Tema IV. Sucesiones y Series

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1 03 Tem IV. Sucesioes y Series Σ Gil Sdro Gómez Stos 0/0/03 UASD

2 Tem IV. Sucesioes y Series Coteido Itroducció Sucesió Límite de u sucesió Tipos de sucesioes Series Serie covergete y serie divergete Serie Geométric Criterios de covergeci por el límite del térmio eésimo El Criterio de l Itegrl Series p y Series Armóics Criterios de comprció pr l covergeci de u serie Series Alterds o Altertes Covergeci bsolut y codiciol El Criterio del Cociete y el Criterio de l ríz Series de Potecis Series de Tylor y de Mcluri... Biogrfí... 3 Webgrfí... 3 Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez

3 Tem IV. Sucesioes y Series Itroducció El estudio de ls sucesioes y series so us herrmiets muy útiles y de gr uso e l mtemátic plicd, porque muchs fucioes que describe feómeos de l turlez, sí como modelos que describe lguos sistems viee represetdos medite sucesioes o series. Ls series se plic frecuetemete pr resolver itegrles que por los métodos covecioles so imposibles de resolver. Ls series de Tylor y Mcluri so utilizds pr el cálculo umérico e muchos csos de igeierí. Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 3

4 Tem IV. Sucesioes y Series 4. Sucesió Defiició de sucesió. Llmmos sucesió l fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros eteros positivos. Auque u sucesió es u fució, es comú represetr ls sucesioes empledo subídices e lugr de l otció hbitul de l fució. Por ejemplo, e l sucesió: 0,,, 3,...,,, 3, 4,..., Al 0 se le sig, l se le sig, y sí sucesivmete. Los úmeros,...,, 3, 4, so los térmios de l sucesió. El úmero es el termio -ésimo de l sucesió, y l sucesió complet se deot por { }. Ejemplo. Ecuetre los diez primeros térmios de ls siguietes sucesioes:. Los tér mi os de l sucesió { } 3 so : 4, 7, 0, 3, 6, 9,, 5, 9, 3,.... L sucesió de Fibocci { } que se defie como :,, pr,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, Límite de u sucesió Defiició. Se L u úmero rel. El límite de u sucesió { } como lim L Si ddo culquier úmero 0, N \ L pr N. es L, escrito Si el límite de u sucesió eiste, etoces l sucesió coverge L. Si el límite de u sucesió o eiste, etoces l sucesió diverge. Teorem 4.. Límite de u sucesió Si f ( ) pr cd etero positivo, lim f ( ) L lim L etoces Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 4

5 Tem IV. Sucesioes y Series Ls leyes de los límites de fucioes e u vrible rel tiee logís co los límites de sucesioes. Teorem 4.. Leyes de límites pr sucesioes Se los límites lim L y lim b K, etoces. lim( b ) L K. lim c cl, c 3. lim( b ) LK L 4. lim, b 0 y K 0 b K Teorem 4.3. Leyes de sustitucioes pr sucesioes Si lim A l fució f es cotiu e A lim f ( ) f ( A), etoces Teorem 4.4. Teorem del ecje o del empreddo pr sucesioes b c pr todo y Si lim L lim c etoces lim b L tmbié. Ejemplo. Determie el límite de l sucesió cuyo térmio -ésimo es 5 5 lim Aplicdo l regl de L Hôpitl: 0 lim lim 5 5 Teorem. L sucesió los demás vlores de r. lim r r es covergete si r 0 si r si r Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 5 y divergete pr todos

6 Tem IV. Sucesioes y Series Teorem 4.5. Si u sucesió coverge L, etoces culquier subsucesió de tmbié coverge L. 4.3 Tipos de sucesioes Sucesió oscilte Defiició. U sucesió etoces decimos que es oscilte. es divergete pero o diverge i, Ejemplo. U sucesió oscilte que tiee como térmio -ésimo ( ) Desrrolldo l epresió teemos que:,,,,,,... Sucesioes moótos cotds Sucesió decreciete. U sucesió es decreciete si 3... Sucesió creciete. U sucesió es creciete si U que sucesió moóto. Sucesió Acotd 3... que es creciete o decreciete recibe el ombre de Defiició. L sucesió es cotd si eiste u úmero M tl que M. Teorem 4.5 Teorem de l Sucesió Moóto Tod sucesió cotd y moóto es covergete. Not: Tod sucesió covergete es cotd. L recíproc o es ciert. Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 6

