TEMA 64. Probabilidad Compuesta. Probabilidad condicionada. Probabilidad total. Teorema de Bayes.

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1 TEM 64. Probabilidad Compuesta, codicioada, total y Teorema de Bayes. TEM 64. Probabilidad Compuesta. Probabilidad codicioada. Probabilidad total. Teorema de Bayes. 1. Itroducció. 1.1 Histórica. Los coceptos de azar e icertidumbre so ta viejos como la propia civilizació. La humaidad siempre ha debido soportar la icertidumbre del clima, de las cosechas y otros aspectos de medio que lo rodea, así como buscar los efectos que los regula para tratar de reducir las probabilidades que geera efectos egativos. El orige de la probabilidad desde u puto de vista matemático se cree que surge co los juegos de azar. sí e el Egipto atiguo ( 3500 ac se tiee costacia de la existecia de juegos de azar practicado co objetos de hueso, siedo estos los predecesores de los dados actuales. Tambié los egipcios costruyero dados co marcas como los actuales. Se suele aceptar como el comiezo de la teoría matemática de la probabilidad co Fermat y Pascal, matemáticos fraceses del siglo XVIII. Estos lograro calcular la probabilidad exacta para ciertos juegos de azar relacioados co los dados. Desde este mometo la teoría de la probabilidad ha sido costatemete desarrollada y aplicada a más diversos campos de estudio Espacio de probabilidad. E este tema se usará la cocepció matemática de la Teoría de Probabilidad si teer e cueta las cocepcioes filosóficas que la soporta. Para usarla teemos e cueta los tres elemetos fudametales que forma u espacio de probabilidad: Ω el espacio muestral, que es cojuto de todos los resultado posibles distitos de u experimeto aleatorio. S es el cojuto de todos los sucesos que se da sobre Ω (técicamete es u σ- álgebra de sucesos sobre Ω: 1 Ω S 2 Si S c S 3 Si y B S B S es la fució de probabilidad que refleja la regularidad estadística del experimeto; es ua fució real defiida sobre S, : S R, que satisface los siguietes axiomas: 1 0, C 2 Ω=1 U 3 =, { } 1, sucesos icompatibles dos a dos ( i j =, i j = 1 = 1 Notar que idepedietemete del cocepto probabilístico a partir del cual se calcule la probabilidad (Laplace, experimetal o subjetiva ha de cumplir estos requisitos. Co estos elemetos se trata el problema de formalizar la idea ituitiva de que la iformació aportada por el hecho de que haya ocurrido u suceso B, ha de ser recogida cambiado el espacio de probabilidad de partida. Jose Luis Lorete (preparador oposicioes secudaria 1

2 TEM 64. Probabilidad Compuesta, codicioada, total y Teorema de Bayes. 2. Probabilidad codicioada. Defiició: Sea el espacio de probabilidad (Ω,S,, co S y ( 0, Se llama probabilidad de u suceso B codicioada a que haya ocurrido el suceso y se deota como a la probabilidad de que habiedo ocurrido el suceso ocurra el suceso B. Para ver la relació de al valor utilizaremos la teoría de la probabilidad Clásica. Si realizamos el experimeto llamaremos N al úmero de sucesos elemetales de Ω, y el úmero de sucesos que cumple, B y B so N, N B y N B respectivamete. Si queremos ver la probabilidad de que ocurra sabiedo que ha ocurrido B los casos favorables vedrá dado por los comues a ambos, N B, siedo los casos totales N B N B ( (sabiedo que ha ocurrido N B. / N = = = N N B B N Coclusió: ( / = Veamos u ejemplo de la defiició aterior. Ejemplo 1: Cosideremos el experimeto cosistete e lazar u dado. Calcular la probabilidad de que el resultado sea par, sabiedo que es mayor que tres. Sea el suceso correspodiete a que el resultado sea mayor que tres, =(4,5,6 y B el suceso de que el resultado sea par B=(2,4,6.Etoces B=(4,6 P( = 2/6. Por otra parte P(=3/6, y la probabilidad pedida es P(=P( /P( =2/3. Proposició 1: Sea (Ω,S, u espacio de probabilidad y sea u suceso S co 0. Se cosidera la aplicació : S [0,1] defiida como (= = (/ B, etoces la tera (Ω,S, es u espacio de probabilidad. Demostració: Partiremos de que es fució de probabilidad, veamos que lo es : 1. B S: (= / ( 0 (al ser fució de probabilidad. 2. (Ω = ( Ω / ( = ( / ( = B,C S, co B C = : (B (C =(B C = ( B C/ B +C (B C= = = ( + ( C Propiedades 1 Si Ω es espacio total se cumple que Ω/=1 2 Si B es el suceso complemetario de B = 1-3 Si B C C/ 4 Si B / Jose Luis Lorete (preparador oposicioes secudaria 2

