1.4. Sucesión de funciones continuas ( )

Transcripción

1 1.4. Sucesió de fucioes cotius ( ) Propiedd: Se {f } u sucesió de fucioes f, defiids e I. Si {f } coverge uiformemete f e I y ls f so cotius e I, etoces f es cotiu e I. Demostrció: Hemos de probr que, pr todo puto de I, se cumple ε > 0 δ > 0 / 0 < x < δ = f(x) f() < ε. - Por l covergeci uiforme de l sucesió {f } N e I teemos que ε > 0 0 (ε) / f m (x) f(x) < ε/3, m 0, x I. - Por l cotiuidd de ls fucioes f e I podemos segurr que, I, ε > 0 δ > 0 / 0 < x < δ = f m (x) f m () < ε/3, m N. - Etoces, ddo ε obteemos 0 (ε) y elegimos u m culquier (m 0 ). Tommos hor l fució f m y el ε terior y, fijdo el puto, obteemos δ. Así pues, ddo ε, existe m, δ tles que se cumple ls dos codicioes l tiempo, resultdo que, si 0 < x < δ, dode f(x) f() = (f(x) f m (x)) + (f m (x) f m ()) + (f m () f()) f(x) f m (x) + f }{{} m (x) f m () + f }{{} m () f() < ε }{{} 3 + ε 3 + ε 3 = ε. (1) () (3) - (1) y (3) so meores que ε/3 por l cotiuidd uiforme de {f }. - () es meor que ε/3 por l cotiuidd de f m e. Cálculo Ifiitesiml. ETSI Cmios. A Coruñ

2 .5. Serie de fucioes cotius ( ) Se I = [, b]. Si u serie f, de fucioes cotius e I, coverge uiformemete e I su fució sum F, ést es cotiu e I. D: Sbemos (pdo. 1.4) que si u sucesió de fucioes cotius coverge uiformemete su fució límite f, ést es cotiu. Etoces, si ls f so cotius e I, l sum prcil F = 1 f i es tmbié cotiu e I, por ser sum de fucioes cotius. Como F coverge uiformemete e I su fució sum F, ést es cotiu e I..6. Itegrció de u serie de fucioes Se I = [, b]. Si u serie f, de fucioes itegrbles e I, coverge uiformemete e I su fució sum F, ést es itegrble e I y su itegrl es l sum de l serie de itegrles. f i (x) c.u. = F (x) = F (t)dt c.u. = f i (t)dt, x [, b] L covergeci de l serie de ls itegrles es uiforme, por lo que lo terior puede tmbié expresrse diciedo que: si l serie de fucioes coverge uiformemete F, l serie de ls itegrles coverge uiformemete l itegrl de F. D: Lo demostrremos pr el cso de fucioes f cotius (por tto itegrbles). Se l serie f, de f cotius, que coverge uiformemete F e I. Tto F = 1 f i como F so fucioes cotius (pdo..5), luego el resto R = F F será tmbié cotiu y por tto itegrble. Etoces F (t)dt = F (t)dt + R (t)dt, x I Al ser F u sum de fucioes itegrbles, su itegrl será l sum de ls itegrles y l expresió terior se covierte e F (t)dt = f i (t)dt + R (t)dt (1) Queremos demostrr que l itegrl de l sum de l serie f es l sum de l serie de ls itegrles de ls f, es decir el límite de l sum prcil, cudo. Pr ello vemos que l itegrl de R tiede 0 cudo. E efecto, como F coverge uiformemete F, se cumple co lo que ε (ε) / R (t) = F (t) F (t) < R (t)dt R (t)dt < Tomdo límites e (1), obteemos ( ) ( lím F (t)dt = lím Cálculo Ifiitesiml. ETSI Cmios. A Coruñ f i (t)dt + ε b ε b dt = () ε (x ) ε b R (t)dt ) = f i (t)dt

