EJERCICIOS DE APLICACIÓN

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1 EJERCICIOS DE APLICACIÓN Uidd. Añde tres térmios cd serie. ; ; ; 9; 6;... b. 7; 7,7;,7;,7;... c. ; ; 0; ; 6;... d. 0; ; 6; ; 0;... e. ; ; ; ;... f. ; 6 ; ; ; ; ;.... Escribe térmios más de l sucesió. ; ; ;... b. Cuál es su térmio 0?. Escribe el térmio 00 de l sucesió, ; ; ; ; ; ; ; ; ;.... Escribe 6 térmio más de l sucesió. ; ; ; ;... b. Cuál es su térmio úmero 60?. Escribe térmios más de l sucesió. ; ; ; ;... 6 b. Cuál es su térmio cetésimo? 6. Clcul el térmio geerl de cd serie:. ; -; ; -;... b. ; ; -; ; -;... c. ; -; 6; -8; 0;... d. 0; ; 8; ; ;... e. ; ; ; ; ;... f. ; ; ; ; ;... 6 g. ; ; ; ; Escribe los cutro primeros térmios de ls sucesioes que tiee por térmio geerl: +. + b. ( )

2 Guí de ejercicios: Uidd Nº c. d. ( ) ( ) e Ddos los térmios geerles de cutro sucesioes umérics, hlle pr cd u de los seis primeros térmios y l sum de éstos. S ( ) 9. Observe los gráficos de cico sucesioes umérics

3 Sucesioes ritmétics y geométrics. Complete l siguiete tbl A B C D E d 0 b b. Idicr cuál de ls siguietes fórmuls correspode l térmio geerl de cd u de ls sucesioes I.- II.- III.- IV.- Progresioes Aritmétic 0 si es pr. si es impr... V.- ( ) Idetific; etre ests sucesioes, ls que so progresioes ritmétics, justifique.. ; ; ; 7; ;... b. ; ; 8; 6;... c. 0; 7; ; ; -;... d. ; 7; 9; 8; 0; ;... e.,7;,9;,;,;... f. ; ; ; ; ; ;... g. ; 9; ; 9;... h. ; 6; 8; 6;... i. ; ; ; ; ;... j. ; -0; -; -0;... 6 k. ; ; ; ;.... De ls sucesioes siguietes, Cuáles so progresioes ritmétics?. b. c. b c

4 Guí de ejercicios: Uidd Nº d. 7 d. Costruye u progresió ritmétic e l que el primer térmio se y l difereci.. Si escribir los térmios, idique cuáles de los siguietes térmios geerles está socidos dos sucesioes igules.. ( ) b. c. + + d.. E u progresió ritmétic se sbe que los seis primeros térmios. y. Clcul l difereci y. Escribe el térmio geerl de ls sucesioes:. ; 0; ; 0;... b. 90; 78; 66; ;... c.,;,6; ;... d. ; ; ;.. 6. Clcul el térmio geerl de u progresió ritmétic sbiedo que 6 y Cuáto vle l difereci e u progresió ritmétic cuyo tercer térmio es 7 y cuyo quito térmio es? Clcul el primer térmio y escribe l sucesió. 7 x 8. E u progresió ritmétic y. Clcul b. Clcul 80 ; 00 ; 00. d x 9. Costruye u progresió ritmétic e l que el primer térmio se 6 y el oveo Clcul el térmio 00 de l progresió ritmétic: -; -; 0; ; ;...

5 Sucesioes ritmétics y geométrics. Los dtos que se d como hipótesis correspode sucesioes ritmétics. Alice si e cd cso l tesis es verdder o fls tesis 678. Si y, etoces d. b. Si y d, etoces c. Si, etoces d + d. Si 7, 8 y d, etoces e. Si u sucesió 7 y 0 y e otr b y b7 7, etoces mbs tiee l mism difereci.. El cteto meor de u triágulo rectágulo mide m. Clcul sus otros ldos sbiedo que los tres form u progresió ritmétic.. Clcul el térmio que ocup el lugr e l progresió cuyos cutro primeros térmios so: ;,7;,;,;.... Clcul el curto térmio de u progresió ritmétic de difereci y cuyo térmio úmero 0 es 00.. Iterpol cutro medios difereciles etre y. 6. Iterpol tres medios difereciles etre -6 y Iterpol cico medios difereciles etre -9 y Iterpol:. Tres medios difereciles etre 7 y 7. b. Cutro medios difereciles etre -0 y. c. Cico medios difereciles etre y Clculr l sum de los primeros 0 úmeros turles. 0. Clcul l sum de los úmeros turles del 00 l 00, mbos icluidos.. Clcul l sum de los 8 primeros térmios de l progresió: -7; -; -; ; ;... De u progresió ritmétic se sbe que, y d, 6. Clcul l sum de los primeros térmios.. E u progresió ritmétic, 8 y 9. Clcul l sum de los veite primeros térmios.. Cuátos múltiplos de 9 se ecuetr etre 000 y 000?. Ecuetre l sum de los múltiplos de myores y meores que 8.

