ESQUEMA DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS

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1 Miisterio de Educció Uiversidd Tecológic Nciol Fcultd Regiol Treque Luque ESQUEMA DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS NÚMEROS NATURALES De cuerdo l esquem terior, existe cojutos chicos y grdes, y lguos de ellos está formdos por otros cojutos. El cojuto más pequeño perteece l de los Números Nturles ( N ): N = { 1, 2,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,.} Y l cojuto de Números Nturles (Amplido) se lo simboliz co N 0 : Año 201 1

2 Miisterio de Educció Uiversidd Tecológic Nciol Fcultd Regiol Treque Luque N 0 = {0, 1, 2,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,.} Se le llm mplido porque cotiee los mismos elemetos que el cojuto N más el úmero cero. Algus Propieddes Si x N 0 existe y es úico el siguiete de x [sig (x)]. A u úmero turl y su siguiete o sucesor se le dice cosecutivos, por est rzó el cojuto de los úmeros turles es u Cojuto Ordedo. E otrs plbrs, todo úmero turl x tiee su sucesor x + 1. x N 0 se verific que el siguiete de x es distito de cero. El cojuto de los úmeros Nturles es ifiito. Etre dos úmeros Nturles cosecutivos o existe otro úmero Nturl. Por est crcterístic se dice que el cojuto de los úmeros Nturles es u Cojuto Discreto. Observe que podemos ir costruyedo cd elemeto del cojuto N prtir del primer elemeto: = = = = 4 = = 5 = Así se puede defiir l siguiete de culquier N como: sig () = + 1 = veces Año 201 2

3 Miisterio de Educció Uiversidd Tecológic Nciol Fcultd Regiol Treque Luque OPERACIONES EN N Sum o Adició Se dice que l dició es u Operció Cerrd debido que l sum de dos úmeros turles d como resultdo otro úmero turl. Simbólicmete: N 0, b N 0 ( + b) N 0 Propieddes: 1. Propiedd Comuttiv: + b = b + 2. Propiedd Asocitiv: ( + b) + c = + (b + c). Elemeto Neutro: + 0 = 0 + = 4. Propiedd Cceltiv: + b = + c b = c Ejercicios: 1) Determie si sbe que: Ejemplo sig() = = 5 = 4 ) sig( + ) = 17 b) sig(7) = + 2) Determie: ) A = { x N / x < 7 } b) D = { x N / x 7 } c) E = { x N / 4 x < 9 } Rest o Difereci L rest o es u Operció Cerrd. Es decir, l rest etre dos úmeros turles o siempre d como resultdo otro úmero turl. Año 201

4 Miisterio de Educció Uiversidd Tecológic Nciol Fcultd Regiol Treque Luque b = c miuedo sustredo E los csos e que el miuedo se myor que el sustredo, se obtedrá u úmero turl. Simbólicmete: N 0, b N 0 ( - b) N 0 b Propieddes: 1. Propiedd Comuttiv: b b 2. Propiedd Asocitiv: ( b c ) ( b ) c. Propiedd Cceltiv: b = c b = c 4. Si = b l difereci es cero: si = b b = 0 Ejemplos: 7 5 = 2 7 = =? No tiee solució e el cojuto de los úmeros turles 2 2 Sum Algebric U sum lgebric de úmeros turles es u sucesió de sums y rests. Ejemplo: = (sum lgebric) ( ) ( ) = Se grup los úmeros positivos por u ldo y por otro, los egtivos. ( 10 ) ( 9 ) = 1 Resolvemos Año 201 4

5 Miisterio de Educció Uiversidd Tecológic Nciol Fcultd Regiol Treque Luque Regl de Supresió de Prétesis Pr todo, b, c N : +( b + c ) = + b + c + ( b c ) = + b c ( b + c ) = b c ( b c ) = b + c Multiplicció o Producto Pr todo m, N : m = m + m + + m veces dode m y se llm fctores. Propieddes: 1. Propiedd Comuttiv: m = m 2. Ley de Cierre o Clusur: m, N 0 : m N 0. Elemeto Neutro: 1 N: m 1 = 1 m = m m N 0 4. Propiedd Asocitiv: ( m ) t = m ( t ) 5. Propiedd Distributiv del producto respecto de l Sum o Rest: m ( + t ) = m + m t m ( t ) = m m t Múltiplos y divisores Año 201 5