3 Y como el térmio etre prétesis del primer miembro o depede de, F (t)dt = f i (t)dt Not: obsérvese que el clculdo e () depede sólo de ε, por lo que l serie de ls itegrles coverge uiformemete l itegrl de l sum de l serie..7. Derivció de u serie de fucioes Se I = [, b]. Dd u serie f, de fucioes derivbles e I, que coverge e u puto de I, tl que f coverge uiformemete e I, etoces f c. u. e I su fució sum F, que es derivble e I y su derivd es l sum de l serie de derivds. f (x 0 ) = F (x 0 ) y f (x) c.u. = G(x) = f (x) c.u. = F (x) y F (x) = G(x) D: Lo demostrremos pr el cso de fucioes f co derivd f cotiu. Se l serie f, de f derivbles, tles que ls f so cotius. Como f coverge uiformemete e I G, ést será cotiu (pdo..5). Al ser ls f cotius, so itegrbles. Etoces, prtir de lo visto e el prtdo terior, G es itegrble y su itegrl es l sum de l serie de ls itegrles. Por lo tto, ddo x 0 I, x I se cumplirá G(t)dt c.u. = f (t)dt = (f (x) f (x 0 )) x 0 x 0 Al ser G itegrble, l serie (f (x) f (x 0 )) coverge (uiformemete) l itegrl de G. Por otro ldo, l ser covergete l serie uméric f (x 0 ), covergerá tmbié l serie sum de mbs f (x). Llmdo F (x) l sum de est últim, result x 0 G(t)dt = f (x) f (x 0 ) = F (x) F (x 0 ) Derivdo hor respecto x y plicdo el Primer Teorem Fudmetl del Cálculo result d dx Es decir, F (x) = G(x) o, lo que es lo mismo, x 0 G(t)dt = G(x) = (F (x) F (x 0 )) = F (x) ( f (x)) = f (x) Cálculo Ifiitesiml. ETSI Cmios. A Coruñ

4 3. Series de potecis ( ) 3.1. Defiició. U serie de potecis es u cso prticulr de serie fuciol, dode f (x) tom l form f (x) = (x ), R E el cso (hbitul) = 0, l expresió de l serie es x. E ls series de potecis suele icluirse el térmio correspodiete = Teorem de Cuchy-Hdmrd. Pr tod serie de potecis r / 0 r (rdio de covergeci) tl que: - Si x < r, l serie es bsolutmete covergete. - Si x > r, l serie o es covergete. Demostrció: Vimos e series umérics que l covergeci bsolut es equivlete l icodiciol, por lo que plicmos el criterio de l ríz -ésim x. - lím x = lím x = lím x = l x. Si l 0 y l, se cumple: ) Si x < 1 l = l x < 1 = x covergete = x covergete. b) Si x > 1 = l x > 1 = lím x l > 1 = 0 / x > 1 0 = x > 1 0, luego o se cumple l C. ecesri de covergeci. - Si l = 0 = l x < 1 x = r =. - Si l = = lím x < 1 sólo e x = 0 = r = 0. - Es decir, existe u r que cumple l codició del eucido. Si l = lím, el vlor de r result: ) ulo, si l = ; b), si l es ulo. c) r = 1 l si l 0, l. Nots. Es importte teer e cuet lo siguiete: 1. Pr x = r, el teorem o firm d, por lo que l serie puede ser covergete o o y hemos de estudir l serie uméric que result pr x = ±r.. Se dice que α R, o α, es u límite de oscilció de {α } si existe lgu subsucesió de {α } que tiee límite α (o, lo que es equivlete, si e todo etoro de α hy ifiitos elemetos de {α }). Esto puede ocurrir, por ejemplo, si α o tiee u expresió úic, sio que es distito pr térmios pres e impres. U sucesió de úmeros reles o tiee por qué teer límite, pero sí lgú límite de oscilció, fiito o ifiito (J. Burgos, p. 73). Si demás está cotd, sus límites de oscilció será fiitos (T. Bolzo-Weierstrss pr sucesioes). E uestro cso, si obteemos distitos vlores, tomremos pr l el myor de ellos: l = lím (lím. sup. de oscilció). 3. Otr form de clculr l es como lím y vle lo mismo. +1 ; pues, si existe lím +1, existe lím 4. A prtir de este teorem, result que el cmpo de covergeci C de ls series de potecis dopt siempre u de ests cutro forms: ( r, r), ( r, r], [ r, r), [ r, r]. Ejemplos propuestos (co solució). Clculr el cmpo de covergeci de: 1)!x ; (C = {0}). ) x! ; (C = R). 3) x+x + 3 x x ; ( C = ( 1, 1 )). Cálculo Ifiitesiml. ETSI Cmios. A Coruñ

