Progresiones. Antes de empezar. Para empezar, te propongo un juego sencillo, se trata de averiguar la ficha de dominó que falta en cada caso.

Transcripción

1 Progresioes Ates de empezr? Pr empezr, te propogo u juego secillo, se trt de verigur l fich de domió que flt e cd cso. MATEMÁTICAS 3º ESO 73

2 Progresioes. Sucesioes Defiició. U sucesió es u cojuto ordedo de úmeros reles:,, 3, 4, 5, 6,... Cd elemeto de l sucesió se llm térmio de l sucesió. Pr desigrlos se emple subídices. Los térmios de ls sucesioes se puede determir prtir de cierto criterio, este criterio se deomi regl de formció. Térmio geerl El térmio geerl de u sucesió es el que ocup u lugr culquier,, de l mism, se escribe Hy sucesioes cuyo térmio geerl es u expresió lgebric, que os permite sber culquier térmio de l sucesió sbiedo el lugr que ocup,. E otrs, cd térmio se obtiee prtir de los teriores, se dice que está dds e form recurrete. U relció de recurreci es u expresió lgebric, que expres el térmio e fució de los teriores. 4, 7, 0, 3, Primer térmio: 4 Segudo térmio: 7 Tercer térmio: 3 0 Curto térmio: 4 3 Cd térmio se obtiee del terior sumádole , 8,, 6, Cd térmio se obtiee multiplicdo el lugr que ocup por EJERCICIOS resueltos. El primer térmio de u sucesió es 4, escribe los cutro primeros térmios de ell si: Cd térmio es igul l terior más el lugr que ocup : Escribe l regl de formció de l siguiete sucesió: 3, 8, 3, 8,... Cd térmio es igul l terior más 5 3. Escribe los cico primeros térmios de l sucesió formd por los cudrdos de los úmeros turles Clcul los 4 primeros térmios de l sucesió de térmio geerl: Escribe los 5 primeros térmios de u sucesió cuy regl de formció es: Cd térmio es l sum de los dos teriores 3 y Escribe el térmio geerl de ests sucesioes: ), 3, 4,5, 6,... + b), 4, 8,6, 3, MATEMÁTICAS 3º ESO

3 Progresioes. Progresioes Aritmétics, 5, 8, 0,... d > 0 Creciete 7, 5, 3,,... d < 0 Decreciete Pr obteer l difereci bst restr dos térmios cosecutivos. Defiició U progresió ritmétic es u sucesió e que cd térmio (meos el primero) se obtiee sumdo l terior u ctidd fij d, llmd difereci de l progresió. Si d>0 los úmeros cd vez so myores, se dice que l progresió es creciete. Si d<0 los úmeros cd vez so meores, se dice que l progresió es decreciete 3, 5, 7, 9,, 3 d 3 + (-) Así por ejemplo: Térmio geerl E u progresió ritmétic cd térmio es igul l terior más l difereci. Observ: + d 3 + d + d d + d + d + 3 d d + 3 d + d + 4 d y siguiedo sí sucesivmete, se lleg : + (-) d El térmio geerl de u progresió ritmétic es: + (-) d dode es el primer térmio y d l difereci., 4, 6, 8, 0, S 6 4 Sum de térmios E u progresió ritmétic fiit de térmios, l sum de térmios equidisttes de los extremos es igul l sum de ellos: A prtir de est propiedd se obtiee que l sum S de los primeros térmios de u progresió ritmétic es: + S MATEMÁTICAS 3º ESO 75

4 Progresioes EJERCICIOS resueltos 7. Determi l difereci de ls siguietes progresioes ritmétics: d ), 4,7,0,3... d d b) 8, 6, 4,, 0,... d d c),6,0,4,8,... d Escribe el térmio geerl de ls siguietes progresioes ritmétics: ) 4, 6, 8,0,... + ( )d 4 + ( ) + b) 3,, 5, 9,... + ( )d 3 + ( ) ( 4) c) 5, 8,,4,... + ( )d 5 + ( ) Clculr l sum de los 0 primeros térmios de l progresió ritmétic:, 4, 6, 8,0,... + (0 )d S Clculr l sum de los 0 primeros térmios de l progresió ritmétic: 3, 7,,5,9,... + (0 )d S El primer térmio de u progresió ritmétic de difereci 5 es 4 y el último térmio es 499.Hll l sum de todos ellos. 4 d 5 4,9,4,9,... Hy que clculr e l úmero de tér mi os + ( )d ( ) S MATEMÁTICAS 3º ESO