6 Guí de ejercicios: Uidd Nº 6. E u sucesió ritmétic que tiee u úmero impr de térmios, el cetrl es. Cuáto vle l sum del primero y último? 7. Hll l sum de los veite primeros térmios de ls siguietes sucesioes ritmétics.. ; ; ; ;... b. ; -0; -; -0;... c. -; -; 0; ; ; Cuáto vle l sum de los cie primeros múltiplos de 7? 9. U club selecto tiee muchs solicitudes de etrd, pero sólo dmite quice uevos socios l mes. Si filizó el ño psdo co socios y l cuot es de $ 80 mesul. Qué presupuesto esper mejr este ño l jut directiv?. 0. Ecuetr los águlos de u cudrilátero covexo, sbiedo que está e progresió ritmétic de difereci 0.. El segudo y el tercer térmio de u sucesió ritmétic so respectivmete 7 y. Clcule l sum de los primeros 0 térmios.. Clcul l sum de todos los úmeros impres de cifrs.. Clcul l sum de los 00 primeros múltiplos de.. Los águlos de u petágoo covexo está e progresió ritmétic y el meor de ellos mide 0º. Ecuetr l medid de los demás.. Ciertos térmios cosecutivos de u progresió ritmétic sum 0 y su térmio cetrl es 7. Cuátos térmios se h sumdo? 6. Clcul l sum de los 0 primeros múltiplos de myores. 7. E u progresió ritmétic se tiee qued, S 6 y 7. Clcul y. 8. Cuátos térmios de l progresió ritmétic 0; 7; ;... hy que sumr pr que dich sum se 6? 9. E u progresió ritmétic Cuáto vle? Sid, clcul ; ; y S Los ldos de u hexágoo está e progresió ritmétic. Clcúllos sbiedo que el myor mide cm y que el perímetro vle 8 cm.. Los águlos de u hexágoo covexo está e progresió ritmétic y el meor mide 0º. Clcul por trigulció, l sum de ellos. 6

7 Sucesioes ritmétics y geométrics. Cuáto diero llevb sus vccioes u perso si el primer dí gstó $ 00, fue dismiuyedo e $ 0 por dí y el diero le duró 0 dís?. E u cie, l segud fil de butcs está 0 metros de l ptll y l séptim fil está 6 metros. E qué fil debe setrse u perso que le guste ver l ptll u distci de metros?. Hll los dos térmios cetrles de u progresió ritmétic de 8 térmios sbiedo que sum 00 y que l sum del primero y dos veces el último vle 8?.. Determi l sum de los 0 primeros térmios de l sucesió ritmétic cuyo térmio geerl es. 6. El térmio cetrl de u progresió ritmétic de 7 térmios vle. Determir l sum de esos 7 térmios. 7. Costruye u progresió ritmétic de 6 térmios que teg por extremos 9 y. 8. Cuátos ños bisiestos hy etre los ños 999 y Tres úmeros ocup lugres cosecutivos es u sucesió ritmétic de difereci. El cociete etre el primero de ellos y el tercero es 9 7,. Ecuetre el térmio meor. b. Hlle l sum de los tres térmios. c. Cuál deberá ser el cociete etre el primero de ellos y el tercero pr que, co l mism difereci, el meor térmio se el opuesto del ecotrdo e el item? Progresioes Geométrics 60. De ls siguietes sucesioes, cuáles so progresioes geométrics?. Escribe cutro térmios más e cd u de ells y, tmbié, su térmio geerl..,, 8, 6,... b. ; 0; 00; 000;... c. ; 6; 8; ; ;... d. ; 0,; 0,0; 0,00; De cierts progresioes geométrics coocemos, respectivmete:. y q. Escribe sus cico primeros térmios. b. b 6 y q. Clculr b y b c. c. 0 0 ; c 9 y c 6. E u progresió geométric y. Ecuetr el térmio y l expresió de 6. E u progresió geométric 8 y. Clcul 6 y l expresió de. 7

