Contar sin enumerar Introducción

Transcripción

1 . Por Cotar si eumerar. Itroducció.. Pricipios de adició y multiplicació. 3. Permutacioes y arreglos. 4. Combiacioes y úmeros combiatorios. 5. Cojutos co repetició. 6. El Pricipio de iclusió-exclusió. 7. Apédice: el Pricipio del Palomar... Itroducció El Problème des Méages" Aa Sustar Cuátas maeras hay de setar 4 matrimoios alrededor de ua mesa redoda de forma tal que hombres y mujeres esté alterados y igua mujer esté setada al lado de su esposo? E 876 Peter Guthrie Tait (8 Abril 83-4 Julio 90), físico-matemático escocés, formuló este problema plateado para ua catidad de matrimoios siedo cualquier etero positivo. Su solució fue obteida 58 años más tarde, e 934, por el matemático Jacques Touchard ( ). Figura. Triágulo de Yag Hui: la primera versió del triágulo de Pascal A lo largo de este capítulo platearemos y resolveremos diferetes problemas que, gradualmete, os coducirá a la solució geeral del Problème des Méages e su forma tradicioal. A su vez, los coceptos e ideas que se trata so los cimietos de la combiatoria. Estoy juto a u varó! Querido estás ta lejos! Esto o es ada fácil Comecemos a resolver el mismo problema co u úmero meor de matrimoios. Quié esta a su lado? Qué romático! Ates que ada, aclaremos que si los matrimoios está setados de determiada maera, después todos se levata y se corre 3 (o cualquier otro úmero) de lugares hacia la derecha, la ueva ubicació que tiee es equivalete a la primera. Es decir, las rotacioes alrededor de la mesa e cualquier setido, o agrega uevas maeras de setarse. Jutas podríamos charlar... Cómo habla Por fi o la escucho! Si sólo hay ua pareja para setar hay ua úica maera de hacerlo E castellao Problema de los matrimoios. 46 Aveturas matemáticas

2 e la que, claramete, o se cumple las codicioes, porque la mujer está setada al lado de su marido. Si teemos dos matrimoios e itetamos setarlos, podremos lograr la codició de que hombres y mujeres quede separados pero siempre los matrimoios estará jutos, o si separamos los matrimoios o se cumplirá la codició de alterar hombres y mujeres. Por lo que, co dos matrimoios, tampoco teemos maera de hacerlo. Cuado teemos tres matrimoios para setar, el problema es más iteresate. Como vemos e los diagramas de la figura., sólo hay dos maeras posibles de setarlos. Si H y M forma la primera pareja, H y M la seguda y H3 y M3 la tercera: H M H3 H3 M H La solució que obtedremos al fial del capítulo será válida para cualquier úmero de matrimoios, co mayor o igual a tres. Otro problema de parejas, relacioado, es el que propuso e 708 el matemático fracés Pierre Raymod de Motmort, (7 de octubre octubre de 79). M3 H M M H M3 Figura.: Esquema para setar tres matrimoios Problema de los mazos de cartas. Supogamos que teemos dos mazos de cartas, uo azul y otro rojo. Las cartas del mazo azul se acomoda e ua fila e algú orde, co el dibujo hacia arriba y luego se ubica al azar las del rojo, ua arriba de cada ua del azul, obteiedo así 50 parejas. El problema cosiste e ecotrar el úmero de formas de ubicar los aipes rojos, de maera tal que o haya coicidecia (e el dibujo de la carta) e igua de las 50 parejas. Este problema tiee otros euciados más atractivos, por ejemplo el siguiete problema de los sombreros (postulado y resuelto e el siglo XIX cuado todavía había sombreros) como tambié el problema de los coejos que euciamos a cotiuació. Problema de los sombreros. Si hombres etra a u restaurate, deja sus sombreros, y luego al irse toma los sombreros al azar, de cuátas maeras puede retirar los sombreros de forma tal que adie tome el sombrero correcto? Problema de los coejos. E u campo hay 30 coejos cada uo e su cueva. Por la tarde sale a pasear hasta que suea el disparo de u cazador que hace que cada coejo busque ua cueva para refugiarse. De cuátas maeras puede refugiarse los coejos de forma tal que igú coejo lo haga e su propia cueva? Los últimos tres problemas, a pesar de las marcadas diferecias e sus euciados, vistos desde la combiatoria so idistiguibles, es decir represeta el mismo problema. Muestra cómo la combiatoria, al igual que la matemática, trabaja co modelos que so aplicables a muchos tipos de situacioes. Al comiezo de cada problema hay parejas formadas co elemetos de dos cojutos: teemos dos mazos de cartas que forma 50 parejas de cartas iguales, hay u cojuto de hombres Cotar si eumerar 47

3 y u cojuto de igual úmero de sombreros formado cada hombre co su sombrero ua pareja, y por último, hay coejos e igual úmero de cuevas formado cada coejo co su cueva, ua pareja. Luego, por distitos motivos, hay ua mezcla de las parejas: las cartas so mezcladas, los sombreros se separaro de sus dueños y los coejos se alejaro de sus cuevas. Al fial, cuado se forma parejas uevamete, se debe cotar el úmero de posibles distribucioes e las que o se recupera igua de las parejas origiales. Debido a este desarreglo que se produce, el problema se llama Problema de Desarreglos. Qué sigifica cotar? Cuado apredemos a cotar, lo hacemos usado uestros dedos. Cuado los dedos ya o so suficietes, os covecemos de que si a los diez dedos le agregamos alguos más de u compañero, sigue siedo posible cotar cosas co más de diez elemetos. Después seguimos agregado uidades (que al pricipio represetábamos co los dedos) hasta obteer lo que llamamos el cojuto de los Números Naturales o como los llamaba ateriormete, los úmeros para cotar. A la catidad de elemetos de u cojuto, se le llama su Cardialidad. Para cotar la catidad de gete e ua sala, elegimos la primera persoa a quie cotar, esa será la úmero uo. Luego elegimos uevamete, ahora a la persoa úmero dos, teiedo cuidado de o cometer el error de cotar otra vez a la primera persoa. Ahora, es el turo de elegir la tercera persoa de etre las restates. Y el proceso sigue. Cuado a todos se les ha asigado u úmero y sólo uo, decimos que la catidad de persoas e la sala es igual al último úmero atural que asigamos. Ésta es la maera de cotar eumerado. E otros casos os damos cueta que, si agrupamos los objetos a cotar coveietemete, o es ecesario eumerar uo por uo los objetos que estamos cotado. Ejemplo E u aula hay cico filas de bacos y e cada fila hay seis bacos. Etoces, si cotar baco por baco y si dudarlo afirmamos que e el aula hay 5. 6 = 30 bacos. Lo que hicimos, tal vez si daros cueta, fue agrupar los bacos que queríamos cotar e filas, todas ellas co igual catidad de bacos y luego multiplicar, cosa que o es más que sumar varias veces la misma catidad. Ahora, si e otra aula teemos filas que o tiee la misma catidad de bacos, por ejemplo hay tres filas co seis bacos y dos co cico bacos, os damos cueta que lo aterior o fucioa. Lo resolvemos separado los bacos e dos grupos de filas, por u lado las que tiee seis bacos y por otro las que tiee cico. Ahora sí podemos calcular como ates los bacos de cada grupo, cocluyedo que e el primer grupo hay 3. 6 = 8 y e el segudo hay. 5 = 0, y por lo tato hay u total de = 8 bacos e el aula. Esta forma de cotar si eumerar los objetos, agrupádolos de algua maera coveiete es lo que hace la combiatoria. Los problemas plateados al comiezo, puede ser resueltos eumerado las posibilidades, tarea que a medida que crece la catidad de objetos ivolucrados se tora más tediosa, extesa y complicada. 48 Aveturas matemáticas

