Frecuencia y probabilidad. Leyes del azar. Espacio probabilístico

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1 Tema 63 Frecuecia y probabilidad. Leyes del azar. Espacio probabilístico 63. Itroducció E geeral, la Teoría de la robabilidad se ocupa de situacioes o modelos e los que está presete la icertidumbre. Llamaremos experimeto determiista a aquel e el que se cumple las siguietes dos codicioes: () se cooce todos los posibles resultados de la experiecia (2) se sabe co certeza el resultado que se va a obteer al repetir la experiecia e codicioes pre jadas, quedado el feómeo determiado por ellas. Llamaremos experimeto aleatorio, probabilista o estocástico a aquel e el que se cumple las siguietes dos codicioes: () se cooce todos los posibles resultados de la experiecia (2) repetido e igualdad de codicioes puede presetar resultados distitos e cada experiecia particular y al repetir la experiecia e codicioes jadas o puede predecirse el resultado que se va a obteer Espacio muestral. Sucesos E geeral llamaremos experimeto a cualquier procedimieto especi cado o cojuto de operacioes que proporcioa uos determiados resultados. De ició Se llama suceso elemetal o puto muestral a cada uo de los

2 posibles resultados idescompoibles que puede obteerse al realizar u experimeto estocástico. Deomiamos espacio muestral al cojuto de resultados posibles que se obtiee al realizar u experimeto estocástico, y lo deotaremos por E u. Depediedo de qué tipo de valores toma esos resultados y del úmero de posibles resultados teemos la siguiete clasi cació: 8 i) discretos >< ii) cotiuos Espacios Muestrales ) itos 2:) umerables >: 2) i itos 2:2) o umerables De ició 2 Llamaremos suceso a cualquier subcojuto del espacio muestral, es decir, u suceso es u cojuto de putos muestrales co algua propiedad. Supogamos que realizamos u experimeto estocástico y supogamos que obteemos el suceso elemetal e. Cosideremos el suceso A. Etoces, si e 2 A E diremos que A ha ocurrido y si e =2 A diremos que A o ha ocurrido Espacio muestral ito Álgebra de sucesos Sea E u espacio muestral ito. Etoces # (E) = ::: siedo = #E. + = ( + ) = 2 Llamamos suceso imposible al suceso ; 2 (E), ya que o cotiee igú suceso elemetal, y llamamos suceso seguro al suceso E 2 (E), ya que cotiee a todos los sucesos elemetales del experimeto. A los demás elemetos de (E) se les deomia sucesos estocásticos o simplemete sucesos. De ició 3 Sea A; B 2 (E). De imos el suceso uió de A y B, A [ B, como el suceso formado por los sucesos elemetales que perteece a alguo de los sucesos A ó B. Este suceso ocurre cuado ocurre A o B. De ició 4 Sea A; B 2 (E) : De imos el suceso itersecció de A y B, A \ B, como el suceso que ocurre siempre que ocurre A y B, es decir, está formado por los sucesos elemetales que perteece a A y a B. De ició 5 Sea A 2 (E). De imos el suceso complemetario de A, A = A c = A, como el suceso formado por los sucesos elemetales que está e E y que o está e A, es decir, si A o se realiza etoces se realiza siempre A. 2