5 3.3. Cotiuidd, derivció e itegrció. Se l S. de P. x, de rdio de covergeci r > 0, y se S(x) su sum. Se cumple: ) S(x) es cotiu e todo x ( r, r). b) S(x) es derivble e todo x ( r, r) siedo su derivd S (x) = x 1 c) S(x) es itegrble e [0, x], x ( r, r). Su itegrl es 0 S(t)dt = + 1 x+1 Es decir: - Ls series de potecis puede derivrse e itegrrse térmio térmio. - Al derivr o itegrr, el rdio de covergeci se mtiee (el cmpo o tiee por qué). Demostrció: ) Lo demostrmos e dos prtes..1) x coverge uiformemete e todo compcto [ ρ, ρ] ( r, r). E efecto, l ser 0 < ρ < r, l serie coverge bsolutmete pr x = ρ, es decir ρ es covergete (T. de Cuchy-Hdmrd). Etoces, x/ x < ρ, se cumple x ρ, por lo que x tiee como myorte u serie uméric de térmios positivos covergete. Luego, por el teorem de Weierstrss, es uiformemete covergete e [ ρ, ρ]..) Pr todo x ( r, r) podemos ecotrr u ρ / r < ρ < x < ρ < r (por ej., si x > 0, ρ = (x + r)/). Como cbmos de ver, l serie x coverge uiformemete e [ ρ, ρ]. Al ser ls fucioes x cotius x R, l sum S(x) será cotiu e todo x ( r, r) (pdo..5. Serie de fucioes cotius). Not: Al eucir los Teorems de Abel se verá que, si l serie coverge e x = r ó x = r, S(x) será cotiu tmbié e esos putos, o sólo e ( r, r). b) Se l serie de derivds x 1. Como = lím lím = lím vemos que su rdio de covergeci coicide co el de x, por lo que coverge uiformemete e los mismos itervlos. Como x coverge l meos e x = 0 y sus sumdos so fucioes derivbles, etoces l sum S(x) de x es derivble e ( r, r) y se cumple (pdo.7. Derivció de u serie de fucioes) S (x) = x 1 c) Se l serie de primitivs + 1 x+1. Como el rdio de covergeci de su serie derivd x es r, el suyo será tmbié r, como cbmos de ver. Como x coverge uiformemete e [0, x], x ( r, r), (pdo..1) y sus sumdos so fucioes itegrbles, etoces l fució sum S(x) es itegrble e [0, x], x ( r, r) y se cumple (pdo.6. Itegrció de u serie de fucioes) 0 S(t)dt = + 1 x+1 Cálculo Ifiitesiml. ETSI Cmios. A Coruñ

6 Cálculo Ifiitesiml Tem IV. Sucesioes y series fucioles Cuestió de utoevlució (10 miutos) Cuestió. El desrrollo e serie de l fució f(x) = l(1 + x) es ( 1) +1 x y su rdio de covergeci vle r = 1. Se pide, utilizdo el segudo Teorem de Abel, obteer l sum de l serie rmóic lterd Cálculo Ifiitesiml. ETSI Cmios. A Coruñ

