Tema 11: Probabilidad

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1 Tema 11: Probabilidad E el Cálculo de Probabilidades, a meudo se preseta cojutos demasiado grades como para poder eumerar exhaustivamete sus elemetos auque, por otra parte, obedece a uas reglas de formació fijas que permite costruir procedimietos para coocer su cardial, si ecesidad de elaborar ua lista de elemetos. La Combiatoria agrupa los procedimietos orietados a cotabilizar el úmero de elemetos de cojutos de este tipo, si ecesidad de eumeracioes. Empezaremos el tema recordado los métodos de coteo: variacioes, permutacioes, combiacioes (co y si repetició) así como la técica de diagrama e árbol. El procedimieto costructivo recorre metalmete los pasos a seguir para formar todos los elemetos de u cojuto, aotado las alterativas que puede elegirse e cada uo. 1. Métodos de coteo Ejemplo1: Diagrama e árbol Cotabilizar el úmero de palabras distitas de cico letras diferetes que pueda formarse co las letras {A, E, I, L, M, N, P} de forma que haya ua vocal e la primera posició. Para ello, debe rellearse cico posibles posicioes: La primera posició debe ocuparse por ua vocal y, para ello, hay tres eleccioes posibles {A, E, I} 3 La seguda posició debe ocuparse por ua letra diferete de la primera, de modo que, sea cual sea la primera, hay 6 posibilidades 3 6 Elegidas la primera y la seguda letras, hay 5 eleccioes posibles para la tercera posició Razoado de esta forma Es decir, el úmero pedido es = 1080 El resultado fial del ejemplo obedece a ua regla de coteo (diagrama e árbol): si los cojutos A 1, A 2, A k tiee 1, 2,, k elemetos, respectivamete, etoces el producto cartesiao A 1 xa 2 x xa k tiee 1 x 2 x x k elemetos. Ejemplo 2: Permutacioes ordiarias Cotabilizar el úmero de maeras distitas de ordear e fila a 8 persoas. U argumeto parecido al del ejemplo coduce al úmero = ordeacioes o permutacioes P distitas. E geeral, P =! = " factorial" = ( 1) ( 2) determia el úmero de ordeacioes e fila de objetos diferetes. Por defiició, 0! = 1. Ejemplo 3: Permutacioes co repetició E u bar, cico amigos ha pedido 3 cafés y 2 cervezas. Cotabilizar de cuátas maeras puede cosumir las cico bebidas: (i) Si los cafés so "solo", "cortado" y "co leche", y las cervezas so de marcas diferetes, se tedrá 5! = 120 maeras de repartir las cico bebidas, tatas como formas de aliearlas e la barra ate ellos. (ii) Ua vez hecho el reparto, si los 3 cafés so idéticos, puede ser permutados etre sí, si que el resultado se vea afectado. Esto sigifica que los 120 resultados puede agruparse e 3! = 6 grupos que o preseta diferecias; es decir, hay 120/6 = 20 resultados distitos. 1

2 Aálogamete, si ambas cervezas so iguales. Etoces hay 20/2= 10 maeras de distribuir los 3 cafés y las 2 cervezas. E geeral, ua colecció de objetos, clasificados e k grupos de objetos idéticos etre sí, el primero co 1 objetos, el segudo co 2 objetos, etc., puede ordearse e fila de! 1! 2! k! = PR 1, 2,, k maeras distitas, si o se cosidera distitas las ordeacioes dode dos objetos iguales ha permutado su posició. E este caso, se habla de "permutacioes de objetos de los que 1 so iguales etre sí, 2 objetos so iguales etre sí, etc." o simplemete permutacioes co repetició PR 1, 2,, k. Ejemplo 4: Variacioes co y si repetició E ua competició etre participates se distribuye r medallas (de valores cosecutivos). Etoces, el úmero de atribucioes posibles es! ( 1) ( 2) ( r + 1) = ( r)!! Es decir, hay subcojutos ordeados posibles de r elemetos que puede extraerse de ( r)! u cojuto de r elemetos. E este ejemplo, el térmio "subcojutos ordeados" se refiere a "grupos de r elemetos distitos que se diferecia e