5 Progresioes 3. Progresioes Geométrics 3, 6,, 4, 48, rzo r Defiició U progresió geométric es u sucesió e que cd térmio (meos el primero) se obtiee multiplicdo el terior por u ctidd fij r, llmd rzó de l progresió. L rzó se obtiee l hcer el cociete etre dos térmios cosecutivos: r 3, 3, 9, 7, 8, r3 3 - Térmio Geerl E u progresió geométric cd térmio es igul l terior por l rzó. Observ: r 3 r r 4 3 r r r 3 y siguiedo sí sucesivmete, se lleg : El térmio geerl de u progresió geométric cuyo primer térmio es y l rzó es r es r,, 4, 8,6, 3 r ; 6 r 3 63 r S 63 6 (r ) ( ) 63 S 63 r 6,8, 4,,,...; r S r Sum de térmios L sum de los primeros térmios de u progresió geométric de rzó r es: S r r ó bie Sum de todos los térmios S (r ) r L sum de los ifiitos térmios de u progresió geométric de rzó r, es: S r,, 4, 8, 6, ( 3) P Producto de térmios E u progresió geométric el producto de los térmios equidisttes de los extremos es igul l producto de ellos: A prtir de est propiedd se obtiee que el producto de los primeros térmios de u progresió geométric es: P ( ) MATEMÁTICAS 3º ESO 77

6 Progresioes EJERCICIOS resueltos. Determi l rzó de ls siguietes progresioes geométrics: ),, 4,8, r r 8 4 b) 8, 7, 9, 3,, r r Escribe el térmio geerl de ls siguietes progresioes geométrics: ) 4,,36,08,... r 4 3 b) 8,6, 3, 64,... r Clcul l sum de los 0 primeros térmios de l progresió geométric:,, 4, 8,6,... (r ) r 9 ( ) 04 r S Clcul l sum de los térmios de u progresió geométric fiit de primer térmio, rzó 3 y último térmio 43: r ; 43 ; r 3 S 364 r 3 6. Clcul l sum de todos los térmios de l progresió geométric: 8, 4,,, r 8 ; r S 6 7. Clcul el producto de los 8 primeros térmios de l progresió geométric:,,,,, ; r ; P ( ) MATEMÁTICAS 3º ESO

7 Iterpolr 4 medios difereciles etre 4 y 44. 4, x, x, x 3, x 4, 44 Progresió ritmétic 444+(6-) d 405d d8 4,, 0, 8, 36, 44 Iterpolr medios geométricos etre 3 y 4. 3, x, x, 44 Progresió geométric 43 r 3 8r 3 r 3, 6,, 4 4. Apliccioes Iterpolció Progresioes Iterpolr sigific colocr otros úmeros etre dos ddos. Ddos dos úmeros y b, Iterpolr medios difereciles etre y b es ecotrr x, x,, x úmeros de form que, x, x,, x, b forme u progresió ritmétic. Iterpolr medios difereciles etre y b es ecotrr x, x,,, x úmeros de form que, x, x,, x, b forme u progresió geométric. E cuáto se covierte 000 l 4% ul durte 5 ños? t r C C + f C 000 6, 65 f + 00 EJEMPLO Ecuetr l frcció geertriz de 0, ) EJEMPLO U perso d limos durte 7 dís, el primer dí dio 0 y el último 6, cuáto h ddo e totl?. 5 Iterés Compuesto Si l ivertir u cpitl durte u periodo de tiempo, t, u rédito, r%, o se retir los itereses l filizr el periodo de iversió sio que se ñde l cpitl decimos que es u iterés compuesto. El cpitl fil C f obteido l ivertir u Cpitl C, l rédito r %, durte t ños, iterés compuesto viee ddo por l fórmul: + r C f C 0 00 Resolució de problems t Si el tiempo viee ddo e meses o dís, bst sustituir r por el rédito mesul o dirio y t por el º de meses o dís. Observ lguos ejemplos de problems resueltos co progresioes. SOLUCIÓN ) 0, 0, + 0,0 + 0, Es l sum de los ifiitos térmios de u progresió geométric de primer térmio 0, y rzó 0,. 0, 0, S 0, 0,9 9 SOLUCIÓN Ls ctiddes dds 0,,,., 6 form u progresió ritmétic de primer térmio 0 y difereci. El totl es l sum de los 7 térmios: S MATEMÁTICAS 3º ESO 79

