Grado en Ingeniería Mecánica

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1 Tem Grdo e Igeierí Mecáic SERIES NUMÉRICAS Y SERIES DE POTENCIAS CONOCIMIENTOS PREVIOS Pr poder seguir decudmete este tem, se requiere que el lumo repse y pog l dí sus coocimietos e los siguietes coteidos: Desigulddes de úmeros reles. Coceptos geerles de fucioes: domiio, cots, crecimieto, Coocimieto de ls propieddes de ls fucioes elemetles: poliómics, rcioles, epoeciles, logrítmics, trigoométrics y del vlor bsoluto. Cálculo de límites de fucioes, idetermicioes y regl de L Hôpitl. Sucesioes umérics. Límite de u sucesió. Cálculo de límites de sucesioes. SUMAS INFINITAS Defiició Dd u sucesió ifiit de úmeros reles se deomi serie uméric l sum de sus ifiitos térmios, se deot: A l epresió se le llm térmio geerl de l serie. L sum prcil eésim de l serie es S... El resto eésimo de l serie es: R... k k Es fácil ver que: k S R k Depediedo del crácter de l sucesió de sums prciles se defiirá el crácter de l serie. Si l sucesió S es covergete, etoces se dirá que l serie lim S S, E este cso, S es l sum de l serie. divergete, etoces se dirá que l serie es divergete. oscilte, etoces se dirá que l serie es oscilte. es covergete. Además

2 T SERIES DE POTENCIAS Series otbles Series geométrics: r, siedo 0 el primer térmio de l serie y r l rzó Se cumple: 0 Si r l serie coverge y demás Si r l serie diverge. Si r l serie es oscilte. r 0 k r. E geerl r. r r k p 0 p Series rmóics geerlizds:. Se cumple: Si 0 p l serie diverge Si p l serie coverge. Codició ecesri de covergeci TEOREMA: Si es covergete etoces lim 0. IMPORTANTE.- Se trt de u codició ecesri pero o suficiete. L serie l codició ecesri de covergeci y, si embrgo, es divergete. cumple Series de térmios positivos: Criterios de covergeci Ls series de térmios positivos so ls series co 0 = pr todo. Criterio del cociete: Se cosider l serie Etoces Si L l serie lim L ó de térmios positivos cumpliedo lim es covergete Si L L l serie es divergete

3 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA Criterio de comprció. Se cosider ls series y Si b pr todo, y covergete. Si b pr todo, y divergete. b b es covergete, etoces de térmios positivos: tmbié es es divergete, etoces.. tmbié es Criterio de comprció por pso l límite. Se cosider ls series Etoces si lim b 0 mbs series tiee el mismo crácter y b. 5 Criterio itegrl Si f es u fució positiv, cotiu y decreciete pr y f etoces f d S f d siedo S.... Por lo tto, y f d tiee el mismo crácter., 6 Series lterds. Criterios de covergeci Ls series lterds so de u de ls forms siguietes: i)... 0 ii)... 0 TEOREMA DE LEIBNIZ: L serie lterd 0 l sucesió ( ) coverge si es moóto decreciete y se verific lim = 0.

4 T SERIES DE POTENCIAS SUMA APROXIMADA: Si l serie lterd ( ) ( 0) = > es covergete porque verific ls hipótesis del Teorem de Leibiz, el vlor bsoluto del resto eésimo se puede cotr fácilmete. E efecto, como R S S y l sucesió ( ) es moóto decreciete el vlor bsoluto del resto eésimo es: ( ) ( ) R = = es decir, R < + Obsérvese que este error será: por eceso si el primer térmio desprecido es egtivo por defecto si el primer térmio desprecido es positivo 7 Series de térmios culesquier. Criterios de covergeci U serie de térmios culesquier, vlores bsolutos es covergete, es decir, si es covergete. =, es bsolutmete covergete si l serie de sus TEOREMA: Si u serie es bsolutmete covergete etoces es covergete. = Si u serie es covergete pero o es bsolutmete covergete se deomi codiciolmete covergete. SERIES DE POTENCIAS 8 Defiició U epresió de l form 0 recibe el ombre de serie de potecis cetrd e el puto. U serie de potecis puede ser iterpretd como u fució de f 0