7 Tem IV. Sucesioes y Series 4.4 Series, Defiició de serie. L sum de los térmios de u sucesió ifiit obtiee u epresió de l form ~ () se deomi serie ifiit, o solo serie, y se deot co el símbolo o L serie Al sumr suficietes térmios de l serie es posible hcer que ls sums prciles se t cercs como se quier. Por eso es rzoble decir que l sum de est serie ifiit es igul y escribir Aplicdo u ide similr pr determir si u serie geerl () tiee o o tiee u sum. Cosideremos ls sums prciles s s 3 3 s s E geerl, s i i Ests sums prciles form u uev sucesió s, l cul puede teer o lim o u límite. Si eiste s s, se llm sum de l serie ifiit. 4.5 Serie covergete y serie divergete Defiició de serie covergete y divergete Dd u serie ifiit s , l -ésim sum prcil está dd por Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 7

8 Tem IV. Sucesioes y Series Si l sucesió de sums prciles coverge. El límite s se llm sum de l serie. s Si s diverge, etoces l serie diverge. s coverge s, etoces l serie Ejemplo. Determie si l serie coverge o diverge. Si coverge determie su sum. Quizás es coveiete escribir los primeros cico térmios de l serie. ( ) S Usdo l descomposició de frccioes : A B ( ) A( ) B A, B Luego teemos que :... ( ) Hciedo l sumtori : S Por lo t to, lims lim L serie es covergete y su sum es Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 8

9 Tem IV. Sucesioes y Series 4.6 Serie Geométric Defiició. Se dice que l serie es u serie geométric si cd térmio 0 después del primero es u múltiplo fijo imedito del terior. Esto es, eiste u úmero r, llmdo rzó de l serie, tl que r 0. Tod serie geométric se escribe de l siguiete form: 0 r r r r r Teorem 4.6. Sum de u serie geométric Si r, etoces l serie geométric coverge y su sum es r 0 r Si r y 0, etoces l serie geométric diverge. Ejemplo. Determie si l serie dd es covergete o o. E cso de serlo, hlle su sum prcil L serie dd es geométric : su primer tér mi o es 4 y su rzó es r 4 3 Como r, l serie es covergete L sum prcil es : 4 S 6 r Criterios de covergeci por el límite del térmio eésimo Teorem 4.7. Límite del térmio -ésimo de u serie pr l covergeci Si l serie es covergete, etoces lim 0 Not: El iverso del teorem terior o es cierto. Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 9

10 Tem IV. Sucesioes y Series Teorem 4.7. Prueb del térmio -ésimo pr l divergeci Si ocurre que lim 0 o bie que el límite o eiste, etoces l serie ifiit Ejemplo. Determie si l serie dd es covergete o divergete. Clculmos el límite de lim lim 0 : diverge. Pr teer u visió vmos escribir por lo meos los primeros cico térmios de l serie S Sumdo los tér mi os teemos que : S L sum prcil es igul : S lim S lim L serie es covergete y su sum prcil es - Ejemplo. Clcule el límite de l siguiete serie y dig si es divergete o o. l Clculmos el límite de : Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 0

11 Tem IV. Sucesioes y Series lim l l lim l l l Ddo que el límite de 0, l serie diverge. Teorem 4.8. Propieddes de series ifiits Si A, b B y c, etoces ls series siguietes coverge ls sums idicds.. c ca. b A B 4.7 El Criterio de l Itegrl Teorem 4.9. El criterio de l itegrl. Si f es positiv, cotiu y decreciete pr y f ( ), etoces y f ( ) d so covergetes o mbs so divergetes. Ejemplo. Verifique si l serie es covergete ( ) 3 Primero liz mos si l fució es positiv, cotiu y dec reciete pr. f 3, lizdo l fució e, os dmos cuet que f es positiv, cotiu y decreciete, por tto podemos plicr el criterio de l itegrl. d d ( ) () () b b 3 lim lim ( ) d lim 3 b 3 b b lim lim b (b ) ( ) b (b) (3) b Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez

12 Tem IV. Sucesioes y Series lim Como b (b ) 9 ( ) f coverge, etoces tmbié coverge. 4.8 Series p y Series Armóics Defiició. U serie de l form... p p p p p, es u serie tipo p, dode p es u costte 3 4 positiv. Pr p, l serie... es l serie rmóic. U 3 4 serie rmóic geerl es de l form. b Teorem 4.. Covergeci de u serie p L serie p,. Coverge si p.... p p p p p 3 4. Diverge si 0 p. 4.9 Criterios de comprció pr l covergeci de u serie Teorem 4.. Criterio de comprció direct Se 0< b pr todo.. Si b coverge, etoces coverge.. Si diverge, etoces b diverge. Ejemplo. Utilizdo el criterio de comprció direct, determie si l serie coverge. Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez

13 Tem IV. Sucesioes y Series Est serie se prece es u serie tipo p, dode p>, por tto es coverge. L comprció térmio térmio d Aplicdo el criterio de l comprció direct, l serie es covergete. Teorem 4.3. Criterio de l comprció del límite Si 0, b 0 y lim b L Dode L es fiito y positivo. Etoces ls dos series y b coverge o mbs diverge. Si L 0 y b coverge, etoces coverge. Ejemplo. Determie si l serie es covergete o divergete plicdo el criterio de comprció e el límite. 4 E el umerdor, el térmio domite es b lo que y e el deomidor lo es 4, por b es u serie tipo p, dode p=, esto idic que l serie es covergete. Ahor clculmos el límite 3 lim lim lim 4 3 b Como el límite es fiito y positivo y b coverge, etoces es covergete. 4.0 Series Alterds o Altertes Hst el mometo solo hemos lizdo series co térmios positivos. Eiste series co térmios positivos y egtivos. Ls series más secills de este tipo so ls series lterds, cuyos térmios lter e sigo. Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 3

14 Tem IV. Sucesioes y Series Defiició. U serie lterte es u serie ifiit de l form ( ) o de l form ( ), dode 0 pr todo. Teorem 4.4. Prueb de l serie lterd Si ls series lterds. 0 pr todo y. lim 0, etoces l series ifiits coverge. ( ) y ( ) stisfce ests dos codicioes: Teorem 4.5. Estimció del residuo de u serie lterd Si u serie lterd covergete stisfce l codic ió, etoces el vlor bsoluto del resto R N que se tiee l proimr l sum S co S N es meor o igul que el primer térmio desechdo. Es decir, S S R N N N Ejemplo. Determie si l serie es covergete, e cso de serlo proime l sum de l serie usdo los primeros seis térmios. ( ) 3 Primero plicmos el teorem del criterio de l serie lterd lim 0. ( ) lim 0 y Como podemos observr, l serie stisfce ls codicioes, por tto es covergete. Ahor psmos relizr l proimció medite los primeros seis térmios S L sum de los primeros seis térmios es Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 4

15 Tem IV. Sucesioes y Series S De cuerdo l teorem del residuo de l serie lterd: 3 S S6 R Así que, l sum de S está etre y , se cocluye que S Covergeci bsolut y codiciol Defiició. Se dic e que l serie l serie Coverj. coverge de form bsolut siempre que Teorem 4.6. Covergeci bsolut Si l serie coverge, etoces l serie tmbié coverge. Covergeci codiciol Defiició. U serie es codiciolmete covergete si coverge, pero diverge. Ejemplo. Alice si l serie dd coverge ( ) Desrrollmos l serie hst los primeros seis térmios ( ) Alicemos si coverge. Aplicdo el criterio de l serie lterd teemos: lim lim 0 ( ) Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 5

