Guía Semana RESUMEN. Universidad de Chile. Ingeniería Matemática

Transcripción

1 . ESUMEN Igeierí Mtemátic FACULTA E CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVESIA E CHILE Cálculo e Vris Vribles 08- Igeierí Mtemátic Uiversidd de Chile Guí Sem 0 Itegrl y propieddes básics. d f : Ê y u reticuldo S, defiimos l sum iferior pr l fució f socid S como I S f := i I m ifv i, dode m i f = íf x i fx. L sum superior está dd por S S f := i I M ifv i, dode M i f = sup x i fx. L itegrl iferior de f e es f := sup{i Sf / S es u reticuldo de } y su itegrl superior es f := íf{s Sf / S es u reticuldo de }. Se tiee que f f. ecimos que l fució f es iem-itegrble si f = f, e cuyo cso llmmos este vlor comú l itegrl de f sobre, que se suele deotr como f, fxdx, e iclusive fx,...x N dx dx N, dode, e l últim otció el símbolo de itegrl se repite N veces. Si existe u sucesió de reticuldos {S } Æ tl que etoces f es itegrble. Además, lím S S f I S f = 0 lím S S f = lím I S f = fxdx. Se f : Ê N Ê u fució cotiu, dode es u rectágulo. Etoces f es itegrble. Supogmos que f y g so itegrbles sobre u regió y α Ê etoces:. L fució αf + g tmbié es itegrble y αf + g = α f + g.

2 . Si fx gx pr todo x etoces f g. Igeierí Mtemátic Uiversidd de Chile 3. L fució fx es itegrble sobre y f f. 4. Si =, =, y f es itegrble e y, etoces f = f + f.. EJECICIOS POPUESTOS P.- Se f : [0, ] [0, ] Ê defiid como: { 0 si 0 x < fx, y = si x Mostrr que f es itegrble y f =. [0,] [0,] P.- Se f : A Ê itegrble y se g = f excepto por fiitos putos. Muestre que g es itegrble y f = g. A A P3.- Se f : A Ê y se P u prtició por subrectágulos de A. Muestre que f es itegrble ssi cd subrectágulo S, l fució f s restricció de f l cojuto S, es itegrble, y e tl cso f = f S. S A S P4.- Se f : [0, ] [0, ] Ê defiid como: 0 x irrciol, fx, y = 0 x rciol, y irrciol, /q x, y rcioles, y = p/q co p, q primos reltivos. Muestre que f es itegrble y f = 0. [0,] [0,]

3 Igeierí Mtemátic Uiversidd de Chile P5.- Idique, justificdo muy brevemete, cuál de ls siguietes fucioes F : Q Ê, Q = [, ] [, ] so itegrbles: Fx, y = x + y si x, y 0, 0 y F0, 0 =. Hit: Puede usr el P3.-. b Fx, y = x 4 +y 4 si x, y 0, 0 y F0, 0 =. P6.- Se = [0, ] [0, ]. Ecuetre u sucesió de reticuldos S de tl que S S f I S f 0, cudo 0, dode fx, y = e x+y. Cocluy que f es itegrble sobre y clcule el vlor de e x+y dxdy. Hit: ecuerde que si q, = q = q q q P7.- Se f, g : Ê Ê, fucioes cotds e itegrbles e A Ê rectágulo. emuestre utilizdo ls propieddes básics de itegrbilidd que: [,b] [,b] fxgy fygx = b b f xdx g xdx b fxgxdx P8.- Se Q u rectágulo de Ê N y f : Q Ê tl que f es cotiu sobre itq y cotd sobre Q. Pruebe que f es itegrble. Hit: Utilice u sucesió de rectágulos Q que proxime Q y use l itegrbilidd de f sobre cd Q. b Pruebe que l fució f : [0, ] N Ê defiid por: { se fx = x si x 0 0 si x = 0 es itegrble. P9.- Se f, g : Ê Ê fucioes itegrbles, etoces 3