5 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 5 9 Rdio e itervlo de covergeci El domiio de l fució f coverge y el vlor de será el cojuto de vlores de dode l serie 0 f será precismete l sum de l serie. Not: Es evidete que tod serie de potecis coverge e el puto TEOREMA DE ABEL. Se cosider l serie ( ) firmcioes siguietes: = 0 ( ) ( ) f = = = 0 L serie coverge solo e el puto. o. Etoces se cumple u y solo u de ls Eiste u úmero R 0 de form que l serie coverge e R y o coverge e R. L serie coverge pr todo. IMPORTANTE: El teorem terior firm que l serie coverge siempre e u itervlo de l form R, R, cosiderdo que e el cso ) el vlor de R es cero y e el cso c) el vlor de R es ifiito. Al úmero R se le llm rdio de covergeci y l itervlo R, R itervlo de covergeci. OBSERVACIÓN: Coviee observr que el teorem o dice d sobre l covergeci e los etremos de dicho itervlo, pudiédose dr el cso de que l serie coverj e mbos etremos, e uo solo o e iguo. Pr determir l covergeci e los etremos se deberá lizr l covergeci de l serie uméric que resulte. 0 Opercioes co series de potecis Si f y g b e RR, 0 e RR, f k k ( ) 0 k e R R, 0 k k = k e ( k k R, R) = 0 f etoces siedo k > 0

6 6 T SERIES DE POTENCIAS Derivció e itegrció de u serie de potecis El siguiete resultdo permite desrrollr u fució e serie de potecis prtir del desrrollo coocido de l fució derivd o de su primitiv. TEOREMA. Si l fució f viee defiid por u serie de potecis rdio de covergeci R > 0 etoces 0 co f es cotiu e todo puto iterior l itervlo de covergeci. f es derivble e el itervlo de covergeci y su derivd f ' obteerse medite l derivció térmio térmio: f ' puede siedo el rdio de covergeci de l serie derivd tmbié R. f es itegrble e el itervlo de covergeci y, demás, se puede itegrr térmio térmio: el rdio de covergeci de est serie. f d d C siedo tmbié R, 0 0 Not: Cudo se obtiee el desrrollo e serie de u fució plicdo l propiedd de itegrció de otr serie de potecis coocid, el vlor de l costte de itegrció, C, se determi sustituyedo e l fució y e l serie itegrds. Serie de Tylor Ahor estudimos el problem de hllr el desrrollo e serie de potecis de u fució f lizdo qué codicioes debe cumplir potecis ( ) = 0 f pr que pued ecotrrse u serie de que coverj dich fució. Recordemos el Teorem de Tylor que permití epresr el vlor de u fució medite su poliomio de Tylor. FÓRMULA DE TAYLOR: Si l fució f es derivble veces e u itervlo, y escribimos f T f ; R ( k f ; R R siedo T f k! k0 el poliomio de Tylor de grdo de f e el puto y R lim R 0 etoces se cumple: k el resto del poliomio,

7 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 7 Cosiderdo l epresió de Lgrge del resto se tedrá que l fórmul de Tylor se puede escribir de l form co t u puto itermedio etre y. k ( k ( f f t f k0 k!! TEOREMA: Si l fució f es ifiitmete derivble e u itervlo I bierto cetrdo e y si R L serie es el resto de l fórmul de Tylor, etoces: 0 ( f f lim R 0! ( f se llm Serie de Tylor de l fució 0! prticulr e que 0 f. E el cso f., l serie se deomi Serie de McLuri de l fució PROPIEDAD: Puede probrse que si eiste u costte k 0 de form que ( ( f ( ) f ( ) k pr todo 0, I etoces f ( ) = ( ) = 0! Recogemos e l siguiete tbl los desrrollos e serie de Tylor de lgus fucioes elemetles sí como los vlores de pr los que dich serie coverge. Desrrollos e serie e...!!! 0 5 se...!! 5! 0 cos...!!! 0 log......

