lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas son equivalentes porque

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1 Itroducció º ESO º ESO Pr operr co frccioes se sigue el mismo método que pr operr co úmeros eteros. Es decir, hy que respetr u jerrquí. Recordémosl: 1. Corchetes y prétesis.. Multipliccioes y divisioes.. Sums y rests. Hy que teer e cuet que ls opercioes del mismo ivel (multipliccioes y divisioes por u ldo, y sums y rests por otro) se reliz siempre de izquierd derech. Pr poder hcer opercioes combids co frccioes debemos preder primero sumr y restr y, luego, multiplicr y dividir. Pr sumr y restr es fudmetl sber cudo dos frccioes so equivletes y cómo se reduce frccioes comú deomidor. Vmos pues ello. Frccioes equivletes Dos frccioes so equivletes cudo expres l mism ctidd. Por ejemplo 5 y 4 represet l mism 10 ctidd pues :5 4:10 0,4. Pr sber si dos frccioes so equivletes bst comprobr que form u proporció, es decir: De este modo observmos que 5 y 4 10 Hy u propiedd importte de ls frccioes: c d b c b d so equivletes porque Si se multiplic o se divide el umerdor y el deomidor de u frcció por el mismo úmero, se obtiee u frcció equivlete l dd. Es decir: Observ que de l frcció deomidor por. k ; b b k : k b b : k 5 se puede obteer l frcció equivlete 4 10 multiplicdo el umerdor y el Observ tmbié que, por ejemplo, dividiedo el umerdor y el deomidor de l frcció 1 18 etre 6, se obtiee l frcció. Este proceso se cooce co el ombre de simplificció de frccioes. U frcció que o se puede simplificr se llm frcció irreducible. Si el úmero etre el que dividimos el umerdor y el deomidor es el máximo comú divisor de mbos estremos seguros de que l frcció que se obtiee es l irreducible. Por ejemplo, e el cso terior, si dividimos umerdor y deomidor de l frcció 1 etre se obtiee l frcció 18 4, que es u frcció equivlete l terior, pero o es l frcció irreducible pues podemos volver plicr el 6 proceso co est últim dividiedo umerdor y deomidor etre. Opercioes co frccioes Pági 1

2 º ESO º ESO Reducció de frccioes comú deomidor Pr poder comprr frccioes si ecesidd de dividir podemos hcer que trsformr ls frccioes dds e otrs equivletes que teg el mismo deomidor. Así sbremos cuál es l myor y l meor simplemete comprdo los deomidores. Pr reducir frccioes comú deomidor se recurre l míimo comú múltiplo de los deomidores. Lo veremos mejor co u ejemplo. Imgiemos que os d ls frccioes 8, 5 6, 4 9, 7 y que os pide hllr otrs cutro frccioes equivletes 1 ls teriores, pero tods ells co el mismo deomidor. Se procede de l siguiete mer. Elegimos como deomidor comú el míimo comú múltiplo de los deomidores: 8 6 mcm 8, 6, 9, E cd frcció, multiplicmos umerdor y deomidor por el mismo úmero, el decudo pr obteer 7 e el deomidor. El úmero decudo se obtiee dividiedo el míimo comú múltiplo etre el deomidor de cd frcció: :8 9, 7: :9 8, 7: Y hemos reducido ls cutro frccioes comú deomidor. Observ hor que ests últims so muy secills de order: Así pues ls cutro frccioes del pricipio, ordeds de myor meor serí: Sum y rest de frccioes Pr sumr o restr frccioes, ls reducimos previmete comú deomidor. Si lguo de los sumdos es u úmero etero, los trsformmos e u frcció co deomidor uo:. 1 Ejemplo mcm 10, 5, Observ como e este último cso hemos simplificdo el resultdo hst l frcció irreducible. Opercioes co frccioes Pági

3 º ESO º ESO Si e l operció co sums y rests prece prétesis hy dos forms de proceder primero elimirlo segú l jerrquí: Ejemplo Se efectú primero ls opercioes que hy etre prétesis y luego se hce ls sums y rests. Si el prétesis v precedido de u sigo más se puede elimir si más, de tl mer que los sigos del iterior del prétesis o vrí. Si el prétesis v precedido de u sigo meos, el prétesis se suprime, pero e este cso los sigos iteriores se trsform: el más se covierte e meos y el meos e más. Recuerd que restr es sumr opuestos Observ que hemos utilizdo l primer de ls opcioes teriores: hemos hecho primero l operció que v etre prétesis y filmete se h efectudo l rest. Hgmos hor l mism operció pero utilizdo l segud opció Observ que, l estr el prétesis precedido del sigo meos los sigos del iterior vrí: el más se covierte e meos, y el meos se covierte e más. Puedes elegir l opció que prefiers uque l segud es muy útil pues hemos de hcer el míimo comú múltiplo u sol vez. Ejemplo Observ cómo, siempre que se puede, se simplific el resultdo hst l frcció irreducible. Observ tmbié que, si el resultdo es egtivo, d igul escribir el meos e el umerdor o delte de l frcció:. b b Opercioes co frccioes Pági