3 Veamos alguas propiedades que cumple los sucesos: La uió, la itersecció y el complemetario de u suceso es otro suceso, lo que justi ca la omeclatura utilizada e las de icioes ateriores. ropiedades de las operacioes co sucesos: roposició 6 Sea A ; A 2 ; A 3 2 (E) : Etoces (i) Asociativa: A [ (A 2 [ A 3 ) = (A [ A 2 ) [ A 3 A \ (A 2 \ A 3 ) = (A \ A 2 ) \ A 3 (ii) Comutativa: A [ A 2 = A 2 [ A A \ A 2 = A 2 \ A (iii) Existecia de elemeto eutro: ara la uió ; : A [ ; = A ara la itersecció E : A \ E = E (iv) Distributiva: A [ (A 2 \ A 3 ) = (A [ A 2 ) \ (A [ A 3 ) A \ (A 2 [ A 3 ) = (A \ A 2 ) [ (A \ A 3 ) (v) 8A 2 (E) 9A 2 (E) : A [ A = E y A \ A = ; Como cosecuecia de estas propiedades (E) ; \; [; tiee estructura algebraica de álgebra de Boole y la deomiaremos Álgebra de Boole de sucesos. De ició 7 Se dice que A; B 2 (E) so sucesos icompatibles o disjutos (o mútuamete excluyetes) cuado al veri carse uo de ellos o se puede veri car el otro, es decir, cuado A \ B = ; De ició 8 Se dice que los sucesos A ; :::; A 2 (E) so exhaustivos cuado siempre ocurre al meos uo de ellos, es decir, cuado A [ A 2 [ ::: [ A = E De ició 9 Llamamos partició ita del espacio muestral E a ua colecció ita A ; :::; A 2 (E) de subcojutos que veri ca las siguietes propiedades: (i) 8i 6= j A i \ A j = ; (ii) A [ A 2 [ ::: [ A = E De ició 0 Dados dos sucesos A y B del espacio muestral E, se dice que A es u subsuceso de B, A B, si siempre que ocurre A ocurre B pero o recíprocamete. E este caso escribiremos. A B : A ) B Se tiee que: ; E ; A E y además, si A ) B y B ) A etoces A = B. 3

4 De ició Dados dos sucesos A y B de u mismo espacio muestral E, se de e el suceso diferecia de A y B, A B, como el suceso que ocurre cuado ocurre A y o ocurre B, es decir, A B = A \ B roposició 2 Si A B etoces B sobre B. A es el suceso complemetario de A Demostració: Sea A B. Teemos que demostrar que A B = B A: Se tiee que: A B = fx 2 B : x =2 Ag = B A C:Q:D: Frecuecias De ició 3 Repetimos u experimeto aleatorio Se llama frecuecia absoluta de A al úmero veces y sea A u suceso. A = úmero de veces que se veri ca el suceso A roposició 4 Repetimos u experimeto aleatorio () E = (2) 8A E A 0 (3) 8A; B E : A \ B = ; A[B = A + B veces. Etoces: Demostració: () uesto que E se veri ca siempre, se veri cará las veces que se realiza el experimeto. Así, E =. (2) or de ició. (3) El suceso A [ B se veri cará tatas veces como se veri que A y tatas veces como se veri que B. uesto que igua vez se veri cará ambos a la vez, ya que so icompatibles, el úmero de veces que se veri cará ambos es la suma de las frecuecias absolutas de cada uo de ellos. Corolario 5 Las frecuecias absolutas de los sucesos de u experimeto aleatorio tiee las siguietes propiedades adicioales: (i) ; = 0 (ii) A = E A (iii) 8A; B E A[B = A + B A\B (iv) 8A; B E : A B A B Demostració: (i) E \ ; = ; ) E = E[; = E + ; ) ; = E E = 0 (ii) A \ A = ; ) E = A[A = A + A ) A = E A (iii) (B A) \ A = ; ) A[B = A[(B A) = A + B A or otra parte, (B A) \ (A \ B) = ; luego B = (B A)[(A\B) = B A + A\B ) B A = B A\B 4