3 TEM 64. Probabilidad Compuesta, codicioada, total y Teorema de Bayes. 5 Si B, ( = 1. 6 Si B =, ( = 0 Demostració Ω ( ( 1 (Ω/ = = = 1. 2 = Ω- = Ω/- = 1-. (Hemos usado la defiició, la defiició del complemetario y la propiedad 1. 3 Si B C B C B C C/ ( 4 Si B, = =. (Hemos usado la defiició y que al ser B se tiee que B = B. ( 5 Si B, = = = 1. (Hemos usado la defiició y que al ser B se tiee que B =. 6 Si B =, P( = P( P( 0 = = P( P( ( =0. 3. Teorema de la probabilidad compuesta. Teorema del producto. El teorema de la probabilidad compuesta se puede ver como u corolario de la probabilidad codicioada. Teorema de la probabilidad compuesta: Sea (S,Ω, u espacio de probabilidad y sea, B S siedo 0. Etoces =. Este resultado se puede geeralizar para sucesos cualesquiera 1 2 = 1 2 / 1 / 1. Demostració de = es u corolario de la defiició de la / B =. La fórmula para sucesos se demuestra probabilidad codicioada: ( por iducció sobre, úmero de sucesos. - Si =1: 1 2 = 1 2 / 1 - Hipótesis de iducció: = 1 2 / 1-1 / Para +1: Si llamamos B= teemos que 1 2 = B : 1 2 =B = = / 1 = 1 2 / 1 / 1. Ejemplo 2:Calcular la probabilidad de que al tirar u dado sea par, mayor que 2 y meor que 5. 1 = par ={2,4,6}, 2 = mayor que 2 ={3,4,5,6}, 3 = meor que 5 ={1,2,3,4} = 1 2 / 1 3 / 1 2 = = = casos fav casos totales Jose Luis Lorete (preparador oposicioes secudaria 3

4 TEM 64. Probabilidad Compuesta, codicioada, total y Teorema de Bayes. 4. Sucesos depedietes e idepedietes. E geeral P( P( y decimos e tal caso que B depede de. Si P(=P( diremos que B es idepediete de, es decir, la ocurrecia de o modifica la probabilidad de B. Defiició0: Dado u espacio de probabilidad (Ω,S, se dice que y B S so idepedietes si la probabilidad de que ocurra uo o depede de que haya ocurrido ates el otro suceso, es decir =. Los sucesos que o so idepedietes se llama depedietes, es decir. Proposició 1: Sea y B sucesos idepedietes, se cumple la probabilidad de que ocurra los dos sucesos, es decir B, es igual al producto de las dos probabilidades: =. Demostració: es trivial por la defiició de sucesos idepedietes = =. Obsérvese que o se ha hecho igua restricció sobre ó sobre. sí pues, el cocepto de idepedecia es válido au cuado ó sea cero. De la defiició se deduce que e la idepedecia de dos sucesos o ifluye el orde e que se de dichos sucesos. Hay que hacer otar tambié el carácter recíproco de la defiició de idepedecia. Es lo mismo decir y B idepedietes, es idepediete de B, ó B es idepediete de, ya que cualquiera de las tres afirmacioes lleva implícita las otras dos. Se da frecuetemete el caso de que se cofude sucesos icompatibles co sucesos idepedietes, observemos que los sucesos icompatibles so los más depedietes que existe, puesto que la ocurrecia de uo de ellos proporcioa la máxima iformació: el otro suceso o va a ocurrir. Proposició 2: Sea (Ω,S, u espacio de probabilidad y sea,b S co ( = 0 ó = 1. Etoces y B so idepedietes. Demostració: - Si =0 =0, como es defiida positiva =0= - Si =1 Ω-=0 y (Ω- =0. Calculemos = +(Ω- = +0 = = = Proposició 3: Sea (Ω,S, u espacio de probabilidad y sea,b S. Etoces so equivaletes: a y B so idepedietes. b y Ω-B so idepedietes. c Ω- y B so idepedietes. d Ω- y Ω-B so idepedietes. Jose Luis Lorete (preparador oposicioes secudaria 4

