Matemáticas Discretas Inducción y Recursión

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Miguel Rubén Contreras Maestre
hace 5 años
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1 Coordiació de Ciecias Computacioales - INAOE Matemáticas Discretas Iducció y Recursió Cursos Propedéuticos 00 Ciecias Computacioales INAOE Iducció y recursió Geeralidades Iducció de úmeros aturales Iducció matemática Fucioes recursivas Dr. Luis Villaseñor Pieda villase@iaoep.mx Iducció matemática Iducció matemática Técica de prueba que se aplica a casos que tiee que ver co úmero eteros positivos Z + = {,, } o úmeros aturales N = {0,,, } Ituitivamete: Si probamos algo para = k, y luego lo probamos para = k +, podemos cocluir que es cierto para toda (mayor que k) Formalmete: Base de iducció Paso de iducció Etoces Si el euciado es verdadero para = 0 y el euciado es verdadero para =k+, asumiedo que es verdadero para =k dode (k >= 0 ) el euciado es verdadero para todos los úmeros aturales >= 0 3 4

2 Iducció matemática Este pricipio es ua cosecuecia de la defiició de los úmeros aturales. Dado N, el cojuto de úmeros aturales:. El úmero atural = 0 () está e N. Si el úmero k está e N, tambié lo está k + Sea S()=++3+ +, Cuál es el valor de S() para Z +? Teorema: S() = ½ (+) para >0 Base de iducció: =, S()=½ = Paso de iducció: se asume S() = ½ (+) y probamos la validez de S(+) Note que: S(+) = S()+(+), S(+) = ½ (+) + (+) = ½ (+)(+), esto prueba la validez de uestro teorema para Pruebe que la sumatoria de los primeros eteros positivos impares es : (i ) i Paso base: Sea =. La suma del primer úmero impar positivo es, lo cual equivale a Se asume la veracidad para P() Probar P(+). i ( i ) i ( ) ( i ) (( ) ) Por hipótesis de iducció P() 7 8

3 Use iducció matemática para mostrar que = + - para cualquier etero o egativo Paso básico: P(0) : 0+ - = Paso iductivo: Asumir que P() es verdadero. esto es P() = + -. P(+) se expresa como P( + ) = P( + ) = P() ( + ) - P( + ) + - Teemos estampas de 5 y 3 pesos. Demostrar que es posible hacer estampas de deomiació mayor o igual a 8.. Es posible hacer estampas de 8 pesos (5 + 3). Si es posible hacer de K es posible de hacer de K +. Dos casos: a. Si hay ua estampa de 5 e K, se substituye por dos de 3 (6) y se tiee K + b. Si o hay de 5, etoces hay puras de 3. Se substituye tres de 3 (9) por dos de 5 (0) y se tiee K + Relacioes de recurrecia Ua relació de recurrecia para la secuecia a 0, a, a es ua ecuació que relacioa a co alguo de sus predecesores a 0, a, a - Las codicioes iiciales so valores dados e forma explícita para u úmero fiito de térmios a i, a j, a k 3 3

4 (Fiboacci) Recurrecia: f = f - + f - Codicioes iiciales: f =, f = Secuecia:,, 3, 5, 8, 3, iterés compuesto Si ivierto 000 pesos a u iterés compuesto de 7 % aual, cuato diero tedré al fial de 5 años? Especificar la solució como ua relació de recurrecia 4 5 iterés compuesto E geeral: Recurrecia: C = C - + iterés * C - = ( + iterés) * C - Codició iicial: C 0 = iversió Para el ejemplo: C 0 = 000 C = 000 *.07 = 070 C = 070 *.07 = Solució de relacioes de recurrecia Ua solució para ua relació de recurrecia cosiste e ecotrar ua fórmula explícita para el térmio a Veremos dos tipo de métodos: U método iterativo U método especial para relacioes lieales homogéeas co coeficietes costates 6 7 4