16 Tem IV. Sucesioes y Series y ( ) Ddo que es covergete, etoces es bsolutmete covergete. 4. El Criterio del Cociete y el Criterio de l ríz Teorem 4.7. Criterio del cociete Asummos que el límite u lim u L eiste o es ifiito. L serie de térmios distitos de cero:. Coverge bsolutmete si L.. Diverge si L. 3. Si L, l prueb de l rzó o es cocluyete. Ejemplo. Determie si l serie dd es covergete o divergete u u lim u L Clculmos el límite lim lim lim Aplicmos l regl de L Hôpitl: lim como L l serie es covergete Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 6

17 Tem IV. Sucesioes y Series Teorem 4.8. El criterio de l ríz Se u serie.. coverge bsolutmete si lim.. diverge si lim lim o. 3. El criterio de l ríz o es cocluyete si lim Ejemplo. Aplicdo el criterio de l ríz determie si l serie es covergete o divergete. 3 ( ). Procedemos clculr lim 3 3 lim lim 0 ( ) Como lim 0, etoces l serie es covergete. 4.3 Series de Potecis Defiició. Si es u vrible, etoces u serie ifiit de l form se llm serie de potecis. De form más geerl, u serie ifiit de l form 0 ( c) ( c) ( c) ( c)... ( c) se llm serie de potecis cetrd e c, dode c es u costte. Rdio e itervlo de covergeci U serie de potecis e puede verse como u fució de f ( ) ( c) 0 Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 7

18 Tem IV. Sucesioes y Series dode el domiio de f es el cojuto de tods ls pr l que l serie de potecis coverge. Dd ls forms e que ls potecis de está ivolucrds, l prueb del cociete es efectiv pr determir los vlores de pr los cules u serie de potecis coverge. Supogmos que el límite lim ~ ( ) eiste. Este es el límite que se ecesit si queremos utilizr l prueb de l rzó l serie de costtes. Pr plicr l prueb del cociete l serie de potecis, escribimos u y clculmos el límite Si 0, etoces etoces u vemos de l ecució (b) que lim lim ~ ( b) u coverge bsolutmete pr tod. Si, diverge pr tod 0. Si es u úmero rel positivo, coverge bsolutmete pr tod tl que, es decir, cudo R lim E este cso l prueb de l rzó tmbié implic que pero o es cocluyete cudo R Teorem 4.9. Covergeci de u serie de potecis Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 8 diverge si R Pr u serie de potecis cetrd e c, ectmete u de ls siguietes firmcioes es ciert.. L serie coverge solo e c.. Eiste u úmero rel R 0 tl que l serie coverge bsolutmete pr c R, y diverge pr c R. 3. L serie coverge pr todo. El úmero rel R es el rdio de covergeci de l serie de potecis. Si l serie solo coverge e c, el rdio de covergeci es R 0, y si l serie coverge pr todo, el rdio de covergeci es R. El cojuto de todos

19 Tem IV. Sucesioes y Series los vlores de pr los cules l serie de poteci s coverge es el itervlo de covergeci de l serie de potecis. Ejemplo. Determie el cojuto de covergeci de l serie de potecis dd. ( )! Aplicmos el criterio del cociete bsoluto ( )! u lim lim u ( )! ( )! ( )! ( )! lim lim lim! ( )! ( )! ( )! lim lim 0 0 Como 0 R. L serie coverge pr todo. 0 Opercioes co series de potecis Se f ( ) y g( ) b.. f ( k) N. f ( ) k 0 0 N 3. f ( ) g( ) ( b ) 0 Not: Ls opercioes descrits puede modificr el itervlo de covergeci de l serie resultte. Derivció e itegrció de series de potecis Teorem 4.0. Derivció e itegrció de series de potecis Si l fució dd por 3 s ( ) ( c) 0 ( c) ( c) 3( c)... 0 Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 9