4 E combiatoria, para resolver este tipo de problemas, se cotiúa co esta idea atural de agrupar y combiar coveietemete determiados objetos. Luego se trata de idepedizarse de cardialidades particulares para poder lograr resultados geerales, relacioes o fórmulas que se satisfaga para cualquier úmero atural. Se quiere coocer la catidad de partidos posibles para llevar a cabo u cuadragular de ajedrez e el que juega todos cotra todos. Si los participates so: Luis, Ariel, Ema y Sara, los partidos será etre: Luis y Ariel, Luis y Ema, Luis y Sara, Ariel y Ema, Ariel y Sara y por último Ema y Sara. Es decir, seis. Pero esa respuesta o os ayuda a coocer cuátos partidos sería si e lugar de cuatro los participates fuera diez o treita. Ejemplo Lo que realmete ecesitamos es ua fórmula para calcular el úmero de parejas de u cojuto de persoas siedo cualquier úmero atural. E uestro camio hacia la solució del Problème des Méages, formalizaremos y demostraremos lo ecesario, rescatado la iterpretació combiatoria de las defiicioes o expresioes ivolucradas. Nos aproximaremos a los coceptos, pricipios o ideas a través de problemas cocretos que os facilitará la tarea... Los pricipios de adició y multiplicació Problema de trasporte I. Supogamos que estamos por comprar pasajes para viajar desde la ciudad de Bueos Aires hasta la ciudad de Puerto Madry, provicia de Chubut. E la agecia de viajes os iforma que podemos realizar el viaje por tierra, por aire o por mar. Dispoe de dos maeras de hacerlo por mar, de ua maera de hacerlo por aire y de 4 maeras por tierra. De cuátas formas podemos viajar? Tierra Como debemos elegir sólo ua maera de viajar, el total de posibilidades es = 7. Bueos Aires Mar Aire Puerto Madry Problema del meú I. E u restaurate ofrece para el postre dos copas heladas diferetes y tres tartas de frutas diversas. Nos pregutamos el úmero total de posibles postres. Obviamete, como debemos elegir sólo u postre etre + 3 = 5 opcioes, ése será el úmero buscado. Formalizamos estas ideas e el pricipio de adició. Pricipio de Adició. Si se puede realizar ua acció A de formas distitas, y se puede realizar ua acció B de m formas distitas, siedo A y B excluyetes, etoces el úmero de formas de realizar la acció A o B, es + m. Cotar si eumerar 49

5 Ua forma equivalete del mismo pricipio usado la termiología de cojutos es la expresada e el recuadro: Pricipio de adició. Sea A y B dos cojutos fiitos y disjutos, etoces card (A B) = card A + card B. Problema de trasporte II. Para viajar desde la ciudad de Córdoba (provicia de Córdoba) hasta Puerto Pirámides (provicia de Chubut), se debe pasar por Bueos Aires y luego por Puerto Madry, tal como se muestra e la figura. Puerto Madry Córdoba Puerto Pirámides Bueos Aires Si hay 4 formas de ir desde Córdoba a Bueos Aires, 7 para ir desde Bueos Aires a Puerto Madry, y para ir desde Puerto Madry hasta Puerto Pirámides, cuátas maeras teemos de viajar etre Córdoba y Puerto Pirámides? Por cada ua de las 4 opcioes para el primer tramo, teemos 7 para el segudo. Por lo que teemos 4. 7 = 8 posibilidades para ir desde Córdoba a Puerto Madry. Por cada ua de esas 8 posibilidades teemos opcioes para el último tramo, es decir e total hay = 8. = 56 maeras distitas de ir desde Córdoba hasta Puerto Madry. Problema del meú II. U restaurate tiee el siguiete meú: Etrada: sopa o empaadas. Plato Pricipal: lomo a la crema, arrollado de atú y uez o cordero flambeado. Postre: helado o pastel de mazaa. Nos pregutamos por la catidad de comidas completas que podemos ordear. Primero resolveremos el problema más secillo: calcular la catidad de posibles comidas si postre. Para la etrada teemos dos posibilidades. Para cada ua de ellas teemos tres opcioes para el plato pricipal. Tedremos etoces. 3 = 6 posibilidades de comidas si postre. Volviedo a los postres, para cada ua de esas seis opcioes teemos dos opcioes de postres, lo que os da u total de 6. = posibles comidas completas. Formalizamos estas ideas co el pricipio de multiplicació. Pricipio de multiplicació. Si ua acció A puede realizarse de formas distitas, y ua acció B de m formas distitas, siedo A y B idepedietes, etoces la acció A y B se puede realizar de. m formas distitas. Ua formulació equivalete usado termiología cojutista es la expresada e el recuadro siguiete: 50 Aveturas matemáticas

6 Pricipio de multiplicació. Sea A x B = {(a, b) : a A, b B} el Producto Cartesiao de A y B, etoces card (A B) = card A + card B. Problema de dados. Supogamos que tiramos simultáeamete dos dados, uo blaco co putos egros, y otro egro co putos blacos, y queremos saber cuátos posibles resultados teemos. El dado blaco tiee 6 formas distitas de caer, lo mismo el egro y (supoiedo que o está cargados) la caída de u dado o afecta la del otro. Por lo tato, teemos accioes idepedietes, etoces el total de posibilidades es 6. 6 = 36. Ahora bie, supogamos que queremos calcular cuátas formas hay de arrojar los dados de maera tal que la suma de los dos sea 7. Etoces, las accioes o so idepedietes y o podemos usar el pricipio de multiplicació. La forma de resolver este problema es la siguiete: Las accioes posibles para el primer dado so que la cara superior idique u, u, etc. Cada ua de estas accioes determia automáticamete qué úmero debe aparecer e el otro dado: si e el blaco aparece u, e el egro debe haber u 6 ; u co u 5 ; etc. Por lo tato, hay sólo 6 posibilidades. Similarmete, supogamos que pidiéramos que o haya dobles''. E este caso, el úmero e el dado blaco o determia absolutamete el úmero del dado egro, pero sí limita sus posibilidades: si sale e el blaco, o puede salir e el egro, por lo tato el dado egro tiee sólo 5 posibilidades. Así hay sólo 6. 5 = 30 tiradas posibles de los dados si dobles. Tambié podríamos haber deducido esto haciedo el siguiete razoamieto: si hubiéramos pedido que haya sólo dobles, etoces el dado blaco determiaría el valor del egro (si sale u e el blaco, debe salir e el egro, etc.), por lo tato hay sólo 6 dobles, y (recordado que el total de posibilidades para los resultados de los dos dados si restriccioes es 6. 6 = 36 ), hay 36 6 = 30 posibles tiradas si dobles. Muchas veces u problema combiatorio se resuelve mucho más fácil (o icluso, es la úica forma de resolverlo) pesado, como e este caso, e el complemeto, y sustrayedo el úmero obteido del total. Los pricipios de adició y multiplicació, a pesar de su secillez y claridad, so la base para resolver los problemas de coteo. Veremos que por más complicado que sea u problema, siempre lo podremos descompoer e subproblemas más simples que podrá ser resueltos usado estos dos poderosos pricipios. La geeralizació de los pricipios a u úmero fiito de accioes es válida e imediata. Veamos problemas dode usamos ambos pricipios. Problema de equipos. Supogamos que u estudiate debe formar parte de dos de los equipos deportivos siguietes: 3 equipos distitos de vóley, 4 equipos distitos de fútbol y 5 equipos distitos de básquet, cuátas opcioes tiee? Cotar si eumerar 5