8 8 T SERIES DE POTENCIAS Desrrollos e serie k k k k k 0k 0! kk k... k! Not: El último desrrollo geerliz el Biomio de Newto culquier epoete rel y se cooce co el ombre serie biomil. Co frecueci, result difícil ecotrr l derivd eésim pr muchs fucioes, sí como probr que el resto eésimo tiede cero cudo tiede ifiito. E cosecueci, pr ecotrr el desrrollo de u fució e serie de potecis, es frecuete utilizr fucioes de ls que y se cooce su desrrollo y luego itegrr, derivr o relizr opercioes lgebrics. Ejercicios propuestos E cd uo de los csos siguietes os d l sum de los primeros térmios de u serie uméric. Estudir el crácter de l serie y determir, si es posible, l sum: ) S 5 b) S. Hllr tmbié el térmio y el térmio geerl. c) S. Hllr el térmio 0 Solució: ) Serie covergete, sum = 7 b) Serie covergete, sum = 5 ; ; 7 0 c) Serie covergete, sum =, 0 6 Estudir si cd serie uméric dd cumple l codició ecesri de covergeci y rzor, e cosecueci, cuál será su crácter, e los csos siguietes: ) 8 5 b) c) 0 ' 99 d) e) f) g) 5 h) 8 ( ) 5 e Solució: Ls series ), b), f) y h) o cumple l codició ecesri de covergeci, por tto so divergetes. Ls series covergetes so: c) geométric, r ; e) sum de dos series rmóics e covergetes ( p y p ); g) geométric, r = < ; 5

9 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 9 L serie divergete es l d), rmóic co p 0, 99 ; ) Aliz l covergeci de u serie cuyos térmios está e progresió geométric. b) Justific l covergeci y hll l sum de l serie siguiete: c) Se cosider el cojuto de úmeros reles, cuy represetció deciml es: 0.6, 0.66, 0.666, ,, 0.6 Solució: ) L serie es covergete si r y es divergete u oscilte si r. b) sum 5 c) 0.6. ) Desrrollr e serie de potecis de l fució f ( ) e, hlldo el térmio geerl medite l derivd eésim de l fució f, utilizdo l fórmul de McLuri. b) Obteer el cmpo de covergeci de l serie de potecis del prtdo terior. 0, Hllr el vlor proimdo de, utilizdo hst el térmio de grdo de l serie de potecis terior. c) Clculr u cot superior del vlor bsoluto del error cometido e l proimció relizd, justificdo previmete que l serie lterd utilizd verific ls codicioes del criterio de Leibiz. ) e 0! b) coverge ; c) d) 5 0' e 0, 68 ; Error 0,! 0, 006 e Utilizdo ls propieddes de ls series geométrics desrrollr e serie de potecis ls fucioes siguietes, e los putos que se idic. Obteer el cmpo de covergeci de l serie obteid, e cd cso: ) f ( ) 0 ; b) f ( ) 0 5 c) f d) f ( ) Solució: ) f ; 7 5, coverge b) f 0 coverge, 0 coverge, c) f d) f 6 ( ) 0, coverge 0 Utilizdo ls propieddes de derivció e itegrció de ls series de potecis, desrrollr e serie de potecis de ls fucioes siguietes y estudir el cmpo de covergeci de l serie e cd cso: ) f ( ) rc tg b) f c) f log Solució: coverge 0, ) f coverge 0 b) f, (,)

10 0 T SERIES NUMÉRICAS Y DE POTENCIAS c) f 7 pide: coverge, Dd l fució f loge se ) Desrrollr f e serie de potecis de. Estudir de form rzod el itervlo de covergeci de dicho desrrollo. b) Bsádoos e el prtdo terior, determir l sum de l serie uméric ( ). c) Clculr el vlor proimdo de l sum de l serie ( ) que se obtiee cudo se tom los 6 primeros térmios de dicho desrrollo. (El resultdo se drá e form de frcció simplificd l máimo). d) Determir el error cometido usdo, como vlor proimdo de l sum de l serie ( ), el úmero de térmios del prtdo terior. Solució:, e ) loge 0 coverge ee, b) ( ) log; 7 c) ( ) 0, 66 0 d) 7 Error 0,8 7 7 Test de utoevlució De u serie se sbe que l sucesió de sus sums prciles es 5 S e tl cso se puede segurr que: A) L serie coverge y su sum es. B) L serie diverge. C) 5 L serie coverge y. 6 D) Nigu de ls teriores Hllr l sum de ls siguietes series geométrics: ) ( ) b) c) 0 A) Ls series ) y c) diverge. L otr serie coverge, siedo l sum S B) Ls tres series so divergetes. C) L serie ) es o es covergete. L sum de b) y c) es: S 8 y S. D) Nigu de ls teriores Dds ls series ) b) c) 5 A) Coverge l b) y l c). B) Diverge l ) y l c). C) L ) coverge. D) Nigu de ls teriores 5 Estudir si cd serie uméric dd cumple l codició ecesri de covergeci y rzor, e cosecueci, cuál será su crácter, e los siguietes csos: ) log b) c) 5