alguo de sus compoetes o e el orde e que aparece". Los subcojutos ordeados de tamaño r de u cojuto co elemetos se deomia variacioes de elemetos tomados de r e r. Se represeta por V,r =! ( r)! Al formar ua lista ordeada de logitud r, co elemetos de u cojuto de cardial, puede ocurrir que u mismo elemeto del cojuto se repita e varios lugares diferetes de la lista. Por ello, el úmero de variacioes co repetició de elemetos tomados de r e r viee dado por r : VR r = r Ejemplo 5: Combiacioes ordiarias Aquí os cetramos e determiar el úmero de subcojutos de cardial r que puede formarse detro de u cojuto co u úmero fiito de elemetos. De acuerdo co la iterpretació de permutacioes co repetició de objetos de los cuales r so iguales etre sí (es decir, forma parte del subcojuto) y r so iguales etre sí (es decir, o forma parte del subcojuto), se tiee que el úmero de subcojutos distitos, co r elemetos, que puede extraerse desde u cojuto de elemetos es ( r ) =! r! ( r)! = C,r Se trata de las combiacioes de elemetos tomados de r e r. Ejemplo 6: Combiacioes co repetició De cuátas maeras diferetes se puede repartir r = 7 bolas idéticas e = 5 uras? Las = 5 uras so represetadas por los espacios compredidos etre + 1 = 6 barras verticales; por ejemplo, la secuecia correspode al reparto dode la ura 1 está vacía, las uras 2 y 5 cotiee 1 bola, la ura 3 cotiee 2 bolas y la ura 4 cotiee 3 bolas. El reparto de r = 7 bolas e = 5 uras supoe emplear r = 7 símbolos y + 1 = 6 barras verticales. Dos símbolos aparece fijos (la primera y la última barra que idica el comiezo de la ura 1 y el fial de la ura = 5, respectivamete) y los restates + r 1 = 11 (es decir, r + ( + 1) 2) símbolos aparece e orde arbitrario. Hay tatos repartos de r = 7 bolas e = 5 uras como formas distitas de ordear esos + r 1 = 11 elemetos: 2

3 ( + r 1)! ( 1)! r! = CR + r 1,r = ( ) = CR r 5,7 = ( 11 7 ) = 11! 7! 4! = 330 que so las combiacioes co repetició de = 5 elemetos tomados de r = 7 e r = Experimetos aleatorios Existe feómeos dode la cocurrecia de uas circustacias fijas o permite aticipar cuál será el efecto producido. Por ejemplo, si ua moeda cae al suelo, o es posible coocer por aticipado el puto exacto dode irá a parar; cuado se coloca bolas idéticas umeradas e ua bolsa y se extrae ua bola a ciegas, o es posible determiar co total certeza qué bola será elegida; si se realiza todos los días el mismo trayecto etre dos putos alejados, etoces uca se tardará exactamete el mismo tiempo; etc. Estos experimetos so llamados aleatorios, puesto que el resultado del feómeo e estudio es cosecuecia del azar. Los experimetos o aleatorios se llama determiistas. E estas situacioes el carácter impredecible de las cosecuecias del azar hace iútil cualquier iteto de hallar reglas determiistas que rija la aparició de resultados idividuales. Si embargo, es falso decir que el azar o está sometido a leyes, lo que ocurre es que o so leyes ecesarias, que determie uívocamete el resultado de cada experimeto, sio que atañe a la frecuecia de los resultados que se obtiee cuado el feómeo se repite u gra úmero de veces. El Cálculo de Probabilidades se ocupa de estudiar feómeos aleatorios, es decir, situacioes que, repetidas bajo codicioes idéticas, puede dar lugar a diversos resultados A 1, A 2,, de maera que o puede predecirse co certeza absoluta cuál de ellos ocurrirá. Se dice etoces que el resultado es cosecuecia del azar o que se trata de u feómeo aleatorio. Ate feómeos de azar, la tedecia atural es tratar de medir el grado de verosimilitud de los diversos acotecimietos posibles asigado ua probabilidad a cada uo de ellos; es decir, u valor umérico que iforma de la frecuecia co que