7 Primero debemos usar el pricipio de adició para dividir el problema e casos excluyetes. E este caso, las opcioes sería elige vóley y fútbol'', elige vóley y básquet'' y elige básquet y fútbol''. Luego, resolvemos cada caso usado el pricipio de multiplicació, porque el equipo que elija para vóley, por ejemplo, o afectará el equipo que elegirá e básquet. Así, e el primer caso teemos 3. 4 = posibilidades, e el segudo 3. 5 = 5 posibilidades, y e el tercer caso 4. 5 = 0 posibilidades. Aplicado el pricipio de adició teemos u total de = 47 posibilidades. Problema de úmeros. Sea X = {,, 3,..., 00 } y sea S = { ( a, b, c ) : a, b, c X, a < b, a < c}. Ecotrar la cardialidad del cojuto S. Dividiremos el problema e casos disjutos cosiderado a {,, 3...,99 }. Como a = {,,...,99 }, el úmero de opcioes para b es ( 00 ) y las opcioes para c tambié so ( 00 ). Por lo que, aplicado el pricipio de multiplicació, el úmero de tres-uplas ordeadas (, b, c ) es ( 00 ). Ahora toma valores de {,, 3..., 99 }, etoces aplicado el pricipio de adició teemos: card S = 99² + 98² ² = Para resolver.. Ua fábrica de automóviles produce cuatro modelos distitos de vehículos. Los modelos A y B puede ser de cualquiera de los cuatro estilos siguietes: seda, todo terreo, covertible y familiar. Los modelos C y D sólo viee del tipo seda o todo terreo. Todos puede fabricarse e alguo de los ueve colores dispoibles. Cuátos automóviles diferetes produce la fábrica?.. Ua orquesta sifóica siempre toca ua de las 4 sifoías de Mozart, seguida por ua de las 5 cacioes moderas de su repertorio, seguidas por ua de las 9 sifoías de Beethove. a) Cuátos programas diferetes puede tocar la orquesta? b) Cuátos programas diferetes puede tocar, si las piezas puede ser tocadas e cualquier orde? c) Cuátos programas de tres piezas so posibles, si se puede tocar más de ua pieza de la misma categoría?.3. Permutacioes y arreglos Problema de la Ceremoia Iaugural. De cuátas maeras posibles puede etrar las 00 delegacioes de los diferetes países e la Ceremoia Iaugural de los Juegos Olímpicos? Podemos resolver el problema usado el pricipio de multiplicació. Teemos 00 posibilidades para la primera ubicació. Para la seguda ubicació teemos 99 posibilidades. Para la tercera, sólo 98, y así seguimos descediedo hasta llegar a, 5 Aveturas matemáticas

8 correspodiete a la situació e que ya está los 99 primeros puestos asigados y queda ua posició para el úico país que quedó si ubicar. Obteemos = = posibles igresos! Si cosideramos el caso geeral de ordear elemetos, la catidad de maeras de hacerlo es ( )( )..... Este úmero, que aparece muy frecuetemete, se llama factorial de y se lo deota! Es decir,! = ( )( )... Formalizado estas ideas, decimos que: Ua permutació de los elemetos de u cojuto es u reordeamieto de ellos. El úmero de permutacioes de u cojuto de elemetos es!, dode! = ( ) ( ) 3... Problema de ua carrera de caballos. E ua carrera participa caballos. De cuátas maeras puede resultar los tres primeros puestos? Este problema es parecido al aterior, pero la diferecia es que ecesitamos ordear u úmero de elemetos meor que la cardialidad del cojuto. Hay posibilidades para el campeó. Luego sólo para el subcampeó y fialmete 0 para el tercer puesto. Como se trata de eleccioes sucesivas, por el pricipio de multiplicació teemos u total de.. 0 =.30 posibles teras. Geeralizado la idea, queremos saber cómo calcular u reordeamieto de r objetos de u cojuto de siedo r. Defiimos: Los arreglos so las diferetes permutacioes de r objetos de etre, siedo r, se deota P (, r ), y P (, r ) = ( ) ( )... ( - r + ). Problema de tres carreras de caballos. E tres carreras hay 0, 8 y 6 caballos corriedo respectivamete. Ua persoa gaa u premio si predice los tres primeros caballos e el orde correcto e cada carrera. Cuátas prediccioes posibles hay? Primero estudiemos cada carrera separadamete. E la que participa 0 caballos hay posibles teras gaadoras. E la de 8, hay teras posibles, y e la carrera co 6 caballos habrá Ahora bie, se debe elegir tres teras, ua de cada carrera y las eleccioes so cosecutivas, etoces por el pricipio de multiplicació tedremos u total de opcioes igual a : ( )( )( ) = Cotar si eumerar 53

