio de la Suma resulta la recurrecia aterior Ejemplo 18 Cuátos úmeros aturales se escribe e biario co diez dígitos de los cuales siete so iguales a 1 y el resto so 0?

7 Dichos úmeros so de la forma (1a 8 a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 2 Seis de los dígitos a 8, a 7, a 6, a 5, a 4, a 3, a 2, a 1, a 0 ha de ser iguales a 1 El úmero de formas de seleccioar tales dígitos es ( ( ( ! Ejemplo 19 Queremos formar u comité de 12 persoas las cuales ha de ser escogidas de etre 10 hombres y 10 mujeres 1 De cuátas formas podemos hacerlo? Claramete la respuesta es ( ( ! Y si queremos que haya igual úmero de hombres que de mujeres? El úmero de formas de escoger 6 mujeres de etre 10 es ( ( , 4! valor que represeta tambié el úmero de formas de escoger 6 hombres de etre 10 Por el Pricipio del Producto la respuesta es ( ( Seleccioes co repetició teiedo e cueta el orde Como ates A es u cojuto de elemetos elegibles y r es u úmero atural que idica el úmero de eleccioes realizadas Ahora r puede ser mayor que, debido a que permitimos repetició Ua variació co repetició de orde r de los elemetos de A es ua selecció ordeada de r elemetos de A Dos variacioes so distitas si se diferecia e algú elemeto, e la posició de alguo de éstos e la variació o e el úmero de veces que se repite u elemeto Por ejemplo, si A {1, 2, 3, 4}, so variacioes diferetes 123, 132 y 1132 Cada variació co repetició de orde r de A podemos verla como ua aplicació del cojuto {1, 2,, r} e A, co lo cual el úmero de variacioes co repetició de orde r de elemetos, deotado tradicioalmete por V R(, r o bie por V R r, es igual que el úmero de aplicacioes del cojuto {1, 2,, r} e A, valor que es igual a r La justificació es imediata Basta aplicar el mismo razoamieto que aplicamos para las seleccioes si repetició teiedo e cueta el orde, pero ahora o existe la restricció de que la image asigada a cada elemeto del cojuto {1, 2,, r} sea exclusiva para él Ejemplo 20 E ua quiiela hay 15 partidos de fútbol cada uo de los cuales tiee tres resultados posibles 1, x, 2 De cuátas formas distitas se puede completar ua quiiela? So variacioes co repetició de orde 15 del cojuto {1, x, 2}, es decir, V R(3,

8 8 24 Seleccioes co repetició si teer e cueta el orde Ua combiació co repetició de orde r de los elemetos de A es ua selecció o ordeada de r elemetos de A que puede repetirse El úmero de tales combiacioes se deota por CR(, r A veces diremos r-combiació co repetició de A para referiros a ua combiació co repetició de orde r de A Existe ua correspodecia biyectiva etre el cojuto de todas las combiacioes co repetició de orde r de los elemetos de A y el cojuto de todas las solucioes de la ecuació x 1 + x x r, dode cada icógita x i puede tomar valores sólo e N {0, 1, 2, } De hecho x i represeta el úmero de veces que elegimos al elemeto a i de A Por otro lado, existe otra correspodecia biyectiva etre el cojuto de solucioes para la ecuació aterior y el cojuto de todas las secuecias de logitud + r 1 dode aparece r veces el símbolo y aparece 1 veces el símbolo Cocretamete cada solució (x 1, x 2,, x se correspode co la secuecia x {}} 1 x { 2 x {}}{{}} { Por lo tato, buscamos el úmero de formas de colocar 1 barras e u casillero co + r 1 posicioes, siedo ocupadas las restates casillas por símbolos Dicho úmero viee dado por ( ( +r 1 1 el cual es igual que +r 1 r Este resultado se recoge e la siguiete proposició Proposició 21 El úmero de combiacioes co repetició de orde r de elemetos es ( ( + r 1 + r 1 CR(, r 1 r Ejemplo 22 Cuátos resultados posibles puede obteerse al lazar cuatro dados idéticos? U mismo valor puede aparecer e más de u dado por lo que hay repetició Como los dados so idéticos o importa el orde e el que aparece los resultados Teemos el cojuto A {1, 2, 3, 4, 5, 6} de resultados básicos del cual elegimos co repetició y si teer e cueta el orde 4 elemetos Se trata de combiacioes co repetició de orde 4 para 6 elemetos La respuesta es ( CR(6, 4 4 ( ! 126 Ejemplo 23 Ua pastelería ofrece 8 tipos de pasteles distitos Si se supoe que hay al meos ua docea de cada tipo, de cuátas formas se puede seleccioar ua docea de pasteles? Nos está pregutado el úmero de solucioes de la ecuació x 1 + x x 8 12 co

