Semana 08[1/93] Sumatorias. 18 de abril de Sumatorias

Transcripción

1 Semaa 08[1/93] 18 de abril de 2007

2 Semaa 08[2/93] Sumas dobles Veremos a cotiuació u caso particular de suma, e el que la que el térmio geeral a k es a su vez ua suma, para cada k Es decir, veremos cómo sumar sobre más de u ídice Suma doble Es ua sumatoria del tipo e dode b k es a su vez ua sumatoria, o sea b k = m j=0 a k,j Reescribiedo: m a kj j=0 b k Notar que: El térmio geeral a kj, se deota así pues puede depeder de ambos ídices Los límites iferior y superior de m j=0 a k,j puede depeder del ídice k

3 Semaa 08[3/93] Sumas dobles: Itercambio de sumas E el caso e que los límites iferior y superior de b k o depede de k, podremos itercambiar el orde de las sumatorias Para ver esto, otemos que los térmios que estamos sumado so: a 00 a 01 a 02 a 0m a 10 a 11 a 12 a 1m a 0 a 1 a 2 a m y que por ede, la suma doble represeta el sumar los resultados de sumar cada fila a la vez Es claro que esto es equivalete a sumar los resultados de sumar cada columa a la vez De dode teemos la siguiete propiedad: Itercambio de sumas Si teemos ua suma doble m j=0 a kj, cuyos límites iferiores y superiores o depede de los ídices Etoces: m m a kj = a kj j=0 j=0 Queda propuesto como ejercicio probar esta propiedad, usado iducció e Æ

4 Semaa 08[4/93] Sumas dobles U ejemplo importate es aquel e que: a kj = c k d j O sea, cuado el térmio geeral es la multiplicació de dos térmios depediedo idepedietemete cada ídice E este caso: m a kj = j=0 = = m c k d j j=0 c k c k m j=0 m j=0 d j d j } {{ } S Y como la catidad S es ua costate para la suma sobre k, resulta: j=0 c k es ua costate para la seguda suma ( m ) c k d j = c k m j=0 d j

5 Semaa 08[5/93] Sumas dobles Ejemplo Calcular m ij i=0 j=0 Teemos que, gracias a lo aterior: m m ij = ( i)( j) = i=0 j=0 i=0 j=0 ( + 1) 2 m(m + 1) 2 Ejemplo Calcular i (i j) 2 i=0 j=0 Acá teemos la tetació de desarrollar (i j) 2 = i 2 + 2ij + j 2 y ocupar sumas coocidas, además del resultado aterior Si embargo, el límite superior de la seguda suma, depede de i por lo que o se puede recurrir a lo aterior Acá os bastará otar qué valores posibles puede tomar i j, para i fijo y j móvil

6 Semaa 08[6/93] Sumas dobles Para j = i, i j = 0 y crece a medida que decrece j, hasta j = 0 e dode vale i j = i Por ede hacemos el cambio de ídice e la primera sumatoria Esto resulta e: k = i j co k {0,,i} i=0 i k 2 = i=0 i(i + 1)(2i + 1) 6 E dode esta última suma es perfectamete calculable y dicho cálculo queda de ejercicio Ua última defiició, que geeraliza la oció aterior es la de: Suma múltiple Se trata de ua suma: k 0 =0 k 1 =0 k 2 =0 l a k0 k 1 k l k l =0 Esta geeralizació tambié satisface: Itercambio de sumas Si los límites iferiores y superiores o depede de los ídices: k 0 =0 k 1 =0 k 2 =0 l a k0 k 1 k l = k l =0 l Y e geeral para cualquier reordeamieto de las sumas l 1 l 2 k l =0 k l 1 =0 k l 2 =0 0 k 0 =0 a k0 k 1 k l

7 Cardialidad Semaa 08[7/93] Cardialidad Habitualmete os topamos co la ecesidad de cotar los elemetos de u determiado cojuto Tratamos así de establecer ua correspodecia etre cojutos y úmeros aturales diciedo, por ejemplo, que {a, b, c} tiee 3 elemetos y que {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} tiee 7 elemetos El problema de este efoque típico es que o os sirve para ciertos cojutos, comoæ, oê De éstos sólo decimos que tiee ua catidad ifiita de elemetos La teoría de cardialidad viee a establecer coceptos más precisos, que os permitirá obteer resultados más poderosos que los sugeridos por la sola ituició Esta teoría reemplaza la oció de úmero de elemetos por la de cardial, así como la oció de cotar por establecer fucioes biyectivas Cosideremos A = {a, z, x, p, q, r, s}, el cual es u cojuto de 7 elemetos, y el cojuto Æ7 = {x Æ:1 x 7} Es fácil costruir ua biyecció etre A yæ7, como por ejemplo la dada por el siguiete esquema a 1 p 2 q 3 r 4 s 5 x 6 z 7 Así, reemplazaremos uestra idea de teer 7 elemetos por la idea equivalete que es poder costruir ua biyecció haciaæ7 Lo importate de este uevo efoque es que os permite evetualmete trabajar co cojutos que tega ifiitos elemetos