hay que esperar que se presete cada uo, después de umerosas observacioes del feómeo. E cocreto, la probabilidad de cada acotecimieto posible es u úmero de [0, 1], que expresa la frecuecia teórica co que dicho acotecimieto se presetará e ua serie idefiidamete larga de repeticioes del experimeto realizadas e codicioes idéticas. E el estudio de u feómeo e que iterviee el azar hay dos facetas fudametales: Los posibles acotecimietos que puede producirse, es decir, el espacio muestral y sus correspodietes sucesos. La valoració de la probabilidad de los acotecimietos posibles. 2. Espacio muestral y sucesos aleatorios E u experimeto aleatorio, los resultados posibles costituye u cojuto deomiado espacio muestral del feómeo aleatorio y se deota por E. Se llama sucesos a los distitos subcojutos de E, que e el caso de coteer a u úico elemeto so llamados sucesos elemetales y e el caso de coteer dos o más elemetos so llamados compuestos (y so uioes de sucesos elemetales). Ejemplo 7 Se cosidera el lazamieto de dos moedas. El espacio muestral es E = {(C, C), (C, X), (X, C), (X, X)} dode C = "cara" y X = "cruz". El suceso "obteer dos caras" (C, C) es elemetal (aálogo para el suceso "obteer dos cruces") y el suceso "obteer ua cara" {(C, X), (X, C)} es compuesto. La idetificació de los sucesos relativos a u experimeto aleatorio implica dispoer de operacioes para formar uevos sucesos desde otros sucesos dados. 3

4 3. Operacioes básicas co sucesos - Uió de sucesos: si A y B so subcojutos de E, etoces A B se describe como "ocurre A u ocurre B"; es decir, el resultado perteece o bie a A, o bie a B o bie a ambos simultáeamete. - Itersecció de sucesos: si A y B so subcojutos de E, etoces A B se describe como "ocurre A y B simultáeamete". Si A B =, se dice que A y B so sucesos icompatibles. - Complemetario de u suceso: si A E, etoces A c o A es el suceso formado por todos los sucesos elemetales que o está e A. - Diferecia de sucesos: si A y B so subcojutos de E, etoces A B es la itersecció del primer suceso co el cotrario del segudo, A B = A B. - Diferecia simétrica de sucesos: si A y B so subcojutos de E, etoces defiimos el suceso A B = (A B) (B A) es decir es el suceso que se verifica si y solo si se verifica uo y solo uo de los sucesos A o B. Propiedades a) Comutativa: A B = B A ; A B = B A b) Asociativa: (A B) C = A (B C) ; (A B) C = A (B C) c) Idempotete: A A = A ; A A = A d) Existecia de eutro: A = A ; A E = A e) Absorció: A E = E ; A = f) Simplificativa: A (A B) = A ; A (A B) = A g) Distributiva:A (B C) = (A B) (A C) ; A (B C) = (A B) (A C) h) Complemetació: E = ; = E i) Ivolució: A = (A c ) c =A j) Leyes de dualidad o de Morga: (A B) c = A B = A B = A c B c ; (A B) c = A B = A B = A c B c La familia de todos los sucesos asociados al espacio muestral es deotada por P(E) y llamada partes de E. E es el suceso seguro y el suceso imposible. El Cálculo de Probabilidades o se estableció por sí solo como ua ciecia matemática hasta pricipios del siglo XX. E ese mometo, el desarrollo de las Ciecias Naturales implicó fuertes demadas sobre esta disciplia. Se hizo ecesario estudiar sistemáticamete los coceptos básicos de la Teoría de la Probabilidad y clarificar las codicioes bajo las cuales los resultados de la teoría pudiera ser empleados. Por este motivo, resultó esecial ua costrucció axiomática que itrodujera ua estructura lógico-formal e la Teoría de la Probabilidad. 4. Defiició axiomática de probabilidad Durate el siglo XX, el matemático ruso Adrei Kolmogorov propuso ua defiició de probabilidad, que es la que seguimos utilizado hoy e día. Cosideremos u experimeto aleatorio co espacio muestral E. Defiimos la probabilidad como ua fució p que asocia a cada suceso A de P(E) u úmero real p(a), que llamaremos su probabilidad, p: P(E) R A p(a) que cumple las siguietes propiedades: A1] La probabilidad de cualquier suceso A es positiva o cero: p(a) 0 A P(E) A2] La probabilidad del suceso seguro es 1: p(e) = 1. A3] La probabilidad de la uió de u cojuto cualquiera de sucesos icompatibles dos a dos es la suma de las probabilidades de los sucesos: A 1, A 2,, A P(E) tales que A i A j = i j se tiee que p(a 1 A 2 A )= p(a 1 ) + p(a 2 ) + + p(a ) 4