9 icógitas sobre N La respuesta es ( CR(8, ( ( Ejemplo 24 Calcúlese el úmero de solucioes de la iecuació x 1 + x 2 + x 3 7 cuyas icógitas se cosidera sobre N Por el pricipio de la suma podemos sumar el úmero de solucioes de cada ua de las ecuacioes de la forma x 1 + x 2 + x 3 r para todo r {0, 1,, 7} Obteemos ua sumatoria de úmeros combiatorios que puede escribirse como u sólo úmero combiatorio aplicado que ( ( ( ( m m + 1 m + k m + k k k Cocretamete, ( ( ( ( Otro método alterativo cosiste e darse cueta de que el cojuto de solucioes de la iecuació dada está e correspodecia biyectiva co el cojuto de solucioes de la ecuació x 1 + x 2 + x 3 + x 4 7, siedo x 4 ua ueva variable La respuesta es ( CR(4, Resumimos todo lo visto hasta ahora sobre seleccioes e la tabla siguiete: objetos, se elige r co orde si repetició V (, r! ( r! si orde C(, r ( r! co repetició V R(, r r CR(, r ( +r 1 1 r!( r! 3 Más sobre permutacioes Ya hemos estudiado ateriomete el cocepto de r-permutació y el de permutació de u cojuto A como seleccioes si repetició y teiedo e cueta el orde Ahora cosideramos las permutacioes co repetició permitiedo que haya elemetos repetidos Supogamos objetos, de los cuales hay r 1 de u primer tipo, r 2 de u segudo tipo, y así hasta r t de u tipo t, co r 1 + r r t y dode dos objetos de u mismo tipo se cosidera idistiguibles Deotamos el úmero de secuecias que se puede formar co esos objetos, por ( r 1, r 2,, r t,

10 10 y que como mostramos a cotiuació es igual a! r 1!r 2! r t! Ua forma de demostrar que esta expresió es válida cosiste e imagiar u casillero de logitud, e el cual colocamos e primer lugar los r 1 objetos de tipo 1, a cotiuació los objetos de tipo 2, y así hasta que e el último paso colocamos todos los objetos de tipo t( e las casillas restates El úmero de formas de colocar los objetos de tipo 1 es igual a ( r 1 El úmero de formas de colocar los objetos de tipo 2 es igual a r1 r 2, pues el úmero de casillas libres tras colocar aquellos de tipo 1 es r 1 Procediedo de esta forma y aplicado el Pricipio del Producto obteemos que ( ( ( ( r1 r1 r 2 r 1, r 2,, r t r 1 r 2 r 3 ( r1 r t 1 Substituyedo las expresioes para cada úmero combiatorio y simplificado, resulta (! r 1, r 2,, r t r 1!r 2! r t! Los úmeros ( r 1,r 2,,r t se deomia coeficietes multiomiales La justificació se ecuetra e la propiedad siguiete Teorema 25 (Teorema multiomial Sea x 1,, x t elemetos de u aillo tales que x i x j x j x i para cualesquiera i, j {1, 2,, t} y sea N Etoces ( (x x t x r 1 1 x r 2 2 x rt t r 1, r 2,, r t 0 r 1, r 2,, r t r 1 + r r t E la sumatoria aterior hay tatos sumados como tuplas de úmeros aturales (r 1, r 2,, r t tales que r 1 + r r t Obsérvese que cuado t 2, el Teorema Multiomial se reduce a la fórmula del biomio de Newto, pues al ser r 1 + r 2, resulta ( r 1, r 2! r 1!r 2!! r 1!( r 1! ( r 1 r t Ejemplo 26 De cuátas formas se puede ordear todas las letras que aparece e la palabra RELEER? Respuesta: ( 6 6! 3, 2, 1 3!2!1! 60