4 º ESO º ESO Multiplicció y divisió de frccioes Multiplicció de frccioes El resultdo de multiplicr dos frccioes es otr frcció, cuyo umerdor es el producto de los umerdores y cuyo deomidor es el producto de los deomidores. c c b d b d E ocsioes i siquier se escribe el putito (que sigific por ). Es decir, l multiplicció veces se deot simplemete por yuxtposició (busc el verbo yuxtpoer e el dicciorio), siempre que o hy lugr error. Por ejemplo pr multiplicr ls frccioes 4 5 y 10 c b d c bd, hcemos: Observ que cudo se multiplic por u úmero egtivo, éste se poe etre prétesis. Esto es pr o cofudir el producto co u rest. Observ tmbié que se h plicdo l regl de los sigos: u positivo por u egtivo d resultdo egtivo ( más por meos igul meos ). Divisió de frccioes Pr dividir dos frcció se multiplic los térmios cruzdos. c A veces l divisió : tmbié se escribe sí: b d b c d c d : b d b c. O se, que tmbié podemos escribir: b c d d bc Observ que el umerdor del resultdo es el producto de los extremos y el deomidor del resultdo es el producto de los medios. Vemos u pr de ejemplos: : ; Observ que e l segud divisió se h vuelto plicr l regl de los sigos: más etre meos igul meos. Opercioes co frccioes Pági 4

5 º ESO º ESO Frcció ivers Es bueo sber que dos frccioes so iverss cudo su producto es igul 1. Tod frcció distit de cero tiee ivers. L ivers de b es b, pues b b b b 1. 1 b Muchs veces se escribe que se lee l ivers de prtido por b es b prtido por. O se que el b expoete meos uo, e mtemátics sigific hcer iversos. 5 Por ejemplo, l frcció ivers de 1 es 1 5, y que Otro ejemplo más: l frcció ivers de 1 es 1 y que E mtemátics, dividir o es otr cos que multiplicr por l frcció ivers. Observ: De hí viee lo de multiplicr los térmios e cruz. 1 c c d d : b d b d b c bc Opercioes combids co frccioes A veces l sum y rest se combi co l multiplicció y l divisió. Siguiedo l jerrquí de ls opercioes y co u poco de cuiddo o es muy difícil hcer opercioes combids. Vemos uos cutos ejemplos. Ejemplo Primero el prétesis Y luego el producto, Ejemplo Y sbes, primero el prétesis, luego el producto y, filmete, l rest: Opercioes co frccioes Pági 5

6 º ESO º ESO Observ l importci de simplificr e los psos itermedios. E vez de hcer l multiplicció se h 4 10 simplificdo l frcció 10, obteiedo 1 1 y se h efectudo el producto 5 4, cuyo resultdo es más secillo que 5 el producto iicil. Es muy coveiete y cosejble costumbrrse simplificr e los psos itermedios. Ejemplo : Aquí hy que teer cuiddo. Primero relizmos el prétesis que hy detro del corchete. Podemos provechr e ir hciedo tmbié, l mismo tiempo, el primer prétesis. Luego se hce l divisió que hy detro del corchete y, filmete, el producto. Observ: : : : Recuerd que l divisió se hce multiplicdo los térmios e cruz. Hemos vuelto simplificr e u pso 1 itermedio y hemos multiplicdo 4, e vez de hcer 1 60 porque, como puedes ver, el resultdo de multiplicr por 4 qued mucho más secillo que el resultdo de multiplicr por 60. Como siempre, hy que 15 simplificr el resultdo. Ejemplo : Y o explicré los psos dr. Descúbrelo y covécete de que lo etiedes : : : Ejemplo E este último ejemplo l divisió hor se d e form tmbié de frcció. Observ que l operció del umerdor se hce por u ldo y l del deomidor por otro. Se simplific los psos itermedios y, filmete, se efectú l divisió. Opercioes co frccioes Pági 6

7 º ESO º ESO Potecis, ríces cudrds y frccioes Defiició de poteci y de ríz cudrd de u frcció Por ejemplo: 4 81 ; b b b b 7 ; ; Observ que, e el segudo ejemplo, como l bse es egtiv y el expoete es impr el resultdo es egtivo. Ls propieddes de ls potecis de úmeros eteros se coserv co los úmeros frcciorios. Ests propieddes se trduce e regls de uso práctico. No solmete hy que memorizrls sio que hy que eteder su justificció. Así ls usrás de mer más eficz. Debjo de cd propiedd se h escrito etre comills su trducció l cstello. Cd u de ells se ilustr co u ejemplo. Poteci de u producto Poteci de u cociete Tmbié se puede hcer sí: c c b d b d poteci de u producto es igul l producto de ls potecis c c : : b d b d poteci de u cociete es igul l cociete de ls potecis : : : : Producto de potecis de l mism bse : m m b b b producto de potecis de l mism bse es igul l bse elevd l sum de los expoetes Opercioes co frccioes Pági 7

8 º ESO º ESO Cociete de potecis de l mism bse b : ; m b b b b b m m m cociete de potecis de l mism bse es igul l bse elevd l difereci de los expoetes Poteci de u poteci : m b b poteci de u poteci es igul l bse elevd l producto de los expoetes Potecis de expoete egtivo m b Recuerd que el iverso de u frcció lo escribímos sí:. Pues bie este es el primer expoete b egtivo que debes preder. Y o olvides que expoete meos uo sigific iverso de. E geerl Est iguldd somos cpces de demostrrl. Observ: b b 1 b b b b 1 1 Lo úico que hemos hecho es descompoer como 1 y luego plicr l propiedd terior (poteci de u poteci). Por cierto, ls propieddes hy que sber plicrls, o solmete de mer direct (de izquierd derech) sio tmbié l cotrrio (de derech izquierd) Por ejemplo: 5 8 Potecis de expoete cero 0 1 b Opercioes co frccioes Pági 8

9 º ESO º ESO Est propiedd tmbié l podemos demostrr: 0 b b 1 1 b b b b b b Hz u esfuerzo e itet explicr qué se h utilizdo e cd uo de los psos. Opercioes combids co potecis Al operr es posible que tmbié prezc lgu l ríz cudrd de lgu frcció, o lgu expresió elevd u úmero. Vemos u pr de ejemplos. Ejemplo : : 1 : 1 : : : : Ejemplo : : 1 : : 1 : : 9 1 Opercioes co frccioes Pági 9

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