9 Observacioes! Por coveció 0! =. P (0, ) = (correspodiete a o permutar ada) y P (, ) =! (correspodiete a permutar todo). Como! = ( ) ( r + ) ( r) ( r ) 3.. si r < y P (, r ) = ( )( ) ( r + ), etoces: P (, r ) =! ( r)!, r. Para resolver.3 Si las patetes de los automóviles se compoe de tres letras seguidas de u úmero de uo, dos o tres dígitos, cuátas patetes distitas puede haber?.4 E ua reuió hay 7 varoes y 3 mujeres. De cuátas maeras puede ser ubicados e fila si: a) las tres mujeres debe estar jutas? b) las dos posicioes del fial debe ser varoes y o debe haber mujeres jutas?.5 Ecotrar el úmero de eteros positivos divisores de 600, icluyedo a y a él mismo..6 Cuátas secuecias de dígitos hay e las que o haya dos dígitos cosecutivos iguales?.4. Combiacioes y los úmeros combiatorios Problema de la salida al teatro. Se propoe ua salida volutaria al teatro e ua clase de 0 estudiates. Se desea saber cuátos grupos posibles puede formarse. Ua forma de resolver este problema es hacer ua combiació de los pricipios de adició y multiplicació. Primero, dividimos el problema e casos disjutos: el caso e que el grupo es de u estudiate, el grupo que cosiste de dos estudiates, etc. E el primer caso, teemos 0 posibilidades. E el segudo, teemos 0 posibilidades de elegir u alumo, y luego tedríamos 9 para elegir el segudo, pero deberíamos dividir por dos, porque que si primero escogemos a Jua y luego a María, es lo mismo que elegir a María y después a Jua. Claramete, los casos co más estudiates se complica más porque se debe aalizar 0 casos distitos. Así, a pesar de lo tedioso que resulte, se obtedría la solució. Veamos otro método para resolver ese problema, y después geeralizarlo a u cojuto de cardialidad arbitraria. 54 Aveturas matemáticas

10 E realidad, lo que queremos saber es cuátos subcojutos o vacíos hay e u cojuto de 0 elemetos. Supogamos que los alumos está umerados del al 0. Dado que la salida es volutaria, para el alumo hay dos opcioes: ir o o ir; tambié tiee las mismas dos opcioes el alumo, el 3 y el resto. Por lo que cada uo de los 0 alumos tiee dos posibilidades. Además, la elecció de cada uo es idepediete de la de los otros (o al meos las cosideramos así), por lo que hay 0 posibilidades e total. Notemos que al cotar hemos icluido la posibilidad de que adie vaya, que es ua. Etoces, la catidad de grupos o vacíos de alumos que se puede formar es 0 - = Este resultado se puede geeralizar a u cojuto de elemetos: La catidad de subcojutos de u cojuto de elemetos es. Veamos co u ejemplo cómo calcular el úmero total de subcojutos de u determiado tamaño e lugar del úmero total de subcojutos. Si agregamos al problema de la salida al teatro la codició de que el grupo sea de estudiates. Para el primer lugar teemos 0 posibilidades, 9 para el segudo, 8 para el tercero y así hasta llegar a 9 posibilidades para el último que es elegido. Es decir, calculamos P (0,). Notemos que elegimos alumos, pero ordeados. Como el orde o os iteresa (iteresa el grupo e sí), teemos que dividir por la catidad de formas de ordear los elemetos, el úmero de permutacioes, es decir!. Etoces, la catidad de subcojutos de u cojuto de 0 elemetos es: Ejemplo ! =! 8!! = Geeralicemos este resultado para calcular la catidad de subcojutos de cardialidad de u cojuto de cardialidad co. Razoado e forma aáloga, teemos posibilidades para el primero que elegimos, ( ) para el segudo, ( ) para el tercero, y así sucesivamete hasta teer ( + ) para el último elegido, el úmero. Estos elemetos elegidos está ordeados (hay tatas posibles eleccioes como P (, )), para o cosiderar este orde dividimos por! la catidad de órdees posibles del subcojuto elegido. Obteemos: ( )( ) ( + )! =!!( )! Etoces, de acuerdo a lo visto, podemos describir explícitamete estos úmeros: Llamamos úmeros combiatorios y deotaremos por, al úmero de subcoju- tos de tamaño de u cojuto de tamaño. P(, ) =!!!( = )! Cotar si eumerar 55

11 Observemos que P(, ) es igual a la catidad de arreglos de {,,..., } tomados de e. Se puede obteer estos arreglos escogiedo primero los elemetos que vamos a ordear (esto se hace e formas) y luego ordeádolos e! formas. Por lo tato, P(, ) =! o equivaletemete = P(, ).! Co esta fórmula, mediate operacioes algebraicas, se prueba la mayoría de las propiedades de los úmeros combiatorios. Podemos obteer alguas propiedades directamete de la defiició. Esto permite, además de recordarlas mejor, compreder e profudidad las fórmulas ivolucradas. Propiedades de los úmeros combiatorios Los úmeros combiatorios, como vimos, cueta la catidad de posibles subcojutos de determiado tamaño de u cojuto de tamaño mayor. Pero su utilidad se extiede, combiádolos y usado los pricipios de adició y multiplicació, a otro tipo de situacioes e las que se calcula cardialidades de subcojutos co algua codició, restricció o propiedad. Esto se verá reflejado e las siguietes propiedades: = (Simetría). Veamos, co el siguiete ejemplo, cómo iterpretamos combiatoriamete los úmeros ivolucrados e la igualdad. Ejemplo Supogamos que teemos que elegir 3 sabores de helado de etre 8. La propiedad os dice que es lo mismo elegir los 3 sabores que queremos, a elegir los 5 sabores que o queremos, 8 8 es decir =. E el gráfico está represetados por E todos los sabores de helados, A 3 5 represeta los sabores que o elegimos y A los que sí elegimos. E A A Figura.5. Esquema problema de los helados E otras palabras deota el úmero de subcojutos de elemetos de u cojuto de elemetos E. Sea A u tal subcojuto. Etoces, el complemeto de A, A debe teer elemetos. Así, cada subcojuto de elemetos determia u úico subcojuto de elemetos, y por lo tato: = Teorema del Biomio. Este coocido teorema es el que os permite calcular fácilmete los coeficietes (llamados coeficietes biomiales) e la expasió de cual- 56 Aveturas matemáticas

12 quier potecia de u biomio. Por ejemplo de: (x + y) 3 = x 3 y 0 + 3x y + 3x y + x 0 y 3. La forma geeral del mismo es: ( x y) x y = + = 0 El Teorema se podría probar algebraicamete, si embargo lo demostraremos e forma combiatoria: pesemos a (x + y) como el producto (x + y) (x + y)... (x + y). Si distribuimos la multiplicació co respecto a la adició, obteemos ua suma de elemetos de la forma x y r co variado etre 0 y. E el ejemplo esta suma es: x 3 y 0 + 3x y + 3x y + x 0 y 3 Como e el producto (x + y ) (x + y) (x + y) teemos factores, al desarrollarlo, cada uo aporta u x o u y, pero o ambos. Teemos además, que la suma de los expoetes de x e y e cada producto x y r debe ser, (ya que hay factores de la forma x o y que multiplicados da el producto), por lo que r =. Lo úico que queda por verificar es la catidad de factores de la forma x y -, es decir el coeficiete biomial correspodiete. Si umeramos los factores (x + y) e el producto (x + y) (x + y) (x + y), (digamos factor, factor, etc.) teemos que decidir, de cuáles factores obteemos los x? (ua vez decidido esto, los y se debe obteer de los otros factores). Etoces, decidir cuátos sumados de la forma x y - hay es lo mismo que decidir de cuátas formas podemos escoger factores (x + y) (de los cuales sacaremos los x). Pero teemos factores de los cuales debemos elegir, por lo tato, el úmero de formas de hacerlo es. Ahora teemos la suma de + térmios de la forma x y - a, 0 es decir, hemos probado la propiedad. Los coeficietes biomiales o sólo aparece e las potecias de biomios. Está ivolucrados e muchísimas relacioes, secuecias y cojutos de úmeros. Para poder apreciar esto observemos ahora el esquema que se visualiza e la figura.6. E cada fila se desarrolla las potecias del biomio (a + b) y se destaca los coeficietes. a a 3 a + b + ab a + 4a b + 6a b + + b a b + 3ab + b ab a b + 0a b + 0a b + 5ab + b 3 + b 4 El triágulo que se forma co estos coeficietes, que so los úmeros proveietes del biomio, es el famoso: Triágulo de Pascal'' e hoor a Blaise Pascal (63-66) quie realizó diversas ivestigacioes acerca de él e 653. De hecho, el matemático italiao Niccolò Fotaa Tartaglia ( ), ya lo coocía mucho ates que Pascal. Más aú, descoocido para los europeos, los chios ya lo estudiaba. E Chia el triágulo lleva el ombre de su descubridor Yag Hui (38 98) quie lo costruyó e 6. Dicho triágulo se costruye colocado u y debajo de él otros dos úmeros. Cada ueva líea comieza y termia co úmeros, pero los elemetos e el iterior de la líea se forma sumado los dos elemetos e la líea superior a él que so adyacetes: Figura.6: Triágulo de Pascal Cotar si eumerar 57