4 i f g es itegrble. ii Si fx α > 0, x Ê, etoces /f es itegrble. Sólo demuestre est últim propiedd. b Escrib f + λg 0, λ Ê y cocluy que fg f / c Use l prte b pr demostrr que si vol =, etoces f f g Igeierí Mtemátic Uiversidd de Chile co u cotrejemplo muestre que l iguldd o siempre se tiee. / P0.- Se f : Ê Ê cotiu y B ǫ l bol de cetro x y rdio ǫ. Si V B ǫ es el volume de B ǫ, pruebe que: lím fxdv = f x ǫ 0 V B ǫ B ǫ Hit: ecuerde que u fució cotiu restrigid u compcto es uiformemete cotiu. P.- E este ejercicio se propoe u form de clculr el áre de u circulo. Cosidere u sucesió de poligoos regulres de ldos que proxime, por el iterior, l form de u círculo de rdio ver figur : Clcule ls áres de cd polígoo, e fució de l bse b y ltur h de los triágulos que lo coform. b Pruebe que l sucesió de áres coverge y clcule su vlor, otdo que b π y h cudo. c epit los psos teriores, utilizdo u proximció exterior de polígoos regulres P.- Clcule el áre del prlelógrmo V geerdo por v = 3,, v =, es decir, cálcule el áre del cojuto V = {t v + s v t, s [0, ]} 4

5 Igeierí Mtemátic Uiversidd de Chile h b Figur : Aproximció iterior por u polígoo regulr y los triágulos que lo coform 3. POBLEMAS ESUELTOS P3.- Se f : [, b] Ê y g : [c, d] Ê cotius. Mostrr que: dode = [, b] [c, d]. Solució: [ ] [ b ] d [fxgy]dxdy = fxdx gy dy Cosideremos l prtició de [, b]: = x < x <... < x = b, tl que x i+ x i = b Luego l sum de iem de F será: S = FC ij x i+ x i y j+ y j j=0 Como y está defiid e el mismo itervlo que x, usremos l mism prtició pr y, esto es: c Luego: y j+ y j = b b S = FC ij j=0 5

6 Ahor bie, C ij [, b] [, b] C ij = x i, y i. Igeierí Mtemátic Uiversidd de Chile S = j=0 = j=0 = = j=0 Fx i, y i b fx i gy i b fx i b gyi b fx i b gy j b Luego, como tto g y f so itegrbles e [, b]. S = lím fx i b y S = gy j b coverge y sus límites o depede de los x i e y j elegidos. Por lo tto se tedrá: lím S = lím fx i b gy j b = S S existe, y o depede de los C ij = x i, y j. Así escogiedo los x i, y j que reliz el máximo y míimo e cd rectágulo, hemos ecotrdo u sucesió de reticuldos S pr los cules: Luego F es itegrble. lím S S f I S f = 0 P4.- Usdo Sums de iem demuestre que ls siguietes fucioes so itegrbles y clcule su vlor: fx, y = x + 4y, Ω = {x, y/0 x ; 0 y } b fx, y = 3x + y, Ω = {x, y/0 x ; 0 y } Solució: Costruymos u prtició de 0 x, co putos. Se x j = j, j = 0,...,. Aálogmete pr 0 y teemos y j = j, j = 0,...,. Ahor debemos resolver: mí fx = i x + 4j, y demás máx fx = i+ ij x + 4j+ ij Volume de ij = V ij = = Vemos hor ls Sums de iem. S I = sum iferior 6

7 S I = j=0 = 3 i= = 3 i + 4j = i + 4+ = i + i= i + + i= = + + = + Luego cudo S I = + 4 = 6. Vemos l sum superior. S S = j=0 = 3 = i+ + 4 j i= j= Igeierí Mtemátic Uiversidd de Chile i + 4j i + + 4j + 4 esrrolldo teemos: j=0 i = = Cudo, etoces: S s = 6 Luego: S I S S etoces f es iem itegrble. b Utilizdo l mism prtició. mí f = 3 i + j ij máx f = 3 i+ + j+ ij S I =, i,j = 3 i= 3i + j 3i + + = 3 i i= = = Luego cudo teemos: S I = 8 + = Pr obteer el vlor de l Sum Superior se reliz u cálculo álogo el cul se dej propuesto. Así: S S = 0 Co lo cul se cocluye que l fució es iem Itegrble. 7