11 11 Ejemplo 27 Cuál es el coeficiete del térmio x 2 y 3 z 3 e el poliomio (x + y + z 8? Por el Teorema Multiomial, dicho coeficiete es ( 8 8! 2, 3, 3 2!3!3! 560 E último lugar estudiamos las permutacioes circulares Dados y r, co r, ua permutació circular de orde r para objetos es ua disposició de r objetos e r posicioes igualmete espaciadas sobre ua circuferecia Dos permutacioes circulares so iguales si ua se puede obteer a partir de la otra mediate ua rotació coveiete alrededor del cetro de la circuferecia Proposició 28 El úmero de permutacioes circulares de orde r de objetos es ( (r 1! r Justificamos brevemete esta proposició Sobre el cojuto de las r! permutacioes de los r elemetos seleccioados defiimos ua relació de equivalecia, dode dos permutacioes so equivaletes si la seguda es obteible a partir de la primera mediate ua determiada rotació Ya que la clase de equivalecia de ua permuatació dada costa de r elemetos (que so sus r rotacioes posibles, el cojuto cociete tiee r! (r 1! r elemetos, que es precisamete el úmero de permutacioes circulares para los r elemetos selecioados Por tato el úmero buscado es ( r! r r ( r (r 1! Ejemplo 29 Se dispoe de 20 bolitas de colores diferetes e cada ua de las cuales se ha taladrado u pequeño orificio Cuátos collares diferetes puede resultar si empleamos sólo 15 bolitas? Respuesta: ( 20 14! 15 Ejemplo 30 De cuátas formas puede setarse seis persoas e toro a ua mesa circular? Respuesta: 5! 120 Y si dos persoas o desea setarse e asietos cotiguos? Llamemos a dichas persoas A y B El úmero de formas e las que A Y B o se sieta e asietos cotiguos es igual a 120 meos el úmero de formas e las que siempre A y B ocupa posicioes cosecutivas Ahora bie, de cuátas formas se puede setar seis persoas A,B,C,D,E y F e toro a ua mesa circular de modo que A y B ocupe posicioes cosecutivas? Este uevo problema se resuelve supoiedo que A y B so ua misma persoa, digamos G, y setado a G,C,D,E y F etoro a ua mesa circular, lo cual puede realizarse de 4! 24 formas posibles Para cada ua de estas disposicioes, si reemplazamos G por A,B

12 12 o bie por B,A obteemos ua disposició e la que A y B ocupa posicioes cotiguas; por cosiguiete el úmero de formas e las que A y B ocupa posicioes cotiguas es igual a 2 4! Fialmete obteemos que el úmero de formas de setar a las seis persoas de modo que A y B o ocupe posicioes adyacetes es igual a La resolució del problema aterior ilustra otra técica típica e Combiatoria A veces, a la hora de calcular el cardial de u subcojuto A de u cojuto X, resulta más fácil calcular el cardial del cojuto complemetario A Ejemplo 31 Cuátos úmeros aturales se escribe e base 10 co a lo sumo cico cifras siedo al meos ua de ellas igual a 1? Sea A el cojuto formado por dichos úmeros y sea X el cojuto de todos los úmeros aturales que e base 10 se escribe co a lo sumo cico cifras Etoces A X \ A es el subcojuto de X formado por aquellos úmeros e cuya represetació o aparece el dígito 1 Por el Pricipio del Producto es imediato que X 10 5 y X \ A 9 5 Fialmete obteemos A X A