5 Método iterativo Se escribe el térmio a e fució de los térmios a -, a -, Luego se reemplaza el térmio a - por alguos de sus predecesores Luego el térmio a - Se cotiua hasta obteer ua fórmula explícita e térmios de las codicioes iiciales Relació: a = a - + 3; a = Solució: Para -: a - = a Substituyedo : a = (a - + 3) + 3 = a - + * 3 Para -: a - = a Substituyedo: a = ( a ) + * 3 = a * 3 E geeral: a = a -k + k * 3 Haciedo k=-: a = a -+ + (-) * 3 = a + 3(-) Como a = : a = + 3 (-) 8 9 La població de perros e Toatzitla es de 000 (=0) y el crecimieto al istate es del 0% de la població e el tiempo - Determiar la relació de recurrecia Determiar ua fórmula explícita Recurrecia Codició iicial: p 0 = 000 Recurrecia: p = p p - =.p - 0 5

6 Solució La solució explícita se puede obteer e forma iterativa: p =.p - =.(.p - ) =.(.(.p -3 ) ) = p =.p - = (.) p - = (.) 3 p -3 = E geeral: p = (.) p 0 E este caso: p = (.) 000 Relacioes de recurrecia Ua ecuació de la forma: x = f (x, x,..., x k ) que expresa el -ésimo térmio de ua sucesió e fució de los k térmios ateriores se deomia relació de recurrecia de orde k Observe que dados los valores iiciales x 0, x,...,x k, la recurrecia tiee ua solució úica x k = f (x k, x k,..., x 0 ), x k+ = f (x k, x k,..., x ) Se caracteriza por que la suma de dos solucioes es tambié ua solució 3 Relacioes de Recurrecia Lieales Ua relació de recurrecia lieal homogéea de orde k co coeficietes costates (rrlhcc) se puede escribir de la siguiete forma: a = c a - + c a c k a -k Dode los coeficietes c i so costates, y se tiee las codicioes iiciales: a 0, a, a k- Por ejemplo, la relació de Fiboacci es ua relació lieal homogéea de orde Solució rrlhcc - ejemplo Relació: a = 5a - 6a - ; a 0 =7, a =6 Solució: Asumimos que es de la forma t Etoces: t = 5t - 6t - t - 5t - + 6t - = 0 Dividiedo etre t - : t - 5t + 6 = 0 Dos solucioes: t =, t = 3 Etoces se puede demostrar que la solució es de la forma: U = b + d

7 Solució rrlhcc - ejemplo Solució (cotiuació): Para ecotrar los coeficietes cosideramos las codicioes iiciales, de forma que: 7 = U 0 = b 0 + d3 0 ; 6 = U = b + d3 Al resolverlas, obteemos: b = 5, d = Etoces la solució es: a = 5 * + * 3 Solució rrlhcc do orde E geeral, la solució de ua rrlhcc de segudo orde, a = c a - + c a - Es de la forma: a = b r + d r Dode r y r so raíces de la ecuació: t - c t c = 0 Los coeficietes b, d se determia de las codicioes iiciales 6 7 Otro ejemplo: Fiboacci Recurrecia: f = f - + f - Codicioes iiciales: f =, f = Etoces la solució es de la forma: f = b r + d r y las raíces las obteemos al resolver: t - t = 0 cotiuació: Resolviedo la ecuació aterior, las raíces so: r =.68; r = Por lo que la ecuació tiee la forma: f = b (.68) + d (-0.68) Obteiedo los coeficietes e base a las codicioes iiciales: f = 0.75 (.68) 0.76 (-0.68) 8 9 7

8 Recurrecias lieales o homogéeas Ua recurrecia de la forma x = a x + a x + + a k x k + g() se deomia recurrecia lieal o homogéea. La parte o homogéea es la fució g() La solució de ua recurrecia o homogéea se puede obteer sumado ua solució particular y la solució a la recurrecia homogéea asociada Hallar ua solució geeral y la solució particular co x 0 =0, x =5 de la recurrecia x 5x + 6x =

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