5 TEM 64. Probabilidad Compuesta, codicioada, total y Teorema de Bayes. Demostració Si =0 ó =1 el resultado es trivial. Vamos a demostrarlo siguiedo las siguietes implicacioes a b d c a a b y B so idepedietes =P( (Ω-= (Ω-= 1- ( = 1-= Ω- y Ω-B so idepedietes. b d Es el resultado a b aplicado a los sucesos Ω-B y. d c Es el resultado a b aplicado a los sucesos Ω- y B. c a Es el resultado a b aplicado a los sucesos B y Ω-. Ejemplo 3: Se tiee los siguietes ejemplos ituitivos de sucesos idepedietes: a El suceso de que u determiado día haga calor es idepediete del día de la semaa. b El sexo de u recié acido es idepediete del color de los ojos de su madre. c Si se extrae cartas de dos barajas, el resultado de ua extracció es idepediete de la otra Los siguietes casos so ejemplos de sucesos depedietes: a El color de los ojos de ua persoa o es idepediete del color del cabello. b El peso de ua persoa o es idepediete de la altura. c La existecia de accidetes de tráfico depede del estado atmosférico. Ejemplo 4: E los experimetos de extraccioes sucesivas de objetos de u motó se suele dar dos posibilidades: a Extraccioes co reemplazamieto: Se da este tipo de extraccioes cuado el objeto extraído se devuelve al motó ates de hacer cada extracció. E este caso el resultado de cada experimeto es idepediete de los resultados ateriores. b Extraccioes si reemplazamieto: Se cosidera que las extraccioes so si reemplazamieto cuado el objeto extraído se matiee fuera del motó al hacer las restates extraccioes. Segú esto el espacio muestral del experimeto depede de los resultados ateriores, por lo que los sucesos so depedietes. Vamos a termiar este apartado co la extesió de la defiició de idepedecia a u cojuto de sucesos. Defiició: Sea el espacio de probabilidad (Ω, S,. Sea 1, 2,..., S. Se dice que los sucesos 1, 2,..., so mutua o completamete idepedietes si i / j = i co i j Proposició 4: Si 1, 2,..., so completamete idepedietes se cumple la siguiete igualdad: 1, 2... = Jose Luis Lorete (preparador oposicioes secudaria 5

6 TEM 64. Probabilidad Compuesta, codicioada, total y Teorema de Bayes. Demostració: Se cumple 1, 2... = 1 2/ 1... / 1-1 al ser idepedietes i / j = i y i / = i y por tato i / j = i e igual para todas las iterseccioes. Luego se cumple que igualdad. Ejemplo 5: Extraemos 3 bolas de ua ura que cotiee 2 blacas y 3 egras. Calcular la probabilidad de que saquemos todas blacas si cada vez que se saca se vuelve a itroducir e la ura. B 1 = 1ª bola blaca, B 2 = 2ª bola blaca, B 3 = 3ª bola blaca. Como se vuelve a itroducir la bola so todos los sucesos idepedietes, cumpliedose B i =2/5. l ser todos los sucesos idepedietes es fácil calcular lo pedido: = 5. Sistema completo de sucesos Probabilidad total. Defiició: Sea el espacio de probabilidad (Ω,S,. Se llama sistema completo de sucesos a cualquier cojuto { } S, dode F es u cojuto umerable e el que se verifica: a m, F co m : ( m =0. b = 1 Nota: si los sucesos equiprobables (sistema Laplaciao se cumple 1 = =1/ Proposició 5: Sea (Ω,S, u espacio de probabilidad y umerable e el que se verifica: { es u cojuto } F a m, F co m : m = b U F =Ω Etoces { } es u sistema completo de sucesos. F Demostració: a m, F co m : ( m =0 (ota es trivial porque m = b Ω =... = 1 p( Ω = p( p( +... = p( i i j i + i i, j i Teorema de la probabilidad total: Sea (Ω,S, u espacio de probabilidad y { u sistema completo de suceso. Sea B Ω. Etoces: = Demostració: Sea } F Ω = U, etoces se cumple que Ω ( = U = 1. Se cumple tambié que B = Ω ( = B ( = ( B (. U Jose Luis Lorete (preparador oposicioes secudaria 6