7 Cálculo Ifiitesiml Tem IV. Sucesioes y series fucioles Solució de l cuestió (10 miutos) Cuestió. El desrrollo e serie de l fució f(x) = l(1 + x) es ( 1) +1 x y su rdio de covergeci vle r = 1. Se pide, utilizdo el segudo Teorem de Abel, obteer l sum de l serie rmóic lterd Solució. Segú el eucido, l serie dd tiee como sum l fució S(x) = l(1 + x), pr vlores de x < 1. E los extremos del itervlo de covergeci (x = ±1) puede coverger o o y hy que estudirlo e cd cso. Pr x = 1 l serie resultte es ( 1) +1 ( 1) = opuest de l rmóic, por lo tto divergete. ( 1) +1 = Pr x = +1, l serie se covierte e l serie rmóic lterd , que coverge segú el teorem de Leibitz y cuy sum hemos de clculr. El segudo teorem de Abel firm que si u serie de potecis x coverge pr x = x 0, su sum es u fució cotiu e [0, x 0 ]. Como coocemos el vlor de S(x) x ( 1, 1), podemos obteer el vlor de l sum de l serie e x = 1 como límite de S(x) cudo x 1. Así pues, ( 1) +1 como y sbímos por el tem III (Series Numérics). 1 = lím x 1 l(1 + x) = l(1 + 1) = l Cálculo Ifiitesiml. ETSI Cmios. A Coruñ

8 Cálculo Ifiitesiml Tem IV. Sucesioes y series fucioles Test de utoevlució (1 miutos) Not: Se mrcrá co V ls firmcioes que se cosidere corrects y co F ls cosiderds flss. U cierto putú +1, u fllo 1 y u respuest e blco E el espcio fuciol F b (I, R), hemos defiido l distci etre dos fucioes como el máximo de sus distcis puto puto..- Se f = x + x. Se cumple lím 1 + x f = x. 3.- L sucesió f (x) = cos x, x [ 0, π ] coverge uiformemete f(x) = { 1, x = 0 0, x Se f defiid e I. Si f (x) tiee como myorte e I u serie uméric de térmios positivos, covergete, f es uiformemete covergete e I. 5.- Se x / { (, impr =. Su cmpo de covergeci es 1 1, pr, 1 ). 6.- Se l serie de potecis x x x3 3 x4..., cuy sum vle l(1 x), x < 1. 4 Se cumple que l serie 1 x x x 3... tiee como sum (x 1) 1, x < U serie de potecis y sus series derivd y primitiv tiee el mismo cmpo de covergeci. 8.- Se x, covergete e C. Se f : R R / x = f(x) e C. Se dice etoces que x es u desrrollo e serie de f(x), x R. Not (sobre 8):. Cálculo Ifiitesiml. ETSI Cmios. A Coruñ

9 Cálculo Ifiitesiml Tem IV. Sucesioes y series fucioles Test de utoevlució (1 miutos) SOLUCIONES. 1.- F. Se h defiido como el supremo de sus distcis puto puto, el cul existe siempre, por trtrse de fucioes cotds (propiedd del supremo), mietrs que el máximo puede o existir. Ej. Si f(x) = 1, g(x) = 1 y I = [1, ), el cojuto de ls distcis puto puto x etre f y g o tiee máximo. El supremo vle 1 y se d cudo x..- V. Pr x 0 el límite vle x. Pr x = 0 vle 0, es decir x. 3.- F. Pues ls fucioes f so cotius y f o lo es (ver pdo 1.4 del progrm). 4.- V. Por el criterio de l myorte o teorem de Weierstrss. 5.- V. Los límites de oscilció so y 1, por lo que el límite superior de oscilció es y su rdio de covergeci ρ = 1. Pero l serie es divergete tto pr x = 1 como pr x = 1, por lo que el cmpo de covergeci o icluye los extremos del itervlo. 6.- V. L derivd de f(x) = l(1 x) es f (x) = 1 1 x = (x 1) 1, cuyo desrrollo será l derivd del desrrollo de f, es decir 1 x x x 3... Etoces se cumple que l sum de est serie es l fució (x 1) 1 (ver pdo Cotiuidd, derivció e itegrció de u serie de potecis). 7.- F. Tiee igul rdio de covergeci (pdo. 3.3). Por ejemplo, l serie de l cuestió terior tiee rdio r = 1 y C = [ 1, 1) (pues pr x = 1 result l rmóic lterd, cuy sum es S = l ). L serie derivd tiee el mismo rdio de covergeci, pero o coverge e x = F. x es u desrrollo e serie de f(x), x C, o e todo R. Cálculo Ifiitesiml. ETSI Cmios. A Coruñ