8 Progresioes EJERCICIOS resueltos 8. Iterpol 3 medios ritméticos etre 4 y 9 5, x, x, x, (5 ) d 4 4d d 6 x x x Iterpol 4 medios geométricos etre y 43:, x, x, x, x, r 43 r r 3 x 3 6 x x x Clculr el cpitl obteido ivirtiedo 000 l 3 % de iterés compuesto ul durte 5 ños. t 5 r 3 Cf C , U árbol de rápido crecimieto multiplic su ltur por cd ño.si l comezr el ño medí 0 75 m, qué ltur tedrá detro de 8 ños? 0 '75 ; 0 '75 ' ; 0 '75 '... 0 '75 ' 3' m Lzmos u pelot lo lrgo de u psillo. E cd bote que d vz u distci igul l mitd de l distci terior. Si l octvo bote ce e u foso de tierr y se pr qué distci hbrá recorrido si tes del primer bote h recorrido m? ; ; 3 ; 4,...; L distci que h recorrido es l sum de tods 8 ( ) ( 55 ) (r ) S 3'98m r MATEMÁTICAS 3º ESO

9 Progresioes Pr prcticr. Complet ls sucesioes co los térmios que flt: ) 3, 7,,5,,,... b) 3, 6,, 4,,,... c) 3,6, 8, 4,,,... d) 5,0,7, 6,,, Averigu l ley de recurreci de cd u de ls sucesioes: ) 3, 7,0,7, 7,... b) 3, 6,, 4, 48,... c) 3, 7,,5,9,... d) 9, 3, 6, 3, 9,.... Clcul los 4 primeros térmios de l sucesió de térmio geerl: ) + 5 b) + c) + 6. Clcul el térmio geerl de ls siguietes progresioes ritmétics. ) 4, 7,0,3,6,... b), 3, 5, 7, 9,... c) 7,,5,9, 3,... d) 5 d) 3, 4, 5, 6, 7, Clcul el térmio geerl de ls sucesioes: ),, 3, 4, 5,... b), 4, 9,6, 5,...,,,,,... c) d) ,,,, Clcul el térmio geerl de ls siguietes progresioes geométrics. ) 4, 8,6, 3, 64,... b), 3, 9, 7, 8,... c) 6, 8, 4,,, d),,,, Hll el térmio 00 de l sucesió de térmio geerl: ) 3 + b) + 8. Clcul l difereci de u progresió ritmétic si se cooce: ) 0 30 y 6 b) y 0 45 ( ) c) + MATEMÁTICAS 3º ESO 8

10 Progresioes 9. Clcul l rzó de u progresió geométric si se cooce ) 9 80 y 8 6 b) 0 40 y Clcul el primer térmio de u progresió ritmétic si se cooce: ) 0 34 y d 7 b) 3 3 y d 3. Clcul el primer térmio de u progresió geométric si se cooce: ) 7 30 y r b) 6 95 y r 3. Clcul el úmero de térmios de u progresió ritmétic fiit si el primero es 00 el último 40 y l difereci es Clcul l sum de los primeros 0 térmios de l progresió:, 4, 7,7, 0, Clcul l sum de los múltiplos de 3 meores de 000 y myores que Clcul l sum de los primeros 8 térmios de l progresió:,, 4, 8,6, Clcul el producto de los primeros 8 térmios de l progresió:,,,,, Clcul l sum de los ifiitos térmios de l progresió: 6, 8, 4,,, Clcul el producto de los primeros 0 térmios de l progresió 6, 8, 4,,, Depositmos 6000 l 5 % de iterés compuesto ul. Cuáto diero tedré después de 3 ños? 0. Determi el cpitl que co u iterés compuesto del 5% ul, produce 00 e 4 ños.. Hll el cpitl obteido ivirtiedo 00 l 3 % de iterés compuesto ul durte 4 ños?. Iterpol 6 térmios etre y 0 pr que forme u progresió ritmétic. 3. Iterpol 3 térmios etre y 6 pr que forme u progresió geométric 4. E u exme l primer pregut vlí dos putos y cd u de ls siguietes vlí tres putos más que l terior. Si e totl hy 50 preguts, cuátos putos vle el exme? 5. El úmero iicil de moscs de u poblció es de 50 y cd tres dís el úmero de moscs se duplic, cuáts moscs hbrá los 30 dís? 6. Escribe l frcció geertriz de ' ),utilizdo l sum de u progresió. 7. E u progresió geométric el térmio sexto vle 64 y el curto es 6. Hll el térmio geerl. 8. Los águlos de u triágulo está e progresió ritmétic, si el más pequeño mide 40º cuál es l medid de los otros dos? 8 MATEMÁTICAS 3º ESO