13 = 8 = 9 p = 0 p = Vemos que gracias a la propiedad de simetría de los úmeros combiatorios ates mecioada = p = p = 3 = 0 = = = = = = = p = 4 p = 5 p = 6, el triágulo es simétrico co respecto a la altura del triágulo que tiee al primer uo como extremo o iformalmete las filas so capicúas. Por ejemplo miremos la séptima fila: p = 7 p = 8 p = 9, 6, 5, 0, 5, 6,. El primer 6 es el úmero combiatorio 6 mietras que el último 6 es 6. 5 E la figura de la izquierda hemos iscripto el Triágulo de Pascal e ua tabla. El úmero e la líea y la columa p, es el úmero combiatorio p. Probaremos la propiedad que os dice que u elemeto de la fila + es la suma de sus dos atecesores e la fila. Es decir: + = + Para eteder y probar esta relació iterpretaremos los úmeros ivolucrados como cardialidades de cojutos co u ejemplo. Ejemplo Si teemos que elegir 4 gustos de helado de etre 9 tedremos 9 maeras de hacerlo. 4 Por otro lado, si por ejemplo etre los 9 sabores existe el chocolate, podríamos elegirlo o o. E el primer caso, si lo icluimos, debemos elegir 3 de etre los 8 sabores restates, es decir teemos 8 formas, mietras que 3 E si o lo icluimos teemos que elegir los 4 sabores de etre 8, es decir de 8 e maeras. 4 Ahora, como el elegir o o al chocolate so A accioes excluyetes, por el pricipio de E A adició debemos sumar esas dos catidades obteiedo como resultado: 9 8 = + 8. e E el gráfico (Figura.7) e represeta el sabor chocolate, A el cojuto que elegimos Figura.7: Esquema problema de gustos de helados. y E, E los cojutos que se forma depediedo de si e A, o o. Veamos ahora el caso geeral: tomemos A = {,,,, + }. Por defiició hay + subcojutos de elemetos de A. Cotaremos de otra maera la catidad de estos subcojutos. Cada subcojuto de elemetos de A, o bie cotiee a o o. 58 Aveturas matemáticas

14 Si A la catidad de dichos subcojutos es. Si A la catidad de formas de hacerlo es. Por el pricipio de adició teemos la suma deseada: + = + El Teorema del biomio permite deducir alguas idetidades biomiales (es decir igualdades que ivolucra úmeros combiatorios) e forma o combiatoria, por ejemplo, tomado x = y = e la fórmula del biomio obteemos: Esta es, obviamete, ua prueba algebraica. Veamos ua prueba combiatoria de: Puesto que cada = 0 = es igual a la catidad de subcojutos de elemetos de u cojuto de elemetos y, como estamos sumado sobre, resulta que la suma de la izquierda es igual a la catidad total de subcojutos de u cojuto de elemetos. Ateriormete, vimos que es igual a. Ahora derivamos respecto de x: Veamos la prueba co argumetos combiatorios. La suma de la derecha, por los pricipios de adició y multiplicació, es igual a la catidad de formas distitas de ( x + ) - - = x =0 escoger u subcojuto de u cojuto de elemetos Tomado ahora x =, teemos: y luego distiguir uo de ellos. Por ejemplo, podríamos decir que teemos u cojuto de persoas de las cuales. - = = 0 hay que escoger ua comisió de tamaño o especificado, y luego elegir u presidete de esa comisió. Ahora bie, esto tambié se puede hacer eligiedo primero al presidete etre las persoas y luego elegir al resto de la comisió de etre las ( ) persoas que queda, e formas posibles. Idetidad de Va der Mode ( + ) r = = = = 0 = 0 Se puede hacer ua prueba o combiatoria comparado los coeficietes de x r que se obtiee al desarrollar ambos miembros de la igualdad: m + = r r = 0 m Para quiees domia los coceptos de derivadas Otra fórmula que se puede obteer a partir del biomio (usado derivadas de fucioes para quiees cooce este tema), es co y =, obteiedo ( x + ) = = 0 x Cotar si eumerar 59

15 ( + x) ( + x) m = ( + x) m+ Ua prueba combiatoria más corta es la siguiete: + m r es igual al úmero de subcojutos de r elemetos del cojuto {,,, + m}. Pero, u tal subcojuto tedrá ua catidad, digamos, de elemetos del cojuto {,,, } y el resto (r ) estará e { +, +,, + m}. Así, para formar tal subcojuto debemos elegir u y luego elemetos de {,,, } e formas, y luego r elemetos de { +, +,, + m} r m m e formas. Por los pricipios de adició y multiplicació hay r formas r = 0 de hacer esto. La siguiete idetidad os dice lo que pasa si sumamos a lo largo de ua diagoal del Triágulo de Pascal. Idetidad de Chu Shih-Chieh (o del palo de Jocey): + = r r + = r Ejemplo E la figura.8 está represetadas las siguietes sumas: = ó 84 = , = ó = y = + ó 0 = Figura.8. El úmero + es igual a la catidad de subcojutos de r + elemetos de {,,, + }. r + Para formar u subcojuto A de r + elemetos debemos decidir primero cuál es el mayor úmero que estará e A. Supogamos que j es tal úmero (observemos que como A debe teer r + elemetos, j debe ser al meos r + ). Etoces, como j +, j +,, + A debemos completar j + A co r elemetos tomados del cojuto {,, j + }. Podemos hacer esto de r formas distitas. Así, teemos que j =. Tomado j = + e la suma r r + obteemos el resultado. j= r+ 60 Aveturas matemáticas