5 Resumiedo: A[B = A + B A = A + B A\B (iv) A B ) B = A [ (B A) ) B = A + B A A + 0 = A Los resultados obteidos e el corolario aterior se puede obteer por métodos similares a los de la proposició, pero al ser aquellos uos métodos de tipo ituitivo, hemos preferido obteer las propiedades adicioales como cosecuecia de las primeras. De ició 6 Repetimos u experimeto aleatorio Se llama frecuecia relativa de A al úmero veces y sea A u suceso. f A = A roposició 7 Repetimos u experimeto aleatorio () f E = (2) 8A E f A 0 (3) 8A; B E : A \ B = ; f A[B = f A + f B Demostració: () E = ) f E = E = = (2) A 0 ) f A = A 0 (3) f A[B = A[B = A + B = A + B = f A + f B veces. Etoces: Corolario 8 Las frecuecias relativas de los sucesos de u experimeto aleatorio tiee las siguietes propiedades adicioales: (i) f ; = 0 (ii) f A = f E f A (iii) 8A; B E f A[B = f A + f B f A\B (iv) 8A; B E : A B f A f B Demostració: (i) f ; = ; = 0 = 0 (ii) f A = A = E A = A = A = f A (iii) f A[B = A[B = A+ B A[B = A + B A\B = f A + f B f A\B (iv) f A = A B = f B C:Q:D: Teorema 9 ( a Ley de los Grades Números): La frecuecia relativa de u suceso se acerca más y más a u valor jo llamado probabilidad, coforme más veces se repite el experimeto aleatorio. 5

6 robabilidad e espacios muestrales equiprobables Sea E u espacio muestral co putos muestrales y supogamos que la frecuecia relativa de todos los putos muestrales es (es decir, so equiprobables ). E este caso particular se itroduce la oció de probabilidad como u valor umérico asigado a cada elemeto del espacio muestral o asigado a cada suceso, que se deomia su probabilidad. De ició 20 La probabilidad de u suceso A, deotada por (A), es el úmero (A) = A (Regla de Laplace) Veamos las propiedades que cumple: () 0 (A) Cero para el suceso imposible (;) y uo para el suceso seguro (E) : (2) Sea A y B sucesos icompatibles. Etoces: Demostració: (A [ B) = (A) + (B) (A [ B) = A[B = A + B = A + B = (A) + (B) C:Q:D: (3) Sea A y B sucesos tales que A B. Etoces: (B A) = (B) (A) Demostració: Como (B A) [ A = B se tiee que (B) = ((B A) [ A) = (B A) + (A) de dode (B A) = (B) (A) C:Q:D: (4) A = (A) Demostració: A = A = A = A = (A) C:Q:D: (5) (;) = 0 y (E) = 6

7 Geeralizació de la probabilidad e espacios muestrales itos Sea E u espacio muestral ito cualquiera. La probabilidad e E de u suceso es u úmero asigado a ese suceso y las probabilidades asigadas a sucesos de ua misma familia debe veri car los siguietes tres axiomas. Así, a cada suceso del espacio muestral se le va a asociar u úmero (su probabilidad) que idicará el grado de credibilidad de dicho suceso. De imos la probabilidad como ua que veri ca los siguietes axiomas: fució de cojuto : (E) R Axioma I : A cada suceso A 2 (E) (A) 0: Axioma II : (E) = Axioma III : Si A ; :::; A E so sucesos icompatibles, A i \ A j = ; 8i 6= j etoces: [ X A k = (A k ) k= k= Como cosecuecia de estos axiomas teemos: () A = (A) Demostració: (E) = = A [ A = (A) + A ) A = (A) C:Q:D: (2) (;) = 0, es decir, si A = ; ) (A) = 0 Demostració: (;) = E = (E) = = 0 C:Q:D: (3) Si A B etoces (A) (B) Demostració: Como B = A [ (B A) se tiee que (B) = (A) + (B A) de dode (A) (B) (4) (A) 8A E (5) Si A y B so sucesos compatibles, etoces: (A [ B) = (A) + (B) (A \ B) 7