11 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA A) L serie ) es covergete y ls series b) y c) so divergetes B) L serie c) puede ser covergete y ls series ) y b) so divergetes C) L serie b) puede ser covergete y ls series ) y c) so divergetes. D) Nigu de ls teriores El itervlo de covergeci de l ( ) serie es: 0 A) (,0 ) B) ( 5,) C) (, ) D) Nigu de ls teriores. El desrrollo e serie de potecis de l fució coseo hiperbólico, e C h A) B) 5 6 e!!, es C) 0! D) Nigu de ls teriores 7 Justificr cuál es l respuest verdder: El desrrollo e serie de potecis de f ( ) es: A), 0 B), 0 C), 0 D) Nigu de ls teriores Decir cuál de ls siguietes igulddes es verdder: A) B) C) ! ( )! ( ) ( ) 0 0 D) Nigu de ls teriores 9 Sbiedo que, 0,, se puede segurr que: A) log ( ),, B) log ( ),, 0 C) log ( ),, D) Nigu de ls teriores 0 Sbiedo que ( ) ( ) log, 0,, se puede firmr que: A) ( ) ( ), 0, B) ( ) ( ), 0, 0 C) ( ) ( ), 0, 0 D) Nigu de ls teriores Solucioes del Test: B C A A B D A A C B

12 T SERIES NUMÉRICAS Y DE POTENCIAS Ejercicios resueltos Comprobr l codició ecesri de covergeci e ls siguietes series: ) b) c) d) e) 5 f) b, b g) p, p h) i) b!, b j) se k) l) log Solució:., por tto l serie es divergete. b., porque, por tto l serie es divergete. c. d. 0, por tto l serie es divergete , se cumple l codició ecesri de covergeci por tto o se puede etrer igu coclusió co este criterio. e. 5 0, igul que e el cso terior. b f. 0, si b, por lo tto si b l serie es divergete. p g. 0, si p < 0, por lo tto si p 0 l serie es divergete. h. 0, porque, por tto se cumple l codició ecesri de covergeci y o se puede etrer igu coclusió co este criterio. b i. 0, pr todo b, por tto se cumple l codició ecesri de! covergeci y o se puede etrer igu coclusió co este criterio.

13 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA j. k. se 0, por tto se cumple l codició ecesri de covergeci y o se puede etrer igu coclusió co este criterio. 0 e 0, igul que e el cso terior. Dd l serie, se sbe que l sum prcil eésim viee dd por S Solució: Como se tedrá. Clculr el térmio geerl y l sum de l serie. S S S S. ( ) ( )( ) ( )( ) L sum se clcul plicdo l defiició, S lim S lim Determir el crácter de ls siguietes series y clculr el vlor de su sum cudo se posible. () 5 (b) 9 log (c) cos Solució: ) Se trt de u serie geométric cuy rzó se obtiee pltedo el cociete etre dos térmios cosecutivos de l serie, sí r Se trt de u serie geométric divergete, ddo que verific 6 6 r. 9 9