6 Miisterio de Educció Uiversidd Tecológic Nciol Fcultd Regiol Treque Luque Desde los primeros ños de uestr educció se sbe que l multiplicció es u sum de térmios igules y puede escribirse de mer comprimid o brevid: = veces Ejemplo: = 6 = 18 E ese cso decimos que 18 es múltiplo de y que 18 es múltiplo de 6, o lo que es lo mismo: es divisor de 18 y 6 es divisor de 18. Defiició: es múltiplo de b si es posible ecotrr u úmero turl k, tl que se cumpl: = k b Si es múltiplo de b, l divisió b tiee resto cero, por lo tto decimos idistitmete: es múltiplo de b b divide b es fctor de es divisible por b So resultdos imeditos de l defiició: 1 es divisor de todos los úmeros pues: = 1 0 es múltiplo de todos los úmeros pues: 0 = 0 Pr el ejemplificr, se preset ls siguietes proposicioes equivletes: 18 es múltiplo de divide 18 es fctor de es divisible por Año 201 6

7 Miisterio de Educció Uiversidd Tecológic Nciol Fcultd Regiol Treque Luque Qued pr el lector escribir proposicioes equivletes, similres ls teriores que correspod pr el cso de los úmeros 18 y 6. Observció: El cero es múltiplo de culquier úmero turl. Divisió o Cociete Defiició: Pr todo m,, t N 0 : m : = t m = t si 0 dividedo divisor cociete Pr que l divisió se posible e el cojuto de los N debe ser el dividedo múltiplo del divisor. Ejemplo: 16 : 2 = 8 puesto que 16 = Otrs forms de escribir l divisió: 8 16 / 2 = 8 16 % 2 = 8 2 Los lumos de Alist e Sistems utiliz lo siguiete: 2 16 que se lee: 2 es divisor de 16 ó 16 es divisible por 2 Propieddes: 1. Propiedd Comuttiv: m : : m 2. Ley de Cierre: No se verific. Propiedd Distributiv: ( m + t ) : p = ( m : p ) + ( : p ) ( t : p ) (sólo derech) Año 201 7

8 Miisterio de Educció Uiversidd Tecológic Nciol Fcultd Regiol Treque Luque 4. Propiedd Asocitiv: ( m : ) : t m : ( : t ) ó m t m t 5. No es posible Dividir por CERO. Potecició Defiició: Pr todo, N el producto de veces el fctor se deomi potecició y se simboliz de l siguiete mer: expoete bse =. co 2 Ejemplos: 5 = = 125 (cico l cubo) 2 4 = = 16 (dos l curt) 6 2 = 6 6 = 6 (seis l cudrdo) Propieddes: 1. Propiedd Comuttiv: 2. Propiedd distributiv co respecto l sum o rest: ( b) b. Propiedd distributiv co respecto l producto: ( b) = b ( : b) = : b Año 201 8

9 Miisterio de Educció Uiversidd Tecológic Nciol Fcultd Regiol Treque Luque Producto de potecis de igul bse: es igul l bse elevd l sum de los expoetes. m p = m + + p = = 5 9 Cociete de potecis de igul bse: es igul l bse elevd l difereci etre el expoete del umerdor y el expoete de deomidor. m : = m - co m 5 4 : 5 2 = = 5 2 Poteci co expoete Cero: l poteci de culquier úmero turl, o ulo, elevdo expoete cero es igul uo. 0 = 1, 0 Poteci co expoete Uo: l poteci de culquier úmero elevdo l expoete uo d como resultdo el mismo úmero (l bse). 1 = Poteci de u poteci: cudo u úmero turl elevdo lgú expoete y su vez, está elevdo otro expoete es igul dicho úmero turl elevdo l producto de los expoetes. [ ( m ) ] p = m p [ ( 2 ) 1 ] 2 = = 2 6 Rdicció (e N y Z) Año 201 9