20 Tem IV. Sucesioes y Series Tiee u rdio de covergeci R 0, etoces, e el itervlo ( c R, c R), S es derivble y por tto cotiu. L derivd y l itegrl de S so como sigue:, 3. s() ( c) ( c) ( c) 3 3( c) 4 3( c) t 3 4. s( t) dt 0 0 t dt El rdio de covergeci de l serie obteid por medio de derivció e itegrció de u serie de potecis es el mismo que el de l serie de potecis origil. Si embrgo, el itervlo de covergeci puede ser distito como resultdo del comportmieto e los putos termiles. Ejemplo. Determie el itervlo de covergeci de l serie de potecis siguiete: Aplicdo el criterio del cociete clculmos el límite de l serie. u y u u L lim u lim L lim Relizmos ls opercioes idicds y teemos que: lim es u costte, por tto lo scmos fctor comú y procedemos clculr el límite. lim El cálculo del límite os proporcio u form idetermid, pr sber el vlor del límite es ecesrio plicr l regl de L Hôpitl. Ahor rompemos l idetermició medite l regl de L Hôpitl: Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 0

21 lim L Como podemos observr, L, etoces el vlor del rdio es: R R. L L serie coverge si L, de hí que: Tem IV. Sucesioes y Series Resolvemos l desiguldd pr obteer el itervlo de covergeci de l serie de potecis. 3 Ahor es ecesrio lizr el comportmieto de l se rie e los etremos pr hllr el itervlo de covergeci defiitivo. Se, etoces l serie qued epresd por: L serie obteid tiee u comportmieto de serie rmóic, por tto diverge, o icluye el etremo iferior. Probmos co el etremo superior, cudo 3. 3 E este cso l serie resultte es u serie lterd y es covergete, esto implic que icluye el etremo superior. Pues bie, el itervlo de l serie es:, Series de Tylor y de Mcluri Defiició. Si u fució f tiee derivds de todos los órdees e, etoces l serie Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez

22 Tem IV. Sucesioes y Series 0 f c f c!! f () c ( c)! '' ( ) ( ) ( c) f ( c) f '( c)( c) ( c) se llm serie de Tylor pr ( ) f e c. Además, si c 0 recibe el ombre de serie de Mcluri pr f. Teorem 4.. Fórmul de Tylor co residuo Se f u fució cuy ( ) ésim derivd f ( ) u itervlo I que c otiee c. Etoces, pr c d I, ( ), etoces l serie eiste pr cd e f " c c f c c f f c f ' c c... R!! El residuo está ddo por l fórmul ( ) f ( ) R ( ) ( c) ( )! El puto es lgú vlor etre y c. Ejemplo. Determie l serie de l fució dd. f e L vrible está elevd l cudrdo, e este cso os coviee clculr l f serie usdo l fució e y luego sustituimos por Derivmos l fuc i ó y l evlumos ell y sus derivds e 0, que es el cetro de l serie. 0 f e f 0 e 0 f ' e f ' 0 e 0 f '' e f '' 0 e 0 f '" e f '" 0 e f e f 0 e f e f 0 e f e f 0 e L serie de Mcluri viee de u fució viee dd por: Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez.

23 Tem IV. Sucesioes y Series f f 0 0! e...! 3! 4! 5! 6! E l serie terior sustituimos por e ! 3! 4! 5! 6! Alizdo l serie terior, podemos cocluir que el térmio geerl de l serie es:. Biogrfí. Lrso, R., Hostetler, R. & Edwrds, B. (00). Cálculo Esecil. Méico: CENGAGE Lerig.. Purcell, E., Vrberg, D. & Rigdo, S. (007). Cálculo (9 edició). Méico: Perso. 3. Edwrds, C & Peey, D. (008). Cálculo co trscedetes temprs (7m edició). Méico: Perso. 4. Stewrt, J. (008). Cálculo de u vrible (6t edició). Méico: CENGAGE Lerig. 5. Thoms, G. (005). Cálculo u vrible (m edició). Méico: Perso. Webgrfí. - series.html series.pdf Preprdo por: Prof. Gil Sdro Gómez 3