14 T SERIES NUMÉRICAS Y DE POTENCIAS b) L serie es divergete porque o cumple l codició ecesri de covergeci y ser de térmios positivos + lim = lim log = log ( ) 0 + c) E este cso tmpoco se cumple l codició ecesri de covergeci, luego, l ser de térmios positivos, tmbié diverge + + ( + ) lim = lim = lim = lim lim 0 = =± cos π ( ) ( ) ( ) Determir el crácter de ls siguietes series y estudir tmbié su covergeci bsolut: Solució: ) b) log L serie es u serie lterd covergete por el criterio de Leibitz: log lim lim 0 log es moóto decreciete: log log el logritmo es u fució creciete log log Estudimos hor l covergeci bsolut, es decir, l covergeci de l serie:. Como log log log se tiee que log log y, por el criterio de comprció es covergete. Luego l serie es bsolutmete covergete. (b) L serie es u serie lterd covergete por el criterio de Leibitz: lim lim 0 es moóto decreciete:

15 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 5 Estudimos hor l covergeci bsolut, es decir, l covergeci de l serie:. Como por el criterio de comprció es divergete. Luego l serie o coverge bsolutmete. / 5 () Aproimr l sum de l serie lterd cudo se cosider l sum prcil eésim y S estimr el error e l proimció. 0 (b) Cuátos térmios es ecesrio sumr pr grtizr que l sum prcil eésim de l serie Solució: proim l vlor rel de S co u error meor que 0 0. Como l serie lterd, es covergete por Leibiz, se tedrá que u cot de l proimció de S por S siedo 0 será S 0 S 0 S S 0 Clculdo este vlor co el ordedor l cot del error es proimdo S y el vlor Pr relizr estos cálculos co Mtlb se puede escribir ls siguietes istruccioes: >>=:0; >>S0=sum((-).^(+)./(.^)) >>cot=/^ 0 b) Si se quiere grtizr que el error de l proimció se meor que 0 bst elegir el úmero de térmios que cumpl Y que e ese cso se tedrí: 0 0. S S 0 0

16 6 T SERIES NUMÉRICAS Y DE POTENCIAS Teiedo e cuet que bst cosiderr u úmero de térmios verificdo 6 pr coseguir que el error se meor que Determir el desrrollo e serie de potecis de ls siguietes fucioes e los putos que se idic señldo su cmpo de covergeci: f ) c) f b) d) f f rctg, 0 e) f 0 f) f 0 Solució: ) g) f log 0 h) ( ) + f = = 0 ( ) 8 0 Descompoemos e frccioes simples A B B 5 5 A B A 5 ddo vlores, Por tto, pr : 6A A pr : 9 B B 5 5 Desrrollmos cd u de ls frccioes ( )... 0 Serie geométric de rzó ; coverge si y solo si

17 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 7,. /... / 0 Serie geométric de rzó ; coverge si y solo si, El desrrollo completo será 0, f que coverge e el itervlo itersecció de los dos, es decir (,). b) f 0 c) Itegrmos l fució Desrrollmos, resultdo g e serie de potecis de y tedremos g d C. g C... C C es u serie geométric de rzó, que coverge si y sólo si, 0 Pr obteer el desrrollo e serie de g( ) y obteemos 0. f derivmos térmio térmio el desrrollo de ' f g 0 Al derivr desprece el primer sumdo porque es l derivd de u costte, e cosecueci comezmos sumr e =; después hemos vuelto epresr el sumtorio comezdo e =0. L serie obteid pr covergeci e los etremos: f coverge como míimo, f Pr 0. Estudimos l : ; l serie o cumple l codició ecesri de covergeci porque o eiste el límite lim

18 8 T SERIES NUMÉRICAS Y DE POTENCIAS f Pr : 0 ; l serie diverge. E coclusió, result f,, 0 d) Hllmos l derivd eésim e el puto = f f ; ' ; ' '' ; '' f f f f f ''' ; f '' ( ( f! ; f! El desrrollo e serie de Tylor será ( f f! 0 0 Clculmos el itervlo de covergeci plicdo el criterio del cociete l serie e vlor bsoluto, sí lim lim que coverge si 0,. Ahor estudimos l covergeci e los etremos del itervlo Pr 0: ; l serie o cumple l codició ecesri de covergeci, es divergete. Pr : ; l serie es oscilte. 0 E coclusió, result f, 0, ) f. 0 Descompoemos e frccioes simples A B AB AB