11 Progresioes Pr sber más L sucesió de Fibocci U de ls sucesioes más coocids es l sucesió de Fibocci.,,, 3,5, 8,3,, 34,... L sucesió es l solució l problem que se plte e su obr Liber bci U prej de coejos trd u mes e lczr l edd fértil. Cd vez egedr u prej de coejos que, su vez, trs ser fértiles egedr cd mes u prej de coejos. Cuáts prejs hbrá después de u úmero determido de meses? Fórmul de recurreci: Térmio Geerl: Leordo de Pis (Fibocci) Espirl de Fibocci Número de oro: Si dividimos cd úmero por el terior l sucesió de cocietes se cerc l úmero de oro: φ + 5 MATEMÁTICAS 3º ESO 83

12 Progresioes Recuerd lo más importte Sucesió: Es u cojuto de ifiitos úmeros ddos de form orded. Térmio de u Sucesió: Es u cojuto de ifiitos úmeros ddos de form orded. Progresió Geométric Es quell sucesió e que cd térmio es igul l terior multiplicdo por u ctidd costte llmd rzó de l progresió. Térmio geerl r Sucesió decreciete: Es quell e que cd térmio es meor que el terior. Sucesió creciete: Es quell e que cd térmio es myor que el terior. Sum de térmios S (r ) r r S r Sum de los ifiitos térmios S < r < r Progresió Aritmétic Es quell sucesió e que cd térmio es igul l terior más u ctidd costte llmd difereci de l progresió. Térmio geerl + ( )d Térmios equidisttes de los... extremos P Producto de témios ( ) Térmios equidisttes de los extremos Sum de témios S + Iterpolció Ddos úmeros y b, iterpolr medios (difereciles ó geométricos) etre y b es ecotrr x,x,..., x úmeros de form que,x,x,..., x,b forme u progresió (ritmétic ó geométric) Iterés Compuesto El cpitl fil C f obteido l ivertir u Cpitl C, l rédito r %, durte t ños, iterés compuesto viee ddo por l t r fórmul: Cf C MATEMÁTICAS 3º ESO

13 Progresioes Autoevlució. Escribe el térmio 95 de l sucesió: 0,,, 3, Escribe el térmio geerl de l sucesió: 4, 7, 0, 3, Escribe el térmio geerl de l sucesió:,, 4, 8, Escribe el térmio 6 de l sucesió:, 4,6, 64, Hll l sum de todos los térmios de l progresió: 8, 4,,, Hll l sum de los 00 primeros térmios de l progresió:, 4, 7,0, Hll el producto de los 8 primeros térmios de l progresió: 4096,5, 64, 8, Cuáto diero me devolverá el bco si hgo u imposició de 3000 plzo fijo durte 5 ños l 3% de iterés compuesto ul. 9. Clcul l sum de todos los múltiplos de 3 de tres cifrs. 0. El pdre de Ju decide gurdr u euro el dí que Ju cumple u ño. Irá duplicdo l ctidd e todos los cumpleños de su hijo. Cuáto diero hbrá horrdo el dí que cumpl 3 ños? MATEMÁTICAS 3º ESO 85

14 Progresioes Solucioes de los ejercicios pr prcticr. ) 9 y 3 b) 48 y 96 c) y d) 37 y 50. ) 6, 7, 8, 9,... b),, 4, 8, c), 4, 5, 6,... d) 5,0,5,0, ) b) + c) d) + 4. ) b) 0 99 c) 0 5. ) + b) c) + 4 d) ) 3 + b) c) d) + 7. ) + b) 3 5 c) d) 8. ) 4 b) 5 9. ) 5 b) 0. ) -99 b) ) 5 b) / ,,,,, ,, / y80 Solucioes AUTOEVALUACIÓN. 04/ No olvides evir ls ctividdes l tutor MATEMÁTICAS B 86