8 Cardialidad Semaa 08[8/93] Cardialidad Defiamos esta ueva oció: Cardialidad Dados A, B cojutos o vacíos Diremos que A y B tiee el mismo cardial si existe ua fució f : A B que sea biyectiva E tal caso deotaremos A = B Tambié, deotaremos A B cuado exista ua fució f : A B que sea iyectiva Se tiee las siguietes propiedades básicas acerca de : Propiedades 1 A A 2 Si A B, etoces A B 3 Si A B y B C, etoces A C 4 A B B A A = B Vale la pea hacer otar que la última propiedad es difícil de demostrar, escapádose del alcace de este curso

9 Cardialidad Semaa 08[9/93] Cojutos fiitos Sea Æu atural cualquiera Defiimos el cojuto Æ = {x Æ:1 x } (por ejemplo, teemos así queæ0 =,Æ2 = {1, 2}, yæ7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}) Dado u cojuto cualquiera E, diremos que es fiito si y sólo si existe k Ætal que Æk = E Así, podemos establecer las siguietes propiedades, las cuales se demuestra utilizado pricipio de iducció: Propiedades 1 Æk+1 Æk (esto se ota Æk < Æk+1 ) 2 m Æm Æ Gracias a ellas, deotaremos Æk = k Cualquier cojuto que o sea fiito, diremos que es ifiito Propiedad Æes ifiito

10 Cardialidad Semaa 08[10/93] Cojutos fiitos Demostració Supogamos queæfuese fiito Etoces, existiría u k Ætal que Æ = Æk Además, sabemos queæk+1 Æ, y por lo tato Æk+1 Æ co lo que cocluimos que lo cual es ua cotradicció Æk+1 Æk

11 Cardialidad Semaa 08[11/93] Cojutos umerables Llamaremos cojuto umerable a cualquier cojuto que tega la misma cardialidad deæ Propiedad es umerable Demostració Listemos ordeadamete los elemetos de : y costruiremos ua fució deæa simplemete asigado a cada atural u etero Notemos que de esta forma estaremos eumerado los elemetos de, es decir iremos cotado 0, 1, 2, 3, 4, e la medida que recorremos Ua posible forma de hacerlo es la siguiete: Æ Observemos que ésta es ua forma secilla de costruir ua f :Æ, que e uestro caso posee ua forma explícita: { si es par f() = 2 (+1) si es impar 2 Queda como ejercicio para el lector demostrar que esta f es efectivamete biyectiva, co lo que se cocluye que Æ =, lo que buscábamos

12 Cardialidad Semaa 08[12/93] Cojutos umerables Es importate que os detegamos e el siguiete puto: cuado costruimos la asociació etreæy mediate el diagrama Æ YA hemos establecido ua fució f deæa, a pesar de que su forma explícita la damos después A través del diagrama estamos dado el valor de f() sólo para los aturales 12, si embargo estamos dejado e claro la forma de calcular f() para los aturales > 12 Por ejemplo, es claro gracias al proceso que seguimos, que f(13) = 7 y que f(20) = 10 Y para esto o hace falta coocer la forma explícita de la fució f Es más, veremos casos dode o es fácil mostrar explícitamete la fució f que correspoda, por lo que o os preocuparemos de ella Simplemete mostraremos la eumeració que hay que hacer e cada caso

13 Cardialidad Semaa 08[13/93] Cojutos umerables Propiedad Æ Æ Æ Æes umerable Demostració Para este caso, ordearemos los elemetos deæ Æe ua tabla de doble etrada: (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (0,5) 1 (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,0) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,0) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4 (4,0) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5 (5,0) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) Cotiúa

14 Cardialidad Semaa 08[14/93] Cojutos umerables Æ Æ Cotiuació demostració Y ahora, para eumeraræ Æ, asociaremos a cada casilla de la tabla u úmero atural distito: De esta maera hemos establecido u proceso que eumeraæ Æ, por lo que sabemos que hay ua fució biyectiva etreæyæ Æ, y así cocluimos lo que deseábamos demostrar

15 Cardialidad Semaa 08[15/93] Cojutos ifiitos Propiedades Sea A u cojuto ifiito cualquiera Etoces 1 Sea A u cojuto ifiito Etoces Æ A 2 Sea A u cojuto ifiito tal que A Æ Etoces A = Æ Demostració Demostraremos (1) Costruiremos iductivamete ua secuecia de elemetos distitos a 0, a 1, a 2, coteida e A Como A es ifiito, e particular es o vacío Sea, etoces, a 0 A El cojuto A \ {a 0 } debe ser tambié ifiito, y e particular es o vacío tambié Sea, etoces, a 1 A \ {a 0 } Si hemos extraído de A los elemetos a 0, a 1,,a, teemos que A \ {a 0, a 1,, a } es o vacío Así, escogemos a +1 A \ {a 0, a 1,, a } Etoces {a 0, a 1, a 2, } A, y luego {a 0, a 1, a 2, } A Si cosideramos f :Æ {a 0, a 1, a 2, } dada por f() = a, como todos los a k so distitos, teemos que f es iyectiva Así Æ {a 0, a 1, a 2, }, co lo que cocluimos el resultado