5 Nota: E matemáticas, u axioma es u resultado que se acepta si que ecesite demostració. E este caso, decimos que ésta es la defiició axiomática de la probabilidad porque defiimos la probabilidad como ua fució que cumple estos tres axiomas. 4.1 Cosecuecias de la defiició: Propiedades A, B P(E) P1] p(a) = 1 p(a ) A 3 ] p(a A ) = p(e) = 1 p(a) + p(a ) = 1 p(a) = 1 p(a ) P2] p( ) = 0 = E p( ) = p(e ) = 1 p(e) = 1 1 = 0 P3] Si A B etoces p(a) p(b) A 3 ] B = A (B A) p(b) = p(a) + p(b A) = p(a) + p(b A ) p(b) p(a) P4] 0 p(a) 1 Por A1] teemos que p(a) 0. Por otro lado, si p(a) > 1 etoces p(a ) = 1 p(a) < 0 lo cual es imposible por el axioma A1. P5] Si A B etoces p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) A B = (A B) A B) (B A) uió de disjutos y, por tato, por el axioma A3 se tiee que p(a B) = p(a B) + p(a B) + p(b A) Por otro lado A3] A = (A B) (A B) B = (B A) (A B) uioes de disjutos } p(a) = p(a B) + p(a B) sumado p(b) = p(b A) + p(a B) miembro a miembro ambas expresioes: p(a B) p(a) + p(b) = p(a B) + p(a B) + p(b A) + p(a B) de dode p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) P6] E espacio muestral fiito E = e 1 e uió disjuta de sucesos elemetales. Dado u r suceso A = e 1 e r r se tiee p(a) = p(e i ) 5. Otras aproximacioes a la oció de probabilidad (1) Otra defiició aceptada e la práctica es la defiició frecuetista. Ate u experimeto aleatorio regido por el azar, la tedecia implica medir el grado de verosimilitud de los acotecimietos posibles, asigado ua probabilidad a cada uo de ellos que iforme de la frecuecia co que hay que esperar que se presete cada uo, después de umerosas observacioes del experimeto. Por ejemplo, supogamos ua ura co 3 bolas idéticas (2 rojas y 1 blaca). Etoces, p("obteer bola roja") = 2 3 = ; p("obteer bola blaca") = 1 3 = extrae al azar ua bola. La frecuecia real se cooce co exactitud cuado, por ejemplo, (i) repitiedo el experimeto 12 veces, se obtiee 7 rojas y 5 blacas; es decir i=1 frecuecia de "obteer roja" = 7 12 = cuado se frecuecia de "obteer blaca" = 5 12 =

6 (ii) repitiedo el experimeto 120 veces, se obtiee 69 rojas y 51 blacas; es decir frecuecia de "obteer roja" = = frecuecia de "obteer blaca" = = (iii) repitiedo el experimeto 1200 veces, se obtiee 822 rojas y 378 blacas; es decir frecuecia de "obteer roja" = = frecuecia de "obteer blaca" = = Aálogamete, el experimeto podría repetirse 10000, , veces, cocluyedo que e ua sucesió ilimitada de repeticioes, e idéticas codicioes, de u experimeto aleatorio, las frecuecias tras cada repetició tiede a aproximarse hacia ciertos valores límites. El valor límite de la frecuecia de u suceso es lo que se desea expresar mediate su probabilidad frecuetista. (Ley de los grades úmeros) (2) Para atribuir probabilidades a los sucesos relativos a u experimeto aleatorio co espacio muestral fiito, existe ua orma de utilidad cuado todos los sucesos elemetales so igualmete probables. La regla de Laplace fue propuesta por P.S. Laplace ( ) y represeta el primer atecedete explícito del cocepto de probabilidad. La aplicació de la regla de Laplace puede presetar dificultades a la hora de comprobar