7 TEM 64. Probabilidad Compuesta, codicioada, total y Teorema de Bayes. Por otro lado se cumple que si m ( m (( B ( B m = B m ( m (( B ( B = 0 ( m B y ( U i =0 =0 B so sucesos icompatibles si i j. De esta maera se cumple que = ( B = B = j ( Veamos u ejemplo para ilustrar este resultado. Ejemplo 6: Tres máquias, B y C produce bombillas. produce el 30%, B el 45% y C el 25% de la producció total. Si el 75% de las bombillas producidas por so bueas, el 60% de las de B tambié y la proporció de bombillas bueas producidas por C es del 80%, hallar la probabilidad de que ua bombilla extraída al azar sea buea Solució: Llamado, B y C a los sucesos de que la bombilla elegida haya sido producida por las máquias, B y C, respectivamete, se tiee que P( = 0.3, P( = 0.45, y P(C = Llamado H al suceso cosistete e extraer ua bombilla correcta, los datos sobre la calidad de la producció se expresa por: P(H/ = 0.75, P(H/ = 0.6, P(H/C = 0.8. La probabilidad total buscada es la suma de los productos a lo largo de cada rama que coduce hacia el suceso H: P(H = = Teorema de Bayes. Teorema de Bayes: Sea (Ω,S, u espacio de probabilidad y completo de sucesos. Sea B S co P( 0. Etoces: { u sistema } F F: / = = Demostració: = / B = / Despejado / = / Notació: Las probabilidades P(/ se deomia probabilidades a posteriori. Las probabilidades P(/ se deomia probabilidades a priori. Las probabilidades P( se deomia verosimilitudes. Jose Luis Lorete (preparador oposicioes secudaria 7

8 TEM 64. Probabilidad Compuesta, codicioada, total y Teorema de Bayes. cerca de la iterpretació del teorema de Bayes si los 1, 2,..., so cosiderados como hipótesis sobre algua cuestió e estudio y teemos ua cierta iformació, subjetiva o o, acerca de dichas hipótesis, reflejada ésta por las P( ( >0, supogamos se produce u suceso B asociado a u experimeto aleatorio (usualmete provocado por el experimetador para obteer la alteració, provocada por B, e uestras hipótesis, dádoos las probabilidades a posteriori P(/. Usualmete se cotiuará el proceso provocado otro sucesos C (es decir, obteiedo otro uevo resultado de uestro experimeto aleatorio cosiderado y utilizado ahora las P(/ ates calculadas como probabilidades a priori. E resume el teorema de Bayes cosiste e calcular las probabilidades a posteriori coocidas las probabilidades a priori. La gra dificultad que colleva la aplicació del teorema de Bayes es la forma aleatoria co que suele determiarse las probabilidades P(. Ejemplo 7: Cosideremos la situació e la cual teemos ua ura co composició descoocida, auque sabemos tiee que ser o bie la llamada ura I, co tres bolas rojas y dos bolas blacas, o bie la llamada ura II, co cuatro bolas blacas y ua bola roja. Si realizamos dos hipótesis: 1: la ura que tego delate es la I, 2: la ura que tego delate es la II, podemos cosiderar que P(1 = P(2 = 1/2; co objeto de obteer más iformació acerca de la ura descoocida extraigo ua bola de ellas (podemos pesar e el coste por extracció como impedimeto para extraerlas todas y elimiar así la icertidumbre acerca de la ura y resulta ser blaca (suceso. Por medio del teorema de Bayes teemos que uestra iformació a priori ha cambiado siedo ahora P(1/ = 1/3 y P(2/ = 2/3, pudiedo extraer otra bola caso de que se desease obteer más iformació, cosiderado ahora a 1/3 y 2/3 como probabilidades a priori de 1 y 2 respectivamete. 7. Coclusioes La probabilidad se itroduce e los cursos de 2º y 3º de la Eso teeido u peso más fuerte e las dos ramas de las dos matemáticas del 4º curso, dode ya se habla de la probabilidad codicioal y de la probabilidad total (o así del teorema de Bayes. La probabilidad cobra más importacia e el curriculum de bachillerato, e especial e el bachillerato de ciecias sociales. E el primer curso de bachillerato, tato e ciecias sociales como e el bachillerato de ciecias está por primera vez el teorema de Bayes e el curriculo de matemáticas. La probabilidad total y el teorema de Bayes es u ejercicio típico e el exame de selectividad de Matemáticas aplicadas a las ciecias sociales. Jose Luis Lorete (preparador oposicioes secudaria 8