19 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 9 pr : A pr 0: A B B Pr obteer el desrrollo de podemos itegrr l fució d = + C = + C = C = + C ( + ) + ( ) derivdo obteemos el desrrollo buscdo ( ) = ( ) ( ) ( ) = = + + ( + ) = = 0 El desrrollo de ( ) si y sólo si, (...) ( ) = = = ( ), que coverge +. E coclusió, result f,, f) 0 f... 0 se trt de u serie geométric de rzó resultdo = 0 6, que coverge si y sólo si,, f 0 g) Desrrollmos l fució que se obtiee l derivr f log secill f '... 0 = 0, y que es más Es u serie geométric de rzó, que coverge si y sólo si... Pr obteer el desrrollo de tedremos f itegrmos térmio térmio el desrrollo de 0 0 f d C f ' y

20 0 T SERIES NUMÉRICAS Y DE POTENCIAS Hcemos 0 pr obteer el vlor de l costte de itegrció, sí 0 0 f 0 log 0 log 0 C C 0, Luego quedrá el desrrollo f 0, que coverge l meos pr. Estudimos hor l covergeci e los etremos del itervlo Pr : f log0 ; l serie diverge. Pr : f log 0 ; l serie es lterd, resultdo covergete porque verific el teorem de Leibiz, pues cumple ls dos hipótesis: L sucesió es moóto decreciete < < + > + > + ( + ) ( + ) Además se cumple lim lim 0 E coclusió, el desrrollo e serie quedrá h) 0 0 f log,, f 7 Se cosider l serie de úmeros reles () Estudir pr qué vlores de es covergete dich serie (b) Clculr su sum pr =. Solució. Se pide: Como es u úmero rel estudimos e primer lugr l covergeci bsolut, es decir l covergeci de l serie de los vlores bsolutos Aplicdo est últim serie el criterio del cociete:

21 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA lim + ( + )( + ) ( + ) ( + ) ( + )( + ) = lim = Si < L serie Si > L serie Si =, L serie coverge. diverge. es covergete por el criterio de comprció por pso l límite si más que comprrl co. Si =-, L serie es covergete por el criterio de Leibiz (l sucesió es moóto decreciete y tiede cero). Clculmos l sum pr =, es decir, el vlor de el térmio geerl de l serie e frccioes simples: L sum prcil eésim es:, pr ello descompoemos A B co A, B S Clculdo su límite lim se tiee

22 T SERIES NUMÉRICAS Y DE POTENCIAS 8 Se l serie ( ). Se pide:. Probr que es covergete. b. Clculr S y determir el error que se comete l proimr l sum de l serie utilizdo est sum prcil. Es S myor o meor que l sum ect?. c. Clculr el vlor de ecesrio pr proimr l sum de l serie por S co error meor que Solució: () Se trt de u serie lterd, comprobmos su covergeci utilizdo el teorem de Leibiz: El térmio geerl de l serie de vlores bsolutos tiede 0, lim 0 L sucesió de vlores bsolutos es moóto decreciete, ( ) ( ) 0 L últim desiguldd es ciert pr todo turl. Por lo tto, l serie lterd covergete porque verific el teorem de Leibiz. S El error es meor o igul que el primer térmio desprecido: error error Como el primer térmio desprecido se rest, el resto de l serie es egtivo por lo que S es myor que l sum ect ( S S ). Como error, tomdo < 0.00 se tedrá error Por tto sólo hy que resolver l desiguldd () Desrrollr l fució f( ) e e serie de potecis de, obteiedo el térmio geerl de l serie medite l derivd eésim de f ( ), plicdo l fórmul de McLuri. (b) Obteer el cmpo de covergeci de l serie de potecis del prtdo terior. (c) Hllr el úmero de térmios de l serie que debemos sumr pr obteer el vlor proimdo de co dos cifrs decimles ects, es decir que el error cometido e l e proimció se iferior