16 Cardialidad Semaa 08[16/93] Uioes de catidades ifiitas de cojutos Dados dos cojutos A y B, ya habíamos defiido su uió A B diciedo que x A B x A x B Esta defiició puede ser extedida para ua catidad fiita de cojutos A 0,,A del modo siguiete x A 0 A 1 A x A 0 x A 1 x A ( k {0, 1,,}) x A k Pesemos ahora e ua catidad ifiita de cojutos Más precisamete, pesemos que teemos ua colecció umerable de cojutos A 0, A 1,,A, que deseamos uir (otemos que al hablar de colecció umerable os referimos a que hay u cojuto A k por cada úmero atural k, si embargo cada cojuto A k o ecesariamete es umerable) Para simplificaros la escritura, deotaremos al cojuto uió (A 0 A 1 A ) como k ÆA k Cómo defiir este cojuto uió? Extederemos de forma muy secilla la defiició de ua catidad fiita de cojutos, así: x ( k Æ) x A k k ÆA k

17 Cardialidad Semaa 08[17/93] Propiedades de cojutos umerables Propiedad Sea A, B cojutos umerables Etoces A B es umerable Demostració Como A y B so umerables, sabemos que existe fucioes biyectivas f :Æ A g :Æ B Co éstas, costruimos la fució φ :Æ Æ A B dada por φ(i, j) = (f(i), g(j)) Queda propuesto al lector verificar que φ es tambié biyectiva Cocluimos etoces que Æ Æ = A B, y como Æ = Æ Æ se cocluye que A B es umerable

18 Cardialidad Semaa 08[18/93] Propiedades de cojutos umerables Corolario Ées umerable Demostració ComoÉes u cojuto ifiito, sabemos imediatamete que Æ É Basta demostrar etoces que É Æ Cosideremos u elemeto x É Sabemos que se puede escribir de la forma x = p q co p, q Æ\{0}, y dode p y q so primos relativos Podemos etoces costruir ua fució Φ :É (Æ\{0}), de modo que Φ(x) = (p, q) Es decir: Para x É, defiimos Φ(x) = (p, q) (Æ\{0}), dode p, q so primos relativos y x = p q Es fácil demostrar que esta Φ es iyectiva, e efecto: sea x 1, x 2 Étales que Φ(x 1 ) = Φ(x 2 ) Cosideramos p 1, p 2 y q 1, q 2 Æ\{0} tales que Φ(x 1 ) = (p 1, q 1 ) Φ(x 2 ) = (p 2, q 2 ) Como Φ(x 1 ) = Φ(x 2 ), se tiee que p 1 = p 2 y q 1 = q 2 Por defiició de Φ, cocluimos etoces que x 1 = p 1 q 1 = p 2 q 2 = x 2 Gracias a la iyectividad de Φ, obteemos que É (Æ\{0}) Como tato comoæ\{0} so umerables, gracias a la propiedad para el producto cartesiao teemos que (Æ\{0}) = Æ Así, y etocesées umerable Æ É É Æ

19 Cardialidad Semaa 08[19/93] Propiedades de cojutos umerables Propiedad Sea A 0,,A cojutos umerables Etoces A 0 A es umerable Propiedad Sea A 0, A 1,,A, ua colecció umerable de cojutos, dode cada A k es u cojuto umerable Etoces su uió k ÆA k tambié es umerable

20 Cardialidad Semaa 08[20/93] Ejemplo: cojutos ifiitos Sea A u cojuto ifiito, y sea x A Se tiee que A = A \ {x} Demostració Tal como hicimos e ua demostració aterior, cotruyamos u cojuto umerable A = {a 0, a 1, a 2, a 3, } A Si pérdida de geeralidad, podemos supoer que x / A para defiir la fució f : A A \ {x} dada por a 0 ( a A) f(a) = a k+1 a si a = x si a A a = a k si a / A a x Esta f deja ivariates a todos los elemetos que o perteece a A {x}, y a los elemetos de este cojuto los traslada todos e ua posició (x a 0, a k a k+1 ) Notemos que, gracias a la defiició de f : para a A, Si f(a) = a 0, etoces a = x Si f(a) A \ {a 0 }, etoces a A Si f(a) / A, etoces a / A {x} Co estas herramietas, queda propuesto al lector demostrar que f es biyectiva, co lo que se cocluye la demostració