8 Guí de ejercicios: Uidd Nº 6. Clcul l rzó y el térmio décimo de l sucesió geométric: ;,; 0,; 0,0;.. 6. Clcul x pr que ; x; 8 se progresió geométric. 66. E u progresió geométric y r 0,. Clcul el primer térmio o etero. b. Expres, de form idicd. 67. Etre los úmeros y 6, escribe otros tres m; ; p de modo que ; m; ; p; 6 esté e progresió geométric.. Hz lo mismo co, m,, 8 b. Hz lo mismo co, m,, 68. E u progresió geométric 0 y r 0,. Clcul 0 y Iterpolr cutro medios proporcioles etre y 70. Iterpol:. U medio proporciol etre y b. Tres medios proporciol etre y. c. Cutro medios proporciol etre y Clcul r sbiedo que 7, Hz lo mismo siedo y 6. 8 b. Hz lo mismo siedo 7 y c. Observ que se obtiee ls siguietes relcioes. 6 r ; r ; r 7. Los dtos que se muestr correspode sucesioes geométrics. Completr ls siguietes expresioes.. Si y r, etoces b. Si 6 y, etoces r 7 7. El primer térmio de u sucesió geométric es y su rzó es. Hlle los cico primeros térmios. 7. Alice si existe u úic sucesió geométric tlque l sum del primer térmio y el tercero se 0 y l sum del tercero y el quito se Hlle los cico primeros térmios de l o ls sucesioes que cumpl co ls codicioes del ejercicio terior. 76. Relcio r co m,, y m siedo m > e u progresió geométric culquier

9 Sucesioes ritmétics y geométrics 77. L poblció mudil es de uos mil milloes de hbittes y crece l ritmo ul de l %. Cuáto tiempo trdrá e duplicrse? 78. El rdio, elemeto rdioctivo, se descompoe rzó del % por siglo. U kg de rdio, e cuáto se hbrá reducido después de.000 ños? 79. A veces los grdes mtemáticos tmbié se equivoc. Eüler hizo el siguiete rzomieto: Se r u úmero positivo meor que. Se tiee que: r r + r + r +... r y tmbié; r r r r r r r r r r r r y como + 0 result que r r r + r + r r r r Pero todos los sumdos so positivos luego es bsurdo que l sum se cero. Cuál fue el error de Eüler? 80. Los dtos de cd fil de l siguiete tbl correspode l mism sucesió geométric. Completr l tbl. r S 0 9 0, 0,, E u cudrilátero bcd, dˆ 9bˆ y todos los águlos iteriores form u sucesió geométric. Cuáto mide cd uo de ellos? 8. U dmju de cico litros está lle de jugo. U perso sc u cop de 0 cm y, pr que o se ote, lo sustituye por l mism ctidd de gu. Otrs persos hce l mism operció sucesivmete. Cuáts opercioes hce flt pr que l mitd de l mezcl se jugo y l otr mitd se gu?. 9

10 Guí de ejercicios: Uidd Nº 8. U vió de ppel vz e líe rect y cd segudo, vz l mitd de recorrido que el segudo terior. Sbiedo que e el primer segudo vzó 0 m, llegrá tocr l pred que está u distci de 8 m?. 8. Cuáto diero tedremos l cbo de ños si colocmos plzo fijo $.000 l %? 8. A qué tto por cieto debe impoerse u cpitl pr que se duplique e cico ños? 86. L poblció de u pís de Améric umet por térmio medio u 0 por mil ul. Sbiedo que e l ctulidd tiee 0 milloes de hbittes, Cuátos tedrá detro de u siglo? 87. L mquiri de u fábric pierde cd ño el 0% de su vlor y e su mometo costo $ E cuáto se vlorrá est máqui después de ños de fuciomieto? 88. Clcul l sum de los seis primeros térmios de u progresió geométric e l que y r. 89. Cuáto vle l sum de los cico primeros térmios de u progresió geométric e l que y r. 90. E u progresió geométric, l sum de los seis primeros térmios es S 6.6 y l rzó es r. Ecuetr y. 9. E l progresió geométric, ; 6; ; ; 8; 96; 9; 8;..., comprueb que: E u progresió geométric culquier ; r; r ; r ; r ; r ;..., comprueb que 6. Comprueb, tmbié que Euci u propiedd geerl que eglobe los csos prticulres de los dos ejercicios teriores. 9. E u progresió geométric 6. Cuáto vle? 9. E u progresió geométric y. Cuáto vle ; ; y? 96. Clcul el producto de los cutros primeros térmios de u progresió geométric e l que y E u progresió geométric co ifiitos térmios es 7 y l sum de tod l progresió geométric. r. Clculr 0