la equiprobabilidad de los sucesos elemetales. No obstate, e situacioes secillas, la simetría de los resultados del experimeto permite garatizar su equiprobabilidad; p(a) = cardial(a) cardial(e) 6. Probabilidad codicioada Hasta ahora, las probabilidades de los sucesos de A ha teido u carácter estático, es decir, ates de realizar el experimeto, es posible emitir u juicio sobre su resultado, idicado la frecuecia de aparició de cada uo de los sucesos que puede ocurrir. No obstate, es frecuete cosiderar situacioes itermedias dode el experimeto o ha cocluido o, e el caso de experimetos que se desarrolla e varias etapas, os iteresamos por el resultado de ua etapa iicial ya coociedo el resultado e ua etapa posterior. Ejemplo 8 E ocasioes, la iformació adicioal co respecto a ua determiada experiecia, puede hacer variar la probabilidad asigada a alguo de los sucesos ligados a ella. Supogamos ua ura co tres bolas egras umeradas del 1 al 3 y dos blacas co el 4 y el 5. La probabilidad de que saquemos ua bola y sea la 5 es 1/5. Si e el mometo de la extracció, hemos podido ver que la bola era blaca, la probabilidad de que sea la úmero 5 es etoces 1/2. Diremos e este caso que 1/2 es la probabilidad del suceso sacar la bola 5, codicioado al suceso la bola es blaca : Sea los sucesos A ="sacar bola blaca" y "B" = sacar la bola 5". La probabilidad de B codicioado a A es: p(b A) = 1 = 1/5 = p(a B) 2 2/5 p(a) Ejemplo 9 Al lazar dos veces u dado, la suma de las putuacioes ha sido 8. Nos pregutamos por la probabilidad de que, e el primer lazamieto, el resultado haya sido 2. El espacio muestral asociado al experimeto viee dado por las posibles sumas E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} No obstate, es más coveiete observar el árbol de resultados: Suma: Suma: 5 6

7 Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: Suma: 12 y tomar como espacio muestral E = {(1,1), (1,6), (2,1), (2,6), (6,1),(6,2) (6,6)} El suceso "la suma de las putuacioes es 8" viee dado por S 8 = {(2, 6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} y el suceso "obteer 2 e el primer lazamieto" es A 2 = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)} Si teer e cueta el resultado obteido como suma de putuacioes, la probabilidad del suceso A 2 es p(a 2 ) = 1/6. Para calcular p(a 2 S 8 ) ="probabilidad codicioada del suceso A 2, dado el suceso S 8 " se requiere del cocepto de probabilidad codicioada que se itroduce a cotiuació. 6.1 Defiició La probabilidad de u suceso B cuado sabemos que ha ocurrido otro suceso A, co p(a) > 0, se llama probabilidad codicioada. Se escribe p(b A), se lee probabilidad de B codicioada a A y su valor es: p(b A) = Así, e el ejemplo aterior p(a 2 S 8 ) = p(a 2 S 8 ) p(s 8 ) p(a B) p(a) = p({(2,6)}) p(s 8 ) = 1/36 5/36 = Regla de la multiplicació La oció de probabilidad codicioada se utiliza muy a meudo para calcular la probabilidad de la itersecció de dos sucesos a partir de la probabilidad de uo de ellos y de la probabilidad codicioada que suele ser calculable directamete. De la expresió p(b A) = p(a B) p(a) obteemos p(a B) = p(a) p(b A) Tambié se puede geeralizar para más de dos sucesos: p(a B C) = p(a) p(b A) p(c A B).. p(a 1 A 2 A ) = p(a 1 ) p(a 2 A 1 ) p(a 3 A 1 A 2 ) p(a A 1 A ) Estas fórmulas se cooce como reglas de la probabilidad compuesta. 7