16 ( ) = 0 = 0 Ua prueba o combiatoria secilla se obtiee evaluado (x + ) = x e x =. = 0 Veamos la prueba combiatoria. Basta probar que el úmero de subcojutos de {,, } co ua catidad impar de elemetos es igual al úmero de subcojutos co ua catidad par de elemetos. Esto es obvio si es impar, puesto que si A tiee ua catidad par de elemetos etoces el complemeto de A debe teer ua catidad impar de elemetos. Si es par dividimos todos los subcojutos e dos clases:.ª los que cotiee a, y.ª los que o cotiee a. La catidad de subcojutos de la.ª clase co ua catidad par de elemetos es igual a la catidad e la.ª clase co ua catidad impar puesto que ahora estos so subcojutos de {,, }. Si A está e la.ª clase, A {} es subcojuto de {,, }, así pues: la catidad de subcojutos e la.ª clase co ua catidad impar de elemetos, es igual a la catidad de subcojutos de {,, } co ua catidad par de elemetos, que a su vez es igual a la catidad de subcojutos de {,, } co ua catidad impar de elemetos, e igual a la catidad de subcojutos de la.ª clase co ua catidad par de elemetos. Co lo que queda probada la propiedad..7. Más regularidades e el Triágulo de Pascal. Hallar e el triágulo: a.- los úmeros aturales; b.- los úmeros triagulares: so aquellos que si se represeta co putos permite formar, co ellos, triágulos equiláteros:, 3. 6, 0, 5,... (Figura.9); Para resolver Figura.9. Figura.0. c.- úmeros tetraedros: aquellos que si se represeta co bolitas permite formar, co ellos, tetraedros:, 4, 0, 0, 35,... (Figura.0); d.-úmeros pares e impares; e.- potecias de. Ayuda: sumar; f.- secuecia de Fiboachi: es la secuecia que comieza co dos uos y luego cualquier térmio se obtiee sumado los dos últimos:,,, 3, 5, 8, 3,... ; g.- las potecias de. Ayuda: mirar las filas de la figura.. Cotar si eumerar 6

17 Figura.. Composicioes de u úmero atural Problema de la fiesta. U grupo de estudiates está plaeado ua fiesta de recaudació de fodos para su viaje de estudios. Debe hacer varias tareas:. elegir el lugar dode hacer la fiesta,. obteer los permisos muicipales, 3. cotratar el DJ, 4. imprimir las etradas, 5. veder las etradas. Se poe de acuerdo e que todos hará la última tarea, y e dividirse las otras e 4 grupos distitos. De cuátas formas puede formarse estos grupos? Resolver este problema es equivalete a cotar cuátas maeras hay de dividir el grupo de persoas e 4 partes porque todos se ocupará de veder etradas. Ua composició de u úmero atural es ua expresió de como suma ordeada de úmeros aturales. Los sumados de ua composició se llama partes de la misma. Ejemplo 5 = 3 + es ua composició de 5, y 5 = + 3 es otra. El úmero 4 tiee 8 composicioes e total: ; + + ; + + ; + + ; 3 + ; + 3 ; + y 4. Hay dos pregutas importates que podemos haceros co respecto a las composicioes. Dado, cuátas composicioes tiee? y cuátas composicioes co partes? Por ejemplo, el úmero 4 tiee 3 composicioes co 3 partes y otras 3 co. Es muy simple respoder esas pregutas. Veamos cómo? Podemos represetar el úmero dibujado asteriscos e líea. Dibujado barras verticales obteemos ua composició. Por ejemplo, * * * * * * * * * correspode a la composició de 9. Si queremos que la composició tega partes, etoces debemos usar ( ) barras verticales. Como o se usa barras e los extremos teemos u total de ( ) espacios iteriores etre los asteriscos, por lo tato, u total de composicioes de e partes. Co lo cual: El úmero de composicioes Podemos calcular la catidad total de composicioes de de co partes es u úmero calculado la catidad de subcojutos de 6 Aveturas matemáticas

18 u cojuto de elemetos, es decir la catidad total de posibles ubicacioes de barras e los lugares. Ahora bie, sabemos que esta catidad es igual a: = -. El úmero total de composicioes de es -. Etoces teemos: Ahora estamos e codicioes de calcular la respuesta al problema de la orgaizació de la fiesta. Como teemos que calcular las composicioes de e 4 partes, de acuerdo a lo visto, la respuesta es: 0 = 3 = !.40 Problema de la fiesta tercerizado. U grupo de alumos orgaiza ua fiesta e la que hay 5 tareas distitas para realizar. Se les permite tercerizar todas las tareas, es decir dejarlas e maos de terceros. Debe evaluar la coveiecia de esta opció. De cuátas maeras puede dividirse las tareas, si tambié permitimos que las mismas sea realizadas por terceros? Asumiremos u tercero por tarea. Para resolver este problema ecesitamos calcular la catidad de formas de dividir a los estudiates e 5 grupos permitiedo que haya grupos vacíos. Para esto vamos a agregar al grupo de alumos las 5 persoas que realizaría las cico tareas e el caso que ellos o lo haga. Teemos ahora + 5 = 6 persoas para dividir e 5 grupos, ahora o vacíos. Como e el problema aterior, la respuesta es: = 4 4 =.650 Lo que hicimos fue agregar 5 ayudates extras al grupo origial de estudiates a partir de allí plateamos ua situació coocida: el cálculo de las composicioes e partes positivas. Esto se puede geeralizar de la siguiete maera: la catidad de composicioes débiles (es decir co partes o egativas) de e partes es igual a la catidad de composicioes de + e partes, es decir: +.8. Probar la siguiete idetidad iterpretado cada miembro de la igualdad como la cardialidad del mismo cojuto. (Ayuda: pesar e comisioes) Para resolver m r = m r r m r.9. Probar que para cada etero r, el producto de r eteros positivos cosecutivos es divisible por r!. Cotar si eumerar 63

19 .0. De cuátas maeras puede formarse u comité de 5 persoas de u grupo de, e el que hay 4 profesores y 7 estudiates si: a) o hay restricció e la selecció? b) el comité debe icluir exactamete profesores? c) el comité debe icluir como míimo 3 profesores? d) hay u profesor y u alumo e particular que o puede estar ambos e el comité? Figura.. P.. U alumo debe camiar desde su casa hasta la escuela por calles que se muestra e la figura.. Cuátos camios míimos tiee el alumo para elegir? O Figura.3. a b c.. Ecotrar el úmero de camios míimos desde O hasta P, segú el siguiete diagrama (Figura.3) de calles, e cada uo de los casos. a)los camios debe pasar por la esquia a. b)los camios debe pasar por la calle a b. c)los camios debe pasar por las esquias a y c. d)la calle a b está cerrada..3. Seis cietíficos está trabajado e u proyecto secreto. Quiere guardar los documetos e u cajó bajo llaves de maera tal que se pueda abrir sólo cuado tres o más de ellos esté presetes. Cuál es el míimo úmero de cerraduras ecesario? Cuál es el míimo úmero de llaves que cada cietífico debe llevar?.5. Cojutos co repetició Problema del Seado. E el Seado se desea formar ua comisió sobre eriquecimieto ilícito. La comisió debe teer 0 miembros etre los cuales debe haber al meos u represetate del partido A, uo del partido B y uo del partido C. Hay 7 volutarios: 0 perteece al partido A, 9 al B y 8 al C. Cuátas comisioes distitas se puede formar si o importa qué seadores específicos la forma, sio sólo el partido al cual perteece? Para resolver este problema, itroduciremos el cocepto de multicojuto. U multicojuto es u cojuto e el que se puede repetir los elemetos, es decir u cojuto co repetició. Por ejemplo, {,,, 4, 5, 5, 5} es u multicojuto. Más formalmete: U multicojuto (fiito) M e u cojuto S es ua fució v : S N, tal que v ( x) <. x S 64 Aveturas matemáticas