11 Sucesioes ritmétics y geométrics 98. Al cortr u triágulo equilátero de áre, por los putos medios de los ldos, obteemos u triágulo equilátero de. Al hcer lo mismo ls ifiits veces co los sucesivos triágulos, cuáto vle l sum de tods ls áres obteids? 99. E u progresió geométric l sum de los ifiitos térmios vle y. Clcul y l rzó. 00. Clcul l sum de los ifiitos térmios de u sucesió geométric de rzó y cuyo segudo térmio es Segú dtos publicdos por Eterprice S.R.L, e gosto de.000, e l Argeti hbí hogres coectdos Iteret e.999. E el mismo ño, E Améric lti l cifr llegó U empres estimó, segú estudios relizdos de mercdo, que el crecimieto ul de usurios de Iteret e l Argeti y Ltioméric e los próximos ños será geométrico.. Clcul l ctidd de usurios que se esper e l Argeti e el corriete ño, supoiedo u ts de crecimieto ul de 6,7 %. b. Ecuetre l ts de crecimieto ul estimd pr Ltioméric, si se clcul, segú proyeccioes, u ctidd de usurios de Iteret pr el Se estim que el crecimieto demográfico de Argeti respode u ley geométric de rzó r + q, dode q es l ts ul de crecimieto de poblció e idic el úmero medio de persos que se icorpor ulmete l poblció totl, por cd 00 hbittes. Segú dtos del INDEC, los cesos de 980 y 99 idicro que l poblció e l Argeti fue de y.6.8 hbittes respectivmete.. Cosiderdo estos vlores, hlle l fórmul del térmio geerl de u sucesió geométric. b. Clculr el promedio de persos que se icorporro ulmete l poblció totl, por cd 00 hbittes. c. Estimr cuál fue l ctidd de hbittes e l Repúblic Argeti e el ño.99 segú este modelo. d. Clcule cuál será l poblció de Argeti e el ño.00, si se mtiee el ritmo de crecimieto demográfico.

12 Guí de ejercicios: Uidd Nº 0. Observe ls siguietes figurs. Completr el siguiete cudro: Cudrdo Áre Sombred A A A A b. Deducir l rzó y su térmio geerl c. Hcí que vlor tiede l superficie de los cudrdos? 0. Alizr los cudrdos del ejercicio terior, pero hor e l zo o sombred.. Completr el siguiete cudro Cudrdo Áre o sombred B B B B b. Por qué se trt de u sucesió geométric? c. A qué vlor tiede cercrse ls áres medid que se tom vlores de cd vez myores? 0. Complet l siguiete sucesió, cuyo térmio geerl es +, utilizdo u clculdor cietífic. (otr todos los vlores que prece e est) ( + )

13 Sucesioes ritmétics y geométrics. L sucesió es creciete? b. Est sucesió tiee límite?. Por qué? c. Compre el vlor del térmio y el vlor e de l clculdor (hcer e ). 06. Cofeccior tbls de vlores y hllr el límite de cd u de ls sucesioes..- + b.- c.- + d.- + e Ls siguietes figurs correspode ls tres primers etps del triágulo de Sierpiski. E l primer puede observr u triágulo equilátero. E l segud, l figur se divide e cutro triágulos cogruetes y se pit el del medio. E l tercer etp se divide cd triágulo e cutro triágulos cogruetes y se pit el del medio de cd uo.. Dibujr l figur de l curt etp b. Ecuetre l expresió del perímetro de l figur o pitd, si el perímetro de l figur es P. c. Expres el áre de l figur si sombrer e cd etp, si el áre del primer triágulo es A. d. Si se cosider u sucesió, hllr el térmio geerl. e. Clcule el perímetro de l sext etp. f. Cuál es el límite de l sucesió que represet el áre? 9. E l tbl siguiete, cd fil de úmeros form u sucesió. Ls ters verticles so pitgórics.. Complete co los vlores que flt e l tbl y compruebe que verific l fórmul del térmio geerl. Se llm ters de úmeros pitgóricos u cojuto de úmeros turles, b y c, que cumpl co l siguiete codició: b + c. Dicho úmeros puede ser ls medids de los ldos de u triágulo rectágulo e el cul es l medid de l hipoteus.

14 Guí de ejercicios: Uidd Nº 6 Térmio Geerl b 8 0 b c c b. Utilizdo ls fórmuls de los térmios geerles, verificr que: b + c ( ) ( ) ( ) 0. Ls siguietes tbls cotiee ters de úmeros pitgóricos. Completr ls tbls y lizr cuál es, etre los siguietes, el térmio geerl correspodiete cd fil. I II III IV.- + V VI Térmio Geerl b b c c b. 6 Térmio Geerl b b c 7 c. E los siguietes sistems de ecucioes, ; b y c so tres úmeros eteros y térmios cosecutivos de u sucesió geométric. x + y x + y b 9x y c 8x + y 9 Sbiedo que mbos sistem tiee l mism solució, clcule ; b y c. Idicr cuáles de ls siguietes firmcioes so flss y justifique sus respuests medite u ejemplo. Tod sucesió geométric puede socirse u fució expoecil, cuyo domiio es ℵ. b. Tod fució expoecil, puede socirse u sucesió geométric. c. Tod sucesió ritmétic puede socirse u fució liel d. Tod fució liel, puede socirse u sucesió ritmétic.