8 Demostració: Como resulta que or otra parte, como resulta que A = (A \ B) [ A \ B B = (A \ B) [ A \ B (A) = (A \ B) + (B) = (A \ B) + A \ B A \ B A [ B = (A \ B) [ A \ B [ A \ B (A [ B) = (A \ B) + A \ B + A \ B = = (A \ B) + (B) (A \ B) + (A) (A \ B) = = (A) + (B) (A \ B) C:Q:D: (6) Si A; B; C so sucesos compatibles, etoces: (A [ B [ C) = (A) + (B) + (C) (A \ B) (A \ C) (B \ C) + (A \ B \ C) (7) Subaditividad: 8A ; :::; A E [ X A i (A i ) 63.4 Espacio muestral geeral De ició de álgebra Sea E u espacio muestral arbitrario y A ua familia de subcojutos de E. De ició 2 Se dice que A es cerrada para la complemetació respecto de E si 8A 2 2 A se veri ca que A = E A 2 A. Se dice que A es cerrada para la relació de uió de u úmero ito de elemetos si 8A ; :::; A 2 A se veri ca que A [ ::: [ A 2 A. Se dice que A es cerrada respecto de la uió i ita umerable si para toda fa k g k= A se veri ca que S A k 2 A. k= De ició 22 Si A es cerrada para la complemetació y para la relació de uió de u úmero ito de elemetos, se dice que A es ua álgebra de Boole. Si A es cerrada para la completació y para la uió i ita umerable de elemetos, se dice que A es ua álgebra. 8

9 Como cosecuecia imediata de las de icioes ateriores se tiee: toda álgebra de Boole es ua álgebra Veamos alguas propiedades de las álgebras de Boole y de las álgebras: () Sea A ua álgebra de Boole. Etoces: Demostració: E; ; 2 A A 2 A ) A 2 A )E = A [ A 2 A E 2 A )E = ; 2 A C:Q:D: (2) Sea A ua álgebra de Boole. Etoces: A ; :::; A 2 A )A \ A 2 \ ::: \ A 2 A Demostració: A ; :::; A 2 A )A [ A 2 [ ::: [ A 2 A )A \ ::: \ A = A [ ::: [ A 2 A (3) Sea A ua álgebra. Etoces: Demostració: Se deja como ejercicio. 8 fa k g k= A ) \ A k 2 A robabilizació de ua álgebra: Axiomática de Kolmogorov De ició 23 Sea E u espacio muestral y A ua álgebra sobre _ E. El par (E; A) se deomia espacio medible o probabilizable, e el setido de que podemos de ir sobre él ua probabilidad. De ició 24 Sea (E; A) u espacio medible. Llamamos fució de probabilidad sobre (E; A) a ua fució de cojuto : A R que veri ca los siguietes axiomas: () 8A 2 A (A) 0 (2) (E) = S (3) 8 fa k g k= A : A \ A m = ; 8 6= m se veri ca: (A k ) k= 9 k= A k = k=

10 Cosecuecias De ició 25 U suceso casi ulo es u suceso que tiee probabilidad cero y que o es el suceso imposible. Example 26 E la recta real la probabilidad de u úmero real, x 2 R, es (fxg) = = = 0, es decir, fxg es u suceso casi ulo. De ició 27 U suceso casi seguro es u suceso que tiee probabilidad uo y que o es el suceso seguro _ E Example 28 I =Q = R Q es u suceso casi seguro. Teorema 29 ricipio de iclusió-exclusió: S A i = (A i ) (A i \ A j ) + + i<j<k i6=j T (A i \ A j \ A k ) ::: + ( ) + A i Demostració: Lo demostraremos por iducció sobre : = : (A ) = (A ) trivialmete = 2 : (A [ A 2 ) = (A ) + (A 2 ) (A \ A 2 ) Hipótesis de iducció: lo supoemos cierto para, es decir, + S j6=i6=k A i = Vamos a demostrarlo para : S = A i = (A i ) + ( ) (A i ) i6=j (A i \ A j \ A k ) ::: + ( ) T i6=j S A i + (A ) (A i \ A j ) + A i + (A ) 0 j6=i6=k (A i \ A j ) + S T A i A i \ A H:I: = (A i \ A j \ A k ) :::+ [ A i \ A = S (A i\a ) {z } ()