10 Miisterio de Educció Uiversidd Tecológic Nciol Fcultd Regiol Treque Luque Defiició: Si cosidermos dos úmeros turles y p se dice que el úmero turl es l ríz -ésim de p sí y solo sí l -ésim poteci de es p. ídice ríz -ésim de p = p rdicdo Ejemplo: 8 2 pues 2 = 8 Propieddes: p 1. Propiedd Comuttiv: p 2. Propiedd Distributiv respecto de l sum: p t p t. Propiedd Distributiv respecto del producto y divisió: p m p m p : m p m 4. Poteci de u ríz: m m p p Pr úmeros turles E cso de = m p p p Observció: e l rdicció de úmeros reles, si el ídice es pr, el rdicdo p debe ser myor o igul que cero, de lo cotrrio el resultdo o es u úmero rel. Se debe recordr que: Año

11 Miisterio de Educció Uiversidd Tecológic Nciol Fcultd Regiol Treque Luque Si es impr p p Si es pr p p Ejemplos: Diferecis cudo e el rdicdo hy sums o productos: Poteci de u ríz: Observe el siguiete ejemplo: (6) Si hor simplific el expoete co el ídice de l ríz, qued: se obtiee el mismo resultdo. Porque 6 es u úmero turl Relizr los mismos psos pr este ejemplo: ( 6) Si hor, simplificdo el expoete co el ídice de l ríz, se obtiee u resultdo distito: Porque -6 o es u úmero turl Año

12 Miisterio de Educció Uiversidd Tecológic Nciol Fcultd Regiol Treque Luque NÚMEROS ENTEROS Se sbe que l rest e el cojuto de los úmeros turles siempre es posible cudo el miuedo es myor que el sustredo, e cso cotrrio o es posible. Pr resolver este problem se ecesit mplir el cmpo umérico itroduciedo el cero y los opuestos de los úmeros turles, llmdos úmeros eteros egtivos. Obteemos el cojuto de los úmeros eteros: Z = {...,, 2, 1, 0,1, 2,, 4, 5,...} Puede represetrse e l rect uméric como sigue: Defiició: Si x es u úmero etero, etoces x es el opuesto de x. Ejemplos: ) Se x = 7, su opuesto es x = 7 b) Se x = 4, su opuesto es x = 4. Los eteros se puede order, ls opercioes de sum, rest y producto d como resultdo u úmero etero, si embrgo o ocurre lo mismo co l divisió, por ejemplo 8 dividido e o d u úmero etero. Debemos destcr que el cojuto Z tiee ls siguietes crcterístics: Es u cojuto ifiito. No tiee i primer elemeto i último. Es u cojuto discreto. Cd úmero etero tiee u tecesor y u sucesor. Año

13 Miisterio de Educció Uiversidd Tecológic Nciol Fcultd Regiol Treque Luque Regl de los Sigos Se plic e cso de multiplicció y divisió: + + = = = = + Ejemplos: si se trbj solo co los sigos, se dice: (-2) = - 6 meos por más = meos (-2) (-2) = 12 meos por más por meos = más (-2) (-2) (-1) = -12 meos por más por meos por meos = meos Regl de los sigos e potecis: ( BASE ) expoete ( + BASE ) PAR = + ( - BASE ) PAR = + ( + BASE ) IMPAR = + ( - BASE ) IMPAR = - Números Primos Y Compuestos L ctidd de divisores que tiee u úmero permite clsificrlo e úmero primo o úmero compuesto, recordemos que todo úmero myor que 1 tiee como divisores l 1 y él mismo. Si dmite sólo estos divisores, se dice que el úmero es primo. Si los divisores so más de dos, el úmero es compuesto y e ese cso es posible fctorizrlo como producto de los úmeros primos que lo divide. Est descomposició es úic, slvo el orde e que puede usrse los úmeros primos como fctores. Dos úmeros so Coprimos (primos etre sí), si y sólo si, los úicos divisores comues etre ellos so el 1 y el -1. Año 201 1