20 El úmero v (x) se iterpreta como el úmero de repeticioes de x e M. S es el "cojuto base". Se suele decir que M es u multicojuto sobre S" y permitiremos que v(x) = 0 para algú/os x de S. La cardialidad de M es v (x) y se deota por card M. U cojuto x S se puede pesar como u multicojuto e el que la fució v es costatemete igual a y la cardialidad es = card M. x S U multicojuto M sobre S = {x, x,..., x } co v ( x ) = a, tambié se puede deotar a i i a a como: M = { x, x,..., x }. Diremos que M es u submulticojuto de M si M ' es u multicojuto sobre S co fució v : S N que satisface v' ( x ) v ( x ), x S. Recordemos que el úmero de subcojutos de u cojuto de elemetos es. Veamos ahora, cuátos submulticojutos tiee u multicojuto? Esto o depede sólo de la cardialidad = v (x), sio de la fució v misma. x S Pues, como debe ser 0 v' (x) v (x) para cada x S, v' puede tomar v (x) + valores distitos. v(x) + posibles valores para v'. Así, usado el pricipio de multiplicació, teemos que hay ( ) Notemos que e el caso de u cojuto v (x) = para todo x y por lo tato el producto es ( + ) =, lo mismo que obtuvimos ateriormete. x S El úmero de submulticojutos de u multicojuto M = (S, v) es igual a ( + ) No vamos a desarrollar el úmero de submulticojutos de cardialidad de u multicojuto, pero sí vamos a defiir como el úmero de multicojutos de cardialidad sobre u cojuto de cardialidad. Al fijar S = {x, x,..., x } etoces, u multicojuto M sobre S queda determiado por v, co la codició de que v ( x i ) =. Así, teemos ua composició de e eteros o i + egativos, que como hemos visto, es igual a. Es decir: + =. Ahora, estamos e codicioes de resolver el problema de la comisió de eriquecimieto ilícito. Lo que importa e este problema es la composició de la comisió relativa a los partidos políticos y o a las persoas. Así, lo primero que hay que hacer es asegurarse que haya uo de cada partido. E realidad, el problema cosiste e elegir 7 miembros (0 3) etre los 4 restates, divididos e 9 del partido A, 8 del B y 7 del C. Si embargo, como la codició política ya está satisfecha, simplemete teemos que escoger u multicojuto de cardialidad 7 sobre u cojuto S de cardialidad 3. Así, la respuesta al úmero de posibilidades es: = 7 9 = 7 = 9.4 = 36 x S x S v(x). Cotar si eumerar 65

21 Números multiomiales Problema de aagramas. Calcular la catidad de aagramas de la palabra ESMERARSE. U aagrama de ua palabra dada es u reordeamieto de sus letras. Ejemplo La palabra PAPA, tiee los siguietes aagramas: PAPA, APAP, PAAP, PPAA, AAPP y APPA. Veremos cómo calcular el úmero de aagramas que puede teer las palabras co y si repeticioes de sus letras. Para respoder estos problemas, vamos a itroducir los Números multiomiales. Recordemos que! es igual al úmero de formas de ordear los elemetos de u cojuto de elemetos. Hallaremos ua fórmula para ordear los elemetos de u multicojuto. Ahora bie, así como el úmero de submulticojutos depede o sólo de la cardialidad sio de cómo es e sí la fució v, tambié esta catidad depederá de v. a a am Si M = { x x,..., x } y card M =, deotaremos por, m a a a,,..., a la catidad de formas de ordear los elemetos de M. m Por ejemplo, sea M = {,,, 3}. Etoces la catidad de formas de ordear los elemetos de M es igual a 4. Calculemos explícitamete este úmero:,, Las distitas formas de ordear los elemetos de M so: 3; 3; 3; 3; 3; 4 3; 3; 3; 3; 3; 3 y 3; por lo tato =.,, Hasta ahora sólo teemos ua otació. Veamos la fórmula explícita: a a,,..., a m = a a a a a a a a3 a... a m Debemos ordear u total de a, a,..., a m = elemetos. Primero, elegimos e cuáles de los lugares va a ir los a x. Esto se puede hacer de formas. Como ya ocupamos a a a lugares, sólo os queda libres a. Escojamos e cuál poemos los a x e a formas. Nos queda etoces ( a a ) lugares libres, cotiuado de esta maera, obteemos el resultado expuesto y, como cosecuecia, la siguiete relació: m a, a,..., =! a m a! a!... am! 66 Aveturas matemáticas

22 Veamos ua prueba combiatoria de lo aterior. Supogamos que tomamos el siguiete cojuto: M ~ = x,x,..,x,x,x,...,x,...,x,...,x,..,x { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) },,, a, Como la cardialidad de este cojuto es a + a a =, el úmero total de formas m de ordear los elemetos de M ~ es! Por otro lado, podríamos ordear los elemetos de M ~ ordeado primero los elemetos de M e formas a, a,...,, y luego ordeado a m los x (, i) de a! formas, los x (, i) de a! formas, etc. Por lo tato, a! a!... a! m a, a,..., =! a m Como aplicació fial calculamos la catidad de Aagramas de la palabra ESMERARSE. Sea M el multicojuto formado por las letras de la palabra 'ESMERARSE'. Es decir, M={E 3, S, M, R, A} Teemos que calcular: 9 3,,,, =,, a 9! 3!!!!! 9! = 4 = 50 m, m, m, a m.4. Seis símbolos distitos se trasmite a través de u caal de comuicació. Etre los símbolos se debe isertar u total de 8 espacios e blaco, co al meos dos espacios e blaco etre cada par de símbolos. De cuátas maeras se puede trasmitir los símbolos y los espacios e blaco? Para resolver.5. Cuátas palabras de 0 letras se puede formar usado las letras: a, b, c, d, e, f, si: a.- o hay restriccioes; b.- cada vocal aparece tres veces y cada cosoate aparece ua..6. El Pricipio de Iclusió-Exclusió Problema de asigaturas I. Supogamos que e ua escuela teemos u grupo de 30 estudiates. A 6 de ellos les gusta Matemática y a 5 les agrada Historia. A cuátos estudiates o les gusta igua de las dos materias? Recordemos que el pricipio de adició, e su forma más simple, dice: Si A y B so cojutos fiitos y disjutos, etoces card (AUB) = card A + card B. Cotar si eumerar 67