23 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA Solució: () Sbemos que el desrrollo es e = =!! = L fórmul de McLuri es ( f (0)!. Clculmos l derivd eésim de l fució: y e y e e y e e y e e y e e (, ( ), ( ), ( ),, ( ) Por lo tto, Y, sustituyedo e l fórmul de McLuri ( y (0)! ( )! A este mismo resultdo se hubier llegdo multiplicdo por el desrrollo coocido de e : e!! 0 0 (b) Pr obteer el itervlo de covergeci se plic el criterio del cociete:! ( )! lim L lim lim 0! ( )! Por lo tto el rdio de covergeci es ifiito, es decir l serie coverge pr todo rel. (c) Obteemos e primer lugr el puto dode se hce l proimció e e Sustituyedo este vlor e l serie se obtiee l serie uméric, Que es u serie lterd, por tto, ( ) ( )! 5 error <! ! 00 + Y est desiguldd se verfic pr. Tomdo se obtiee 9 co error meor que e

24 T SERIES NUMÉRICAS Y DE POTENCIAS 0 Desrrollr e serie de potecis de de covergeci. ls siguietes fucioes, idicdo su cmpo ) f ( ) se cos b) f ( ) cos c) f ( ) se Solució: Solució: Ests tres fucioes se desrroll prtir de los desrrollos del se y del cos : + ( ) ( ) se =, y cos =, (+ )! ( )! = 0 = 0 ) f ( ) se cos se cos ( ) ( )! ( )! ( )! ( )! ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! ( )! ( )! ( )! ( ), ( )! b) f ( ) cos ( ) ( ) cos, 0 ( )! ( )! 0 0 c) f ( ) se se cos cos ( ) 0 ( )! ( ), ( )! i Demostrr, utilizdo series de potecis, l fórmul de Euler: e cos ise Solució: Sbemos que, i i e, e,!! 0 0

25 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 5 Por lo tto, + ( ) ( ) se =, y cos =, (+ )! ( )! = 0 = 0 ( ) ( ) cos ise i ( )! ( )! () i i i i ( ) ( ) ( ) i ( ) i ( )! ( )! ( )! ( )! () () i e ( )! ( )! ( )! ( )!! i Not: () i ( ) i () ( ) i ) Desrrollr l fució f ( ) rc tg e serie de potecis de, utilizdo l propiedd de derivció de ls series de potecis y ls propieddes de ls series geométrics. b) Obteer el cmpo de covergeci de l serie de potecis del prtdo terior, estudido l covergeci e los etremos del itervlo. c) Hllr el vlor proimdo de rc tg tomdo como sum de l serie los dos primeros térmios del desrrollo obteido e el prtdo ). Cuál es el error cometido e l proimció? d) Aplicció: Hllr l sum de l serie uméric Solució e serie de potecis terior. ) Derivdo l fució f obteemos 0 f '( ), utilizdo el desrrollo Est fució es l sum de u serie geométric cuyo primer térmio es y l rzó es r =. Se puede epresr sí f '( ) r Est serie coverge r,

26 6 T SERIES NUMÉRICAS Y DE POTENCIAS Itegrmos est serie pr obteer l serie que represet f, sí: f f '( ) d d d 0 0 f ( ) rc tg d C 0 0 Pr hllr el vlor de l costte C sigmos el vlor 0 e l iguldd terior, 0 f(0) rc tg 0 C 0 C 0 0 Luego l serie buscd será rc tg b) L serie terior coverge f 0,, por ls propieddes de ls series derivds. Estudimos l covergeci e los etremos del itervlo. Pr, teemos l serie uméric, Est serie lterd coverge porque verific ls dos hipótesis del criterio de Leibiz ) lim 0 ) 0, luego l sucesió es moóto decreciete. Pr, teemos l serie uméric, Est serie lterd coverge porque se trt de l serie opuest l estudid e el cso terior, luego tmbié verific el criterio de Leibiz. E coclusió, l serie de potecis coverge f,.

27 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 7 c) rc tg rc tg, pr,. Sustituyedo e l serie rc tg f Vmos demostrr que l serie lterd utilizd pr hcer l proimció terior verific ls hipótesis del criterio de Leibiz, ) lim 0 ) 5 0 El error cometido, por trtrse de u serie lterd que verific el criterio de Leibiz será Error d) L serie uméric potecis el vlor 0 se obtiee sustituyedo e l terior serie de, pr el cul l serie coverge 0 0 f. E cosecueci, f rc tg