14 Miisterio de Educció Uiversidd Tecológic Nciol Fcultd Regiol Treque Luque VALOR ABSOLUTO O MÓDULO Pr cd úmero etero x defiimos el vlor bsoluto de x, que idicmos x, como sigue: Si el úmero x es positivo o cero, su vlor bsoluto es el mismo úmero y es su opuesto, x, si el úmero es egtivo. Simbólicmete: Defiició: x x x si si x 0 x 0 Recordr: El vlor bsoluto de cd úmero etero, es siempre u úmero o egtivo. Ejemplos: ; ( ) 0 0 ;, 05, 05 Geométricmete, el vlor bsoluto mide l distci del úmero x l cero, los ejemplos teriores qued represetdo e l rect por: Dist() sigific Distci. Observe que Dist(0,) = Dist(-,0) Dist(0,) = Dist(-,0) = Defiició de Distci: Se x A y x B ls coordeds de dos putos A y B represetdos sobre l rect uméric, se defie distci de A B, l vlor bsoluto de l difereci etre x A y x B. d A, B = Dist A, B = x A x B = x B x A Año

15 Miisterio de Educció Uiversidd Tecológic Nciol Fcultd Regiol Treque Luque Ejemplo: Ddos los putos sobre l rect, llmdos A y B de coordeds 2 y 5. Determie d(a, B): Alíticmete: Gráficmete:, = = = Dist(2, 5) = Propieddes del Vlor Absoluto b b ( Desiguldd trigulr ) b b : b : b b b NÚMEROS RACIONALES El cojuto de los Números Rcioles Q es u cojuto que cotiee los úmeros eteros Z y los úmeros frcciorios F. Los úmeros frcciorios F se defie como: el cociete etre dos eteros y b, b dode. Año

16 Miisterio de Educció Uiversidd Tecológic Nciol Fcultd Regiol Treque Luque Al cociete b se le llm Frcció o Rzó. Los úmeros 1 5 ; ; 4 1 so úmeros frcciorios. 5 Existe frccioes que si bie so diferetes etre sí, puede represetr el mismo úmero. Esto es sí, porque u frcció puede ser l form simplificd de l otr. Dds ls siguietes frccioes b y d c, si cumple co l codició: d c d, etoces dichs frccioes so igules. Ejemplo: Comprobr si ls frccioes 5 y 10 6 so igules. Aplicdo l codició: d b c Por lo que, ls frccioes 5 y 10 6 so igules. OPERACIONES CON NÚMEROS FRACCIONARIOS Sums y rests ) De igul deomidor Se mtiee el deomidor y siempre que se posible simplificmos el resultdo pr llevrlo su míim expresió: Año

17 Miisterio de Educció Uiversidd Tecológic Nciol Fcultd Regiol Treque Luque b) De distitos deomidores 1) Hllmos el deomidor comú más chico, eso es el míimo comú múltiplo de los deomidores ddos. 2) Hllmos ls frccioes equivletes cd u de ls dds. ) Efectumos l operció idicd. 4) Simplificmos el resultdo siempre que se posible Recordr: Sigos de ls frccioes: Multiplicció E l multiplicció co frccioes primero se simplific, siempre que se posible etre lgú úmero del umerdor co otro del deomidor, y luego se multiplic todo lo que quede e los umerdores y ese resultdo se coloc como umerdor de l uev frcció. Se hce lo mismo co los deomidores y ese resultdo se coloc como deomidor de l uev frcció. Ivers de frccioes L ivers de 4 es L ivers de es Año

18 Miisterio de Educció Uiversidd Tecológic Nciol Fcultd Regiol Treque Luque L ivers de 5 es 5 1 Y siempre el producto de u frcció por su ivers d 1: Divisió Pr el cso de l divisió etre úmeros frcciorios: 5 : Como se observ e el ejemplo, l segud frcció se ivierte y se cmbi el sigo de l divisió por el de multiplicció, por lo que después de esto se trbj como si fuese u producto. EXPRESIONES DECIMALES Si se reliz l divisió etre el umerdor y el deomidor de u frcció pr hllr l expresió deciml, puede suceder lgu de ests dos ltertivs: Que e l divisió, el resto se igul cero. O que los restos comiece repetirse. Ejemplos: Propiedd: 0, e este cso, el resto es cero. Es u expresió deciml fiit ,... =, y este cso se le llm expresió deciml periódic. Etre dos úmeros rcioles siempre existe ifiitos úmeros rcioles. Debido est propiedd, los úmeros rcioles se les llm Desos. Año