23 Nos pregutamos si existe ua fórmula e el caso e que los cojutos o sea disjutos. Si A y B o so disjutos, e la uió de los cojutos A y B, los elemetos comues a A y B so cotados dos veces. Por lo tato será: card (AUB) = card A + card B card A B Esta relació claramete geeraliza el caso e que la itersecció es vacía. Cuado la itersecció es vacía, el 3 er térmio se aula y os da el pricipio de adició que ya sabíamos del pricipio. Cuado o es vacía, vale la formula co los tres térmios. Geeraliza porque vale e el caso particular y e el geeral. Esta fórmula es la versió más simple del Pricipio de Iclusió-Exclusió que a cotiuació vamos a estudiar. Como vimos ateriormete, para resolver ciertos problemas de coteo los cojutos cuyos elemetos queremos eumerar se separa e subcojutos disjutos para poder aplicar el pricipio de adició. Pero la tarea de dividir u cojuto e subcojutos disjutos puede ser muy complicada. La última fórmula que vimos sugiere que expresemos al cojuto dado como A B, co A y B o ecesariamete disjutos, y que luego calculemos separadamete card A, card B y card (A B) (la iclusió de card A y card B y la exclusió de card (A B) e la fórmula dará el resultado deseado para card (A B)). Volvamos ahora al problema sobre la elecció de materias por u grupo de 30 alumos etre los que hay 6 a los que les gusta Matemática, 5 a los que les gusta Historia, y se preguta por el úmero de estudiates a los que o les gusta igua de las dos materias. Esta preguta o se puede respoder si o se sabe la catidad de estudiates a los que les agrada ambas materias. Supogamos que sólo hay u estudiate así. Etoces, si llamamos A al cojuto de alumos a los que les gusta Matemática, B al cojuto de alumos a los que les gusta Historia, teemos: card A = 6, card B = 5 y card (A B) =. Etoces: card (A B) = = 0 Notemos que A B correspode al total de alumos a los que les gusta por lo meos ua de las dos materias, es decir, que estamos buscado su complemeto, o sea los alumos a los que o les gusta igua de las dos. Como el total de estudiates es 30, y a 0 de ellos les gusta algua de las dos materias, los alumos a los que o les gusta igua será 0. Notemos además que hay 5 = 6 estudiates a los que les agrada Matemática pero o Historia y 4 = 5 estudiates a los que les agrada Historia, pero o Matemática. Podemos geeralizar lo siguiete: Si A, B so subcojutos de U, y si deotamos por A al complemeto de A e U, etoces: card (A B) = card U card A card B + card (A B). 68 Aveturas matemáticas

24 Como estamos restado dos veces los elemetos de card (A B), debemos sumarlo ua vez. Por ejemplo: si e el problema aterior hubiera sido 0 los alumos a los que les agrada Matemática, y a 5 de ellos tambié les agrada Historia, el total de alumos a los que o les gusta igua de las dos habría sido =. Geeralicemos la fórmula para 3 cojutos. Podemos usar la fórmula aterior aplicada a los dos cojutos A B y C: E forma combiatoria podemos razoar así: estamos descotado aquellos elemetos que esté sólo e A (o sólo e B, o sólo e C) cuado restamos card A ( o card B o card C). Ahora bie, estamos descotado dos veces a aquellos que esté e dos cojutos solamete, digamos e A y e B: ua co card A y otra co card B. Pero después los cotamos ua vez al sumar card (A B). Fialmete, primero descotamos 3 veces aquellos elemetos de A B C, luego los cotamos otras tres veces, y al fial los descotamos ua vez. Así, cada elemeto es cotado sólo ua vez dádoos la relació deseada. Geeralizado teemos: Si A,B y C so subcojutos de U, etoces : card (A B C) = card U card A card B card C + card (A B) + card (A C) + card (B C) card (A B C). Problema de asigaturas II. E el turo mañaa de cuarto año de ua escuela hay 00 estudiates. A 40 de ellos les gusta Matemática, a 40 Historia y a 40 Geografía. A 0 les gusta Historia y Matemática, a 0 Historia y Geografía, y a 0 Matemática y Geografía. Además hay 0 estudiates a los que les gusta las tres materias. A cuátos estudiates o les gusta igua materia? Por la fórmula aterior habrá: = 30 Problema de primos. Cuátos úmeros eteros hay meores que 54 que sea coprimos co 54? Recordemos que dos úmeros so coprimos cuado su máximo comú divisor es, es decir, o existe úmero atural distito de que divida a ambos úmeros. Llamemos N al cojuto cuya cardialidad queremos calcular. Notemos que 54 =. 7. por lo que queremos cotar aquellos úmeros que o tiee a, i a 7, i a como divisores. Cotar si eumerar 69

25 Sea A el cojuto de úmeros que sí so divisibles por, B el de los divisibles por 7 y C los divisibles por, etoces, queremos calcular card (A B C). Observemos que A B so aquellos úmeros divisibles por. 7 = 4, que A C so aquellos divisibles por. =, B C los divisibles por 7. = 77, y A B C los divisibles por. 7. = 54. Así teemos: card 54 Co lo que card (A B) = 4 = Calculado e forma aáloga obteemos: A = = 77, card B = =, card C = 7 card N = card (A B C) = = 60 = 4 Observació! La fució de Euler Alrededor de 760, e u iteto por geeralizar u resultado de Teoría de Números de Fermat, el matemático suizo Leoard Euler ( ) itrodujo la siguiete oció: para u N, sea Φ() el úmero de eteros compredidos etre y que so coprimos co. La fució Φ(), coocida como la fució de Euler juega u papel importatísimo e la matemática actual. Si p, q, r so primos y si N es el cojuto de úmeros meores a (p q r) coprimos a él, etoces, razoado e forma aáloga al problema de primos que vimos ateriormete, teemos: card N = p q r p q p r q r + p + q + r = ( p ) ( q ) ( r ) Por lo que para = p q r, será: Φ ( ) = ( p ) ( q ) (r ) Veamos cómo geeralizamos el pricipio de Iclusió-Exclusió: Pricipio de Iclusió-Exclusió. Dados subcojutos de u cojuto U de cardialidad N. Sea A, A,..., A los subcojutos de U y para cada, sea S la suma de los cardiales de las iterseccioes etre de los A i. Es decir, S = card A i, card S = card (A i A ), etc. Etoces: j Co u aálisis combiatorio de la fórmula veamos cómo se cueta cada elemeto x U: ( ) S + + ( ) card ( A A A ) = N S + S S + 3 Si x (A A... A ), etoces x es cotado ua vez por el lado izquierdo, S 70 Aveturas matemáticas