11 Teiedo e cueta que: S A i \ A = S H:I: (A i \ A ) = + j6=i6=k = (A i \ A ) i6=j (A i \ A j \ A ) + (A i \ A j \ A k \ A ) ::: + ( ) T A i \ A y sustituyedo esta expresió e (), se obtiee el resultado. Teorema 30 Desigualdad de Boole: [ X A (A ) Demostració: A partir de la sucesió fa g costruimos la sucesió fb g siguiete forma: B = A B 2 = A 2 \ A c B 3 = A 3 \ A c 2 \ A c ::: T B = A A c k k= Esta sucesió fb g es ua sucesió de disjutos, co lo que de la [ X B = (B ) or otro lado, al ser B A 8 2 N será (B ) (A ) : or último, como [ [ B = se tedrá que A de dode [ [ X X A = B = (B ) (A ) [ X A (A ) C:Q:D:

12 63.5 Espacio de probabilidad De ició 3 Se llama espacio de probabilidad a ua tera (; A; ), dode ; 6= es u cojuto arbitrario, A es ua álgebra sobre y es ua medida de probabilidad sobre (; A). A los elemetos de A se les llama sucesos e vez de cojutos medibles. E primer lugar vamos a caracterizar la medida de probabilidad: Teorema 32 Sea (; A) u espacio medible y : A R. So equivaletes: (i) es ua medida de probabilidad (ii) Se veri ca las siguietes codicioes: (a) 8A 2 A (A) 0 (b) () = (c) 8A; B 2 A : A \ B = ; (A [ B) = (A) + (B) (d) lim (A ) = 0 8 fa g + 2N A co A & 0 E segudo lugar, vamos a de ir medidas de probabilidad e espacios muestrales itos y e espacios muestrales i itos umerables: roposició 33 (Medida de probabilidad e espacios muestrales itos): Sea (; A) u espacio medible y supogamos que = fe ; :::; e g : El modo más secillo de de ir ua medida de probabilidad es cosiderar fp ; :::; p g R tales que k= p k = y p k 0 la así de ida es ua medida de probabilidad. Demostració: Si A 2 A, etoces será A = (A) = (A) 0 () = p i fi:e i2ag 8k = ; :::;, dode p k = (e k ). De este modo, S fi:e i2ag e i y por tato: roposició 34 (Medida de probabilidad e espacios muestrales i itos umerables): Sea (; ()) u espacio medible y supogamos que es i ito umerable o ito. So equivaletes: () : () R es ua medida de probabilidad (2) Se veri ca las siguietes codicioes: (a) (fg) y (fg) = Demostració: 2 (b) (;) = 0 (c) 8A 2 () f;g (A) = 2 2A (fg)

13 () ) (2) Si es ua medida de probabilidad, etoces 8 2 () será (fg) 0, = S fg y por el axioma II será () =, y como es ua 2 probabilidad y es uió umerable de sucesos elemetales será [ fg = X (fg) = 2 2 co lo que teemos demostrado (a) : De forma trivial se demuestra (b) y (c) : (2) ) () Sea ua fució de cojuto que satisface (a) ; (b) y (c). Etoces 8A 2 () co A 6= ;, A = [ y por (c) será 2A (A) = X 2 (fg) 0 por (a) or otro lado (;) = 0 por (b). Así pues se veri ca el axioma I: () = X 2 (fg) = por (a) y (b) Falta probar la aditividad. Sea fa g 2N () ua sucesió de disjutos de la cual supoemos que A 6= ; 8 2 N. Como A ) A es ito o i ito umerable ) será de la forma ) S A = f ; :::g co 2 N ) A = f ; 2 ; :::; 2 ; 22 ; :::; ; 2 ; :::g e dode todos los j so distito por ser los A disjutos. or tato, por (c) será [ X Xy i A = j j= e dode úmero de elemetos de A si, y sólo si, A y i = es ito si A es umerable y por tato, aplicado (c) a yi j= j = (A ) obteemos: [ X A = (A ) co lo que queda demostrado el axioma III y el teorema. ara termiar el apartado resumimos e la siguiete proposició las propiedades más importates relativas a las medidas de probabilidad. 3