19 Miisterio de Educció Uiversidd Tecológic Nciol Fcultd Regiol Treque Luque NÚMEROS IRRACIONALES Al cojuto de úmeros que o puede represetrse como cociete etre dos úmeros eteros y b, se lo deomi cojuto de los Números Irrcioles I. Ejemplos: Ls ríces cudrds o excts d úmeros irrcioles: 2 1, , , El úmero, cuy expresió deciml es:, El úmero e, que es l bse de los logritmos turles, cuy expresió deciml es: 2, El úmero, llmdo el úmero de oro, cuy form brevid está dd por: y su expresió deciml es: 1, Año

20 Miisterio de Educció Uiversidd Tecológic Nciol Fcultd Regiol Treque Luque NÚMEROS REALES El cojuto de los Números Reles R es u cojuto que cotiee los úmeros rcioles Q y los úmeros irrcioles I. OPERACIONES CON NÚMEROS REALES Nombre de l Propiedd Adició Multiplicció Ley de cierre + b = úmero rel úico b = úmero rel úico Ley uiforme si = b + c = b + c si = b c = b c Comuttiv + b = b + b = b Asocitiv + ( b + c ) = ( + b ) + c ( b c ) = ( b ) c Elemeto eutro Elemeto iverso 0 es eutro porque 0 + = + 0 = - es iverso ditivo (o tmbié opuesto) porque + (-) = (-) + = 0 1 es eutro porque 1 = 1 = 1 es iverso multiplictivo [siempre que 0] porque 1 = 1 = 1 Distributiv de l multiplicció respecto l dició ( b + c ) = b + c Año

21 Miisterio de Educció Uiversidd Tecológic Nciol Fcultd Regiol Treque Luque Potecició 0 = 1 Se, b R y, m Z 1 si 0 b b m m : m m m m Rdicció 1 Si > 0 e R Si < 0 e R solo si es impr Se, b R y, m, p Z Si < 0 e R si es pr b b si b 0 b b m p m p m m Año

22 Miisterio de Educció Uiversidd Tecológic Nciol Fcultd Regiol Treque Luque OPERACIONES CON RADICALES Adició y Sustrcció de Rdicles Solo es posible sumr o restr térmios co rdicles semejtes Ejemplos: Rdicles Semejtes: So semejtes cudo tiee igul ídice y el mismo rdicdo. ) = = Se sum o rest los úmeros que compñ los rdicles semejtes, y ese resultdo se lo dej compñdo co el rdicl. b) = = = E este cso, se grup los térmios co rdicles semejtes y se procede como e el ejemplo ). Cómo reducir u rdicl? c) = = = = = = = = 2 equivle 2 5 = por propiedd de potecis de igul bse, 2 5 se expres e potecis del mismo vlor que el ídice del rdicl = se simplific ls ríces co ls potecis = Año

23 Miisterio de Educció Uiversidd Tecológic Nciol Fcultd Regiol Treque Luque Multiplicció y divisió de rdicles El producto o cociete de vrios rdicles es el rdicl que se obtiee l multiplicr o dividir rdicles reducidos comú ídice. Ejemplos: ) = = b) = E l multiplicció de dos rdicles de igul ídice, se dej u solo rdicl (bjo el mismo ídice) y los rdicdos qued multiplicádose. = = = = RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES Dd u frcció e cuyo deomidor prece lgú rdicl, se etiede por rciolizció, ecotrr otr frcció igul l dd y e cuyo deomidor o figure rdicles. Primer Cso: d l frcció Se multiplic el mismo rdicl e el umerdor y e el deomidor = = = ( ) = ( ) = Se simplific l ríz co el expoete Año 201 2

24 Miisterio de Educció Uiversidd Tecológic Nciol Fcultd Regiol Treque Luque Segudo Cso: d l frcció Se multiplic umerdor y deomidor co u rdicl de igul ídice, pero el expoete del rdicdo es lo que flt pr ser igul l vlor del ídice, cudo se sume los expoetes (*) = = = = = = Se grup bjo u mism ríz, porque tiee el mismo ídice (*) Se sum los expoetes Tercer Cso: d l frcció Se multiplic por el cojugdo del deomidor de l frcció, e el umerdor y e el deomidor = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) = E el deomidor, se plic Difereci de Cudrdos = ( ) = ( ) = ( ) = = Se simplific l ríz co el expoete y e el umerdor, se plic propiedd distributiv Año