8 Existe experimetos aleatorios dode la iformació que sumiistra el suceso A o afecta a la probabilidad de otro suceso B; es decir, p(b A) = p(b). Esta relació refleja la idea de idepedecia de sucesos. 6.3 Idepedecia de sucesos Dos sucesos A y B so idepedietes si y solo si p(a B) = p(a) p(b) La defiició de idepedecia de los sucesos A y B es válida icluso si p(a) = 0 y/o p(b) = 0. Debemos observar que si A y B so sucesos idepedietes, etoces A y B c tambié so idepedietes dado que p(a B c ) = p(a (E B)) = p(a (A B)) = p(a) p(a B) == p(a) p(a) p(b) = p(a) [1 p(b)] = p(a) p(b c ) Similarmete, se tiee que A c y B so sucesos idepedietes y que A c yb c tambié lo so. Notemos que la relació de idepedecia etre sucesos puede ser cosecuecia lógica de las características de u experimeto aleatorio o, simplemete, se debe a ua coicidecia umérica. 7. Experimetos compuestos So el resultado de realizar varios experimetos aleatorios simples. Ejemplo 10 Se laza ua moeda y u dado perfectamete equilibrados. El espacio muestral viee dado por E = {C1, C2, C6, X1, X2,, X6} y es imediato que p("obteer cara")= 6 12 = 1 2 p("obteer al meos 3") = 8 = p("obteer cara y al meos 3")= 4 12 = 1 3 La igualdad p("obteer cara y al meos 3") = p("obteer cara") p("obteer al meos 3") establece que ambos sucesos so idepedietes. La idepedecia obvia que existe etre cualquier suceso relativo a la moeda y cualquier suceso relativo al dado se covierte e ua justificació alterativa de la atribució de probabilidad 1/12 a cada suceso elemetal de E; por ejemplo, p({x4}) = p({x}) p({4}) = = 1 12 El procedimieto seguido al fial del ejemplo da lugar a u método usual de costrucció de modelos probabilísticos. Puede ser empleado cuado el experimeto aleatorio costa de varias compoetes, si aparete relació etre ellas, es decir, de resultados a priori idepedietes y co úico vículo etre ellas, el hecho de que so partes de u mismo experimeto aleatorio. 8. Teorema de la probabilidad total Cosideremos u experimeto aleatorio de espacio muestral E y sucesos A 1, A 2, A icompatibles dos a dos, A i A j = i j, tales que i=1 A i = E co p(a i ) > 0 i = 1,, Sea S u suceso cualquiera para el que las probabilidades codicioadas p(s A i ) i = 1,2, so coocidas. Etoces se verifica que p(s) = p(a i ) p(s A i ) = i=1 p(a 1 ) p(s A 1 ) + p(a 2 ) p(s A 2 ) + + p(a ) p(s A ) 8

9 E A 1 A 2. A A 1 S A 2 S S A S p(s) = p(e S) = p((a 1 A 2 A ) S) = p(a 1 S) (A 2 S) (A S) = = p(a 1 S) + p(a 2 S) + + p(a S) = = p(a 1 ) p(s A 1 ) + p(a 2 ) p(s A 2 ) + + p(a ) p(s A ) Podemos iterpretar la fórmula diciedo que los sucesos A i so las circustacias que hace más o meos posible la aparició del suceso S. Etoces, los factores p(a i ) valora la probabilidad de que se presete cada circustacia A i y los factores p(s A i ) mide la probabilidad del efecto S, cuado se tiee las circustacias represetadas por A i. Hasta ahora, hemos cetrado la ateció e evaluar la probabilidad del suceso S desde la valoració de la probabilidad codicioada de S, dado cada suceso A i (circustacia). E ua situació dual estaríamos iteresados e determiar las probabilidades de las circustacias A i cuado se sabe que ha ocurrido el suceso S. 9. Teorema de Bayes Cosideremos u experimeto aleatorio de espacio muestral E y sucesos A 1, A 2, A icompatibles dos a dos, A i A j = i j, tales que i=1 A i = E co p(a i ) > 0 i = 1,, Etoces para cada suceso S co p(s) > 0 se verifica p(a i ) p(s A i ) p(a i S) = p(a 1 ) p(s A 1 ) + p(a 2 ) p(s A 2 ) + + p(a ) p(s A ) o lo que es lo mismo p(a i S) = p(a i) p(s A i ) p(s) Las probabilidades p(a i ) se cooce co el ombre de probabilidades a priori, p(a i S) so las probabilidades a posteriori y p(s A i ) so las verosimilitudes co i = 1,. p(a i S) = p(a i S) p(s) p(s A i ) = p(a i S) p(a i ) p(a i S) = p(s) p(a i S) p(a i S) = p(a i ) p(s A i ) de dode p(s) p(a i S) = p(a i ) p(s A i ) i = 1,, y, por tato, despejado: p(a i S) = p(a i) p(s A i ) p(a i ) p(s A i ) = p(s) p(a 1 ) p(s A 1 ) + p(a 2 ) p(s A 2 ) + + p(a ) p(s A ) 9