14 roposició 35 Sea (; A; ) u espacio de probabilidad. Se veri ca las siguietes propiedades: () (;) = 0 (2) 8A; B 2 A co A \ B = ; se tiee que (A [ B) = (A) + (B) (3) 8A; B 2 A co A B se tiee que (B A) = (B) (A) (4) 8A 2 A A = (A) (5) 8A; B 2 A co A B se tiee que (A) (B) (6) 8A; B 2 A (A [ B) = (A) + (B) (A \ B) S (7) 8 fa g 2N A co A A + se tiee que A = lim (A ) + T (8) 8 fa g 2N A co A + A se tiee que A = lim (A ) + S (9) A = + (A ) 8 fa g 2N A co A \ A m = ; para 6= m Demostració: S () 8 2 N sea A = ;. Etoces, A = + (A ), luego la serie + (A ) es covergete y por tato, lim (A ) = 0; pero (A ) = (;). + De ahí el resultado. (2) Sea A = A; A 2 = B y 8 3 sea A = ;. Etoces: S (A [ B) = A = (A ) + (A 2 ) + + (A ) = =3 = (A) + (B) + + (;) = (A) + (B) =3 (3) Como A B ) A [ (B A) = A [ B = B y además A \ (B A) = ; luego (B) = (A [ (B A)) = (A) + (B A) (4) Como A se tiee que = () = (A) + ( A) ) A = ( A) = (A) (5) Como A B se tiee que (B) = (A) + (B A) (A) ya que (B A) 0 (6) Como A \ B B etoces (B) = (A \ B) + (B (A \ B)) () = (A \ B) + (B A) 4

15 dode B (A \ B) = B \ (A \ B) c = B \ (A c [ B c ) = (B \ A c ) [ (B \ B c ) = y por tato or otra parte, como resulta: = B \ A c = B A (B A) = (B) (A \ B) A \ (B A) = A \ (B \ A c ) = ; \ B = ; (A [ B) = (A [ (B A)) = (A)+ (B A) = (A)+ (B) (A \ B) (7) Sea B = A y 8 2 sea B = A A. Etoces, 8 2 N A A y por tato (B ) = (A A ) = (A ) (A ) y además todos los B so disjutos. Así pues, S S A = B = + (B ) = = (A ) + + =2 ( (A ) (A )) = lim (A ) (8) 8 2 N A + A ) A A + or la propiedad aterior T T S A = A = ( A ) = lim ( A ) = lim ( (A )) = y de ahí el resultado. (9) Veamos e primer lugar que 8 2 N arbitrario pero jo y 8A ; :::; A 2 A : A i \ A j = ; 8i 6= j se veri ca: (A [ ::: [ A ) = (A ) + ::: + (A ) Si = 2 la a rmació se deduce de la propiedad 6 Supogamos que el resultado es cierto para y vamos a demostrarlo para + : y por tato ((A [ ::: [ A ) \ A + ) = ((A \ A + ) [ ::: [ (A \ A + )) = = (A \ A + ) + ::: + (A \ A + ) = 0 (A [ :::A [ A + ) = (A [ ::: [ A ) + (A + ) 5

16 Así pues, por iducció teemos demostrado lo que queríamos. Sea ahora B = A [ ::: [ A. Se tiee que 8 2 N B B + y (B ) = = (A ) + ::: + (A ). Aplicado la propiedad () se tiee que: [ A = [ lim ( (A ) + ::: + (A )) = B = lim (B ) = X A 6