Funciones Integrables. Lema 1. Sena A y B dos conjuntos tales que a A b B ocurre que a b. Sean A A y B B tales que sup A = ínf B entonces.
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- Luz Espejo Núñez
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1 Uidad Itegrales Múltiples.3 Propiedades de las fucioes itegrables Fucioes Itegrables Lema. Sea A y B dos cojutos tales que a A b B ocurre que a b. Sea A A y B B tales que sup A = íf B etoces sup A = íf B Demostració. Si a A b B ocurre que a b etoces a b sup A b sup A íf B ( Por otro lado por lo tato de ( y ( se cocluye que A A sup A sup A B B íf B íf B íf B íf B = sup A sup A ( sup A = íf B Corolario. Sea f : acotada e. Si para algua familia de particioes P ocurre que íf{s(f, P P es particio de } = íf{s(f, P P es particio de } etoces f es itegrable e y f = íf{s(f, P P es particio de } = íf{s(f, P P es particio de } Ejemplo Mostrar que la fució f : dada por f(x, y = x+y es itegrable sobre = [0, ] [0, ] Solució Vamos a cosiderar las siguietes particioes { P = 0,,,..., }, = P P = P P Deotamos por ij cada subrectágulo iducido por P; es decir, [ i ij = [x i, x i ] [y j, y j ] =, i ] [ j, j ] por lo que para cada subrectágulo, teemos ( i m ij = f, j = i + j = (i + j Facultad de Ciecias UNAM Cálculo Diferecial e Itegral IV Prof. Esteba ubé Hurtado Cruz
2 Uidad Itegrales Múltiples.3 Propiedades de las fucioes itegrables M ij = f ( i, j = i + j = (i + j Por lo que el área de subrectágulo ij es ( i A( ij = i ( j j = Por lo tato [ij i(j j(i + (i (j ] = S(f, P = = i= (i + j 3 (i + j j= = ( ( + 3 i + i= = ( ( + 3 = 3 ( ( + = ( + = por lo que { sup } = Ahora bie para las sumas superiores, teemos S(f, P = = i= (i + j 3 (i + j = 3 i= j= ( i + ( + = ( ( + ( Facultad de Ciecias UNAM Cálculo Diferecial e Itegral IV Prof. Esteba ubé Hurtado Cruz
3 Uidad Itegrales Múltiples.3 Propiedades de las fucioes itegrables = ( + = + por lo que { íf + } = Así hemos llegado a que: segú los resultados ateriores f es itegrable sup {S(f, P } = = íf { S(f, P } Teorema. Sea f : acotada sobre el rectágulo. Se tiee que f es itegrable sobre si y solo si para cada > 0 existe ua P partició de tal que S(f, P S(f, P < Demostració. Sea > 0 como f es itegrable f = f = I y por las propiedades del supremo sabemos que para > 0 ua P partició de tal que I S(f, P I. Por otra parte de las propiedades del ímo sabemos que ua Q partició de tal que Si hacemos P = P Q teemos que I S(f, Q I +. S(f, P S(f, P S(f, P S(f, P I S(f, P S(f, P I + S(f, P S(f, P I + (I =. f es itegrable Teemos que probar que la fució es itegrable es decir f = f o equivaletemete f f = 0 sabemos que f f 0 f f. Sea > 0 por hipótesis, existe P partició de tal que S(f, P S(f, P < por otra parte se tiee que: S(f, P f f S(f, P Facultad de Ciecias UNAM Cálculo Diferecial e Itegral IV Prof. Esteba ubé Hurtado Cruz 3
4 Uidad Itegrales Múltiples.3 Propiedades de las fucioes itegrables f es itegrable 0 f f S(f, P S(f, P < f = f Teorema. Si ua fució f es cotiua e u rectágulo Q = [a, b] [c, d] etoces f es itegrable e Q. Demostració. Teemos que m m m S(f, P S(f, P = M ij ( ij m ij ( ij = (M ij m ij ( ij < m A( ( ij = A( m ( ij = A( A( La desigualdad se justica de la siguiete forma: Como f es cotiua e u cojuto cerrado y acotado etoces f es uiformemete cotiua para x ij, y ij ij co x ij y ij < δ f(x ij f(y ij < A( Ejemplo Si f es ua fució itegrable sobre y k etoces f es itegrable sobre k Demostració. Com f es itegrable sobre existe ua partició P de tal que S(f, P S(f, P < Sea P los i,j P tal que ij k y sea P los ij restates, teemos etoces que S(f, P = S(f, P + S(f, P S(f, P = S(f, P + S(f, P por lo tato S(f, P S(f, P + S(f, P S(f, P = S(f, P S(f, P < como cada térmio de la suma es positivo se tiee que S(f, P S(f, P < y teemos ua partició de k dode f es itegrable Facultad de Ciecias UNAM Cálculo Diferecial e Itegral IV Prof. Esteba ubé Hurtado Cruz 4
5 Uidad Itegrales Múltiples.3 Propiedades de las fucioes itegrables Teorema 3. Sea f : itegrable sobre. Etoces existe x 0 it( tal que f es cotiua e x 0 Demostració. Como f es itegrable sobre existe ua partició P de tal que S(f, P S(f, P = m (M ij m ij A( < A( como los sumados so térmios o egativos, existe subídices ij tal que M ij m ij < pues de lo cotrario si M ij m ij i, j (M ij m ij A( ij A( ij m m (M ij m ij A( ij (ij = A( lo cual cotradice uestra suposició. Ahora bie sea ij el subrectágulo de la partició P que cumple M ij m ij < dode ij. Como f es itegrable sobre y ij etoces f es itegrable e ij, existe etoces ua partició P de ij tal que m S(f, P S(f, P = (M ij m ij A( ij < A( ij Podemos asegurar que existe u subrectágulo ij iducido por P co la propiedad M ij m ij < dode M ij = sup{f(x x ij } m ij = íf{f(x x ij } y además ij ij. Siguiedo este procedimieto, obteemos ua sucesió de rectágulos { ijk } aidados e co la propiedad M ijk m ijk < k Sabemos que Ahora, si dode M ijk = sup{f(x x ijk } m ijk = íf{f(x x ijk } ijk+ ijk k= ijk x 0 k= ijk vamos a comprobar que f es cotiua e x 0. Sea > 0 y N N tal que N <. Como x 0 ijn+ ijn existe u δ > 0 tal que B δ (x 0 ijn de tal forma que m ijn f(x M ijn x B δ (x 0 Facultad de Ciecias UNAM Cálculo Diferecial e Itegral IV Prof. Esteba ubé Hurtado Cruz 5
6 Uidad Itegrales Múltiples.3 Propiedades de las fucioes itegrables como M ijn m ijn < N se tiee que f(x f(x 0 < N < x B δ(x 0 por lo tato f es cotiua e x 0 Facultad de Ciecias UNAM Cálculo Diferecial e Itegral IV Prof. Esteba ubé Hurtado Cruz 6
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